Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
|
|
- Kazimierz Sowa
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla dowolnych a 1,..., a n B, o(a 1,..., a n ) B, czyli gdy obciȩcie o B n operacji o do zbioru B n jest operacj a n-argumentow a na zbiorze B (oczywiście B jest zamkniȩty na 0-argumentow a operacjȩ o na zbiorze A, gdy o B). Gdy A = (A, o 1,..., o m ) jest algebr a oraz zbiór = B A jest zamkniȩty na każd a operacjȩ o i, i = 1,..., m, to ci ag (B, o 1,..., o m ), gdzie każda funkcja o i, i = 1,..., m jest postrzegana jako obciȩta do zbioru B τ(oi), jest naturalnie algebr a (tego samego typu co A), zwan a podalgebr a algebry A. Oczywiście algebra A jest podalgebr a samej siebie. Twierdzenie 3.1: Dla dowolnej klasy {(B j, o 1,..., o m ) : j J} podalgebr algebry A zbiór {B j : j J}, o ile jest niepusty, jest zamkniȩty na każd a operacjȩ o i, i = 1,..., m, tzn. ( {B j : j J}, o 1,..., o m ) jest podalgebr a algebry A. Dowód: oczywisty. Definicja. Wobec Tw.3.1, dla dowolnej algebry A = (A, o 1,..., o m ), dla dowolnego niepustego zbioru B A, istnieje najmniejszy (wzglȩdem inkluzji) ze wszystkich podzbiorów zbioru A zawieraj acych zbiór B i zamkniȩtych na każd a operacjȩ o i, i = 1,..., m. Jest nim zbiór C = {X A : B X i i {1,..., m}, X jest zamkniȩty na o i }. Podalgebra (C, o 1,..., o m ) algebry A jest nazywana podalgebr a generowan a przez zbiór B, zaś B nazywamy zbiorem generatorów tej podalgebry. Innymi s lowy, podalgebra algebry A generowana przez zbiór B A jest najmniejsz a spośród wszystkich podalgebr algebry A zawieraj acych B. Mówimy, że algebra A jest generowana przez zbiór niepusty B A, gdy jej podalgebr a generowan a przez B jest ona sama. Definicja. Niech A = (A, o 1,..., o m ), B = (B, o 1,..., o m) bȩd a algebrami podobnymi. Dowoln a funkcjȩ h : A B tak a, że dla każdego i {1,..., m} oraz dowolnych a 1,..., a τ(oi) A, gdy τ(o i ) 1: h(o i (a 1,..., a τ(oi))) = o i (h(a 1),..., h(a τ(oi))), oraz gdy τ(o i ) = 0, h(o i ) = o i, nazywamy homomorfizmem przekszta lcaj acym algebrȩ A w algebrȩ B. Symbolem Hom(A, B) bȩdziemy oznaczać klasȩ wszystkich homomorfizmów przekszta lcaj acych algebrȩ A w B.
