czastkowych Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: karpinw adres strony www, na której znajda

Transkrypt

1 Zadania z równań różniczkowych czastkowych Za l aczam adres strony www, na której znajda Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: karpinw Zadanie 1. Znaleźć wszystkie rozwiazania równań: xy u x + x yu y = 0, xu x + yu y = 0, yu x xu y = x 3 y + xy 3, 3u x + 5u y + u z = x, zu x + yu y + yu z = x + y + z. Zadanie. Rozwiazać poczatkowe: yu x 4xu y = xy, u(x, 1/x) = x, u x + yu y 3u z = 0, u(0, y, z) = z + sin y, u x = x (u y + u), u(0, y) = y + 1, yu x xu y = xyu, u(x, x) = x, u x zu y + yu z + 5vu v = 0, u(0, y, z, v) = yz + v, u x xu y = u + y, u(0, y) = y + 1, yu x u y + zu z + u = x, u(x, 0, z) = 0, u x + u y + u z = u, u(x, y, 0) = x + y, xu x yu y + u = e x, u(x, x 3 ) = 1, cos yu x + cos xu y = cos x cos y, u(1, y) = y. Zadanie 3. Rozwiazać równanie yu x + xu y = x z warunkami poczatkowymi: (i) u(x, 0) = x, (ii) u(x, 0) = x 3/. Porównać g ladkość otrzymanych funkcji. Zadanie 4. Znaleźć wszystkie rozwiazania równań: u u x u y = u, u x + uu y = 6x, (x u)u x + (y u)u y = 0, u x + 5u y + u z = u. 1

2 Zadanie 5. Rozwiazać poczatkowe: u x + yuu y = x, u(0, y) = 0, u x + yuu y = x, u(x, x) = 1, u x + yuu y = x, u(x, 0) = x, x u x + y u y = u, u(1, y) = y, xu x + uu y = y, u(, y) = y + 1, (x + u)u x + (y + u)u y = 0, u(x, 1 x) = x. Zadanie 6. Nastepuj ace równania sprowadzić do postaci kanonicznej: u xx + 4u xy + 5u yy + u x + u y = 0, u xx u xy + u yy + αu x + βu y + γu = 0, u xx cos xu xy (3 + sin x)u yy yu y = 0, y u xx + xyu xy + x u yy + yu y = 0, tg xu xx ytgxu xy + y u yy + tg 3 xu x = 0, x u xx + xyu xy 3y u yy xu x + 4yu y + 16x 4 u = 0, (1 + x )u xx + (1 + y )u yy + xu x + yu y = 0, e x u xx + e x+y u xy + e y u yy xu = 0, u xx + sin xu xy (cos x sin x)u yy + cos xu y = 0. Zadanie 7. Sprowadzić do postaci kanonicznej równanie Blacka-Scholesa: u t + 1 σ s u ss + rsu s ru = 0. Sta lymi sa tu σ > 0, r > 0 - stopa procentowa. Zmiennymi sa czas t i s. Podstawmy x = ln s, a nastepnie u(x, t) = w(x, t)e ax, gdzie a jest tak wybrane, by równanie sie uprości lo. Zadanie 8. Znaleźć wszystkie rozwiazania równań: u xx sin xu xy cos xu yy = cos xu y, xu xx yu yy + 1(u x u y ) = 0, x > 0, y > 0, x u xx y u yy yu y = 0, x u xx xyu xy + y u yy + xu x + yu y = 0, u xy + yu x + xu y + xyu = 0. Zadanie 9. Rozwiazać poczatkowe: u xx + u xy 3u yy = 0, u(x, 0) = 3x, u y (x, 0) = 0, 4y u xx +(1 y )u xy u yy y 1 + y (u x u y ) = 0, u(x, 0) = x, u y (x, 0) = x,

3 (1+x )u xx (1+y )u yy +xu x yu y = 0, u(x, 0) = ϕ(x), u y (x, 0) = ψ(x), x u xx xyu xy 3y u yy = 0, u(x, 1) = x, u y (x, 1) = x 3. Zadanie 10. Przy pomocy metody Fouriera rozwiazać brzegowo-poczatkowe dla równania struny u tt = c u xx : u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = 0, u t (x, 0) = sin π l x, u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = ϕ(x), u t (x, 0) = ψ(x), u(0, t) = u x (l, t) = 0, u(x, 0) = sin 5π l x, u t(x, 0) = sin π l x, u x (0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = cos π l x, u t(x, 0) = cos 3π 5π x+cos l l x, u x (0, t) = u x (l, t) = 0, u(x, 0) = x, u t (x, 0) = 1, u(0, t) = u x (l, t) + hu(l, t) = 0, u(x, 0) = ϕ(x), u t (x, 0) = ψ(x). Zadanie 11. Przy pomocy metody Fouriera rozwiazać brzegowo-poczatkowe dla równania u tt = c u xx + f(x) : u(0, t) = a, u(l, t) = b, u(x, 0) = u t (x, 0) = 0, u x (0, t) = a, u x (l, t) = b, u(x, 0) = ϕ(x), u t (x, 0) = 0. Zadanie 1. Przy pomocy metody Fouriera rozwiazać brzegowo-poczatkowe: u t = a u xx + t sin π x, u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = x(l x), l u t = a u xx + bu x + cos π l x, u x(0, t) = 0 = u(l, t), u(x, 0) = ϕ(x), Wsk. - zastosować podstawienie u(x, t) = e rx v(x, t) z tak dobrana sta l a r, by wyeliminować sk ladnik z bu x. u t = a u xx, u(0, t) = 0, u x (l, t) = t, u(x, 0) = sin 3π l x, u t = a u xx bu, u(0, t) = 0 = u(l, t), u(x, 0) = ϕ(x), 3

4 u t = a u xx, u(0, t) = T, u x (l, t)+hu(l, t) = U (h > 0), u(x, 0) = 0, u t = a u xx bu, u(0, t) = 0 = u x (l, t), u(x, 0) = sin πx l, u t = a u xx bu + sin πx, u(0, t) = 0 = u(l, t), u(x, 0) = 0. l Zadanie 13. Przy pomocy metody Fouriera rozwiazać brzegowe: u xx +u yy = 0, u(x, 0) = 0, u(x, b) = sin π x, u(0, y) = A(y), u(a, y) = B(y), a u xx +u yy = 0, u(x, 0) = u y (x, l) = 0, u(0, y) = f(y), lim x u(x, y) = 0, u xx + u yy = 0, u x (0, y) = 0 = u x (p, y), u(x, 0) = a, u(x, s) = bx, u xx + u yy =, u(x, ± b ) = 0, u(0, y) = u(a, y) = 0. Zadanie 14. Znaleźć funkcje harmoniczna w pierścieniu {(x, y) : a < x + y < b}, która na wewnetrznym okregu brzegowym jest sta la u = c, a na zewnetrznym okregu brzegowym jest równa u = d sin θ, gdzie θ jest wspó lrzedn a katow a punktu. Zadanie 15. Pokazać, że funkcja harmoniczna nie posiada ekstremum lokalnego. Zadanie 16. Przy pomocy wzoru Poissona na rozwiazanie Dirichleta dla kuli u(x) = 0 x K(0, R); u K(0, R) = ϕ, u(x) = 1 R x σ n R x y ϕ(y) ds y, n K(0,R) wykazać, że funkcja harmoniczna na R n i ograniczona z góry lub z do lu jest sta la. σ n oznacza tu miare indukowana sfery jednostkowej w R n. Wskazówka. Najpierw wykazać to przy za lożeniu u 0, a nastepnie wszystko sprowadzić do tego przypadku. 4

5 Zadanie 17. Przy pomocy pierwszego wzoru Greena udowodnić, że E(x, y) ds y = σ n ν y Ω dla x Ω. Za lożenia o zbiorze Ω jak we wzorach Greena. Zadanie 18. Znaleźć charakterystyki równania yu xx + u yy = 0. Zadanie 19. Dla funkcji u : Ω R, gdzie U jest otwartym podzbiorem R \ {(x, 0) : x 0}, klasy C, wyrazić laplasjan u := u xx + u yy we wspó lrz ednych biegunowych x = r cos θ, y = r sin θ, r > 0, θ (0, π). Zadanie 0. Dla funkcji u : Ω R, gdzie U jest otwartym podzbiorem R 3 \{(x, 0, z) : x 0}, klasy C, wyrazić laplasjan u := u xx +u yy +u zz we wspó lrz ednych sferyczych x = r cos θ sin ϑ, y = r sin θ sin ϑ, z = r cos ϑ, r > 0, θ (0, π), ϑ ( π, π ). Zadanie 1. Znaleźć wszystkie funkcje harmoniczne w R we wspó lrzednych biegunowych zależne tylko od r (mówimy wtedy o funkcjach radialnie symetrycznych). Analogiczne zadanie rozwiazać dla funkcji harmonicznych w R 3. Zadanie. Pokazać, że dla dowolnej funkcji ciag lej i ograniczonej f : (0, ) R funkcja u(x, y) = jest harmoniczna w R. 0 f(z)e zx sin(zy) dz 5

6 Zadanie 3. Dla równania Burgersa u t + uu x = ku xx znaleźć wszystkie rozwiazania tzw. fale wedruj ace u(x, t) = v(x ct), gdzie v : R R, lim v(z) = 1, lim t v(z) = 0. t + Zadanie 4. Poszukać fal wedruj acych dla innych równań rozpatrywanych na wyk ladach. Zadanie 5. Niech u bdzie rozwiazaniem równania struny ϱ(x)u tt = au xx (ϱ : [0, 1] R dana funkcja ciag la gestość) z jednorodnymi warunkami Dirichleta lub Neumanna: u(0, t) = 0 = u(1, t) lub u x (0, t) = 0 = u x (1, t). Energia ca lkowita nazywamy funkcje E(t) = ( ) ϱu t + au x dx. Pokazać, że energia ca lkowita nie zależy od czasu E (t) = 0. Zadanie 6. ( ) Niech u bedzie rozwiazaniem Dirichleta: { u = 0, x Ω u = ϕ, x Ω, gdzie Ω jest zbiorem otwartym i ograniczonym o g ladkim brzegu. Pokazać, że dla każdej funkcji v klasy C (Ω) ciag lej na Ω i takiej, że v Ω = ϕ zachodzi nierówność u dx v dx. Ω Ω 6

7 Zadanie 7. ( ) Niech u bedzie rozwiazaniem Dirichleta: { u = 0, x Ω u = ψ, ν x Ω, gdzie Ω jest zbiorem otwartym i ograniczonym o g ladkim brzegu. Dla każdej funkcji v klasy C (Ω) takiej, że v ν Ω = ψ zdefiniujmy E(v) = 1 v dx ψv dx. Ω Pokazać, że funkcjona l E osiaga minimum na rozwiazaniu u. Ω 7