Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
|
|
- Amalia Sawicka
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki: (I) α,β V f(α + β) = f(α) + f(β) oraz (II) α V a R f(a α) = a f(α) nazywamy przekszta lceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W. Stwierdzenie 9.2. Z lożenie przekszta lceń liniowych jest przekszta lceniem liniowym. Dowód. Niech f : V W i g : W U bed przekszta lceniami liniowymi. Wówczas dla dowolnych α, β V jest (g f)(α + β) = g(f(α + β)) = g(f(α) + f(β)) = g(f(α)) + g(f(β)) = (g f)(α) + (g f)(β) oraz dla dowolnych α V, a R jest: (g f)(a α) = g(f(a α)) = g(a f(α)) = a g(f(α)) = a (g f)(α). Zatem g f jest przekszta lceniem liniowym. Stwierdzenie 9.3. Niech f : V W bedzie V w przestrzeń liniow W. Wówczas: (i) f(θ) = θ, (ii) f( α) = f(α) dla każdego α V, (iii) f(α β) = f(α) f(β) dla dowolnych α, β V, (iv) f(a 1 α a n α n ) = a 1 f(α 1 ) a n f(α n ) dla dowolnych a 1,..., a n R, α 1,..., α n V i dla dowolnego n N. Dowód. (i). Na mocy (II) jest f(θ) = f(0 θ) = 0 f(θ) = θ. (ii). Na mocy (I) i (i) mamy, że f(α) + f( α) = f(α + ( α)) = f(θ) = θ, wiec f( α) = f(α). (iii). Na mocy (I) i (ii) jest f(α β) = f(α + ( β)) = f(α) + f( β) = f(α) + ( f(β)) = f(α) f(β). (iv). Stosujemy indukcje wzgledem n. Dla n = 1 teza wynika z (II). Za lóżmy, że teza zachodzi dla pewnego naturalnego n i niech a 1,..., a n+1 R oraz α 1,..., α n+1 V. Wtedy na mocy (I), (II) i za lożenia indukcyjnego mamy, że f(a 1 α a n+1 α n+1 ) = f((a 1 α a n α n ) + a n+1 α n+1 ) = f(a 1 α a n α n ) + f(a n+1 α n+1 ) = a 1 f(α 1 ) a n f(α n ) + a n+1 f(α n+1 ). Zatem teza zachodzi dla liczby n + 1. Stwierdzenie 9.4. Niech f : V W bedzie V w przestrzeń liniow W. Wówczas zbiór Ker(f) = {α V : f(α) = θ} zwany jadrem f jest podprzestrzeni przestrzeni V. Ponadto f jest różnowartościowe (tzn. f jest monomorfizmem liniowym) wtedy i tylko wtedy, gdy Ker(f) = {θ}. Dowód. Na mocy stwierdzenia 9.3(i) mamy, że θ Ker(f). Niech a R, α, β Ker(f). Wtedy na mocy (I) f(α + β) = f(α) + f(β) = θ + θ = θ, wiec α + β Ker(f) oraz na mocy (II) f(a α) = a f(α) = a θ = θ, skad a α Ker(f). Zatem Ker(f) jest podprzestrzenia przestrzeni V. 1
2 Za lóżmy, że f jest różnowartościowe i niech α Ker(f). Wtedy f(α) = θ. Ale na mocy stwierdzenia 9.3(i) jest θ = f(θ), wiec f(α) = f(θ), skad α = θ. Zatem Ker(f) = {θ}. Na odwrót, za lóżmy, że Ker(f) = {θ} i weźmy dowolne α, β V takie, że f(α) = f(β). Wtedy na mocy stwierdzenia 9.3(iii) jest θ = f(α) f(β) = f(α β), czyli α β Ker(f). Zatem α β = θ, skad α = β i f jest monomorfizmem. Uwaga 9.5. Każda podprzestrzeń W przestrzeni liniowej V jest jadrem pewnego przekszta lcenia liniowego f : V V. Rzeczywiście, z twierdzenia 7.30 istnieje podprzestrzeń U przestrzeni V taka, że V = W U i każdy wektor α V można zapisać jednoznacznie w postaci α = β + γ dla pewnych β W i γ U. Przyjmijmy: f(α) = γ. Weźmy dowolne α 1, α 2 V, a R. Wtedy istniej β 1, β 2 W, γ 1, γ 2 U takie, że α 1 = β 1 + γ 1 i α 2 = β 2 + γ 2, skad α 1 + α 2 = (β 1 + β 2 ) + (γ 1 + γ 2 ) oraz β 1 + β 2 