LOGIKA ALGORYTMICZNA
|
|
- Anatol Wieczorek
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R A n relacja n-argumentowa (n-arna) na A; piszemy R(a 1,..., a n ) jeśli (a 1,..., a n ) R; F A n B jest funkcj a n-argumentow a ze zbioru A w zbiór B (oznaczamy przez F : A n B) jeśli warunki (a 1,..., a n, b 1 ) F i (a 1,..., a n, b 2 ) F implikuj a b 1 = b 2 ; piszemy F (a 1,..., a n ) = b; Dziedzina: Dom(F ) = (a 1,..., a n ) A n : dla pewnego b B, F (a 1,..., a n ) = b}; Obraz: Im(F ) = b B : dla pewnego (a 1,..., a n ) A n, F (a 1,..., a n ) = b}; Obraz zbioru R A n : niech F (R) = b B : dla pewnego (a 1,..., a n ) R, F (a 1,..., a n ) = b}; Przeciwobraz zbioru C B: niech F 1 (C) = (a 1,..., a n ) A n : dla pewnego b C, F (a 1,..., a n ) = b}. Niech F : A B i G : B C. Funkcja z lożona GF : A C: GF (x) = G(F (x)). Udowodnić: (A 1 A 2 ) B = A 1 B A 2 B; (A 1 \ A 2 ) B = A 1 B \ A 2 B; F (GH) = (F G)H dla H : A B, G : B C, F : C D; F (A 1 A 2 ) = F (A 1 ) F (A 2 ); F (A 1 A 2 ) F (A 1 ) F (A 2 ). 1. Struktury, formu ly, spe lnianie Struktury. Jȩzyk L : zbiór symboli relacyjnych (predykatów), funkcyjnych i sta lych : L = (P n 1 1,..., P n i i,..., F m 1 1,..., F m j j,..., c 1,..., c k,...). Struktura M jȩzyka L sk lada siȩ ze zbioru A (uniwersum struktury) i interpretacji symboli jȩzyka L na zbiorze A: każdy P n i i jest interpretowany jako relacja n i - argumentowa na A, każdy F m j j jest interpretowany jako funkcja m i -argumentowa na A, każdy c k jest interpretowany jako element ze zbioru A. Podzbiór B A tworzy podstrukturȩ M struktury M jeśli elementy interpretuj ace symbole sta lych (w M) należ a do B i funkcje interpretuj ace symbole funkcyjne (w M) odwzorowuj a B m i w B. Wtedy symbole relacyjne i funkcyjne jȩzyka L interpretujemy na B jako odpowiednie relacje i funkcje struktury M ograniczone do B (sta le na B interpretujemy tak samo jak w M). Przyk lady: L = (P 2, F 2, G 2, c 1, c 2 ) Struktura N = (N, <, +,, 0, 1) (gdzie zbiór liczb naturalnych N jest uniwersum) określa interpretacje symboli L jako: uporz adkowanie liczb naturalnych, funkcje dodawania i mnożenia, i liczby naturalne 0, 1. Niech Z bȩdzie zbiorem liczb ca lkowitych i Z = (Z, <, +,, 0, 1). N jest podstruktur a Z. 1
2 Zadanie: Niech L = (F 1, c), a Z jest uniwersum struktury M, gdzie F 1 jest interpretowany jako funkcja dodawania 1 (y = x + 1) a c jest interpretowany jako liczba 6. Czy zbiór liczb parzystych tworzy podstrukturȩ? Czy zbiór liczb naturalnych tworzy podstrukturȩ? Jakie podzbiory zbioru Z tworz a podstruktury M? 1.2. Termy. Niech L = (P n 1 1,..., P n i i,..., F m 1 1,..., F m j j,..., c 1,..., c k,...) bȩdzie jȩzykiem. Wyrażenie t nazywa siȩ termem jȩzyka L jeśli (przez indukcjȩ): 1. t jest zmienn a x i lub symbolem c k L; 2. t ma postać F j (t 1,..., t mj ), gdzie F m j j L i t 1,..., t mj s a termami. Przyk lad : (x + 1) 0 jest termem jȩzyka (<, +,, 0, 1) Formu ly. Formu l a atomow a jȩzyka L nazywa siȩ wyrażenie postaci t 1 = t 2 lub P i (t 1,..., t ni ), gdzie t 1, t 2,..., t ni s a termami i P n i i L. Wyrażenie φ nazywa siȩ formu l a jȩzyka L jeśli (przez indukcjȩ): 1. φ jest formu l a atomow a; 2. φ ma postać ψ 1 (negacja) lub ψ 1 ψ 2 (koniunkcja), ψ 1 ψ 2 (alternatywa), ψ 1 ψ 2 (implikacja), gdzie ψ 1 i ψ 2 s a formu lami; 3. φ ma postać xψ (kwantyfikator dla każdego ) lub xψ (kwantyfikator istnieje ) gdzie ψ jest formu l a (nazywamy j a dziedzin a kwantyfikatora) i x jest zmienn a. Miejsce wystȩpowania zmiennej x w φ nazywa siȩ zwi azanym jeśli miejsce to znajduje siȩ w dziedzinie kwantyfikatora wzglȩdem x. Zmienna x jest wolna w φ jeśli ma miejsce niezwi azane Spe lnianie. Niech M bȩdzie struktur a jȩzyka L. Interpretacj a zmiennych x 1,..., x n nazywamy odwzorowanie I : x 1,..., x n } M (w uniwersum). Wtedy a i = I(x i ) s a wartościami odpowiednich zmiennych. Jeśli zmienne termu t należ a do zbioru x 1,..., x n } to wartość termu wzglȩdem interpretacji I (oznaczamy przez t(a 1,..., a n )) definiuje siȩ przez indukcjȩ: 1. jeśli t = x i, to t(a 1,..., a n ) = a i ; 2. jeśli t = c k, to t(a 1,..., a n ) jest interpretacj a c k w M; 3. jeśli t = F j (t 1,..., t mj ), to t(a 1,..., a n ) jest wartości a funkcji odpowiadaj acej F j na elementach b 1,..., b mj M gdzie b l = t l (a 1,..., a n ), 1 l m j. Jeśli każda zmienna wolna w φ jest elementem zbioru x 1,..., x n }, to mówimy że φ jest spe lniona (lub prawdziwa) w M wzglȩdem interpretacji I (oznaczamy M = φ(a 1,..., a n )) jeśli zachodzi jeden z podanych niżej przypadków: 1. φ jest postaci t 1 = t 2 i wartości t 1 (a 1,..., a n ) i t 2 (a 1,..., a n ) s a równe; 2. φ jest postaci P i (t 1,..., t ni ) i ci ag (t 1 (a 1,..., a n ),..., t ni (a 1,..., a n )) należy do relacji odpowiadaj acej P i w M; 3. φ jest postaci ψ 1 i M = ψ(a 1,..., a n ); 4. φ jest postaci ψ 1 ψ 2 i zachodz a warunki M = ψ 1 (a 1,..., a n ) i M = ψ 2 (a 1,..., a n ); 5. φ jest postaci ψ 1 ψ 2 i zachodzi warunek M = ψ 1 (a 1,..., a n ) lub warunek M = ψ 2 (a 1,..., a n ); 6. φ jest postaci ψ 1 ψ 2 i zachodzi M = ψ 1 (a 1,..., a n ) lub M = ψ 2 (a 1,..., a n ); 2
3 7. φ jest postaci xψ(a 1,..., a n, x) i M = ψ(a 1,..., a n, a) dla każdego a M. 8. φ jest postaci xψ(a 1,..., a n, x) i M = ψ(a 1,..., a n, a) dla pewnego a M. Jeśli M = φ(a 1,..., a n ), to mówimy, że φ jest fa lszywa w M wzglȩdem interpetacji I. Jeśli M = φ(a 1,..., a n ) dla wszystkich M i I : x 1,..., x n } M, to mówimy, że φ jest tautologi a. Jeśli M = φ(a 1,..., a n ) dla wszystkich M i I : x 1,..., x n } M, to mówimy, że φ jest sprzeczna. Mówimy, że φ jest wnioskiem ze zbioru formu l Γ (oznaczamy Γ = φ), jeśli dla każdych M i I : x 1,..., x n } M warunek M = ψ(a 1,..., a n ) dla wszystkich ψ Γ implikuje M = φ(a 1,..., a n ). Jeśli φ} = ψ i ψ} = φ, to mówimy, że φ i ψ s a równoważne Zadania Niech L = (P 2, F 2, G 2, c 1, c 2 ). Niech struktura N = (N, <, +,, 0, 1) (gdzie zbiór liczb naturalnych N jest uniwersum) określa interpretacje symboli L jako: uporz adkowanie liczb naturalnych, funkcje dodawania i mnożenia, i liczby naturalne 0, 1. (a) Podać formu lȩ φ(x) tak a, że N = φ(n) wtedy i tylko wtedy gdy n jest liczb a pierwsz a. (b) Niech funkcja g(x 1,..., x n ) jest z lożeniem funkcji h(y 1,..., y t ), f 1 ( x),...,f t ( x) lub wynikiem zastosowania µ-operatora do funkcji h (x 1,..., x n, x n+1 ). Niech dla każdej f(x 1,..., x s ) h, f 1,..., f t, h } istnieje formu la elementarnej arytmetyki φ(x 1,..., x s, y) taka, że N = φ(n 1,..., n s, m) f(n 1,..., n s ) = m. Pokazać, że stwierdzenie to jest również prawdziwe dla g( x). 2. β-funkcja Gödla jest zdefiniowana nastȩpuj aco: β(x, y, z) = rest(x, 1 + y(z + 1)). Stosuj ac chińskie twierdzenie o resztach udowodnić, że każdy uk lad nastȩpuj acej postaci ma rozwi azanie: β(x, y, 0) = a β(x, y, n) = a n 3. Udowodnić nastȩpuj ace Twierdzenie. Dla każdej funkcji rekurencyjnej f(x 1,..., x s ) istnieje formula elementarnej arytmetyki φ(x 1,..., x s, y) taka, że N = φ(n 1,..., n s, m) f(n 1,..., n s ) = m Zadania. 1. Pokazać, że nastȩpuj ace formu ly s a równoważne (gdzie Q, }): (a) Qxφ ψ i Qx(φ ψ), gdzie x nie jest zmienn a woln a w ψ; (b) Qxφ ψ i Qx(φ ψ), gdzie x nie jest zmienn a woln a w ψ; (c) ( xφ) i x( φ); 1 definicja funkcji rekurencyjnej (i funkcji rest) jest podana w Dodatku 2 jest również prawd a, że relacja R ω s jest rekurencyjnie przeliczalna wtedy i tylko wtedy gdy istnieje formula elementarnej arytmetyki postaci φ(x 1,..., x s ) = z 1,..., z t (p(x 1,..., x s, z 1,..., z t ) = 0) gdzie p( x z) jest pewnym wielomianem, taka, że N = φ(n 1,..., n s ) (n 1,..., n s ) R. 3
4 (d) ( xφ) i x( φ); (e) xφ xψ i x(φ ψ); (f) xφ xψ i x(φ ψ); (g) Qxφ i Qz(φ) x z, gdzie (φ) x z jest formu l a otrzyman a z φ po zast apieniu x przez z we wszystkich miejscach gdzie x ma wystȩpowanie wolne w φ; (h) Q 1 xφ Q 2 xψ i Q 1 xq 2 z(φ (ψ) x z), gdzie z nie wystȩpuje w φ; (i) Q 1 xφ Q 2 xψ i Q 1 xq 2 z(φ (ψ) x z), gdzie z nie wystȩpuje w φ; 2. Mówimy że φ ma postać normaln a, jeśli φ = Q 1 x 1...Q n x n ψ, gdzie Q i, } i ψ nie zawiera kwantyfikatorów. Udowodnić Twierdzenie. Każda formu la jest równoważna formule w postaci normalnej. 3. Znaleźć postaci normalne równoważne nastȩpuj acym formu lom: (a) x yp 1 (x, y, z) x yp 2 (x, y); (b) x y( zp 1 (x, y, z, u) (P 1 (x, y, z, u)) x y) up 2 (x, z, u); 4. Pokazać, że nastȩpuj ace formu ly s a równoważne (gdzie 0 oznacza formu lȩ sprzeczn a a 1 oznacza tautologiȩ): (a) φ ψ i φ ψ; (b) φ (lub ) ψ i ψ (lub ) φ; (c) φ 1 (φ 2 φ 3 ) i (φ 1 φ 2 ) φ 3 (i odpowiednio dla ); (d) φ 1 (φ 2 φ 3 ) i (φ 1 φ 2 ) (φ 1 φ 3 ); (e) φ 1 (φ 2 φ 3 ) i (φ 1 φ 2 ) (φ 1 φ 3 ); (f) φ 0 i φ; φ 1 i φ; (g) φ 1 i 1; φ 0 i 0; (h) φ φ i 1; φ φ i 0; (i) ( φ) i φ; (j) (φ ψ) i φ ψ; (k) (φ ψ) i φ ψ; 5. Mówimy że φ ma dyzjunkcyjn a postać normaln a, jeśli φ nie zawiera kwantyfikatorów i φ = φ 1... φ k, gdzie każda φ i jest postaci ψ 1... ψ l, gdzie ψ j jest formu l a atomow a lub negacj a formu ly atomowej. Udowodnić Twierdzenie. Każda formu la nie zawieraj aca kwantyfikatorów jest równoważna formule w dyzjunkcyjnej postaci normalnej. 6. Znaleźć dyzjunkcyjne postaci normalne równoważne nastȩpuj acym formu lom: (a) P 1 P 2 P 2 ; (b) P 1 (P 2 P 3 ) P 4 ; DODATEK A.1. Funkcje rekurencyjne. Na zbiorze wszystkich funkcji czȩściowych określonych na N wprowadzamy nastȩpuj ace operatory. Operator z lożenia g = S(f m, f n 1,..., f n m) jest określony przez równość g(x 1,..., x n ) = f(f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n )), 4
5 gdzie Dom(g) sk lada siȩ z takich ci agów l 1,..., l n, że wartości k j = f j (l 1,..., l n ) s a określone i f jest określona na k 1,..., k m. Operator rekursji perwotnej g n+1 = P R(f n+2, h n ) jest określony przez: g(x 1,..., x n, 0) = h(x 1,..., x n ),... g(x 1,..., x n, i + 1) = f(x 1,..., x n, i, g(x 1,..., x n, i)),..., gdzie Dom(g) sk lada siȩ z takich ci agów l 1,..., l n, l, że wartości k 0 = h(l 1,..., l n ) i k j = f(l 1,..., l n, j 1, k j 1 ), 1 j l, s a określone. µ-operator g n = µ(f n+1 ) jest określony przez: g(x 1,..., x n ) = miny : f(x 1,..., x n, y) = 0}, gdzie Dom(g) sk lada siȩ z takich ci agów l 1,..., l n, że wartości k j = f(l 1,..., l n, j), 0 j, s a określone do pewnego j spe lniaj acego k j = 0. Funkcja f jest rekurencyjna jeśli jest zbudowana z funkcji O(x) = 0, s(x) = x + 1, Im(x n 1,..., x n ) = x m, 1 m n ω, przez skończon a ilość stosowań operatorów S, P R i µ. A.2. Zadanie. Pokazać, że nastȩpuj ace funkcje s a rekurencyjne: x 1 + x 2, x 1 x 2, 2 x, [x/2]; sg(x) = 0 : x = 0 1 : x 0 ; sg(x) = 1 : x = 0 1 : x 0 ; x ˆ y = 0 : x < y x y : y x. A.3. Teza Churcha. Każda funkcja obliczalna intuicyjnie jest funkcj a rekurencyjn a. A.4. Σ i Π. Lemat. Niech f(x 1,..., x n+1 ) bȩdzie funkcj a rekurencyjn a. Wtedy funkcje i g 1 (x 1,..., x n+1 ) = Σ x n+1 i=0 f(x 1,..., x n, i) g 2 (x 1,..., x n+1 ) = Π x n+1 i=0 f(x 1,..., x n, i) s a rekurencyjne. Wniosek. Nastȩpuj ace funkcje s a rekurencyjne 3 : [x/y] (zak ladamy, że [x/0] = x), [x 1/n ], rest(x, y) = x [x/y] y. 3 [z] oznacza czȩść ca lkowit a liczby z 5
P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF
29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).
