Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej"

Transkrypt

1 Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla dowolnych a 1,..., a n B, o(a 1,..., a n ) B, czyli gdy obciȩcie o B n operacji o do zbioru B n jest operacj a n-argumentow a na zbiorze B (oczywiście B jest zamkniȩty na 0-argumentow a operacjȩ o na zbiorze A, gdy o B). Gdy A = (A, o 1,..., o m ) jest algebr a oraz zbiór = B A jest zamkniȩty na każd a operacjȩ o i, i = 1,..., m, to ci ag (B, o 1,..., o m ), gdzie każda funkcja o i, i = 1,..., m jest postrzegana jako obciȩta do zbioru B τ(oi), jest naturalnie algebr a (tego samego typu co A), zwan a podalgebr a algebry A. Oczywiście algebra A jest podalgebr a samej siebie. Twierdzenie 3.1: Dla dowolnej klasy {(B j, o 1,..., o m ) : j J} podalgebr algebry A zbiór {B j : j J}, o ile jest niepusty, jest zamkniȩty na każd a operacjȩ o i, i = 1,..., m, tzn. ( {B j : j J}, o 1,..., o m ) jest podalgebr a algebry A. Dowód: oczywisty. Definicja. Wobec Tw.3.1, dla dowolnej algebry A = (A, o 1,..., o m ), dla dowolnego niepustego zbioru B A, istnieje najmniejszy (wzglȩdem inkluzji) ze wszystkich podzbiorów zbioru A zawieraj acych zbiór B i zamkniȩtych na każd a operacjȩ o i, i = 1,..., m. Jest nim zbiór C = {X A : B X i i {1,..., m}, X jest zamkniȩty na o i }. Podalgebra (C, o 1,..., o m ) algebry A jest nazywana podalgebr a generowan a przez zbiór B, zaś B nazywamy zbiorem generatorów tej podalgebry. Innymi s lowy, podalgebra algebry A generowana przez zbiór B A jest najmniejsz a spośród wszystkich podalgebr algebry A zawieraj acych B. Mówimy, że algebra A jest generowana przez zbiór niepusty B A, gdy jej podalgebr a generowan a przez B jest ona sama. Definicja. Niech A = (A, o 1,..., o m ), B = (B, o 1,..., o m) bȩd a algebrami podobnymi. Dowoln a funkcjȩ h : A B tak a, że dla każdego i {1,..., m} oraz dowolnych a 1,..., a τ(oi) A, gdy τ(o i ) 1: h(o i (a 1,..., a τ(oi))) = o i (h(a 1),..., h(a τ(oi))), oraz gdy τ(o i ) = 0, h(o i ) = o i, nazywamy homomorfizmem przekszta lcaj acym algebrȩ A w algebrȩ B. Symbolem Hom(A, B) bȩdziemy oznaczać klasȩ wszystkich homomorfizmów przekszta lcaj acych algebrȩ A w B.