W i γ 1 + γ 2 U. Zatem f(α 1 + α 2 ) = γ 1 + γ 2 = f(α 1 ) + f(α 2 ). Ponadto a α 1 = a β 1 + a γ 1 oraz a β 1 W i a γ 1 U, wiec f(a α 1 ) = a γ 1 = a f(α 1 ). Stad f jest przekszta lceniem liniowym. Nazywamy je rzutem przestrzeni V na podprzestrzeń U wzd luż podprzestrzeni W. Dla β W mamy, że β = β + θ i θ U, wiec f(β) = θ, skad W Ker(f). Jeśli zaś α Ker(f), to istniej β W i γ U takie, że α = β + γ i θ = f(α) = γ, skad α = β W. Zatem ostatecznie W = Ker(f). Latwo też zauważyć, że Im(f) = U. Stwierdzenie 9.6. Niech f : V W bedzie V w przestrzeń liniow W. Wówczas zbiór Im(f) = f(v ) = {f(α) : α V } zwany obrazem f jest podprzestrzeni przestrzeni W. Dowód. Ze stwierdzenia 9.3(i) mamy, że θ = f(θ) f(v ). Niech α, β f(v ). Wtedy istniej α 1, β 1 V takie, że α = f(α 1 ) i β = f(β 1 ). Zatem α + β = f(α 1 ) + f(β 1 ) = f(α 1 + β 1 ) f(v ) oraz dla a R: a α = a f(α 1 ) = f(a α 1 ) f(v ). Zatem f(v ) jest podprzestrzeni przestrzeni W. Stwierdzenie 9.7. Niech f : V W bedzie V w przestrzeń liniow W. Wówczas dla dowolnych wektorów α 1,..., α n V : jeżeli wektory f(α 1 ),..., f(α n ) s liniowo niezależne, to wektory α 1,..., α n też s Jeżeli dodatkowo f jest monomorfizmem, to wektory α 1,..., α n V s liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy wektory f(α 1 ),..., f(α n ) s Dowód. Niech α 1,..., α n V. Za lóżmy, że wektory f(α 1 ),..., f(α n ) s Weźmy dowolne a 1,..., a n R takie, że a 1 α a n α n = θ. Wtedy na mocy stwierdzenia 9.3 mamy, że a 1 f(α 1 ) a n f(α n ) = θ, skad z lnz wektorów f(α 1 ),..., f(α n ) jest a 1 =... = a n = 0, czyli wektory α 1,..., α n też s Niech teraz dodatkowo f bedzie monomorfizmem. Za lóżmy, że wektory α 1,..., α n s lnz i weźmy dowolne a 1,..., a n R takie, że a 1 f(α 1 )+...+a n f(α n ) = θ. Wtedy ze stwierdzenia 9.3 mamy, że f(a 1 α a n α n ) = f(θ), skad a 1 α a n α n = θ. Zatem z lnz wektorów α 1,..., α n wynika, że a 1 =... = a n = 0, czyli wektory f(α 1 ),..., f(α n ) s liniowo niezależne. Definicja 9.8. Przekszta lcenie liniowe f : V W nazywamy epimorfizmem, jeżeli f(v ) = W (tzn. f jest na ). Przekszta lcenie liniowe f : V V przestrzeni V w siebie nazywamy 2
3 endomorfizmem przestrzeni V. Uwaga 9.9. Z tych określeń wynika od razu, że izomorfizm liniowy jest to taki monomorfizm, który jest jednocześnie epimorfizmem. Stwierdzenie Niech f : V W bedzie izomorfizmem przestrzeni liniowych V i W. Jeżeli wektory α 1,..., α n tworz baze przestrzeni V, to wektory f(α 1 ),..., f(α n ) tworz baze przestrzeni W. Dowód. Ze stwierdzenia 9.7 wynika od razu, że wektory f(α 1 ),..., f(α n ) s Weźmy dowolne β W. Wtedy istnieje α V takie, że β = f(α). Zatem istnieja a 1,..., a n R takie, że α = a 1 α a n α n, skad na mocy stwierdzenia 9.3 jest, że β = a 1 f(α 1 ) a n f(α n ). Zatem wektory f(α 1 ),..., f(α n ) generuj przestrzeń W i sa liniowo niezależne, czyli tworz baze przestrzeni W. Twierdzenie Niech f : V W b edzie przekszta lceniem liniowym. Jeżeli przestrzeń V jest skończenie wymiarowa, to przestrzeń Im(f) też jest skończenie wymiarowa i zachodzi wzór: dim V = dim Ker(f) + dim Im(f). Dowód. Z twierdzenia 7.30 istnieje podprzestrzeń U przestrzeni V taka, że Ker(f) U = V i każdy wektor α V można jednoznacznie zapisać w postaci α = β + γ dla pewnych β Ker(f) i γ U. Stad f(α) = f(β) + f(γ) = θ + f(γ) = f(γ). Zatem Im(f) = f(u), czyli przekszta lcenie liniowe f U jest na. Weźmy dowolne γ Ker(f U). Wtedy γ U i γ Ker(f), wiec γ Ker(f) U = {θ}, skad γ = θ. Zatem ze stwierdzenia 9.4, f U jest monomorfizmem i ostatecznie f U : U Im(f) jest izomorfizmem. Zatem z twierdzenia 9.10, dim(im(f)) = dim(u). Stad przestrzeń Im(f) też jest skończenie wymiarowa. Ale z twierdzenia 7.26, dim(v ) = dim Ker(f) + dim(u), gdyż dim(ker(f) U) = 0, wiec dim V = dim Ker(f) + dim Im(f). Twierdzenie Niech wektory α 1,..., α n tworz baze przestrzeni liniowej V i niech β 1,..., β n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej W. Wówczas istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie liniowe f : V W takie, że f(α i ) = β i dla każdego i = 1,..., n. Ponadto takie f jest dane wzorem: f(a 1 α a n α n ) = a 1 β a n β n (1) dla a 1,..., a n R. Przekszta lcenie f jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy wektory β 1,..., β n s Ponadto f jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy wektory β 1,..., β n generuj przestrzeń W oraz f jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy wektory β 1,..., β n tworz baze przestrzeni W. Dowód. Dla przekszta lcenia f danego wzorem (1) mamy, że f(α i ) = β i przy i = 1,..., n. Weźmy dowolne α, β V i dowolne a R. Wtedy istniej a 1,..., a n, b 1,..., b n R takie, że α = a 1 α a n α n oraz β = b 1 α b n α n. Zatem f(α+β) = f((a 1 +b 1 ) α (a n +b n ) α n ) = (a 1 +b 1 ) β (a n +b n ) β n = (a 1 β a n β n )+(b 1 β b n β n ) = f(α) + f(β) oraz f(a α) = f((aa 1 ) α (aa n ) α n ) = (aa 1 ) β (aa n ) β n = 3
4 a (a 1 β a n β n ) = a f(α). Zatem f jest szukanym przekszta lceniem liniowym. Jeżeli g : V W jest przekszta lceniem liniowym takim, że g(α i ) = β i dla i = 1,..., n, to ze stwierdzenia 9.3 mamy, że g(a 1 α a n α n ) = a 1 g(α 1 ) a n g(α n ) = a 1 β a n β n = f(a 1 α a n α n ) dla dowolnych a 1,..., a n R. Ponieważ {α 1,..., α n } jest baz przestrzeni V, wiec stad g = f. Jeżeli f jest różnowartościowe, to na mocy stwierdzenia 9.7 wektory β 1 = f(α 1 ),..., β n = f(α n ) s Na odwrót, za lóżmy, że wektory β 1,..., β n s Niech α Ker(f). Wtedy istniej a 1,..., a n R takie, że α = a 1 α a n α n, skad Θ = f(α) = a 1 β a n β n, czyli a 1 =... = a n = 0 i α = Θ. Zatem na mocy stwierdzenia 9.4 f jest monomorfizmem. Jeżeli f jest epimorfizmem, to dla każdego β W istnieje α V takie, że β = f(α). Ale α = a 1 α a n α n dla pewnych a 1,..., a n R, wiec ze wzoru (1), β = a 1 β a n β n, czyli wektory β 1,..., β n generuj przestrzeń W. Na odwrót, za lóżmy, że wektory β 1,..., β n generuj przestrzeń W. Weźmy dowolne β W. Wtedy istniej a 1,..., a n R takie, że β = a 1 β a n β n = f(a 1 α a n α n ), czyli f jest epimorfizmem. Ostatnia cześć twierdzenia wynika z jego pierwszej