Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie

Transkrypt

1 Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie V = { v V F v ( 2) = 0 K = F v (2) }, V 2 = { v V F v ( ) = 0 K = F v () = F v (0 K ) } Sprawdź, że dim K V = 3 = dim K V 2 + i wskaż przykłady baz tych podprzestrzeni Wykaż ponadto, że V V 2 = {0 V } oraz V + V V 2 = V, a nastȩpnie znajdź rozkład wektora v = c 0 t 0 + V c t + V c 2 t 2 + V c 3 t 3 + V c 4 t 4 V na składowe v V i v 2 V 2 Zadanie 2 Podprzestrzenie V, V 2 V = R 4 s a określone wzorami V = ker A i V 2 = im A, gdzie Znajdź A = (i) takie bazy V i V 2, których czȩść wspólna jest baz a V V 2 ; (ii) układ równań opisuj acy V + V V 2 Powtórz rachunki dla V = B, B 3 R B = i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie Zadanie 3 Sprawdź, czy R 3 jest sum a prost a swoich podprzestrzeni V = ker ( i V 2 = wektora 5 2 6, R ) W przypadku uzyskania odpowiedzi twierdz acej podaj rozkład na składowe z V i V 2

2 Zadanie 4 Wykaż, że R 2 2 jest sum a prost a swoich podprzestrzeni oraz V = { ( a b b a ) a, b R } V 2 = { A R 2 2 A ( ) = ( ) A } Znajdź rozkład wektora ( 0 0 ) na składowe z tych podprzestrzeni Zadanie 5 Niechaj V bȩdzie sum a prost a swoich dwóch podprzestrzeni V, V 2, tj V = V V 2, i niech L Hom K (V, W ) dla pewnej przestrzeni wektorowej W nad K Oznaczmy K = ker L Potwierdź słuszność poniższej równoważności: L(V ) L(V 2 ) = {0 V } K = K V + K V 2 Zadanie 6 Wyznacz rz ad macierzy D 4 = a + K b a + K b 2 a + K b 3 a + K b 4 a 2 + K b a 2 + K b 2 a 2 + K b 3 a 2 + K b 4 a 3 + K b a 3 + K b 2 a 3 + K b 3 a 3 + K b 4 a 4 + K b a 4 + K b 2 a 4 + K b 3 a 4 + K b 4 K 4 4, a nastȩpnie uogólnij ten wynik na przypadek macierzy D n K n n, n N 4 analogicznie zdefiniowanej Zadanie 7 Znajdź podprzestrzeń V przestrzeni R 4 dopełniaj ac a wzglȩdem podprzestrzeni V 2 = ker (3, 2,, 2), tj tak a, która spełnia równość R 4 = V V 2 Zadanie 8 Wyznacz metod a operacji elementarnych odwrotność macierzy A = Zadanie 9 W zależności od wartości parametru p R ustal zbiór rozwi azań układu równań + p + p p 3 + p p x x 2 x 3 =

3 Zadanie 0 Jaki warunek musz a spełniać parametry a, b R, aby układ równań x x 2 x 3 x 4 był niesprzeczny? Rozwi aż ten układ dla a = = b = Zadanie W zależności od wartości parametrów a, b, λ R rozwi aż układ równań a b (λ + 3)x + y + 2z = aλ + b λx + (λ )y + z = b(λ ) 3(λ + )x + λx + (λ + 3)z = (a + b)λ Zadanie 2 Niechaj V, V 2 bȩd a podprzestrzeniami K-liniowymi przestrzeni V Skonstruuj izomorfizm przestrzeni wektorowych V /(V V 2 ) (V + V V 2 )/V 2 Zadanie 3 Niechaj V, V 2 bȩd a podprzestrzeniami K-liniowymi przestrzeni V i niech π k V V /V k, k {, 2} bȩd a rzutami kanonicznymi Rozważmy odwzorowanie π = π π 2 V (V /V ) (V /V 2 ) v (π (v), π 2 (v)), K-liniowe wzglȩdem naturalnej (iloczynowej) struktury K-liniowej na jego przeciwdziedzinie Udowodnij, co nastȩpuje: (i) π jest monomorfizmem V V 2 = {0 V }; (ii) π jest epimorfizmem V = V + V 2 ; (iii) π jest izomorfizmem V = V V 2 Zadanie 4 Sprawdź liniow a niezależność układów form liniowych na R 5 poniższych elementów: złożonych z (i) ϕ (x, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5, ϕ 2 (x, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 5x 5, ϕ 3 (x, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x x 2 ;