Bardziej szczegółowoRezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoRachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe
Bardziej szczegółowo1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14
Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoZestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala
Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoIMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoLogika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas
Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Ćwiczenie 1. (Zad. L. Newelskiego) Niech p oznacza zdanie Ala je, zaś q zdanie As wyje. Zapisz jako formu ly rachunku zdań nastȩpuj ace zdania: 1.1.
Bardziej szczegółowoFunkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016
Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoFunkcje rekurencyjne
Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Funkcje rekurencyjne Funkcje rekurencyjne 1 / 34 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoDODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:
DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Oznaczenia
Matematyka dyskretna Oznaczenia Andrzej Szepietowski W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia. oznacza kwantyfikator ogólny dla każdego. oznacza kwantyfikator szczegó lowy istnieje. 1 Sumy i iloczyny
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Bardziej szczegółowoWykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Bardziej szczegółowoRekurencyjna przeliczalność
Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne
Bardziej szczegółowoDrobinka semantyki KRP
Drobinka semantyki KRP Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Drobinka semantyki KRP Uniwersytet Opolski 1 / 48 Wstęp
Bardziej szczegółowoLogika matematyczna (16) (JiNoI I)
Logika matematyczna (16) (JiNoI I) Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 15/16 lutego 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoRozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne
Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?
Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące
Bardziej szczegółowoAsymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0. Hyperbola 1 x
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0 2 1 0 3 1 2 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE
Bardziej szczegółowoII Matematyka 2 stopnia( 3W). Modele i podstawy matematyki. Janusz Czelakowski. Wykład 1. Języki pierwszego rzędu i modele
II Matematyka 2 stopnia( 3W). Modele i podstawy matematyki Janusz Czelakowski Wykład 1. Języki pierwszego rzędu i modele Czy moŝna odkryć wszystkie prawa arytmetyki, tzn. wszystkie zdania prawdziwe dotyczące
Bardziej szczegółowoSZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE.
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 1 0 3 1 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 018 1 1 Projekt dziesi aty Contents
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA REPREZENTACJA LICZB W KOMPUTERZE
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 B l ad bezwzglȩdny zaokr aglenia liczby ɛ = fl() B l ad wzglȩdny zaokr aglenia liczby 0 δ = fl() B l ad procentowy zaokr aglenia liczby 0
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoAdam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 8 Funkcje 8.1 Pojęcie relacji 8.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu kartezjańskiego
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Relacje binarne
Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia
Bardziej szczegółowoUzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Podstawienia Motywacja Podstawienie 2 Sk ladanie podstawień Motywacja Z lożenie podstawień
Bardziej szczegółowovf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Bardziej szczegółowoGry Nieskończone. Krzysztof P lotka. Praca Magisterska. Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański
Gry Nieskończone Krzysztof P lotka Praca Magisterska Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański Gdańk 1997 Spis treści Wstȩp........................................................... ii Terminologia i oznaczenia........................................