cześci. Z twierdzenia 9.12 wynika od razu nastepuj ace, bardzo ważne w algebrze liniowej twierdzenie, pokazujace kluczow role przestrzeni R n wśród wszystkich przestrzeni skończenie wymiarowych. Twierdzenie Skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe V i W s izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy maj ten sam wymiar. Jeśli wektory α 1,..., α n tworz baze przestrzeni V, zaś wektory β 1,..., β n tworz baze przestrzeni W, to istnieje dok ladnie jeden taki izomorfizm f : V W, że f(α i ) = β i dla i = 1,..., n. W szczególności każda n-wymiarowa przestrzeń liniowa jest izomorficzna z przestrzeni R n. 2 Przyk lady i zastosowania przekszta lceń liniowych Przyk lad Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Wówczas przekszta lcenie f : V W dane wzorem f(α) = θ dla α V jest przekszta lceniem liniowym, bo dla α, β V, a R: f(α + β) = θ = θ + θ = f(α) + f(β) oraz f(a α) = θ = a θ = a f(α). Przekszta lcenie to nazywamy zerowym lub trywialnym. Przyk lad Niech V bedzie przestrzeni liniowa. Niech a bedzie dowoln ustalona liczba. Wtedy przekszta lcenie φ a : V V dane wzorem φ a (α) = a α dla α V, jest liniowe, gdyż dla α, β V, b R mamy, że φ a (α + β) = a (α + β) = a α + a β = φ a (α) + φ a (β) oraz φ a (b α) = a (b α) = (ab) α = (ba) α = b (a α) = b φ a (α). To przekszta lcenie nazywamy homoteti o wspó lczynniku a. Przyk lad Niech W bedzie podprzestrzeni przestrzeni liniowej V. Wówczas przekszta lcenie f : W V dane wzorem f(α) = α dla α W jest oczywiście liniowe. Jest ono ponadto monomorfizmem podprzestrzeni W w przestrzeń V. W szczególności przekszta lcenie 4
5 identycznościowe id V : V V dane wzorem id V (α) = α dla α V, jest przekszta lceniem liniowym. Przyk lad Opiszemy wszystkie przekszta lcenia liniowe f : R n R m dla dowolnych ustalonych liczb naturalnych m, n. Ponieważ wektory ε 1, ε 2,..., ε n tworz baze przestrzeni R n oraz dla dowolnych x 1,..., x n R jest [x 1,..., x n ] = x 1 ε x n ε n, wiec na mocy twierdzenia 9.12 wszystkimi przekszta lceniami liniowymi f : R n R m s jedynie przekszta lcenia f postaci: f([x 1,..., x n ]) = x 1 β x n β n, dla dowolnych ustalonych β 1,..., β n R m. Ale dla j = 1,..., n istniej a ij R (i = 1,..., m) takie, że β j = [a 1j, a 2j,..., a mj ], wiec stad otrzymujemy tzw. wzór analityczny na dowolne przekszta lcenie liniowe f : R n R m : f([x 1,..., x n ]) = [a 11 x a 1n x n,..., a m1 x a mn x n ]. (2) Zauważmy ponadto, że jeżeli a ij R dla i = 1,..., m, j = 1,..., n s a takie, że przekszta lcenie f dane wzorem (2) spe lnia wzór f([x 1,..., x n ]) = [a 11 x a 1n x n,..., a m1 x a mnx n ], to dla β j = [a 1j, a 2j,..., a mj ], j = 1,..., n, bedziemy mieli, że β j = f(ε j) = β j, czyli a ij = a ij dla wszystkich i, j. Wynika stad, że przekszta lcenie liniowe f : R n R m jest jednoznacznie wyznaczone przez m n-macierz A = [a ij ]. Ponadto z definicji mnożenia macierzy mamy, że dla przekszta lcenia f danego wzorem (2) zachodzi wzór: f([x 1,..., x n ]) = A x 1 x 2. x n. (3) Przy tych oznaczeniach mamy