Teoria kategorii w podstawach informatyki semestr zimowy 2010/11

Transkrypt

1 Egzamin z wyk ladu monograficznego Poje ecia, terminologia i notacja: Teoria kategorii w podstawach informatyki semestr zimowy 2010/11 Przyjmujemy zwyk la definicjee sygnatury algebraicznej Σ, Σ-algebry i Σ-homomorfizmu; wykorzystujemy standardowaa notacje z wyk ladu. Rozważmy dowolna sygnature Σ = S, Ω. Uporzadkowana Σ-algebra to dowolna Σ-algebra A, w króorej dodatkowo: dla każdego rodzaju s S, nośnik rodzaju s jest cześciowo uporzadkowany przez relacjee s A tzn. w algebrze A dla każdego s S mamy zwrotna, przechodnia i antysymetrycznaa relacjee s A A s A s (jak zwykle, s możemy pomijaćc, gdy nie zachodzi obawa nieporozumienia), oraz dla każdej nazwy operacji f: s 1... s n s, funkcja f A : A s1... A sn A s jest monotoniczna (zachowuje odpowiedni porzadek): dla a 1, a 1 A s 1,..., a n, a n A sn, jeśli a 1 s 1 A a 1,..., a n sn A a n to f A (a 1,..., a n ) s A f A(a 1,..., a n). Kraciasta Σ-algebra to taka uporzadkowana Σ-algebra, dla każdego rodzaju s S, nośnik rodzaju s jest góorna póo lkrataa skończenie zupe lna A s, s A : relacja s A A s A s jest cześciowym porzadkiem takim, że każdy skończony (także pusty) zbióor Z A s ma kres góorny A Z A s wzgledem s A, oraz dla każdej nazwy operacji f: s 1... s n s, funkcja f A : A s1... A sn A s jest skończenie ciag la (zachowuje skończone kresy góorne): dla skończonych Z 1 A s1,..., Z n A sn, f A ( A Z 1,..., A Z n) = A {f A(a 1,..., a n ) a 1 Z 1,..., a n Z n }. Dla dowolnych uporzadkowanych Σ-algebr A, B, uporzadkowany Σ-homomorfizm h: A B to taki homomorfizm Σ-algebr h: A B, że dla każdego s S, funkcja h s : A s B s zachowuje porzadek: dla a, a A s, jeśli a s A a to h s (a) s B h s(a ). Dla dowolnych kraciastych Σ-algebr A, B, kraciasty Σ-homomorfizm h: A B to taki uporzadkowany Σ-homomorfizm h: A B, że dla każdego s S, funkcja h s : A s B s jest skończenie ciag la (zachowuje skończone kresy góorne): dla każdego skończonego Z A s, h s ( A Z) = B {h s(a) a Z}. Rozważamy Σ-nieróowności postaci X t t, gdzie X jest S-rodzajowym zbiorem zmiennych, a t, t T Σ (X) s sa dowolnymi Σ-termami o wspóolnym rodzaju. Uporzadkowana Σ-algebra A spe lnia Σ-nieróownośćc X t t, A = X t t, gdy dla każdego wartościowania v: X A zachodzi (t) A [v] A (t ) A [v], gdzie jak zwykle t A [v] oznacza wartośćc termu t w algebrze A przy wartościowaniu zmiennych v, i podobnie dla t A [v]. Dla dowolnej sygnatury Σ = S, Ω i zbioru Σ-nieróowności Φ, w oczywisty sposóob sa zdefiniowane nastepuja ace kategorie i funktory: Set S kategoria S-rodzajowych zbioróow i funkcji mie edzy nimi; POSet S kategoria S-rodzajowych zbioróow uporzadkowanych, z funkcjami monotonicznymi miedzy nimi; UPAlg(Σ, Φ) kategoria tych uporzadkowanych Σ-algebr, któore spe lniajaa wszystkie nieróowności w zbiorze Φ, i uporzadkowanych Σ-homomorfizmóow miedzy tymi algebrami; KUPAlg(Σ, Φ) kategoria tych kraciastych Σ-algebr, któore spe lniajaa wszystkie nieróowności w zbiorze Φ, i uporzadkowanych Σ-homomorfizmóow miedzy nimi; KKAlg(Σ, Φ) kategoria tych kraciastych Σ-algebr, któore spe lniaja a wszystkie nieróowności w zbiorze Φ, i kraciastych Σ-homomorfizmóow mie edzy nimi;