4 (ii) ϕ (x, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x + 7x 2 + 7x 3 + 7x 4 + x 5, ϕ 2 (x, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 5x 5, ϕ 3 (x, x 2, x 3, x 4, x 5 ) 2x + 7x 2 + 3x 3 + 8x 4 + 9x 5, ϕ 4 (x, x 2, x 3, x 4, x 5 ) 0x 2x 2 + 3x 3 3x 4 + 3x 5 ; Zadanie 5 Wyznacz bazȩ przestrzeni (R 4 ) form liniowych na przestrzeni wektorowej R 4 dwoist a wzglȩdem bazy R 4 złożonej z wektorów e = (, 0, 0, 0), e 2 = (,, 0, 0), e 3 = (,,, 0), e = (,,, ) Wypisz macierz przejścia miȩdzy tak określon a baz a (R 4 ) a baz a standardow a utworzon a przez rzuty kanoniczne na składowe wektora Zadanie 6 Określmy, dla ustalonej formy liniowej ϕ V, podzbiór H ϕ = ϕ ({ K }) V Udowodnij prawdziwość implikacji ϕ,ψ V ( H ϕ = H ψ ϕ = ψ ) Zadanie 7 Niechaj V = R 2 [t], V 2 = R 2 2 R-liniowy L Hom R (V, V 2 ) wzorem i niech A = ( ) Określmy operator L V V 2 a 0 V t 0 + a V t + a 2 V t 2 a 0 V a V2 A + a 2 V2 A 2 Znajdź (i) bazȩ ker L; (ii) równania spełniane przez wyrazy x, x 2, x 3, x 4 R macierzy ( x x 2 x 3 x 4 ) im L; (iii) macierz [L] B 2 B operatora L wzglȩdem baz B = {e = t 0, e 2 = t, e 3 = t 2 } V (baza jednomianowa) oraz B 2 = { f = ( ), f 2 = ( ), f 3 = ( ), f 4 = ( ) }

5 Dokonaj transformacji macierzy uzyskanej w punkcie (iii) do bazy Pauliego B 2 = { f = ( 0 0 ), f 2 = ( 0 0 ), f 3 = ( 0 0 ), f 4 = ( 0 0 ) } Zadanie 8 Odwzorowanie liniowe L End R (R n [t]) zadane jest wzorem w (t + )w = L(w), w którym w oznacza wielomian o funkcji wielomianowej bȩd acej pochodn a w Wyznacz macierz L w bazie jednomianowej R n [t], a nastȩpnie ker L, im L oraz rk L Czy odwzorowanie to jest odwracalne? Zadanie 9 Niechaj V n bȩdzie podprzestrzeni a przestrzeni wektorowej R R (funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej) złożon a z funkcji postaci L(w) x F w (sin x, cos x), zapisanych w terminach funkcji wielomianowej F w stowarzyszonej z wielomianem w R n [s, t] stopnia (całkowitego) co najwyżej n w dwóch zmiennych Ustal wymiar R-liniowy V n Wybierz (dowolnie) bazȩ B w R n [s, t] oraz bazȩ B 2 w V n Wyznacz macierz [L] B 2 B wzglȩdem tych baz odwzorowania liniowego L R n [s, t] V n w L(w), a nadto macierz [D] B 2 B2 operatora pochodnej D End R (V n ) Zadanie 20 Niechaj 0 oznacza trywialn a przestrzeń wektorow a nad K Rozważmy krótki ci ag dokładny przestrzeni wektorowych: 0 V L V 2 L 2 V 3 0, tj kolekcjȩ przestrzeni wektorowych 0, V, V 2, V 3 nad K wraz z odwzorowaniami K- liniowymi miȩdzy nimi oznaczonymi strzałkami na powyższym diagramie, o tej własności, że dla każdej pary s asiednich odwzorowań j adro nastȩpnika pokrywa siȩ z obrazem poprzednika, np ker L 2 = im L (Co nam to mówi o L i L 2?) Udowodnij, że ci ag powyższy rozszczepia siȩ, tj spełniony jest jeden z równoważnych warunków: (R) Istnieje epimorfizm ρ Hom R (V 2, V ) o własności ρ L = id V Odwzorowanie to nazywamy retrakcj a liniow a stowarzyszon a z L (C) Istnieje monomorfizm σ Hom R (V 3, V 2 ) o własności L 2 σ = id V3 Odwzorowanie to nazywamy ciȩciem liniowym stowarzyszonym z L 2 Wykaż słuszność nastȩpuj acych stwierdzeń: (i) Istnieje kanoniczny izomorfizm przestrzeni wektorowych V 2 V V 3 suma prosta!) (zewnȩtrzna

6 (ii) Diagram ρ 0 V V 2 V 3 0 określa krótki ci ag dokładny przestrzeni wektorowych σ