2 1. Podalgebry, homomorfizmy 2 Gdy C = (C, o 1,..., o m ) jest podalgebr a algebry A oraz h Hom(A, B), to oczywiście obciȩcie: h C jest elementem Hom(C, B). Definicja. Gdy h Hom(A, B) jest funkcj a przekszta lcaj ac a zbiór A na zbiór B, to h nazywany jest epimorfizmem. Gdy ponadto homomorfizm h jest funkcj a różnowartościow a, to nazywany jest izomorfizmem algebr A, B. Algebry, dla których istnieje izomorfizm przekszta lcaj acy jedn a na drug a (wszystko jedno któr a na któr a, bo funkcja odwrotna do izomorfizmu jest izomorfizmem), nazywamy izomorficznymi. Dowolny homomorfizm h Hom(A, A) nazywamy endomorfizmem algebry A. Algebry izomorficzne s a nieodróżnialne pod wzglȩdem w lasności algebraicznych (odpowiadaj ace sobie w obu algebrach operacje dzia laj a identycznie na odpowiadaj acych sobie wed lug izomorfizmu elementach). Twierdzenie 3.2: Funkcja h : A A przekszta lcaj aca zbiór A na zbiór A jest izomorfizmem krat (A,, ), (A,, ) wtw a, b A (a b wtw h(a) h(b)). Dowód: Niech h bȩdzie funkcj a przekszta lcaj ac a A na A. ( ): Za lóżmy, że h jest izomorfizmem krat (A,, ), (A,, ). Niech ponadto dla a, b A bȩdzie: a b. Wówczas a b = a, zatem h(a b) = h(a), tzn. z za lożenia: h(a) h(b) = h(a), co implikuje: h(a) h(b). W drug a stronȩ, niech h(a) h(b). St ad h(a) h(b) = h(a), czyli h(a b) = h(a), co wobec faktu, że h jest funkcj a różnowartościow a, poci aga: a b = a, zatem a b. ( ): Za lóżmy, że a, b A (a b wtw h(a) h(b)). Wówczas h jest różnowartościowa. Niech bowiem h(a) = h(b), dla jakichś a, b A. Wtedy h(a) h(b) oraz h(b) h(a). Dlatego z za lożenia: a b oraz b a, zatem a = b. Niech teraz a, b A. Ponieważ a a b oraz b a b, wiȩc z za lożenia: h(a) h(a b), h(b) h(a b). St ad, h(a) h(b) h(a b). Z drugiej strony, ponieważ h jest funkcj a na, wiȩc h(a) h(b) = h(c) dla pewnego c A. Zatem h(a) h(c) oraz h(b) h(c). Dlatego na mocy za lożenia: a c i b c, czyli a b c, a st ad i znowu z za lożenia otrzymujemy: h(a b) h(c) = h(a) h(b). Ostatecznie, h(a b) = h(a) h(b). Analogicznie dla operacji kresu dolnego. Twierdzenie 3.3: Niech h : A A bȩdzie izomorfizmem krat (A,, ), (A,, ) oraz odpowiednio, ich kratowymi porz adkami. Jeżeli <A, > jest krat a zupe ln a, to < A, > jest również krat a zupe ln a oraz dla dowolnego X A : h(infx) = inf h(x), h(supx) = sup h(x). Dowód: Niech h bȩdzie izomorfizmem krat (A,, ), (A,, ) i < A, > bȩdzie krat a zupe ln a oraz X A. Ponieważ x X : infx x, wiȩc na
3 1. Podalgebry, homomorfizmy 3 mocy Tw.3.2: x X : h(infx) h(x), zatem h(infx) jest ograniczeniem dolnym zbioru h (X) w zbiorze cz. up. < A, >. Niech teraz a A bȩdzie taki, że x X : a h(x). Oczywiście a = h(b) dla pewnego b A. Zatem x X : h(b) h(x). Czyli, wed lug Tw.3.2: x X : b x. Dlatego b jest ograniczeniem dolnym zbioru X w kracie < A, >, zatem b infx. Wobec Tw.3.2: h(b) h(infx), tzn. a h(infx), ostatecznie, h(infx) = inf h(x). Analogicznie wykazuje siȩ, że h(supx) = sup h(x). Weźmy pod uwagȩ dowolny Y A. Wówczas istnieje X A taki, że Y = h (X). Zatem inf Y = h(infx) oraz sup Y = h(supx), tzn. zbiór cz. up. < A, > jest krat a zupe ln a. Twierdzenie 3.4: Jeśli h Hom(A, B) oraz g Hom(B, C), to z lożenie h g, czyli funkcja przekszta lcaj aca zbiór A w zbiór C taka, że dla dowolnego a A, (h g)(a) = g(h(a)), jest homomorfizmem przekszta lcaj acym algebrȩ A w algebrȩ C. Dowód: Niech o A, o B, o C bȩd a odpowiadaj acymi sobie operacjami n-argumentowymi odpowiednio w algebrach A, B, C. Wówczas dla dowolnych a 1,..., a n A : (h g)(o A (a 1,..., a n )) = g(h(o A (a 1,..., a n ))) = g(o B (h(a 1 ),..., h(a n ))) = o C (g(h(a 1 )),..., g(h(a n ))) = o C ((h g)(a 1 ),..., (h g)(a n )). Twierdzenie 3.5: Niech h bȩdzie homomorfizmem algebr A = (A, o 1,..., o m ), B = (B, o 1,..., o m). Wówczas obraz h (A) zbioru A wed lug homomorfizmu h jest zamkniȩty na operacje o 1,..., o m, tzn., ( h (A), o 1,..., o m) jest podalgebr a algebry B. Ponadto, jeśli A jest zbiorem generatorów algebry A, to h(a ) jest zbiorem generatorów algebry ( h(a), o 1,..., o m). Dowód: Wybierzmy i {1,..., m} i za lóżmy, że operacja o i jest n-argumentowa. Wówczas dla dowolnych b 1,..., b n h(a) istniej a a 1,..., a n A takie, że o i (b 1,..., b n ) = o i (h(a 1),..., h(a n )) = h(o i (a 1,..., a n )), zatem o i (b 1,..., b n ) h(a). Twierdzenie 3.6: Dowolny homomorfizm h Hom(A, B) jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wartości na zbiorze generatorów algebry A. Dowód: Niech zbiór A A bȩdzie zbiorem generatorów algebry A oraz niech dla h, g Hom(A, B) zachodzi: h(a) = g(a), dla każdego a A. Zbiór {x A : h(x) = g(x)} jest zamkniȩty na każd a operacjȩ o i, i = 1,..., m, algebry A. Za lóżmy bowiem, że wybrana operacja o i jest n-argumentowa. Wówczas dla dowolnych x 1,..., x n A takich, że h(x j ) = g(x j ), j = 1,..., n, h(o i (x 1,..., x n )) = o i (h(x 1),..., h(x n )) = o i (g(x 1),..., g(x n )) = g(o i (x 1,..., x n )). Zatem ({x A : h(x) = g(x)}, o 1,..., o m ) jest podalgebr a algebry A zawieraj ac a zbiór A, czyli, wobec za lożenia, iż A jest generowana przez A, otrzymujemy: {x A : h(x) = g(x)} = A. Ostatecznie, h = g.
4 2. Relacje kongruencji 4 Definicja. Niech K bȩdzie dowoln a klas a algebr podobnych oraz A K. Mówimy, że algebra A jest wolna w klasie K, gdy istnieje taki zbiór A jej generatorów, że dla dowolnej algebry B = (B, o 1,..., o m) K oraz dowolnej funkcji v : A B, istnieje h Hom(A, B) taki, że h A = v. Każdy element z takiego zbioru generatorów A nazywany jest wolnym generatorem algebry A. Gdy algebra A jest wolna w klasie wszystkich algebr do niej podobnych, to nazywamy j a absolutnie woln a. Oczywiście, gdy A jest wolna w klasie K, to dla dowolnej B K, zgodnie z Tw.3.6, ów homomorfizm h Hom(A, B), o którym mowa w definicji, bȩd ac rozszerzeniem funkcji v określonej na zbiorze wolnych generatorów, jest dok ladnie jeden. 