też, że f(r n ) = lin(β 1,..., β n ) oraz wektory β 1,..., β n możemy traktować jako kolumny macierzy A, wiec stad dla przekszta lcenia f mamy wzór: dim Im(f) = r(a). (4) Zatem z twierdzenia 9.11 mamy, że n = dim R n = dim Ker(f) + dim Im(f), wi ec na mocy wzoru (4): dim Ker(f) = n r(a). (5) Zauważmy też, że [a 1,..., a n ] Ker(f) wtedy i tylko wtedy, gdy [a 1,..., a n ] jest rozwiazaniem uk ladu jednorodnego a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0.. (6)..... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 5
6 Wynika stad nastepuj ace Twierdzenie Zbiór rozwiazań uk ladu jednorodnego (6) o macierzy wspó lczynników A jest podprzestrzeni przestrzeni liniowej R n wymiaru n r(a). Podamy teraz drugi sposób wyznaczania jednorodnego uk ladu równań liniowych o zadanej podprzestrzeni rozwiazań. Niech V bedzie dowoln podprzestrzeni przestrzeni liniowej R n. Wyznaczamy najpierw baze i wymiar podprzestrzeni V. Niech wektory α 1,..., α s tworz baze podprzestrzeni V. Wtedy dim V = s. W praktyce wyznaczamy baze V w takiej postaci, aby można by lo j uzupe lnić w prosty sposób do bazy przestrzeni R n pewnymi wektorami bazy kanonicznej przestrzeni R n. Niech wektory α 1,..., α s, β 1,..., β n s tworz baze przestrzeni R n. Na mocy twierdzenia 9.12 istnieje dok ladnie jeden epimorfizm f : R n R n s taki, że f(α i ) = Θ dla wszystkich i = 1,..., s oraz f(β j ) = ε j dla j = 1,..., n s. Z określenia f mamy, że V Ker(f). Ponadto dim Im(f) = dim R n s = n s, wiec z twierdzenia 9.11 mamy, że n = dim R n = dim Ker(f) + dim Im(f), skad dim Ker(f) = s. Ale dim V = s oraz V Ker(f), wiec stad V = Ker(f). Pozostaje zatem wyznaczyć wzór analityczny na przekszta lcenie f i w ten sposób uzyskamy natychmiast żadany uk lad jednorodny. Przyk lad Znajdziemy uk lad jednorodny równań liniowych, którego przestrzenia rozwi [ azań jest ] V = lin([1, [ 1, 1], [1, 1, 1]). ] Najpierw [ znajdujemy ] baze przestrzeni V : w 2 w w Zatem baza przestrzeni V jest {[1, 1, 1], [0, 1, 1]}. Nastepnie uzupe lniamy znalezion baze przestrzeni V do bazy ca lej przestrzeni R 3 przy pomocy wektora [0, 0, 1]. Istnieje przekszta lcenie liniowe f : R 3 R takie, że f([1, 1, 1]) = 0, f([0, 1, 1]) = 0, f([0, 0, 1]) = 1. Wtedy f([0, 1, 0]) = f([0, 1, 1]) + f([0, 0, 1]) = = 1 oraz f([1, 0, 0]) = f([1, 1, 1]) f([0, 1, 1]) = 0 0 = 0. Zatem dla dowolnych x 1, x 2, x 3 R mamy, że f([x 1, x 2, x 3 ]) = x 1 f([1, 0, 0])+x 2 f([0, 1, 0])+x 3 f([0, 0, 1]) = x 2 +x 3. Ale dim(imf) = 1, wiec dim(ker f) = 3 1 = 2. Ponadto V Ker f oraz dim(v ) = 2, wiec V = Ker f. Stad szukanym uk ladem równań jest: x 2 + x 3 = 0. Przyk lad Znajdziemy uk lad jednorodny równań liniowych, którego przestrzeń rozwiazań jest generowana przez wektory: [1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 0, 0, 3], [3, 1, 1, 1, 7], [0, 2, 1, 1, 2]. Znajdujemy najpierw baze podprzestrzeni V generowanej przez wektory: [1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 0, 0, 3], [3, 1, 1, 1, 7], [0, 2, 1, 1, 2] w 2 +w 4, w 3 +w 4 w 2 w 1, w 3 3w [ ].
7 Zatem baz V jest {[1, 1, 0, 0, 3], [0, 2, 1, 1, 2]} oraz dim V = 2. Ponieważ nasze wektory maja 5 wspó lrzednych, wiec szukany uk lad równań bedzie sie sk lada l z 5 2 = 3 równań. Ponadto baz przestrzeni R 5 jest {[1, 1, 0, 0, 3], [0, 2, 1, 1, 2], [0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 1]}, wiec istnieje przekszta lcenie liniowe f : R 5 R 3 takie, że f([1, 1, 0, 0, 3]) = [0, 0, 0], (7) f([0, 2, 1, 1, 2]) = [0, 0, 0], (8) f([0, 0, 1, 0, 0]) = [1, 0, 0], (9) f([0, 0, 0, 1, 0]) = [0, 1, 0], (10) f([0, 0, 0, 0, 1]) = [0, 0, 1]. (11) Ponieważ wektory [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] tworz baze przestrzeni R 3 oraz należ do f(r 5 ), wiec f(r 5 ) = R 3, czyli dim f(r 5 ) = 3. Ale 5 = dim R 5 = dim Ker(f) + dim f(r 5 ), wiec dim Ker(f) = 5 3 = 2. Ponadto z (7) i (8) mamy, że V = lin([1, 1, 0, 0, 3], [0, 2, 1, 1, 2]) Ker(f) oraz dim V = 2, wiec V = Ker(f). Pozostaje zatem wyznaczyć wzór analityczny na takie przekszta lcenie f. Niech ε 1 = [1, 0, 0, 0, 0], ε 2 = [0, 1, 0, 0, 0], ε 3 = [0, 0, 1, 0, 0], ε 4 = [0, 0, 0, 1, 0], ε 5 = [0, 0, 0, 0, 1]. Wtedy dla dowolnych x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 R: [x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ] = x 1 ε 1 + x 2 ε 2 + x 3 ε 3 + x 4 ε 4 + x 5 ε 5. Zatem z liniowości przekszta lcenia f mamy, że f([x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ]) = x 1 f(ε 1 ) + x 2 f(ε 2 ) + x 3 f(ε 3 ) + x 4 f(ε 4 ) + x 5 f(ε 5 ). Ze wzoru (8) mamy, że 2 f(ε 2 ) f(ε 3 ) + f(ε 4 ) + 2 f(ε 5 ) = [0, 0, 0], wiec 2 f(ε 2 ) [1, 0, 0] + [0, 1, 0] + 2 [0, 0, 1] = [0, 0, 0], skad f(ε 2 ) = [ 1 2, 1 2, 1]. Ze wzoru (7) mamy, że f(ε 1 )+f(ε 2 )+3 f(ε 5 ) = [0, 0, 0], czyli f(ε 1 )+[ 1 2, 1 2, 1]+3 [0, 0, 1] = [0, 0, 0], skad f(ε 1 ) = [ 1 2, 1 2, 2]. St ad f([x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ]) = x 1 [ 1 2, 1 2, 2]+x 2 [ 1 2, 1 2, 1]+x 3 [1, 0, 0]+x 4 [0, 1, 0]+x 5 [0, 0, 1] = [ 1 2 x x 2 + x 3, 1 2 x x 2 + x 4, 2x 1 x 2 + x 5 ]. Zatem V = Ker(f) jest zbiorem rozwiazań uk ladu równań: 1 2 x x 2 + x 3 = x x 2 + x 4 = 0. 2x 1 x 2 + x 5 = 0 7
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoWyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoA. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe w zadaniach
Przestrzenie linioe zadaniach Zadanie 1. Cz ektor [3, 4, 4 jest kombinacja linioa ektoró [1, 1, 1, [1, 0, 1, [1, 3, 5 przestrzeni R 3? Roziazanie. Szukam x,, z R takich, że [3, 4, 4 x [1, 1, 1 + [1, 0,
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Bardziej szczegółowo(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoZadania z GAL-u. 1 Rozwia. Listopad x + 3y = 1 3x + y = x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 1.2
Zadania z GAL-u Listopad 2004 1 Rozwia zać uk lady równań: 11 12 13 14 15 { 2x + 3y = 1 3x + y = 0 x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 3x + y + z = 1 x + 2z = 6 3y + 2z = 0 2x + 3y + 2z = 1 3x + 4y
Bardziej szczegółowoEgzamin z algebry liniowej 2003 r.
Egzamin z algebry linioej 003 r. Cześć I na ocene dostateczna Zadanie. Wyznacz szystkie liczby zespolone z takie, że a) z = 8 + 6i, b) ( + 3i) z = i. Zadanie. Wykonaj podane dzia lania macierzoe: [ 3 0
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowo6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych
konspekt wykladu - 2009/10 1 6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych Definicja 6.1. Niech V, U be przestrzeniami liniowymi nad cialem K. Przeksztalcenie F : V W nazywamy przeksztalceniem liniowym (homomorfizmem
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoUkłady liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Bardziej szczegółowoGAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne
GAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne 4 kwietnia 2017 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej 1 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
Bardziej szczegółowoPierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta
Pierścienie rupowe wyk lad 3 Już wiemy, że alebre rupowa CG skończonej rupy G można roz lożyć na sume lewych podmodu lów prostych Oólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume prosta jeo dwóch podmodu
Bardziej szczegółowoWarunki dzia lań na wektorach - aksjomaty przestrzeni liniowej a) b) daja podobnie do wektorów: strza lki, si la, pre
PRZESTRZENIE LINIOWE V = V, +,,, 0, K Warunki dzia lań na wektorach - aksjomaty przestrzeni liniowej a) b) c) d) e) f) g) h) v V v V u V u V (v + u = u + v) w V v V (v + 0 = v) (v + v V v = 0) (1 v = v)
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoSeria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie
Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie
Bardziej szczegółowoGAL z aweber/zadania/gal2017gw/ Wersja
Przestrzenie rzutowe GAL z 27 http://wwwmimuwedupl/ aweber/zadania/gal27gw/ Wersja 2627 Patrz osobny plik http://wwwmimuwedupl/ aweber/zadania/gal27gw/przestrzenie rzutowe-zadaniapdf Do zrobienia na ćwiczeniach:
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 29 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoRozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Bardziej szczegółowoZmiana baz. Jacek Jędrzejewski 2014. 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2
Zmiana baz Jacek Jędrzejewski 2014 Spis treści 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2 2 Wektory a zmiana baz 2 21 Współrzędne wektora względem różnych baz 2 22 Wektory o tych samych współrzędnych względem
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowo4 Przekształcenia liniowe
MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami
Bardziej szczegółowoZadania o liczbach zespolonych
Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoWYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Bardziej szczegółowo1 Podobieństwo macierzy
GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Przyk lady homomorfizmów
Wyk lad 6 Przyk lady hooorfizów Przyk lad 6.1. Dla dowolnych grup (G 1, 1, e 1 ), (G 2, 2, e 2 ) przekszta lcenie f: G 1 G 2 dane wzore f(x) = e 2 dla x G 1 jest hooorfize grup, bo f(a) 2 f(b) = e 2 2
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoLiteratura: Oznaczenia:
Literatura: 1. R.R.Andruszkiewicz,,,Wyk lady z algebry ogólnej I, Wydawnictwo UwB, Bia lystok 2005. 2. Cz. Bagiński,,,Wst ep do teorii grup, Wydawnictwo Script, Warszawa 2002. 3. M. Bryński i J. Jurkiewicz,,,Zbiór
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.
Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii)
Bardziej szczegółowoWykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
Bardziej szczegółowoR k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0
Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}
Bardziej szczegółowoGAL, konspekt wyk ladów: Tensory
GAL, konspekt wyk ladów: Tensory 15.6.2018 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk. [Kos roz. 6]. Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej. 1 Iloczyn
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Bardziej szczegółowow teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak
Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoNiesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoEndomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady
Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoGAL, konspekt wyk ladów: Tensory
GAL, konspekt wyk ladów: Tensory 8.6.2017 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk. [Kos roz. 6]. Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej. 1 Iloczyn tensorowy
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowo