Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017

2 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. Postanowili zagrać w ruletkę. Pamiętamy, że Bolek postawił na czerwone ; Znamy już przestrzeń probabilistyczną, która odpowiada temu eksperymentowi.

3 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. Postanowili zagrać w ruletkę. Pamiętamy, że Bolek postawił na czerwone ; Znamy już przestrzeń probabilistyczną, która odpowiada temu eksperymentowi. Co jeśli interesuje nas tylko KWOTA WYGRANA przez Bolka? Czego potrzebujemy, aby formalnie określić, jaki ma ona rozkład prawdopodobieństwa owa wygrana kwota?

4 Wprowadzenie Przykład 2 Lolek strzela jeden raz do tarczy. Wiemy, że zawsze trafia do tarczy. Lolek nie jest jednak wytrawnym strzelcem, więc w dowolny punkt tarczy trafia z tym samym prawdopodobieństwem. Znamy już przestrzeń probabilistyczną, która odpowiada temu eksperymentowi.

5 Wprowadzenie Przykład 2 Lolek strzela jeden raz do tarczy. Wiemy, że zawsze trafia do tarczy. Lolek nie jest jednak wytrawnym strzelcem, więc w dowolny punkt tarczy trafia z tym samym prawdopodobieństwem. Znamy już przestrzeń probabilistyczną, która odpowiada temu eksperymentowi. A co jeśli interesuje nas tylko LICZBA PUNKTÓW zdobytych przez Lolka? Czego potrzebujemy, aby formalnie określić, jaki ma rozkład prawdopodobieństwa owa liczba punktów?

6 Wprowadzenie Przykład 3 Lolek strzela jeden raz do tarczy. Wiemy, że zawsze trafia do tarczy. Lolek nie jest jednak wytrawnym strzelcem, więc w dowolny punkt tarczy trafia z tym samym prawdopodobieństwem. Znamy już przestrzeń probabilistyczną, która odpowiada temu eksperymentowi.

7 Wprowadzenie Przykład 3 Lolek strzela jeden raz do tarczy. Wiemy, że zawsze trafia do tarczy. Lolek nie jest jednak wytrawnym strzelcem, więc w dowolny punkt tarczy trafia z tym samym prawdopodobieństwem. Znamy już przestrzeń probabilistyczną, która odpowiada temu eksperymentowi. Interesuje nas odległości strzału od środka tarczy Czego potrzebujemy, aby formalnie określić, jaki ma rozkład prawdopodobieństwa odległości strzału od środka?

8 Zmienna losowa Uwagi dotyczące przykładów W powyższych przykładach liczba zdobytych żetonów/liczba punktów/odległość jest funkcją, która każdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowuje pewną wartość z R. Istotne są: te wartości i ich prawdopodobieństwa.

9 Zmienna losowa Uwagi dotyczące przykładów W powyższych przykładach liczba zdobytych żetonów/liczba punktów/odległość jest funkcją, która każdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowuje pewną wartość z R. Istotne są: te wartości i ich prawdopodobieństwa. Definicja Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Dowolną funkcję X : Ω R taką, że dla dowolnego zbioru borelowskiego A B(R) nazywamy zmienną losową. X 1 (A) = {ω Ω : X (ω) A} F

10 Szczypta teorii miary itp. Zmienna losowa jest to po prostu dowolna funkcja z (Ω, F, P) do R mierzalna w sensie Lebesgue a.

11 Przeciwobraz przypomnienie X : Ω R, dla A R, X 1 (A) = {ω Ω : X (ω) A} Przykład 4 Z odległość strzału Lolka od środka. Wyznacz Z 1 ({10}), Z 1 ((0, 5)). Czy są to zdarzenia w (Ω, F, P)?

12 Przeciwobraz X : Ω R ważne własności Wybrane własności przeciwobrazu dla A, B, A n R X 1 (R) = Ω, X 1 ( ) =, X 1 (R \ A) = Ω \ X 1 (A), czyli X 1 (A ) = (X 1 (A)), X 1 (B \ A) = X 1 (B) \ X 1 (A), X 1 ( n=1 A n ) = n=1 X 1 (A n ), X 1 ( n=1 A n ) = n=1 X 1 (A n ). Przeciwobrazy i σ ciała Jeśli F jest σ ciałem w R, to X 1 (F) = {X 1 (A) : A F} jest σ ciałem w Ω. Jeśli A jest niepustą rodziną podzbiorów zbioru R, to σ(x 1 (A)) = X 1 (σ(a)).

13 X jest zmienną losową na (Ω, F, P) Definicja σ ciałem generowanym przez zmienną losową X (ozn. σ(x )) nazywamy najmniejsze σ ciało podzbiorów Ω, względem których X jest mierzalna. σ(x ) = X 1 (B(R)) = {X 1 (B) : B B(R)} Przykład 5 Bolek postawił na czerwone w ruletkę. Niech X : Ω R będzie zmienną losową równą wygranej Bolka. Wyznacz σ(x ).

14 Przykład 6 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. Postanowili zagrać w ruletkę. Bolek postawił na czerwone ; Niech X : Ω R będzie zmienną losową równą wygranej Bolka. Wtedy {X = 1} = X 1 ( 1) F, {X = 1} = X 1 (1) F, {X 0} = X 1 ((, 0]) F są zdarzeniami (należą do F, są przeciwobrazami zbiorów borelowskich).

15 Przykład 6 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. Postanowili zagrać w ruletkę. Bolek postawił na czerwone ; Niech X : Ω R będzie zmienną losową równą wygranej Bolka. Wtedy {X = 1} = X 1 ( 1) F, {X = 1} = X 1 (1) F, {X 0} = X 1 ((, 0]) F są zdarzeniami (należą do F, są przeciwobrazami zbiorów borelowskich). Zatem możemy wyznaczyć ich prawdopodobieństwo P (X = 1) =?,P (X = 1) =?,P (X 0) =?

16 Przykład 6 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. Postanowili zagrać w ruletkę. Bolek postawił na czerwone ; Niech X : Ω R będzie zmienną losową równą wygranej Bolka. Wtedy {X = 1} = X 1 ( 1) F, {X = 1} = X 1 (1) F, {X 0} = X 1 ((, 0]) F są zdarzeniami (należą do F, są przeciwobrazami zbiorów borelowskich). Zatem możemy wyznaczyć ich prawdopodobieństwo P (X = 1) = P (X 0) = ,P (X = 1) = 37

17 Wprowadzenie Przykład 7 Lolek strzela jeden raz do tarczy. Wiemy, że zawsze trafia do tarczy. Lolek nie jest jednak wytrawnym strzelcem, więc w dowolny punkt tarczy trafia z tym samym prawdopodobieństwem. Niech Y : Ω R będzie zmienną losową równą liczbie punktów zdobytych przez Lolka. Wyznacz zdarzenia {Y = 10} = Y 1 (10) F, {Y 5} = Y 1 ((, 5]) F

18 Wprowadzenie Przykład 7 Lolek strzela jeden raz do tarczy. Wiemy, że zawsze trafia do tarczy. Lolek nie jest jednak wytrawnym strzelcem, więc w dowolny punkt tarczy trafia z tym samym prawdopodobieństwem. Niech Y : Ω R będzie zmienną losową równą liczbie punktów zdobytych przez Lolka. Wyznacz zdarzenia {Y = 10} = Y 1 (10) F, {Y 5} = Y 1 ((, 5]) F Oblicz P (Y = 10) =? P (Y 5) =?

19 Wprowadzenie Przykład 8 Lolek strzela jeden raz do tarczy. Wiemy, że zawsze trafia do tarczy. Lolek nie jest jednak wytrawnym strzelcem, więc w dowolny punkt tarczy trafia z tym samym prawdopodobieństwem. Niech Z : Ω R będzie zmienną losową równą odległością strzału od środka. Wyznacz zdarzenia {Z = 5} = Z 1 (5) F, {Z 5} = Z 1 ((, 5]) F

20 Wprowadzenie Przykład 8 Lolek strzela jeden raz do tarczy. Wiemy, że zawsze trafia do tarczy. Lolek nie jest jednak wytrawnym strzelcem, więc w dowolny punkt tarczy trafia z tym samym prawdopodobieństwem. Niech Z : Ω R będzie zmienną losową równą odległością strzału od środka. Wyznacz zdarzenia {Z = 5} = Z 1 (5) F, {Z 5} = Z 1 ((, 5]) F Oblicz P (Z = 5) =? P (Z 5) =?

21 Dystrybuanta Dla dowolnej zmiennej losowej można określić dystrybuantę. Definicja Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F : R R daną wzorem ( ) F (a) = P (X a) = P X 1 ((, a]). Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby a R zbiór {X a} = X 1 ((, a]) F jest zdarzeniem w (Ω, F, P).

22 Przykład 10 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. Postanowili zagrać w ruletkę. Bolek postawił na czerwone ; Niech X : Ω R będzie zmienną losową równą wygranej Bolka. Podaj dystrybuantę zmiennej losowej X.

23 Wprowadzenie Przykład 11 Lolek strzela jeden raz do tarczy. Wiemy, że zawsze trafia do tarczy. Lolek nie jest jednak wytrawnym strzelcem, więc w dowolny punkt tarczy trafia z tym samym prawdopodobieństwem. Niech Z : Ω R będzie zmienną losową równą odległością strzału od środka. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej Z.

24 Własności dystrybuanty Twierdzenie Dystrybuanta F zmiennej losowej ma następujące własności: 1 jest niemalejąca; 2 F ( ) = lim t F (t) = 0, 3 F ( ) = lim t F (t) = 1; 4 jest prawostronnie ciągła, tzn. F (t) = lim s t + F (s) Dowód:

25 Własności dystrybuanty Twierdzenie Dystrybuanta F zmiennej losowej ma następujące własności: 1 jest niemalejąca; 2 F ( ) = lim t F (t) = 0, 3 F ( ) = lim t F (t) = 1; 4 jest prawostronnie ciągła, tzn. F (t) = lim s t + F (s) Dowód: Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne. Twierdzenie Dowolna funkcja F : R R, która ma własności 1-4 jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej.

26 Własności dystrybuanty Przykład 12 Które z poniższych obrazków pokazują wykres dystrybuanty pewnej zmiennej losowej?

27 Własności dystrybuanty Inne przydatne własności Dowód: P (X < t) = lim s t F (s). P (X = t) = F (t) lim s t F (s).

28 To wiemy P (X t) = F (t), P (X < t) = lim s t F (s). Przykład 13 Zmienna losowa ma dystrybuantę 0 dla x < 0; 1 F (x) = 5 dla 0 x < 1; 1 5 x dla 1 x < 3; 1 dla x 3. Wyznacz: P (X = 2), P (X = 3), P (X 3), P (X < 3), P (2 < X < 3).

29 Przypomnijmy: mówiliśmy, że w niektórych eksperymentach istotne są tylko niektóre wartości rzeczywiste i ich prawdopodobieństwa. Przykład 14 Czy nie można opisać sytuacji Bolka bardziej bezpośrednio: Ω = R, F = B(R) P X ({ 1}) = 19 37, P X ({1}) = 18 37,

30 Trochę oszukana definicja Rozkład zmiennej losowej to informacja o tym, jakie wartości ta zmienna losowa może przyjmować i jakie są prawdopodobieństwa tych wartości. Rozkład zmiennej losowej jest miarą probabilistyczną na B(R).

31 No to w końcu czy można opisać sytuację Bolka bardziej bezpośrednio czy nie można? Odp: można, i czasem warto. a w pewnych sytuacjach można, ale nie warto. Z punktu widzenia praktycznego: rozkład zmiennej losowej niesie mniej informacji niż zmienna losowa, i czasem dobrze jest pozbyć się nadmiaru informacji, a czasem pozbywanie się informacji nie jest mądre.

32 Definicja Rozkładem (prawdopodobieństwa) zmiennej losowej X nazywamy miarę probabilistyczną (funkcję prawdopodobieństwa) na prostej R wyposażonej w σ-ciało zbiorów borelowskich B(R) zadaną wzorem P X (A) := P( {ω Ω : X (ω) A } ) = P ( X 1 (A) ) = P(X A) dla dowolnego borelowskiego zbioru A B(R)

33 Definicja Rozkładem (prawdopodobieństwa) zmiennej losowej X nazywamy miarę probabilistyczną (funkcję prawdopodobieństwa) na prostej R wyposażonej w σ-ciało zbiorów borelowskich B(R) zadaną wzorem P X (A) := P( {ω Ω : X (ω) A } ) = P ( X 1 (A) ) = P(X A) dla dowolnego borelowskiego zbioru A B(R) Definicja - bardziej ogólnie Rozkładem prawdopodobieństwa na R nazywamy każdą miarę probabilistyczną na B(R). Niebawem poznamy wiele słynnych rozkładów prawdopodobieństwa.

34 Uwaga dotycząca oznaczeń P X (A) = P( {ω Ω : X (ω) A } ) = P ( X 1 (A) ) = P(X A) Dla szczególnych zbiorów np. A = (a, b), A = {c} {ω } P X ((a, b)) = P( ) Ω : a < X (ω) < b = P ( X 1 ((a, b)) = P(a < X < b) ( {ω } ) P X ({c}) = P Ω : X (ω) = c = P ( X 1 ({c}) ) = P(X = c) Zazwyczaj będziemy wykorzystywać ostatnią, najkrótszą notację.

35 Uwaga dotycząca oznaczeń Fakt, że zmienna X ma rozkład P X będziemy oznaczać. X P X

36 Uwaga Dowolna zmienna losowa X : Ω R wyznacza nową przestrzeń probabilistyczną (R, B(R), P X ).

37 Uwaga Dowolna zmienna losowa X : Ω R wyznacza nową przestrzeń probabilistyczną (R, B(R), P X ). W konkretnych przypadkach (a tylko takie będziemy rozpatrywać) podanie rozkładu zmiennej losowej X jest o wiele prostsze niż podawanie miary dla każdego zbioru borelowskego. Przykład 15 W przypadku wygranej Bolka (zmiennej X ) wystarczy podać P X ({ 1}) = P(X = 1) = 19 37, P X ({1}) = P(X = 1) = Dlaczego?

38 Trochę nazewnictwa Trochę nazewnictwa Mówimy, że zmienna losowa X jest skupiona na zbiorze A, gdy P (X A) = 1 (wybieramy zwykle jak najmniejszy lub jak najładniejszy taki zbiór).

39 Trochę nazewnictwa Trochę nazewnictwa Mówimy, że zmienna losowa X jest skupiona na zbiorze A, gdy P (X A) = 1 (wybieramy zwykle jak najmniejszy lub jak najładniejszy taki zbiór). Przykład 16 Na jakim zbiorze skupiona jest zmienna X równa wygranej Bolka w ruletkę? Przykład 17 Na jakim zbiorze skupiona jest zmienna Z równa odległości strzału Lolka od środka tarczy?