2. Relacje kongruencji Definicja. Dla danej algebry A = (A, o 1,..., o m ) dowoln a relacjȩ równoważności na zbiorze A (tzn. binarn a relacjȩ A A spe lniaj ac a warunki zwrotności, symetrii i przechodniości, czyli odpowiednio, dla dowolnych a, b, c A, a a, a b b a, (a b i b c) a c) nazywamy relacj a kongruencji algebry A, gdy dla każdego i {1,..., m} takiego, że τ(o i ) 1 oraz dowolnych a 1,..., a τ(oi), b 1,..., b τ(oi) A, ( j {1,..., τ(o i )}, a j b j ) o i (a 1,..., a τ(oi)) o i (b 1,..., b τ(oi)). Twierdzenie 3.7: Niech Cong(A) bȩdzie rodzin a wszystkich relacji kongruencji algebry A. Zbiór cz. up. < Cong(A), > jest krat a zupe ln a. Dowód: Rozważmy dowolny niepusty C Cong(A). Wówczas bardzo latwo wykazać, że C Cong(A), co oznacza, że C = infc (bo θ C : C θ oraz dla dowolnej relacji Cong(A), jeśli θ C : θ, to C). Ponadto, zbiór cz. up. < Cong(A), > posiada element najwiȩkszy: A A. Zatem zgodnie z Tw.1.11(1): inf = A A. Ostatecznie, na mocy Tw.1.14, < Cong(A), > jest krat a zupe ln a. W ogólności nie jest tak, że dla dowolnego C Cong(A), supc = C. Już w przypadku C =, oczywiście supc C, bo sup = id A, gdzie id A jest relacj a identycznościow a na zbiorze A (id A jest elementem najmniejszym w < Cong(A), >); tymczasem =. Lecz również w przypadku C, na ogó l sup C C, ponieważ nie dla każdego C Cong(A), C jest relacj a równoważności, skoro C na ogó l nie jest relacj a przechodni a. Wykażemy, że supc, gdy C, jest tranzytywnym domkniȩciem relacji binarnej C, tzn. supc = ρ, gdzie relacja ρ jest określona nastȩpuj aco: dla dowolnych x, y A, < x, y > ρ wtw dla pewnego n 2 istniej a z 1, z 2,..., z n A oraz θ 1, θ 2,, θ n 1 C (niekoniecznie różne) takie, że x = z 1, <z 1, z 2 > θ 1, <z 2, z 3 > θ 2,..., <z n 1, z n > θ n 1, z n = y.
5 2. Relacje kongruencji 5 Wykazujemy najpierw, że relacja ρ jest kongruencj a algebry A. Naturalnie dla dowolnego x A : < x, x > ρ, bo < x, x > θ (n = 2) dla jakiejkolwiek θ C. Zatem ρ jest zwrotna. Aby wykazać jej symetriȩ za lóżmy, że <x, y > ρ, tzn., < x, z 2 > θ 1, < z 2, z 3 > θ 2,..., < z n 1, y > θ n 1 dla pewnego n 2, dla pewnych z 2, z 3,..., z n 1 A oraz θ 1, θ 2,..., θ n 1 C. Wówczas naturalnie, na podstawie symetrii każdej z relacji: θ 1, θ 2,..., θ n 1, zachodzi: < y, z n 1 > θ n 1,..., < z 3, z 2 > θ 2, < z 2, x > θ 1, zatem < y, x > ρ. W celu wykazania przechodniości za lóżmy, że < x, y >, < y, z > ρ. Zatem dla pewnych n 2, a 2, a 3,..., a n 1 A oraz θ 1, θ 2,..., θ n 1 C zachodzi: < x, a 2 > θ 1, < a 2, a 3 > θ 2,..., < a n 1, y > θ n 1, oraz dla pewnych m 2, b 2, b 3,..., b m 1 A, η 1, η 2,..., η m 1 C zachodzi: < y, b 2 > η 1, < b 2, b 3 > η 2,..., < b m 1, z > η m 1. Zatem < x, z > ρ. Niech teraz o bȩdzie n-argumentow a (n 1) operacj a algebry A. Aby wykazać, że relacja równoważności ρ jest kongruencj a za lóżmy, że i {1,..., n} : < x i, y i > ρ. Zatem dla każdego i {1,..., n} mamy: <x i, a 2 i > θ1 i, <a2 i, a3 i > θ2 i,...,, y i > θ mi 1 i, dla pewnych a 2 i, a3 i,..., ami 1 i C. W ten sposób ci ag: <a mi 1 i <o(x 1, x 2, x 3,..., x n ), o(a 2 1, x 2, x 3,..., x n ) > θ 1 1, <o(a 2 1, x 2, x 3,..., x n ), o(a 3 1, x 2, x 3,..., x n ) > θ 2 1,..., <o(a m1 1 1, x 2, x 3,..., x n ), o(y 1, x 2, x 3,..., x n ) > θ m1 1 1, <o(y 1, x 2, x 3,..., x n ), o(y 1, a 2 2, x 3,..., x n ) > θ 1 2, <o(y 1, a 2 2, x 3,..., x n ), o(y 1, a 3 2, x 3,..., x n ) > θ 2 2,..., A oraz θ 1 i, θ2 i,..., θmi 1 i <o(y 1, a m2 1 2, x 3,..., x n ), o(y 1, y 2, x 3,..., x n ) > θ m2 1 2,..., <o(y 1, y 2,..., y n 1, x n ), o(y 1, y 2,..., y n 1, a 2 n) > θ 1 n, <o(y 1, y 2,..., y n 1, a 2 n), o(y 1, y 2,..., y n 1, a 3 n) > θ 2 n,..., <o(y 1, y 2,..., y n 1, an mn 1 ), o(y 1, y 2,..., y n 1, y n ) > θn mn 1, świadczy o tym, iż < o(x 1, x 2, x 3,..., x n ), o(y 1, y 2, y 3,..., y n ) > ρ, zatem ρ Cong(A). Ponadto, kongruencja ρ jest ograniczeniem górnym zbioru C: gdy dla x, y A jest: < x, y > θ, dla dowolnie wybranej θ C, to mamy: n = 2, z 1 = x, z 2 = y, θ 1 = θ takie, że < z 1, z 2 > θ 1, zatem < x, y > ρ. Niech teraz Cong(A) bȩdzie ograniczeniem górnym zbioru C, tzn., θ C, θ. Za lóżmy, że < x, y > ρ. Wówczas mamy ci ag: < x, z 2 > θ 1, <z 2, z 3 > θ 2,..., <z n 1, y > θ n 1 dla pewnych z 2, z 3,..., z n 1 A oraz θ 1, θ 2,..., θ n 1 C. Dlatego: < x, z 2 >, <z 2, z 3 >,..., <z n 1, y >, co na mocy przechodniości relacji implikuje: <x, y >. Ostatecznie, ρ, co dowodzi, że ρ = supc.
6 2. Relacje kongruencji 6 W przypadku, gdy dana relacja równoważności na zbiorze A jest relacj a kongruencji algebry (A, o 1,..., o m ), zbiór ilorazowy A/ = {[a] : a A} (gdzie dla dowolnego a A, klasa abstrakcji elementu a wzglȩdem jest postaci: [a] = {x A : a x}), wyposaża siȩ w nastȩpuj ace operacje o i, i = 1,..., m, uzyskuj ac algebrȩ podobn a do (A, o 1,..., o m ): dla dowolnych a 1,..., a τ(oi) A, gdy τ(o i ) 1, o i ([a 1],..., [a τ(oi)] ) = [o i (a 1,..., a τ(oi))], oraz gdy τ(o i ) = 0, o i = [o i]. Jeśli [a j ] = [b j ] dla j = 1,..., τ(o i ), to wówczas a j b j, j = 1,..., τ(o i ), zatem o i (a 1,..., a τ(oi)) o i (b 1,..., b τ(oi)), czyli [o i (a 1,..., a τ(oi))] = [o i (b 1,..., b τ(oi))], co oznacza, iż rzeczywiście powyżej zdefiniowano funkcjȩ o i. Definicja. Algebra A/ = (A/, o 1,..., o m) jest zwana algebr a ilorazow a algebry A wzglȩdem relacji kongruencji. Twierdzenie 3.8: Algebra ilorazowa danej algebry wzglȩdem relacji kongruencji jest homomorficznym obrazem owej danej algebry wed lug homomorfizmu k określonego nastȩpuj aco: a A, k (a) = [a]. Dowód: Rzeczywiście tak określona funkcja k : A A/ jest homomorfizmem: k (o i (a 1,..., a τ(oi))) = [o i (a 1,..., a τ(oi))] = o i ([a 1],..., [a τ(oi)] ) = o i (k (a 1 ),..., k (a τ(oi))). Jest oczywiste, że A/ = h(a). Homomorfizm, o którym mowa w Tw.3.8 nazywa siȩ zwykle kanonicznym lub naturalnym. W ogólności, każda algebra bȩd aca homomorficznym obrazem algebry A, może być utożsamiona z pewn a algebr a ilorazow a algebry A jako, że jest z ni a izomorficzna, jak g losi: Twierdzenie o homomorfiźmie. Niech h Hom(A, B) bȩdzie epimorfizmem. Wówczas relacja równoważności określona na zbiorze A przez homomorfizm h : a b wtw h(a) = h(b), jest relacj a kongruencji algebry A oraz funkcja Φ : A/ B określona nastȩpuj aco: dla dowolnego a A, Φ([a] ) = h(a), jest izomorfizmem algebr A/, B. Ponadto, k Φ = h. Dowód: Jest oczywiste, że relacja zdefiniowana w twierdzeniu, jest równoważnościowa. Aby wykazać, że jest ona kongruencj a algebry A, za lóżmy, że o, o s a odpowiadaj acymi sobie n-argumentowymi operacjami odpowiednio w algebrach A, B oraz a i b i, a i, b i A, i = 1,..., n. Zatem, h(a i ) = h(b i ), i = 1,..., n, czyli h(o(a 1,..., a n )) = o (h(a 1 ),..., h(a n )) = o (h(b 1 ),..., h(b n )) = h(o(b 1,..., b n )), co oznacza, że o(a 1,..., a n ) o(b 1,..., b n ). Wykażmy teraz, że Φ jest rzeczywiście funkcj a: jeśli dla jakichś a, b A, [a] = [b], to a b, zatem h(a) = h(b), czyli Φ([a] ) = Φ([b] ). Φ jest różnowartościowa: gdy Φ([a] ) = Φ([b] ), to z określenia funkcji Φ
7 2. Relacje kongruencji 7 mamy: h(a) = h(b), zatem a b, czyli [a] = [b]. Naturalnie Φ przekszta lca zbiór A/ na zbiór B: dla b B istnieje a A taki, że b = h(a), bo z za lożenia h jest epimorfizmem; zatem b = Φ([a] ). Wreszcie, Φ zachowuje operacje algebry ilorazowej: niech o bȩdzie n-argumentow a operacj a w A/ odpowiadaj ac a operacji o w algebrze A oraz operacji o w B. Wówczas dla dowolnych a 1,..., a n A : Φ(o ([a 1 ],..., [a n ] )) = Φ([o(a 1,..., a n )] ) = h(o(a 1,..., a n )) = o (h(a 1 ),..., h(a n )) = o (Φ([a 1 ] ),..., Φ([a n ] )). Równość: k Φ = h jest oczywista.
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat
Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat 1. Zbiory czȩściowo uporz adkowane Definicja. Relacjȩ binarn a określon a na zbiorze A nazywamy relacj a czȩściowo porz adkuj ac a, gdy jest zwrotna, antysymetryczna
Rozdzia l 3. Relacje binarne
Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne
Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej
Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej 1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe Oto cztery pierwsze liczby naturalne zapisane wed lug różnych czterech notacji w porz adku od najmniejszej do najwiȩkszej:,
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Rozdzia l 11. Liczby kardynalne
Rozdzia l 11. Liczby kardynalne 1. Równoliczność zbiorów Definicja. Dla dowolnych zbiorów x, y : x jest równoliczny z y, gdy istnieje funkcja f : x y, która jest bijekcj a. Zauważmy, że funkcja f : y,
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
Systemy algebraiczne. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Systemy algebraiczne Materiały pomocnicze do wykładu uczelnia: PJWSTK przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Struktury danych struktury algebraiczne Przykład Rozważmy następujący
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Matematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Teoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
1 Pierścienie, algebry
Podstawowe Własności Pierścieni Literatura Pomocnicza: 1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN 2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN 3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN 4. D.Cox, J.Little, D.O
im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.
61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,
Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)
Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,
MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ
Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Logika matematyczna w informatyce
Paweł Gładki Logika matematyczna w informatyce http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Piątek, 8:00-9:30 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go
Zbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady
Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
F t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
1 Przestrzenie metryczne
Topologia I Notatki do wyk ladu LITERATURA UZUPE LNIAJA CA R. Duda, Wprowadzenie do topologii, czȩść I. R. Engelking, Topologia ogólna. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstȩp do topologii. W. Rudin, Podstawy
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść pierwsza Anna Romanowska 26 marca 2014 1 Pó lgrupy i monoidy 1.1 W lasności podstawowe Definicja 1.11. Pó lgrupa nazywamy pare (P, ), gdzie P jest zbiorem,
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
LOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1
4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy
Podstawy algebry ogóolnej i teorii kategorii semestr zimowy 2005/06
Egzamin z wyk ladu monograficznego Poje ecia, terminologia i notacja: Podstawy algebry ogóolnej i teorii kategorii semestr zimowy 2005/06 Przyjmujemy zwyk la definicjee sygnatury algebraicznej Σ, Σ-algebry
Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest
domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie
Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie
Cia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas
Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Ćwiczenie 1. (Zad. L. Newelskiego) Niech p oznacza zdanie Ala je, zaś q zdanie As wyje. Zapisz jako formu ly rachunku zdań nastȩpuj ace zdania: 1.1.
Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Pytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
(6) Homomorfizm φ : P R nazywamy epimorfizmem kategoryjnym, jeśli dla każdego pierścienia. jeśli φ ψ 1 = φ ψ 2, to ψ 1 = ψ 2 ;
10. Wykład 10: Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Ideały generowane przez zbiory. 10.1. Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Definicja 10.1. Niech P, R będą pierścieniami. (1) Odwzorowanie
STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Rozdzia l 7. Liczby naturalne
Rozdzia l 7. Liczby naturalne 1. Arytmetyka elementarna Arytmetyka elementarna jest najprostsz a z teorii liczb naturalnych. Ujmuje ona liczby naturalne bez uwzglȩdnienia dzia lań dodawania i mnożenia.
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa
A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x
2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)
Rachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe
Wyk lad 5. Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu. 1. Granice niew laściwe
Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Granice niew laściwe Definicja 1 Ci ag (x n ) d aży do (jest rozbieżny do) + jeśli c R N n > N x n > c a do
Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 14 stycznia 2013 1 Kraty 1. Pokazać, że każda klasa kongruencji kraty (K, +, ) jest podkrata kraty (K, +, ). 2. Znaleźć wszystkie kongruencje kraty 2 3, gdzie 2 jest
Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
TOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ,
TOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ, SPÓJNOŚĆ I POJȨCIA BLISKIE (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA) R R Abstract. Poniższe notatki do ćwiczeń zbieraj a podstawowe pojȩcia i stwierdzenia
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)
OSOBNO ANALITYCZNYCH
Uniwersytet Jagielloński Instytut Matematyki Zbigniew B locki ZBIORY OSOBLIWOŚCI FUNKCJI OSOBNO ANALITYCZNYCH Praca magisterska Promotor: Prof. dr hab. Józef Siciak Kraków 99 .Wstȩp. Jeśli Ω jest zbiorem
Szymon G l ab. Struktury losowe II Graf losowy. Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka
Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka Graf losowy jako granica Fraisse Przez K graf oznaczmy rodzinȩ wszystkich skończonych grafów (np. na N). Niech G bȩdzie granic a Fraisse rodziny K graf. Strukturȩ
STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
W poszukiwaniu kszta ltów kulistych
W poszukiwaniu kszta ltów kulistych Piotr Mankiewicz April 4, 2005 Konwersatorium dla doktorantów Notacje 1 Cia lo wypuk le - wypuk ly, domkniȩty podzbiór ograniczony w R n. Odleg lość geometryczna dwóch
Działanie grupy na zbiorze
Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Wyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:
Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.
Wyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy
1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,
T O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 14 Topologie w przestrzeniach funkcji ci ag lych, Twierdzenie Stone a Weierstrassa
T O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 14 Topologie w przestrzeniach funkcji ci ag lych, Twierdzenie Stone a Weierstrassa Niech X i Y oznaczaj a przestrzenie topologiczne, zaś C(X,Y) bȩdzie zbiorem
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem