Rachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Transkrypt

1 Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/ formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe lnialna i niespe lnialna Formu la prawdziwa i nieprawdziwa 3 Spe lnialność i prawdziwość formu l Zależność ni edzy poj eciami Twierdzenie Zbiór spe lnialny Semantyka j ezyków formalnych Wartościowanie znaczenie formu l Czy formu la (p q) oznacza to samo co ( p q)? Zdefiniowanie znaczenia formu l j ezyka jest zadaniem semantyki. Nazwa teorii rachunek zdań sugeruje, że s luży on do wykonywania obliczeń, a zatem należy sie spodziewać, że znaczenie formu ly bedziemy utożsamiać z jej wartościa. Wykorzystamy indukcje strukturalna i podamy sposób obliczania wartości formu ly na podstawie wartości atomów wystepuj acych w tej formule. Wartościowanie Wartościowaniem nazywamy funkcje v : P {0, 1}, która przypisuje każdemu atomowi jedna z wartości logicznych. (p q) W formule (p q) wystepuj a zmienne (atomy) p i q. Wartościowaniem jest np. funkcja v, taka, że v(p) = 1, v(q) = 0.

2 Sta le logiczne Prawda i fa lsz to sa sta le logiczne. Można je dodać do symboli jezyka rachunku zdań. v(prawda) = 1 p = prawda v(p) = 1 v( fa lsz )= 0 q = fa lsz v(q) = 0 Wartościowanie można rozszerzyć do funkcji v : F {0, 1}, przypisujacej formu lom wartości logiczne na podstawie definicji indukcyjnych. Funkcja v jest nazywana interpretacja. Każde wartościowanie można rozszerzyć dok ladnie do jednej interpretacji. Dla dwóch identycznych wartościowań interpretacje tej samej formu ly sa identyczne. A v(a 1 ) v(a 2 ) v(a) A A 1 A wpp 0 A 1 A wpp 1 A 1 A wpp 1 A 1 A wpp 1 A 1 A wpp 0 A 1 A 2 v(a 1 ) = v(a 2 ) 1 wpp 0 A 1 A 2 v(a 1 ) = v(a 2 ) 0 wpp 1 Przyk lad 1 Przyk lad 2 (p q) Wartościowanie v 1 : v 1 (p) = 1, v 1 (q) = 0 v 1 (p q) = 0 v 1 ( (p q)) = 1 (p q) Wartościowanie v 2 : v 2 (p) = 1, v 2 (q) = 1 v 1 (p q) = 1 v 1 ( (p q)) = 0 Ile jest możliwych różnych wartościowań dla tej formu ly? Ile jest możliwych różnych wartościowań dla formu ly zawierajacej n zmiennych?

3 Logiczna równoważność Logiczna równoważność Czy formu la (p q) oznacza to samo co ( p q)? Czy formu la (p q) oznacza to samo co (p q)? Jak to sprawdzić? Jeżeli dla wszystkich wartościowań interpretacja formu ly A 1 jest identyczna jak formu ly A 2, to te formu ly sa logicznie równoważne: A 1 A 2. A 1 A 2 wtedy i tylko wtedy, gdy we wszystkich interpretacjach wartościa formu ly A 1 A 2 jest 1. Przyk lad Formu la spe lniona Czy formu la (p q) oznacza to samo co (p q)? Sprawdzamy czy v( (p q) (p q)) = 1 dla każdego wartościowania v. v(p) v(q) v( (p q) (p q)) Jeżeli dla pewnej interpretacji v wartość logiczna formu ly A jest równa 1, to mówimy, że formu la A jest spe lniona w interpretacji v. A = (p q) (p q) Niech v bedzie w której v(p) = 1, v(q) = 1. v( (p q) (p q)) = 1 a zatem formu la A jest spe lniona w interpretacji v.

4 Model formu ly Przyk lad spe lniajaca formu l e A nazywa sie modelem tej formu ly. A = (p q) (p q) Niech v bedzie w której v(p) = 1, v(q) = 1. v( (p q) (p q)) = 1 a zatem formu la A jest spe lniona w interpretacji v. v jest modelem formu ly A. A = (p q) Niech v 1 bedzie taka, że v 1 (p) = 1, v 1 (q) = 0. v 1 ( (p q)) = 1 v 1 jest modelem formu ly A. Niech v 2 bedzie w której v 2 (p) = 1, v 2 (q) = 1. v 2 ( (p q)) = 0 v 2 nie jest modelem formu ly A. Formu la spe lnialna Formu la niespe lnialna Formu la A rachunku zdań jest spe lnialna, gdy istnieje interpretacja, dla której ta formu la jest spe lniona, czyli v v(a) = 1. Formu la A jest niespe lnialna (sprzeczna), gdy nie jest spe lniona w żadnej interpretacji, czyli v v(a) = 0.

5 Przyk lady Formu la prawdziwa A = (p q) Niech v 1 bedzie w której v 1 (p) = 1, v 1 (q) = 0. v 1 ( (p q)) = 1 v 1 jest modelem formu ly A. Formu la A jest spe lnialna. A = (p p) Możliwe sa dwie interpretacje: v 1 (p) = 1 oraz v 2 (p) = 0 Formu la A rachunku zdań jest prawdziwa, gdy jest spe lniona w każdej interpretacji, czyli v v(a) = 1. v 1 ( (p p)) = 0 v 2 ( (p p)) = 0 Formu la A jest niespe lnialna (sprzeczna). Formu la nieprawdziwa Przyk lady A = (p p) Możliwe sa dwie interpretacje: v 1 (p) = 1 oraz v 2 (p) = 0 Formu la A jest nieprawdziwa, gdy istnieje interpretacja, w której ta formu la nie jest spe lniona, czyli v v(a) = 0. Formu la A jest prawdziwa. v 1 ((p p)) = 1 v 2 ((p p)) = 1 A = (p q) Niech v 1 bedzie w której v 1 (p) = 1, v 1 (q) = 0. v 1 ((p q)) = 0 Formu la A jest nieprawdziwa.

6 Prawdziwość a spe lnialność Formu ly spe lnialne i niespe lnialne Prawdziwość a spe lnialność Każda formu la prawdziwa jest spe lnialna. Niese lnialność i nieprawdziwość Każda formu la niespe lnialna jest nieprawdziwa. Formu ly spe lnialne Istnieje co najmniej jedna interpretacja spe lniajaca formu l e. Np. p q Formu ly prawdziwe Formu la jest spe lniona w każdej interpretacji. Np. p p Formu ly nieprawdziwe Formu ly niespe lnialne Nie istnieje interpretacja spe lniajaca formu l e. Np. p p Istnieje interpretacja, w której formu la nie jest spe lniona. Np. p q Spe lnialność i prawdziwość formu l Prawdziwość i niespe lnialność Formu ly prawdziwe Formu la jest spe lniona w każdej interpretacji. Np. p p Pozosta le Formu ly spe lnialne, ale nieprawdziwe. Np. p q, p q Formu ly niespe lnialne Nie istnieje interpretacja spe lniajaca formu l e. Np. p p Za lóżmy, że formu la A jest niespe lnialna. Nie istnieje interpretacja, w której A jest spe lniona. W każdej interpretacji v( A) = 0. W każdej interpretacji v(a) = 1. W każdej interpretacji A jest spe lniona. A jest prawdziwa.

7 Praktyczne twierdzenie Zastosowanie twierdzenia Twierdzenie Formu la A jest prawdziwa wtw, gdy A jest niespe lnialna. A jest spe lnialna wtw, gdy A jest nieprawdziwa. Wykazać, że formu la A = p p jest prawdziwa. Znajdujemy formu l e A i wykazujemy, że jest niespe lnialna. A = (p p) = p p Stosujac np. metode tabel semantycznych latwiej wykazać niespe lnialność. Zbiór spe lnialny Zbiór spe lnialny Zbiór formu l U = {A 1,..., A n } jest (jednocześnie) spe lnialny wtw, gdy istnieje interpretacja v taka, że v(a 1 ) =... = v(a n ) = 1. Interpretacj e o tej w lasności nazywamy modelem zbioru formu l U. Zbiór formu l U jest niespe lnialny wtw, gdy dla każdej interpretacji v istnieje i takie, że v(a i ) = 0. Przyk lad Rozważmy nastepuj acy zbiór formu l: {p q, p q}. Czy istnieje model tego zbioru? v(p) = 1, v(q) = 1

8 Zbiór niespe lnialny Przyk ladowe zadania Przyk lad Rozważmy nastepuj acy zbiór formu l: {p q, p q}. Czy istnieje model tego zbioru? v 1 (p) = 1, v 1 (q) = 1 v 1 ( p q) = 0 v 2 (p) = 1, v 2 (q) = 0 v 2 (p q) = 0 v 3 (p) = 0, v 3 (q) = 1 v 3 (p q) = 0 v 4 (p) = 0, v 4 (q) = 0 v 4 (p q) = 0 1 Podać interpretacj e formu ly przy danym wartościowaniu. 2 Podać model formu ly. 3 Dana jest formu la. Czy jest ona: spe lnialna, niespe lnialna, prawdziwa, nieprawdziwa? 4 Czy istnieje model danego zbioru formu l? Zbiór jest niepe lnialny.