2 1. Podalgebry, homomorfizmy 2 Gdy C = (C, o 1,..., o m ) jest podalgebr a algebry A oraz h Hom(A, B), to oczywiście obciȩcie: h C jest elementem Hom(C, B). Definicja. Gdy h Hom(A, B) jest funkcj a przekszta lcaj ac a zbiór A na zbiór B, to h nazywany jest epimorfizmem. Gdy ponadto homomorfizm h jest funkcj a różnowartościow a, to nazywany jest izomorfizmem algebr A, B. Algebry, dla których istnieje izomorfizm przekszta lcaj acy jedn a na drug a (wszystko jedno któr a na któr a, bo funkcja odwrotna do izomorfizmu jest izomorfizmem), nazywamy izomorficznymi. Dowolny homomorfizm h Hom(A, A) nazywamy endomorfizmem algebry A. Algebry izomorficzne s a nieodróżnialne pod wzglȩdem w lasności algebraicznych (odpowiadaj ace sobie w obu algebrach operacje dzia laj a identycznie na odpowiadaj acych sobie wed lug izomorfizmu elementach). Twierdzenie 3.2: Funkcja h : A A przekszta lcaj aca zbiór A na zbiór A jest izomorfizmem krat (A,, ), (A,, ) wtw a, b A (a b wtw h(a) h(b)). Dowód: Niech h bȩdzie funkcj a przekszta lcaj ac a A na A. ( ): Za lóżmy, że h jest izomorfizmem krat (A,, ), (A,, ). Niech ponadto dla a, b A bȩdzie: a b. Wówczas a b = a, zatem h(a b) = h(a), tzn. z za lożenia: h(a) h(b) = h(a), co implikuje: h(a) h(b). W drug a stronȩ, niech h(a) h(b). St ad h(a) h(b) = h(a), czyli h(a b) = h(a), co wobec faktu, że h jest funkcj a różnowartościow a, poci aga: a b = a, zatem a b. ( ): Za lóżmy, że a, b A (a b wtw h(a) h(b)). Wówczas h jest różnowartościowa. Niech bowiem h(a) = h(b), dla jakichś a, b A. Wtedy h(a) h(b) oraz h(b) h(a). Dlatego z za lożenia: a b oraz b a, zatem a = b. Niech teraz a, b A. Ponieważ a a b oraz b a b, wiȩc z za lożenia: h(a) h(a b), h(b) h(a b). St ad, h(a) h(b) h(a b). Z drugiej strony, ponieważ h jest funkcj a na, wiȩc h(a) h(b) = h(c) dla pewnego c A. Zatem h(a) h(c) oraz h(b) h(c). Dlatego na mocy za lożenia: a c i b c, czyli a b c, a st ad i znowu z za lożenia otrzymujemy: h(a b) h(c) = h(a) h(b). Ostatecznie, h(a b) = h(a) h(b). Analogicznie dla operacji kresu dolnego. Twierdzenie 3.3: Niech h : A A bȩdzie izomorfizmem krat (A,, ), (A,, ) oraz odpowiednio, ich kratowymi porz adkami. Jeżeli <A, > jest krat a zupe ln a, to < A, > jest również krat a zupe ln a oraz dla dowolnego X A : h(infx) = inf h(x), h(supx) = sup h(x). Dowód: Niech h bȩdzie izomorfizmem krat (A,, ), (A,, ) i < A, > bȩdzie krat a zupe ln a oraz X A. Ponieważ x X : infx x, wiȩc na

3 1. Podalgebry, homomorfizmy 3 mocy Tw.3.2: x X : h(infx) h(x), zatem h(infx) jest ograniczeniem dolnym zbioru h (X) w zbiorze cz. up. < A, >. Niech teraz a A bȩdzie taki, że x X : a h(x). Oczywiście a = h(b) dla pewnego b A. Zatem x X : h(b) h(x). Czyli, wed lug Tw.3.2: x X : b x. Dlatego b jest ograniczeniem dolnym zbioru X w kracie < A, >, zatem b infx. Wobec Tw.3.2: h(b) h(infx), tzn. a h(infx), ostatecznie, h(infx) = inf h(x). Analogicznie wykazuje siȩ, że h(supx) = sup h(x). Weźmy pod uwagȩ dowolny Y A. Wówczas istnieje X A taki, że Y = h (X). Zatem inf Y = h(infx) oraz sup Y = h(supx), tzn. zbiór cz. up. < A, > jest krat a zupe ln a. Twierdzenie 3.4: Jeśli h Hom(A, B) oraz g Hom(B, C), to z lożenie h g, czyli funkcja przekszta lcaj aca zbiór A w zbiór C taka, że dla dowolnego a A, (h g)(a) = g(h(a)), jest homomorfizmem przekszta lcaj acym algebrȩ A w algebrȩ C. Dowód: Niech o A, o B, o C bȩd a odpowiadaj acymi sobie operacjami n-argumentowymi odpowiednio w algebrach A, B, C. Wówczas dla dowolnych a 1,..., a n A : (h g)(o A (a 1,..., a n )) = g(h(o A (a 1,..., a n ))) = g(o B (h(a 1 ),..., h(a n ))) = o C (g(h(a 1 )),..., g(h(a n ))) = o C ((h g)(a 1 ),..., (h g)(a n )). Twierdzenie 3.5: Niech h bȩdzie homomorfizmem algebr A = (A, o 1,..., o m ), B = (B, o 1,..., o m). Wówczas obraz h (A) zbioru A wed lug homomorfizmu h jest zamkniȩty na operacje o 1,..., o m, tzn., ( h (A), o 1,..., o m) jest podalgebr a algebry B. Ponadto, jeśli A jest zbiorem generatorów algebry A, to h(a ) jest zbiorem generatorów algebry ( h(a), o 1,..., o m). Dowód: Wybierzmy i {1,..., m} i za lóżmy, że operacja o i jest n-argumentowa. Wówczas dla dowolnych b 1,..., b n h(a) istniej a a 1,..., a n A takie, że o i (b 1,..., b n ) = o i (h(a 1),..., h(a n )) = h(o i (a 1,..., a n )), zatem o i (b 1,..., b n ) h(a). Twierdzenie 3.6: Dowolny homomorfizm h Hom(A, B) jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wartości na zbiorze generatorów algebry A. Dowód: Niech zbiór A A bȩdzie zbiorem generatorów algebry A oraz niech dla h, g Hom(A, B) zachodzi: h(a) = g(a), dla każdego a A. Zbiór {x A : h(x) = g(x)} jest zamkniȩty na każd a operacjȩ o i, i = 1,..., m, algebry A. Za lóżmy bowiem, że wybrana operacja o i jest n-argumentowa. Wówczas dla dowolnych x 1,..., x n A takich, że h(x j ) = g(x j ), j = 1,..., n, h(o i (x 1,..., x n )) = o i (h(x 1),..., h(x n )) = o i (g(x 1),..., g(x n )) = g(o i (x 1,..., x n )). Zatem ({x A : h(x) = g(x)}, o 1,..., o m ) jest podalgebr a algebry A zawieraj ac a zbiór A, czyli, wobec za lożenia, iż A jest generowana przez A, otrzymujemy: {x A : h(x) = g(x)} = A. Ostatecznie, h = g.

