Matematyka dyskretna Oznaczenia

Transkrypt

1 Matematyka dyskretna Oznaczenia Andrzej Szepietowski W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia. oznacza kwantyfikator ogólny dla każdego. oznacza kwantyfikator szczegó lowy istnieje. 1 Sumy i iloczyny Maj ac dany skończony ci ag a 1, a 2,... a k, sumȩ jego elementów zapisujemy jako Niezbyt formalnie możemy zapisać a i a i = a 1 + a a k. Na przyk lad (k + 1)k i = k = 2 (suma ci agu arytmetycznego). Podobnie dla każdego x 1 mamy i=0 x i = 1 + x + x x k = xk+1 1 x 1 (suma ci agu geometrycznego). Bȩdziemy też używać zapisu typu a i = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6. 1 i 6 W tym przypadku zbiór indeksów określony jest za pomoc a warunku pod znakiem sumy. Warunek określaj acy indeksy, po których należy sumować może być bardziej skomplikowany, na przyk lad a i = a 2 + a 4 + a 6. 1 i 6 i parzyste 1

2 Stosować bȩdziemy także zapis a i oznaczaj acy sumȩ tych elementów a i, których indeksy należ a do skończonego zbioru indeksów I. Na przyk lad, jeżeli I = {1, 3, 5, 7}, to a i = a 1 + a 3 + a 5 + a 7. Aby zapisać iloczyn elementów ci agu a 1, a 2,... a k, stosujemy zapis k a i. Znów niezbyt formalnie możemy to zapisać jako 2 Zbiory k a i = a 1 a 2 a k. oznacza zbiór pusty, który nie zawiera żadnych elementów. IN oznacza zbiór liczb naturalnych IN = {0, 1, 2, 3,...} a A oznacza, że elment a należy do zbioru A, a / A, że elment a nie należy do zbioru A. Najprostszy sposób zdefiniowania zbioru polega na wypisaniu jego elementów w nawiasach klamrowych. Na przyk lad zbiór {1, 2, 3} zawiera elementy 1,2,3. Inny sposób definiowania zbioru polega na podaniu w lasności, któr a spe lniaj a elementy zbioru. Na przyk lad {x x IN, 3 < x < 7} oznacza zbiór liczb naturalnych wiȩkszych od 3 i mniejszych od 7. A oznacza moc zbioru lub inaczej liczbȩ elementów tego zbioru. {3, 6, 9} = 3, = 0. A B oznacza sumȩ zbiorów, czyli zbiór, który zawiera wszystkie elementy zbioru wszystkie elementy zbioru B. {1, 2, 4} {1, 4, 6} = {1, 2, 4, 6}. A B oznacza iloczyn lub przekrój zbiorów, czyli zbiór, który zawiera te elementy, które należ a do obu zbiorów naraz. {1, 2, 4} {1, 4, 6} = {1, 4}. A B oznacza różnicȩ, czyli zbiór, który zawiera te elementy, które należ a do nie należ a do B. {1, 2, 4} {1, 4, 6} = {2}. 2

3 A B oznacza różnicȩ symetryczn a, która zawiera elementy należ ace tylko do jednego z dwóch zbiorów. A B = (A B) (B A). {1, 2, 4} {1, 4, 6} = {2, 6}. A B oznacza, że zbior A zawiera siȩ w zbiorze B, to znaczy wszystkie elementy zbioru A należ a do zbioru B. {2, 1} {1, 2, 3} Dwa zbiory s a równe jeżeli zawieraj a te same elementy, lub inaczej A = B wtedy i tylko wtedy gdy A B i B A. {1, 4, 2, 3} = {4, 1, 3, 2}. Jak widać kolejność elementów w zapisie zbioru nie ma znaczenia. I tak na przyk lad {1, 2} = {2, 1}. Taki zbior dwuelementowy nazywamy czasami par a nieuporz adkowan a. Kolejność elemnetów jest istotna w parze uporz adkowanej, któr a oznaczamy przez (x, y). Mamy (x, y) = (u, v) wtedy i tylko wtedy gdy x = u oraz y = v. Dopuszczalne jest także x = y. Para uporz adkowana jest ci agiem dwuelementowym. A B oznacza iloczyn kartezjański zbiorów B. Jest to zbiór wszystkich uporz adkowanych par (a, b), w których a b B. Inaczej Dla A = {1, 3, 5} i B = {3, 4} mamy A B = {(a, b) a A, b B}. A B = {(1, 3), (1, 4), (3, 3), (3, 4), (5, 3), (5, 4)}. Powinno być oczywiste, że A B = A B. 3 Rodzina zbiorów Zbiór zbiorów nazywamy czasami rodzin a zbiorów. Na przyk lad A = {A 1, A 2, A 3, A 4 } jest rodzin a zawieraj ac a cztery zbiory A 1, A 2, A 3 i A 4, s a to elementy zbioru A. Możemy też zapisać A = { 1 i 4}. Możemy sumować zbiory z rodziny. Suma k zawiera te elementy, które należ a do któregoś ze zbiorów A 1, A 2,...,A k, czyli k = {x i 1 i k; x }. 3

4 Inaczej możemy to zapisać: k = A 1 A 2... A k Bȩdziemy też używać zapisu na oznaczenie sumy wszystkich zbiorów, których indeksy należ a do zbioru I. Zachodzi wtedy = {x x }. Zbiór indeksów sumowania może być określony za pomoc a warunku. = A 2 A 3 A 4 A 5. 1<i<6 Możemy też brać przekroje zbiorów z rodziny. Przekrój k zawiera te elementy, które należ a do wszystkich zbiorów A 1, A 2,...,A k, czyli k = {x i 1 i k; x }. Inaczej możemy to zapisać: k = A 1 A 2... A k Bȩdziemy też używać zapisu na oznaczenie przekroju wszystich zbiorów, których indeksy należ a do zbioru I. Zachodzi wtedy = {x x }. Zbiór indeksów przekroju może być określony za pomoc a warunku. = A 2 A 3 A 4 A 5. 1<i<6 Przyk lad 1. Weźmy rodzinȩ z lożon a z trzech zbiorów A 1 = {4, 6, 8}, A 2 = {4, 5, 6}, A 3 = {4, 5, 8, 9}, 3 3 = {4, 5, 6, 8, 9} = {4} 4

5 Przyk lad 2. Niech I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} bȩdzie zbiorem indeksów. Dla każdego i I określamy zbór = {x N 1 x i}. Mamy = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 1<i<7 4 Zaokr aglenia = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1<i<7 Wprowadźmy dwa oznaczenia na zaokr aglenie liczby rzeczywistej. rzeczywistej x x = {1} = {1, 2} oznacza zaokr aglenie x w górȩ do najbliższej liczby ca lkowitej. Na przyk lad: Przez 4 = 4, 4.3 = 5, 4 = 4, 4.3 = 4. x Dla dowolnej liczby bȩdziemy oznaczać zaokr aglenie x w dó l do najbliższej liczby ca lkowitej. Na przyk lad: 4 = 4, 4.3 = 4, 4 = 4, 4.3 = 5. 5