Algebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle

Transkrypt

1 Algebra konspekt wykladu 2009/ Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle du na operacje 1, jeśli dla dowolnego x S, x 1 S. Definicja 3.1. Niepusty podzbiór podzbiór S grupy G jest podgrupa grupy G, jeśli jest zamknie ty ze wzgledu na operacje oraz 1. Piszemy wtedy S G. Każda podgrupa grupy G jest grupa. Ponadto, jeśli S jest podgrupa grupy G to S zawiera element neutralny grupy G. Lemat 3.2. Niepusty podzbiór S jest podgrupa skończonej grupy G x,y S xy S. Zadanie Wyznacz wszystkie podgrupy grup Z 5, Z 12, S 3. Lemat 3.3. Niech dla dowolnego i T, K i < G. Wtedy K i < G. Niech S bedzie podzbiorem G. Najmniejsza podgrupe zawieraja ca zbiór S nazywamy podgrupa generowana przez S i oznaczamy przez S. Lemat 3.4. Niech S be dzie podzbiorem G. Wtedy S = {x 1 x 2... x n, x 1, x 2,..., x n S S 1, m 0}. Definicja 3.5. Jeśli zbiór generatorów grupy G jest jednoelementowy, to G nazywamy grupa cykliczna. Grupy (Z, +) oraz (Z n, + n ) sa cykliczne. 4 Homomorfizmy i izomorfizmy Definicja 4.1. Niech G, H be da grupami. Odwzorowanie f : G H nazywamy homomorfizmem grup, jeśli dla dowolnych x, y G, f(x G y) = f(x) H f(y). Przyklady i T

2 Algebra konspekt wykladu 2009/ f : S n { 1, 1}, f sgnf. 2. f : (R 0, ) (R, +), x lnx. Lemat 4.2. Niech f : G H be dzie homomorfizmem grup. Wtedy f(e G ) = e H oraz (f(x)) 1 = f(x 1 ), x G. Homomorfizm f : G H nazywamy monomorfizmem, wtedy i tylko wtedy gdy f jest przeksztalceniem różnowartościowym. Homomorfizm f : G H nazywamy epimorfizmem, wtedy i tylko wtedy gdy f jest przeksztalceniem na. Homomorfizm, który jest róznowartosciowy i na nazywamy izomorfizmem. Niech f : G H bedzie homomorfizmem grup. Definiujemy ja dro (kerf) i obraz (imf) homomorfizmu f naste pujaco: kerf = {x G, f(x) = e G }, imf = {y H, y = f(x) x G}. Twierdzenie 4.3. Niech f : G H be dzie homomorfizmem grup. Wtedy kerf < G, imf < H. Lemat 4.4. Niech f : G H be dzie homomorfizmem grup i x G. Jeśli rz(x) = n to rz(f(x)) n. Wniosek 4.5. Niech f : G H be dzie izomorfizmem grup. dowolnego x G rz(x) = rz(f(x)). Wtedy dla 5 Algorytm Euklidesa Algorytm Euklidesa pozwala obliczyć najwiekszy wspólny dzielnik dla dowolnych liczb calkowitych, bez rozkladania liczb na czynniki pierwsze. Niech a, b Z, b = 0. Wtedy istnieja jednoznacznie wyznaczone liczby calkowite q, r, takie że a = bq + r, 0 r < b. Twierdzenie 5.1. Niech a, b Z, b = 0, oraz niech a = bq 1 + r 1, 0 r 1 < b, b = r 1 q 2 + r 2, 0 r 2 < r 1,

3 Algebra konspekt wykladu 2009/10 3 r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 r 3 < r 2,. r n 2 = r n 1 q n 1 + r n, 0 r n < r n 1, r n 1 = r n q n. Wtedy NW D(a, b) = r n. Twierdzenie 5.2. Niech a, b Z, że NW D(a, b) = ka + nb. b = 0 Istnieja liczby calkowite k, n takie, Liczby a, b nazywamy wzgle dnie pierwszymi wtedy i tylko wtedy gdy NW D(a, b) = 1. Twierdzenie 5.3. Niech Z n = {0, 1,..., n 1}, m generuje grupe (Z n, + n ) NW D(m, n) = 1. 1 m n 1. Element 6 Grupy permutacji S(X) = {f : X X, f róznowartościowe i na } Zbiór S(X) jest grupa z dzialaniem skladania przeksztalcen. Gdy zbiór X = {1, 2,, n} grupe te oznaczamy S n. Grupa permutacji S n jest generowana przez wszystkie permutacje cykliczne. Jest ona tez generowana przez wszystkie cykle dlugości 2 zwane transpozycjami. Permutacje nazywamy parzysta jeśli rozklada sie na parzysta liczbe transpozycji. Wszytkie permutacje parzyste tworza podgrupe grupy S n oznaczana A n. Twierdzenie 6.1. Niech G bedzie grupa. G jest izomorficzna z pewna podgrupa grupy S(G). 7 Grupy cykliczne Twierdzenie 7.1. Jeśli G jest n elementowa grupa cykliczna to G jest izomorficzna z grupa Z n. Dowolna nieskonczona grupa cykliczna jest izomorficzna z grupa Z. Twierdzenie 7.2. Podgrupy grupy cyklicznej sa cykliczne. Obrazy homomorficzne grupy cyklicznej sa cykliczne.

4 Algebra konspekt wykladu 2009/ Warstwy Niech H < G i element g G Zbiór gh := {gh, h H} nazywamy lewostronna elemetu x wzgle dem podgrupy H w G. Podobnie definiujemy warstwy prawostronne Hg := {hg, h H}. Lemat 8.1. Niech H < G. Dowolne dwie warstwy lewostronne (prawostronne) G wzgle dem podgrupy H sa równe lub rozlaczne. Dowolne dwie warstwy sa równoliczne. Zauważmy, ze g xh x 1 g H. Podobnie g Hx gx 1 g H. Twierdzenie 8.2. (Lagrange a Niech G grupa skończona. podgrupa grupy G to H G. Jesli H jest Jeśli H jest podgrupa grupy G to liczba warst G wzgle dem H jest równa G. Nazywamy ja H indeksem podgrupy H w grupie G i oznaczamy [G : H]. Wniosek 8.3. Rza d dowolnego elementu grupy G dzieli rza d grupy. Wniosek 8.4. Niech p bedzie liczba pierwsza i niech G be dzie grupa rzedu p. Wtedy grupa G jest izomorficzna z grupa Z p. 9 Podgrupy normalne Definicja 9.1. Podgrupe H grupy G nazywamy podrupa normalna (dzielnikiem normalnym) grupy G jeśli dla dowolnego g G, gh = Hg Jeśli H jest nornalna podgrupa G to oznaczamy to pisza c H G. Jeśli G jest grupa abelowa to każda podgrupa G jest normalna. Lemat 9.2. Podgrupa H grupy G jest normalna g G h H H. g 1 hg Lemat 9.3. Niech f : G H bedzie homomorfizmem grup. Wtedy kerf G. Jeśli H jest pogrupa normalna grupy G to na zbiorze warstw G/H mozna zdefiniowac operacje binarna naste puja co; ah bh := abh.

5 Algebra konspekt wykladu 2009/10 5 Operacja jest dobrze zdefiniowana (nie zależy od wyboru reprezentantów warstw. Zbiór G/H z tak zdefiniowana operacja jest grupa. Nazywamy ja grupa ilorazowa G przez H. Jeśli G/H jest grupa ilorazowa G przez H, to możemy zdefiniować odwzorowanie π G/H : G H π G/H : g gh. Odworowanie π G/H jest homomorfizmem grupy G na grupe G/H. Przyklad Grupa ilorazowa Z/nZ jest izomorficzna z grupa Z n. Twierdzenie 9.4. (tw. o homomorfizmie) Niech f : G H be dzie epimorfizmem grup. Wtedy istnieje izomorfizm grup i : G/kerf H, taki że (iπ G/H )(g) = f(g). Zadania 1. Czy dzialanie jest la czne w zbiorze M, jeśli: (a) M = N, x y = x y, (b) M = N, x y = 2xy, (c) M = N, x y = NW D(x, y), (d) M = Z, x y = x y, (e) M = R { 1}, x y = x + y + xy? 2. Opisać grupy symetrii (a) prostokata, który nie jet kwadratem (b) trójkata równobocznego (c) kwadratu. 3. Niech O(Π), O X (Π) oznaczaja odpowiednio zbiór wszystkich obrotów plaszczyzny Π oraz zbiór wszystkich obrotów plaszczyzny Π wokól ustalonego punktu X Π. Czy zbiory te wraz z dzialaniem skladania obrotów sa grupami? 4. Sprawdzić czy sa grupami:

6 Algebra konspekt wykladu 2009/10 6 (a) ({f i : R {0, 1} R {0, 1}}, ), gdzie skladanie funkcji a f 1 (x) := x, f 2 (x) := 1 x, f 3 (x) := 1, f x 4(x) := 1 1, f x 5(x) := 1, f 1 x 6(x) := x, 1 x (b) ({ a Q, a, b Z, b nieparzyste }, +), b (c) ({f : R R, f(x) = ax+b, a, b, c, d R, ad bc = 0}, ), cx+d gdzie skladanie funkcji. 5. Które z podanych zbiorów odwzorowań zbioru A = {1, 2,..., n} w siebie tworza grupe ze wzgle du na skladanie: (a) zbiór wszystkich odwzorowań, (b) zbiór wszystkich odwzorowań surjektywnych (na), (c) zbiór wszystkich odwzorowań bijektywnych, (d) zbiór wszystkich permutacji parzystych, (e) zbiór wszystkich transpozycji, (f) zbiór wszystkich permutacji odwzorowuja cych punkty pewnego podzbioru B A na punkty tego samego podzbioru, (g) zbiór wszystkich permutacji stalych na punktach pewnego podzbioru B A, (h) {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} Wykazać, że f : , dane wzorem f(z) := iz 3 jest permutacja. Obliczyć jej znak. 7. Niech Przedstawić permutacje ( f := ( g := ( h := ), ), ). f, f 1, gf,, hf,, f 1 gh, h 1 g 1 f 1 jako iloczyny rozla cznych cykli.

7 Algebra konspekt wykladu 2009/ Znaleźć znak permutacji σ, rozklad σ na rozla czne cykle oraz obliczyć σ 24, jeżeli ( ) σ := Znaleźc wszystkie podgrupy grup (a) (Z 10, + 10 ) (b) grup (S 3, ), (A 4, ) (c) grupy liczb calkowitych (Z, +). Narysuj diagramy podgrup. 10. Znależc generatory grupy D 4 symetrii kwadratu. 11. Czy H = {2 n 3 m ; n, m Z} jest podgrupa grupy G = (R {0}, )? 12. Niech G bedzie grupa. Definiujemy Z(G) = {x G, y G xy = yx} (zbiór Z(G) nazywamy centrum grupy G.) Pokazać, że Z(G) G. Wyznaczyć Z(S 3 ). 13. Udowodnij, ze sa dokladnie dwie (z dokladnościa do izomorfizmu) grupy rze du Pokazać, ze odwzorowanie f : G G, f(x) = x 2 jest homomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy G jest grupa abelowa. 15. Czy nastepuja ce przeksztalcenia sa homomorfizmami grup? Znaleźc jadra homomorfizmów. (a) g : (R {0}, ) (R {0}, ), g(x) = x. (b) h : (C {0}, ) (R {0}, ), h(a + bi) = a 2 + b 2. (c) f : Z 12 Z 12 ; x x + 1. (d) f : C 12 C 12 ; g g 3, gdzie C 12 jest grupa cykliczna rze du 12. (e) f : Z 8 Z 2 ; x (x) Niech G = R {0} oraz x y = xy 2 i (G, ). Znaleźć izomorfizm grup (R {0}, )

8 Algebra konspekt wykladu 2009/ Obliczyc N W D(108265, 4185). 18. Znaleźć wszystkie warstwy lewostronne Z w (R, +).Znaleźć R/Z. 19. Znaleźć wszytkie warstwy H = 5 w G = Z 15. Znaleźć G/H. 20. Znaleźć wszystkie obrazy homomorficzne grupy S Znaleźć wszystkie obrazy homomorficzne grupy D Czy istnieje homomorfizm grupy izometrii n-ka ta foremnego D n na grupe cykliczna rze du 2? 23. Znaleźć wszystkie homomorfizmy grupy Z 15 w grupe Z Znaleźć wszystkie homomorficzne obrazy grupy Z 18. Czy istnieje homomorfizm grupy Z 18 na grupe Z 6? Znależć taki homomorfizm, jeśli istnieje lub udowodnić, ze nie istnieje. Czy istnieje homomorfizm Z 18 na Z 12? Czy istnieje nietrywialny homomorfizm grup Z 18 i Z 12? A Z 18 i Z 5?