Bardziej szczegółowoSchemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej
Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoRozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej
Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej 1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe Oto cztery pierwsze liczby naturalne zapisane wed lug różnych czterech notacji w porz adku od najmniejszej do najwiȩkszej:,
Bardziej szczegółowoSprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568
Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest
Bardziej szczegółowoLista egzaminacyjna zadań z matematycznych podstaw informatyki, wersja 3.
1 Lista egzaminacyjna zadań z matematycznych podstaw informatyki, wersja 3. Funkcje pierwotnie rekurencyjne. Problemy: Zapoznaj się z teorią funkcji pierwotnie rekurencyjnych. Ważne są definicje klasy
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x
ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1 Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji f n : [, [ x nx + x nx + 1, Rozwi azanie: Mówi siȩ, że ci ag funkcji f n zd aży punktowo
Bardziej szczegółowoInterpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior
Rachunek predykatów Wykład 5 Plan wykładu Funkcje i termy Postać klauzulowa formuł Modele Herbranda Twierdzenie Herbranda Rezolucja dla klauzul ustalonych Podstawienia Uzgadnianie Rezolucja Funkcje i termy
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla
Bardziej szczegółowoRozdzia l 7. Liczby naturalne
Rozdzia l 7. Liczby naturalne 1. Arytmetyka elementarna Arytmetyka elementarna jest najprostsz a z teorii liczb naturalnych. Ujmuje ona liczby naturalne bez uwzglȩdnienia dzia lań dodawania i mnożenia.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
Bardziej szczegółowoDefinicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:
Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których
Bardziej szczegółowoLiczby naturalne i ca lkowite
Chapter 1 Liczby naturalne i ca lkowite Koncepcja liczb naturalnych i proste operacje arytmetyczne by ly znane już od oko lo 50000 tysiȩcy lat temu. To wiemy na podstawie archeologicznych i historycznych
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Bardziej szczegółowoANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?
Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowo25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1. P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Logika Hoare a
25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Logika Hoare a Rozważamy najprostszy model imperatywnego jezyka programowania z jednym typem danych. Wartości tego
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Bardziej szczegółowoSystemy algebraiczne. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Systemy algebraiczne Materiały pomocnicze do wykładu uczelnia: PJWSTK przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Struktury danych struktury algebraiczne Przykład Rozważmy następujący
Bardziej szczegółowo0.1 Reprezentacja liczb w komputerze
1 0.1 Reprezentacja liczb w komputerze Zapis liczb w zmiennym przecinku. U lamki dziesiȩtne w laṡciwe i niew laṡciwe piszemy oddzielaj ac czȩṡċ ca lkowit a od czȩṡci u lamkowej w laṡciwej przecinkiem w
Bardziej szczegółowoDefinicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowo0.1 Sposȯb rozk ladu liczb na czynniki pierwsze
1 Temat 5: Liczby pierwsze Zacznijmy od definicji liczb pierwszych Definition 0.1 Liczbȩ naturaln a p > 1 nazywamy liczb a pierwsz a, jeżeli ma dok ladnie dwa dzielniki, to jest liczbȩ 1 i sam a siebie
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 1 0 1 3 Oś liczbowa. Liczby ca lkowite x MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 018 1
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoPredykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut
Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoSYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:
SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoDefinicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:
Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których
Bardziej szczegółowoProgramowanie funkcyjne. Wykªad 13
Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Siªa wyrazu rachunku lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcyjne. Wykªad 13, Siªa wyrazu rachunku lambda 1 Wst p Warto±ci logiczne Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoRachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty
Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty
Bardziej szczegółowo4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że
4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio
Bardziej szczegółowoElementy logiki Klasyczny rachunek predykatów
Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków. Logika formalna. Skªadnia rachunku zda« Skróty i priorytety. Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011
Podstawy matematyki dla informatyków Logika formalna Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011 Skªadnia rachunku zda«symbole (zmienne) zdaniowe (p, q, r,...), oraz znaki i s formuªami zdaniowymi.
Bardziej szczegółowoSkładnia rachunku predykatów pierwszego rzędu
Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoJest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Bardziej szczegółowo