2 G UP : UPAlg(Σ, Φ) POSetS funktor zapominajacy o strukturze algebry, G UP (A) = A s, s A s S, i w podobnie oczywisty sposóob dla homomorfizmóow; G KUP : KUPAlg(Σ, Φ) POSetS funktor zapominajacy o strukturze algebry, G KUP (A) = A s, s A s S, i w podobnie oczywisty sposóob dla homomorfizmóow; G KK : KKAlg(Σ, Φ) POSetS funktor zapominajacy o strukturze algebry, G KK (A) = A s, s A s S, i w podobnie oczywisty sposóob dla homomorfizmóow; P UP : UPAlg(Σ, Φ) SetS funktor zapominaja (A) = A, i w podobnie oczywisty sposóob dla homomorfizmóow; P UP acy o strukturze algebry i uporzadkowaniu nośnikóow, P KUP : KUPAlg(Σ, Φ) SetS funktor zapominajacy o strukturze algebry i uporzadkowaniu nośnikóow, P KUP (A) = A, i w podobnie oczywisty sposóob dla homomorfizmóow; P KK : KKAlg(Σ, Φ) SetS funktor zapominaja (A) = A, i w podobnie oczywisty sposóob dla homomorfizmóow; P KK W rozwiazaniach można też sie odwo lywaćc do innych oczywistych funktoróow, np: J : POSet S Set S funktor zapominajacy o porzadku, acy o strukturze algebry i uporzadkowaniu nośnikóow, J 0 : KUPAlg(Σ, Φ) UPAlg(Σ, Φ) funktor inkluzji podkategorii KUPAlg(Σ, Φ) w UPAlg(Σ, Φ), itp. We wprowadzonych wyżej oznaczeniach można pominaćc Φ gdy Φ =. Zadanie: Któore z poniższych stwierdzeń sa prawdziwe dla każdej sygnatury Σ i, gdzie stosowne, zbioru Σ-nieróowności Φ? Udowodnij lub uzasadnij odpowiedź negatywna. UWAGA: Egzamin można zdawaćc w wersji latwiejszej, z lożonej z zadań UP i KUP, lub w wersji trudnej, z lożonej z zadań KUP i KK. Ta druga, a nawet jej cześci do la aczone do pierwszej, beda wyżej punktowane. Odpowiedzi na poszczegóolne cześci zadań nie sa niezależne (np. dowóod dla UP.2 implikowa lby pozytywna odpowiedź na UP.1, a kontrprzyk lad dla UP.1 by lby też kontrprzyk ladem dla UP.2; sa też mniej oczywiste zależności). Można to wykorzystaćc dla skróocenia rozwiazań. Zadnia sa wiec nieco króotsze niż to sie na pozóor wydaje. Można też bez dowodóow odwo lywaćc sie do dowolnych faktóow podawanych na wyk ladzie Poniżej pytania z odpowiedziami i szkicem dowodóow. Gdy to wygodne, pomijam indeksowanie nazwami rodzajóow (sk ladowych) nośnikóow, funkcji, relacji, itp. Pomijam wersjee KK nikt sie za to w zasadzie nie zabra l. Troche szkoda, ale z drugiej strony zadanie zostanie dla przysz luch pokoleń studenckich :-) Zadanie UP: 1. Kategoria UPAlg(Σ) jest TAK, z UP.2.a. TAK, z UP.2.b. 2. Kategoria UPAlg(Σ, Φ) jest

3 TAK. Wystarczy pokazaćc istnienie produktóow i equalizatoróow: Dla danej rodziny uporzadkowanych Σ-algebr A i, i I, spe lniajacych Φ, ich produkt w UPAlg(Σ, Φ) to produktowa Σ-algebra Π i I A i z porzadkiem zdefiniowanym po wspóo lrzednych. Dla uporzadkowanych Σ-homomorphizmóow g, h: A B w UPAlg(Σ, Φ), ich equalizator to inkluzja podalgebry A 0 algebry A o nośniku {a h(a) = g(a)}, z porzadkiem odziedziczonym z A. TAK. Wystarczy pokazaćc istnienie ko-produktóow i ko-equalizatoróow: Weźmy uporzadkowane Σ-homomorfizmy g, h: A B w UPAlg(Σ, Φ). Niech B B bedzie najmniejszaa relacja takaa i. B, ii. dla b B, g(b) h(b) oraz h(b) g(b), iii. dla f: s 1... s n s, dla b 1, b 1 B s 1,..., b n, b n B sn, jeśli b 1 b 1,..., b n b n to f B (b 1,..., b n ) f B (b 1,..., b n), iv. dla b, b, b B, jeśli b b i b b to b b. Latwo sprawdzićc, że taka najmniejsza relacja istnieje, jest quasi-porzadkiem zgodnym z operacjami w B i rozszerzajacym porzadek B. Niech B B bedzie kongruencja na B wyznaczonaa przez, tzn. = 1. Niech w końcu B/ bedzie algebraa ilorazowaa z porzadkiem indukowanym przez, tzn. dla b, b B, [b] B/ [b ] wtedy i tylko wtedy, gdy b b. Oczywiście uporzadkowana Σ-algebra B/ spe lnia Φ. Naturalny uporzadkowany Σ-homomorfizm [ ] : B B/ jest ko-equalizatorem h i g w UPAlg(Σ, Φ). Weźmy z kolei rodzine A i, i I, uporzadkowanych Σ algebr w UPAlg(Σ, Φ). Niech Σ i I A i = { a, i i I, a A i } bedzie (roz laczna a) suma nośnikóow algebr A i, i I. Rozważmy Σ- algebree termóow T = T Σ (Σ i I A i ) i najmniejszaa relacjee T T takaa i. dla i I, a, a A i, jeśli a Ai a to a, i a, i, ii. dla f: s 1... s n : s, i I, a 1 A i s1,..., a n A i sn, f( a 1, i,..., a n, i ) f Ai (a 1,..., a n ), i oraz f Ai (a 1,..., a n ), i f( a 1, i,..., a n, i ), iii. dla każdej nieróowności X t t w Φ i wartościowania v: X T, t T [v] t T [v], iv. dla f: s 1... s n s, dla x 1, y 1 T s1,..., x n, y n T sn, jeśli x 1 y 1,..., x n y n to f T (x 1,..., x n ) f T (y 1,..., y n ), v. dla x T, x x, oraz dla x, x T, jeśli x x i x x to x x. Latwo sprawdzićc, że taka najmniejsza relacja istnieje, jest quasi-porzadkiem zgodnym z operacjami w T i rozszerzajacym, w oczywistym sensie, porzadki w A i, i I. Niech T T bedzie kongruencja na T wyznaczonaa przez, tzn. = 1. Niech w końcu T/ bedzie algebraa ilorazowaa z porzadkiem indukowanym przez, tzn. dla x, x T, [x] T/ [x ] wtedy i tylko wtedy, gdy x x. Oczywiście uporzadkowana Σ-algebra T/ spe lnia Φ (z warunku (iii) w definicji ). Uporzadkowana Σ-algebra T/ z w lożeniami [, i ] : A i T/, i I, jest ko-produktem rodziny A i, i I, w UPAlg(Σ, Φ). 3. Funktor P UP Σ : UPAlg(Σ) SetS ma lewy sprzeżony. TAK, z UP Funktor P UP : UPAlg(Σ, Φ) SetS ma lewy sprzeżony. TAK, z UP.6, bo P UP = GUP ;J, gdzie funtor J : POSetS Set S ma oczywisty lewy sprzeżony. 5. Funktor G UP Σ : UPAlg(Σ) POSetS ma lewy sprzeżony. TAK, z UP Funktor G UP : UPAlg(Σ, Φ) POSetS ma lewy sprzeżony. TAK. Niech X, X POSet S bedzie dowolnym S-rodzajowym zbiorem uporzadkowanym. Rozważmy algebree termóow T = T Σ (X) i najmniejszaa relacjee T T takaa (a) dla x, y X, jeśli x X y to x y,

4 (b) dla każdej nieróowności X t t w Φ i wartościowania v: X T, t T [v] t T [v], (c) dla f: s 1... s n s, dla x 1, y 1 T s1,..., x n, y n T sn, jeśli x 1 y 1,..., x n y n to f T (x 1,..., x n ) f T (y 1,..., y n ), (d) dla x T, x x, oraz dla x, x T, jeśli x x i x x to x x. Latwo sprawdzićc, że taka najmniejsza relacja istnieje, jest quasi-porzadkiem zgodnym z operacjami w T i rozszerzajacym porzadek w X. Niech T T bedzie kongruencja na T wyznaczona przez, tzn. = 1. Niech w końcu T/ bedzie algebraa ilorazowaa z porzadkiem indukowanym przez, tzn. dla x, x T, [x] T/ [x ] wtedy i tylko wtedy, gdy x x. Oczywiście uporzadkowana Σ-algebra T/ spe lnia Φ (z warunku (b) w definicji ). Uporzadkowana Σ-algebra T/ z jednościa [ ] : X T/ w POSet S, jest obiektem wolnym nad X, X wzgledem funktora G UP : UPAlg(Σ, Φ) POSetS. 7. Jeśli funktor P UP Σ : UPAlg(Σ) SetS ma lewy sprzeżony L UP Σ : SetS UPAlg(Σ), to niech M UP Σ bedzie monadaa wyznaczonaa przez to sprzeżenie, a Alg(M UP Σ ) be edzie kategoriaa algebr Eilenberga-Moore a dla tej monady. Czy funktor poróownania R UP Σ : UPAlg(Σ) Alg(MUP Σ ) zgodny z odpowiednimi funktorami obu sprzeżeń NIE. Nieco nieformalnie: dla X Set S, L UP Σ (X) jest Σ-algebra a termóow z trywialnym (identycznościowym) porzadkiem. Zatem monada M UP Σ jest tożsama ze zwyk la monadaa Σ-termóow i Alg(M UP Σ ) to po prostu Alg(Σ). Nieco formalniej: na wyk ladzie poda lem, że dla A UPAlg(Σ), R UP Σ (A) = PUP Σ (A), PUP Σ (ε A), gdzie ε A : L UP Σ (PUP Σ (A)) A jest ko-jednościa sprzeżenia. Latwo teraz pokazaćc, że jes li uporzadkowane Σ-algebry A i A róożnia sie tylko porzadkiem (majaa wspóolne nośniki i tak samo zdefiniowane operacje), to R UP Σ (A) = RUP Σ (A ) wiec R UP Σ nie jest róożnowartościowy. 8. Jeśli funktor G UP Σ : UPAlg(Σ) POSetS ma lewy sprzeżony F UP Σ : POSetS UPAlg(Σ), to niech T UP Σ bedzie monadaa wyznaczonaa przez to sprzeżenie, a Alg(T UP Σ ) be edzie kategoriaa algebr Eilenberga-Moore a dla tej monady. Czy funktor poróownania K UP Σ : UPAlg(Σ) Alg(TUP Σ ) zgodny z odpowiednimi funktorami obu sprzeżeń TAK. Nieformalnie, T UP Σ -algebry odzwierciedlaja a strukture porzadku na nośniku algebry (bo ich nośniki sa w POSet S ) i operacje (przez ewaluacjee termóow, jak zwykle). Nieco formalniej: dla A UPAlg(Σ), K UP Σ (A) = GUP Σ (A), GUP Σ (ε A), gdzie ε A : F UP Σ (GUP Σ (A)) A jest kojednościa sprzeżenia. Jes li uporzadkowane Σ-algebry A i A majaa róożne nośniki lub majaa takie same nośniki, ale róożne porzadki, to G UP Σ (A) GUP Σ (A ). Jeśli zaś G UP Σ (A) = GUP Σ (A ) (a A i A sa róożne) to dla pewnej operacji dla f: s 1... s n s i a 1 A s1,..., a n A sn, f A (a 1,..., a n ) f A (a 1,..., a n ), wiec ε A ([f A (a 1,..., a n )] ) ε A ([f A (a 1,..., a n )] ) (notacja z konstrukcji w UP.6). Zatem K UP Σ jest róożnowartościowy (na obiektach róożnowartościowośćc na morfizmach jest oczywista, bo G UP Σ nie zlepia róożnych morfizmóow). Niech teraz X, X, h: G UP Σ (FUP Σ ( X, X )) X, X bedzie dowolna T UP Σ -algebra a. Niech A UPAlg(Σ) bedzie uporzadkowana a Σ-algebraa taka, że G UP Σ (A) = X, X, a dla f: s 1... s n s i a 1 A s1,..., a n A sn, f A (a 1,..., a n ) = h([f A (a 1,..., a n )] ). Latwo sprawdzićc, że ε A jest funkcja na F UP Σ (X) tożsama a z h, co pokazuje, że K UP Σ (A) = X, X, h, wiec K UP Σ jest bijekcja na obiektach. Argument latwo rozszerzyćc na morfizmy T UP Σ -algebr, co pokazuje, że jest izomorfizmem. K UP Σ Zadanie KUP: 1. Kategoria KUPAlg(Σ) jest NIE. Produkty w KUPAlg(Σ) istnieja, dane sa jako algebry produktowe z porzadkiem po wspóo lrzednych. W szczegóolności mamy produkt pustej rodziny, algebree z jednoelementowymi nośnikami. Ale na ogóo l nie musza istniećc equalizatory. Na przyklad, dla jednorodzajowej sygnatury bez operacji, niech f, g beda dwoma róożnymi funkcjami z algebry (zbioru) jednoelementowej w algebree dwuelementowa z porzadkiem liniowym. Ponieważ algebry w tej

5 kategorii sa niepuste (musza miećc kres zbioru pustego), wiec nie istnieje morfizm, któorego z lożenia z f i g, odpowiednio, sa tożsame. NIE. Na przyk lad, nie ma tu na ogóo l obiektu poczatkowego. Znowu, dla sygnatury jednorodzajowej bez operacji, każda póo lhrata góorna skończenie zupe lna wklada sie na przynajmniej dwa róożne sposoby w nia samaa z dodanym nowym elementem najmniejszym (jeden to zwykle zanurzenie, drugi róożni sie od pierwszego tylko tym, że element najmniejszy jest odwzorowany na nowy element najmniejszy). 2. Kategoria KUPAlg(Σ, Φ) jest NIE, z KUP.1.a. NIE, z KUP.1.b. 3. Funktor P KUP Σ : KUPAlg(Σ) Set S ma lewy sprzeżony. NIE, z KUP.1.b: gdyby istnia l lewy sprzeżony, to obiekt wolny nad zbiorem pustym (wartośćc flewego sp[rzeżonego na obiekcie poczatkowym w Set S ) by lby obiektem poczatkowy w KUPAlg(Σ). 4. Funktor P KUP : KUPAlg(Σ, Φ) SetS ma lewy sprzeżony. NIE, z KUP Funktor G KUP Σ : KUPAlg(Σ) POSet S ma lewy sprzeżony. NIE, z KUP.1.b, podobnie jak w KUP Funktor G KUP : KUPAlg(Σ, Φ) POSetS ma lewy sprzeżony. NIE, z KUP Jeśli funktor P KUP Σ : KUPAlg(Σ) Set S ma lewy sprzeżony L KUP Σ : Set S KUPAlg(Σ), to niech M KUP Σ bedzie monadaa wyznaczonaa przez to sprzeżenie, a Alg(M KUP Σ ) bedzie kategoriaa algebr Eilenberga-Moore a dla tej monady. Czy funktor poróownania R KUP Σ : KUPAlg(Σ) Alg(M KUP Σ ) zgodny z odpowiednimi funktorami obu sprzeżeń NIE DOTYCZY, z KUP Jeśli funktor G KUP Σ : KUPAlg(Σ) POSet S ma lewy sprzeżony F KUP Σ : POSet S KUPAlg(Σ), to niech T KUP Σ bedzie monadaa wyznaczonaa przez to sprzeżenie, a Alg(T KUP Σ ) bedzie kategoriaa algebr Eilenberga-Moore a dla tej monady. Czy funktor poróownania K KUP Σ : KUPAlg(Σ) Alg(T KUP Σ ) zgodny z odpowiednimi funktorami obu sprzeżeń NIE DOTYCZY, z KUP.5.