4 2. Relacje kongruencji 4 Definicja. Niech K bȩdzie dowoln a klas a algebr podobnych oraz A K. Mówimy, że algebra A jest wolna w klasie K, gdy istnieje taki zbiór A jej generatorów, że dla dowolnej algebry B = (B, o 1,..., o m) K oraz dowolnej funkcji v : A B, istnieje h Hom(A, B) taki, że h A = v. Każdy element z takiego zbioru generatorów A nazywany jest wolnym generatorem algebry A. Gdy algebra A jest wolna w klasie wszystkich algebr do niej podobnych, to nazywamy j a absolutnie woln a. Oczywiście, gdy A jest wolna w klasie K, to dla dowolnej B K, zgodnie z Tw.3.6, ów homomorfizm h Hom(A, B), o którym mowa w definicji, bȩd ac rozszerzeniem funkcji v określonej na zbiorze wolnych generatorów, jest dok ladnie jeden. 2. Relacje kongruencji Definicja. Dla danej algebry A = (A, o 1,..., o m ) dowoln a relacjȩ równoważności na zbiorze A (tzn. binarn a relacjȩ A A spe lniaj ac a warunki zwrotności, symetrii i przechodniości, czyli odpowiednio, dla dowolnych a, b, c A, a a, a b b a, (a b i b c) a c) nazywamy relacj a kongruencji algebry A, gdy dla każdego i {1,..., m} takiego, że τ(o i ) 1 oraz dowolnych a 1,..., a τ(oi), b 1,..., b τ(oi) A, ( j {1,..., τ(o i )}, a j b j ) o i (a 1,..., a τ(oi)) o i (b 1,..., b τ(oi)). Twierdzenie 3.7: Niech Cong(A) bȩdzie rodzin a wszystkich relacji kongruencji algebry A. Zbiór cz. up. < Cong(A), > jest krat a zupe ln a. Dowód: Rozważmy dowolny niepusty C Cong(A). Wówczas bardzo latwo wykazać, że C Cong(A), co oznacza, że C = infc (bo θ C : C θ oraz dla dowolnej relacji Cong(A), jeśli θ C : θ, to C). Ponadto, zbiór cz. up. < Cong(A), > posiada element najwiȩkszy: A A. Zatem zgodnie z Tw.1.11(1): inf = A A. Ostatecznie, na mocy Tw.1.14, < Cong(A), > jest krat a zupe ln a. W ogólności nie jest tak, że dla dowolnego C Cong(A), supc = C. Już w przypadku C =, oczywiście supc C, bo sup = id A, gdzie id A jest relacj a identycznościow a na zbiorze A (id A jest elementem najmniejszym w < Cong(A), >); tymczasem =. Lecz również w przypadku C, na ogó l sup C C, ponieważ nie dla każdego C Cong(A), C jest relacj a równoważności, skoro C na ogó l nie jest relacj a przechodni a. Wykażemy, że supc, gdy C, jest tranzytywnym domkniȩciem relacji binarnej C, tzn. supc = ρ, gdzie relacja ρ jest określona nastȩpuj aco: dla dowolnych x, y A, < x, y > ρ wtw dla pewnego n 2 istniej a z 1, z 2,..., z n A oraz θ 1, θ 2,, θ n 1 C (niekoniecznie różne) takie, że x = z 1, <z 1, z 2 > θ 1, <z 2, z 3 > θ 2,..., <z n 1, z n > θ n 1, z n = y.

5 2. Relacje kongruencji 5 Wykazujemy najpierw, że relacja ρ jest kongruencj a algebry A. Naturalnie dla dowolnego x A : < x, x > ρ, bo < x, x > θ (n = 2) dla jakiejkolwiek θ C. Zatem ρ jest zwrotna. Aby wykazać jej symetriȩ za lóżmy, że <x, y > ρ, tzn., < x, z 2 > θ 1, < z 2, z 3 > θ 2,..., < z n 1, y > θ n 1 dla pewnego n 2, dla pewnych z 2, z 3,..., z n 1 A oraz θ 1, θ 2,..., θ n 1 C. Wówczas naturalnie, na podstawie symetrii każdej z relacji: θ 1, θ 2,..., θ n 1, zachodzi: < y, z n 1 > θ n 1,..., < z 3, z 2 > θ 2, < z 2, x > θ 1, zatem < y, x > ρ. W celu wykazania przechodniości za lóżmy, że < x, y >, < y, z > ρ. Zatem dla pewnych n 2, a 2, a 3,..., a n 1 A oraz θ 1, θ 2,..., θ n 1 C zachodzi: < x, a 2 > θ 1, < a 2, a 3 > θ 2,..., < a n 1, y > θ n 1, oraz dla pewnych m 2, b 2, b 3,..., b m 1 A, η 1, η 2,..., η m 1 C zachodzi: < y, b 2 > η 1, < b 2, b 3 > η 2,..., < b m 1, z > η m 1. Zatem < x, z > ρ. Niech teraz o bȩdzie n-argumentow a (n 1) operacj a algebry A. Aby wykazać, że relacja równoważności ρ jest kongruencj a za lóżmy, że i {1,..., n} : < x i, y i > ρ. Zatem dla każdego i {1,..., n} mamy: <x i, a 2 i > θ1 i, <a2 i, a3 i > θ2 i,...,, y i > θ mi 1 i, dla pewnych a 2 i, a3 i,..., ami 1 i C. W ten sposób ci ag: <a mi 1 i <o(x 1, x 2, x 3,..., x n ), o(a 2 1, x 2, x 3,..., x n ) > θ 1 1, <o(a 2 1, x 2, x 3,..., x n ), o(a 3 1, x 2, x 3,..., x n ) > θ 2 1,..., <o(a m1 1 1, x 2, x 3,..., x n ), o(y 1, x 2, x 3,..., x n ) > θ m1 1 1, <o(y 1, x 2, x 3,..., x n ), o(y 1, a 2 2, x 3,..., x n ) > θ 1 2, <o(y 1, a 2 2, x 3,..., x n ), o(y 1, a 3 2, x 3,..., x n ) > θ 2 2,..., A oraz θ 1 i, θ2 i,..., θmi 1 i <o(y 1, a m2 1 2, x 3,..., x n ), o(y 1, y 2, x 3,..., x n ) > θ m2 1 2,..., <o(y 1, y 2,..., y n 1, x n ), o(y 1, y 2,..., y n 1, a 2 n) > θ 1 n, <o(y 1, y 2,..., y n 1, a 2 n), o(y 1, y 2,..., y n 1, a 3 n) > θ 2 n,..., <o(y 1, y 2,..., y n 1, an mn 1 ), o(y 1, y 2,..., y n 1, y n ) > θn mn 1, świadczy o tym, iż < o(x 1, x 2, x 3,..., x n ), o(y 1, y 2, y 3,..., y n ) > ρ, zatem ρ Cong(A). Ponadto, kongruencja ρ jest ograniczeniem górnym zbioru C: gdy dla x, y A jest: < x, y > θ, dla dowolnie wybranej θ C, to mamy: n = 2, z 1 = x, z 2 = y, θ 1 = θ takie, że < z 1, z 2 > θ 1, zatem < x, y > ρ. Niech teraz Cong(A) bȩdzie ograniczeniem górnym zbioru C, tzn., θ C, θ. Za lóżmy, że < x, y > ρ. Wówczas mamy ci ag: < x, z 2 > θ 1, <z 2, z 3 > θ 2,..., <z n 1, y > θ n 1 dla pewnych z 2, z 3,..., z n 1 A oraz θ 1, θ 2,..., θ n 1 C. Dlatego: < x, z 2 >, <z 2, z 3 >,..., <z n 1, y >, co na mocy przechodniości relacji implikuje: <x, y >. Ostatecznie, ρ, co dowodzi, że ρ = supc.

6 2. Relacje kongruencji 6 W przypadku, gdy dana relacja równoważności na zbiorze A jest relacj a kongruencji algebry (A, o 1,..., o m ), zbiór ilorazowy A/ = {[a] : a A} (gdzie dla dowolnego a A, klasa abstrakcji elementu a wzglȩdem jest postaci: [a] = {x A : a x}), wyposaża siȩ w nastȩpuj ace operacje o i, i = 1,..., m, uzyskuj ac algebrȩ podobn a do (A, o 1,..., o m ): dla dowolnych a 1,..., a τ(oi) A, gdy τ(o i ) 1, o i ([a 1],..., [a τ(oi)] ) = [o i (a 1,..., a τ(oi))], oraz gdy τ(o i ) = 0, o i = [o i]. Jeśli [a j ] = [b j ] dla j = 1,..., τ(o i ), to wówczas a j b j, j = 1,..., τ(o i ), zatem o i (a 1,..., a τ(oi)) o i (b 1,..., b τ(oi)), czyli [o i (a 1,..., a τ(oi))] = [o i (b 1,..., b τ(oi))], co oznacza, iż rzeczywiście powyżej zdefiniowano funkcjȩ o i. Definicja. Algebra A/ = (A/, o 1,..., o m) jest zwana algebr a ilorazow a algebry A wzglȩdem relacji kongruencji. Twierdzenie 3.8: Algebra ilorazowa danej algebry wzglȩdem relacji kongruencji jest homomorficznym obrazem owej danej algebry wed lug homomorfizmu k określonego nastȩpuj aco: a A, k (a) = [a]. Dowód: Rzeczywiście tak określona funkcja k : A A/ jest homomorfizmem: k (o i (a 1,..., a τ(oi))) = [o i (a 1,..., a τ(oi))] = o i ([a 1],..., [a τ(oi)] ) = o i (k (a 1 ),..., k (a τ(oi))). Jest oczywiste, że A/ = h(a). Homomorfizm, o którym mowa w Tw.3.8 nazywa siȩ zwykle kanonicznym lub naturalnym. W ogólności, każda algebra bȩd aca homomorficznym obrazem algebry A, może być utożsamiona z pewn a algebr a ilorazow a algebry A jako, że jest z ni a izomorficzna, jak g losi: Twierdzenie o homomorfiźmie. Niech h Hom(A, B) bȩdzie epimorfizmem. Wówczas relacja równoważności określona na zbiorze A przez homomorfizm h : a b wtw h(a) = h(b), jest relacj a kongruencji algebry A oraz funkcja Φ : A/ B określona nastȩpuj aco: dla dowolnego a A, Φ([a] ) = h(a), jest izomorfizmem algebr A/, B. Ponadto, k Φ = h. Dowód: Jest oczywiste, że relacja zdefiniowana w twierdzeniu, jest równoważnościowa. Aby wykazać, że jest ona kongruencj a algebry A, za lóżmy, że o, o s a odpowiadaj acymi sobie n-argumentowymi operacjami odpowiednio w algebrach A, B oraz a i b i, a i, b i A, i = 1,..., n. Zatem, h(a i ) = h(b i ), i = 1,..., n, czyli h(o(a 1,..., a n )) = o (h(a 1 ),..., h(a n )) = o (h(b 1 ),..., h(b n )) = h(o(b 1,..., b n )), co oznacza, że o(a 1,..., a n ) o(b 1,..., b n ). Wykażmy teraz, że Φ jest rzeczywiście funkcj a: jeśli dla jakichś a, b A, [a] = [b], to a b, zatem h(a) = h(b), czyli Φ([a] ) = Φ([b] ). Φ jest różnowartościowa: gdy Φ([a] ) = Φ([b] ), to z określenia funkcji Φ

7 2. Relacje kongruencji 7 mamy: h(a) = h(b), zatem a b, czyli [a] = [b]. Naturalnie Φ przekszta lca zbiór A/ na zbiór B: dla b B istnieje a A taki, że b = h(a), bo z za lożenia h jest epimorfizmem; zatem b = Φ([a] ). Wreszcie, Φ zachowuje operacje algebry ilorazowej: niech o bȩdzie n-argumentow a operacj a w A/ odpowiadaj ac a operacji o w algebrze A oraz operacji o w B. Wówczas dla dowolnych a 1,..., a n A : Φ(o ([a 1 ],..., [a n ] )) = Φ([o(a 1,..., a n )] ) = h(o(a 1,..., a n )) = o (h(a 1 ),..., h(a n )) = o (Φ([a 1 ] ),..., Φ([a n ] )). Równość: k Φ = h jest oczywista.

Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice

Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat

Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat 1. Zbiory czȩściowo uporz adkowane Definicja. Relacjȩ binarn a określon a na zbiorze A nazywamy relacj a czȩściowo porz adkuj ac a, gdy jest zwrotna, antysymetryczna

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 3. Relacje binarne

Rozdzia l 3. Relacje binarne Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne

Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej

Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej 1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe Oto cztery pierwsze liczby naturalne zapisane wed lug różnych czterech notacji w porz adku od najmniejszej do najwiȩkszej:,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne

Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Liczby kardynalne

Rozdzia l 11. Liczby kardynalne Rozdzia l 11. Liczby kardynalne 1. Równoliczność zbiorów Definicja. Dla dowolnych zbiorów x, y : x jest równoliczny z y, gdy istnieje funkcja f : x y, która jest bijekcj a. Zauważmy, że funkcja f : y,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

Systemy algebraiczne. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Systemy algebraiczne. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Systemy algebraiczne Materiały pomocnicze do wykładu uczelnia: PJWSTK przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Struktury danych struktury algebraiczne Przykład Rozważmy następujący

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. 5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

1 Pierścienie, algebry

1 Pierścienie, algebry Podstawowe Własności Pierścieni Literatura Pomocnicza: 1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN 2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN 3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN 4. D.Cox, J.Little, D.O

Bardziej szczegółowo

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu. 61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,

Bardziej szczegółowo

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

Logika matematyczna w informatyce

Logika matematyczna w informatyce Paweł Gładki Logika matematyczna w informatyce http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Piątek, 8:00-9:30 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie metryczne

1 Przestrzenie metryczne Topologia I Notatki do wyk ladu LITERATURA UZUPE LNIAJA CA R. Duda, Wprowadzenie do topologii, czȩść I. R. Engelking, Topologia ogólna. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstȩp do topologii. W. Rudin, Podstawy

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść pierwsza Anna Romanowska 26 marca 2014 1 Pó lgrupy i monoidy 1.1 W lasności podstawowe Definicja 1.11. Pó lgrupa nazywamy pare (P, ), gdzie P jest zbiorem,

Bardziej szczegółowo

Algebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle

Algebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

Podstawy algebry ogóolnej i teorii kategorii semestr zimowy 2005/06

Podstawy algebry ogóolnej i teorii kategorii semestr zimowy 2005/06 Egzamin z wyk ladu monograficznego Poje ecia, terminologia i notacja: Podstawy algebry ogóolnej i teorii kategorii semestr zimowy 2005/06 Przyjmujemy zwyk la definicjee sygnatury algebraicznej Σ, Σ-algebry

Bardziej szczegółowo

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie

Bardziej szczegółowo

Cia la i wielomiany Javier de Lucas

Cia la i wielomiany Javier de Lucas Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma

Bardziej szczegółowo

Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas

Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Ćwiczenie 1. (Zad. L. Newelskiego) Niech p oznacza zdanie Ala je, zaś q zdanie As wyje. Zapisz jako formu ly rachunku zdań nastȩpuj ace zdania: 1.1.

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym. Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa

Bardziej szczegółowo

Pytania i polecenia podstawowe

Pytania i polecenia podstawowe Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:

Bardziej szczegółowo

(6) Homomorfizm φ : P R nazywamy epimorfizmem kategoryjnym, jeśli dla każdego pierścienia. jeśli φ ψ 1 = φ ψ 2, to ψ 1 = ψ 2 ;

(6) Homomorfizm φ : P R nazywamy epimorfizmem kategoryjnym, jeśli dla każdego pierścienia. jeśli φ ψ 1 = φ ψ 2, to ψ 1 = ψ 2 ; 10. Wykład 10: Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Ideały generowane przez zbiory. 10.1. Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Definicja 10.1. Niech P, R będą pierścieniami. (1) Odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy

Bardziej szczegółowo

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem

Bardziej szczegółowo

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 7. Liczby naturalne

Rozdzia l 7. Liczby naturalne Rozdzia l 7. Liczby naturalne 1. Arytmetyka elementarna Arytmetyka elementarna jest najprostsz a z teorii liczb naturalnych. Ujmuje ona liczby naturalne bez uwzglȩdnienia dzia lań dodawania i mnożenia.

Bardziej szczegółowo

Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa

Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x 2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5. Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu. 1. Granice niew laściwe

Wyk lad 5. Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu. 1. Granice niew laściwe Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Granice niew laściwe Definicja 1 Ci ag (x n ) d aży do (jest rozbieżny do) + jeśli c R N n > N x n > c a do

Bardziej szczegółowo

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 14 stycznia 2013 1 Kraty 1. Pokazać, że każda klasa kongruencji kraty (K, +, ) jest podkrata kraty (K, +, ). 2. Znaleźć wszystkie kongruencje kraty 2 3, gdzie 2 jest

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne: 1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

TOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ,

TOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ, TOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ, SPÓJNOŚĆ I POJȨCIA BLISKIE (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA) R R Abstract. Poniższe notatki do ćwiczeń zbieraj a podstawowe pojȩcia i stwierdzenia

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)

Bardziej szczegółowo

OSOBNO ANALITYCZNYCH

OSOBNO ANALITYCZNYCH Uniwersytet Jagielloński Instytut Matematyki Zbigniew B locki ZBIORY OSOBLIWOŚCI FUNKCJI OSOBNO ANALITYCZNYCH Praca magisterska Promotor: Prof. dr hab. Józef Siciak Kraków 99 .Wstȩp. Jeśli Ω jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Szymon G l ab. Struktury losowe II Graf losowy. Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka

Szymon G l ab. Struktury losowe II Graf losowy. Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka Graf losowy jako granica Fraisse Przez K graf oznaczmy rodzinȩ wszystkich skończonych grafów (np. na N). Niech G bȩdzie granic a Fraisse rodziny K graf. Strukturȩ

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

W poszukiwaniu kszta ltów kulistych

W poszukiwaniu kszta ltów kulistych W poszukiwaniu kszta ltów kulistych Piotr Mankiewicz April 4, 2005 Konwersatorium dla doktorantów Notacje 1 Cia lo wypuk le - wypuk ly, domkniȩty podzbiór ograniczony w R n. Odleg lość geometryczna dwóch

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość

Bardziej szczegółowo

- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.

- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. 1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wyznaczniki

Wyk lad 3 Wyznaczniki 1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe

Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe 1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 2 Podgrupa grupy

Wyk lad 2 Podgrupa grupy Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych

Bardziej szczegółowo

1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy

1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy 1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,

Bardziej szczegółowo

T O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 14 Topologie w przestrzeniach funkcji ci ag lych, Twierdzenie Stone a Weierstrassa

T O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 14 Topologie w przestrzeniach funkcji ci ag lych, Twierdzenie Stone a Weierstrassa T O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 14 Topologie w przestrzeniach funkcji ci ag lych, Twierdzenie Stone a Weierstrassa Niech X i Y oznaczaj a przestrzenie topologiczne, zaś C(X,Y) bȩdzie zbiorem

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo