Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
|
|
|
- Wanda Janiszewska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
2 Literatura: W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN. H. Rasiowa, Wstȩp do matematyki wspó lczesnej, PWN. K. Kuratowski, Wstȩp do teorii mnogości i topologii, PWN. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wyk lady ze wstȩpu do matematyki. PWN W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wstȩp do matematyki. Zbiór zadań, PWN M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
3 Literatura: W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN. H. Rasiowa, Wstȩp do matematyki wspó lczesnej, PWN. K. Kuratowski, Wstȩp do teorii mnogości i topologii, PWN. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wyk lady ze wstȩpu do matematyki. PWN W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wstȩp do matematyki. Zbiór zadań, PWN Materia ly do ćwiczeń: Strony internetowy. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
4 Literatura: W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN. H. Rasiowa, Wstȩp do matematyki wspó lczesnej, PWN. K. Kuratowski, Wstȩp do teorii mnogości i topologii, PWN. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wyk lady ze wstȩpu do matematyki. PWN W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wstȩp do matematyki. Zbiór zadań, PWN Materia ly do ćwiczeń: Strony internetowy. Dodatkowe materia ly M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
5 Zbigniew Huzar Logika dostarcza jȩzyka do przedstawiania i badania w lasności modeli informatycznych, w tym systemów komputerowych i jȩzyków programowania, a zw laszcza środków do definiowania sk ladni i semantyki jȩzyków programowania. W jȩzyku logiki można specyfikować wymagania stawiane projektowanym systemom oprogramowania. Jȩzyk logiki może ponadto być bezpośrednio używany jako jȩzyk programowania. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
6 Zbigniew Huzar Logika dostarcza jȩzyka do przedstawiania i badania w lasności modeli informatycznych, w tym systemów komputerowych i jȩzyków programowania, a zw laszcza środków do definiowania sk ladni i semantyki jȩzyków programowania. W jȩzyku logiki można specyfikować wymagania stawiane projektowanym systemom oprogramowania. Jȩzyk logiki może ponadto być bezpośrednio używany jako jȩzyk programowania. Szczególn a rolȩ odgrywa logika w procesie wytwarzania oprogramowania. Na gruncie logiki sta lo siȩ możliwe sformu lowanie pojȩcia poprawności programów, a nastȩpnie opracowanie metod weryfikacji ich poprawności. Proces wytwarzania oprogramowania, jak na przyk lad w inżynierii oprogramowania, jest obecnie w coraz wiȩkszym zakresie wspomagany przez komputer. Budowa narzȩdzi wspomagaj acych ten proces opiera siȩ na formalnych metodach, maj acych oparcie na gruncie logiki. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
7 Plan wyk ladu: Rachunek zdań M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
8 Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
9 Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
10 Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
11 Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje Relacje równoważności M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
12 Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje Relacje równoważności Czȩściowe porz adki M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
13 Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje Relacje równoważności Czȩściowe porz adki Indukcja matematyczna M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
14 Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje Relacje równoważności Czȩściowe porz adki Indukcja matematyczna Teoria mocy M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
15 Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje Relacje równoważności Czȩściowe porz adki Indukcja matematyczna Teoria mocy Drzewa i relacje M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
16 Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje Relacje równoważności Czȩściowe porz adki Indukcja matematyczna Teoria mocy Drzewa i relacje Algebry Boole a M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
17 Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje Relacje równoważności Czȩściowe porz adki Indukcja matematyczna Teoria mocy Drzewa i relacje Algebry Boole a Kraty i drzewa M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
18 Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje Relacje równoważności Czȩściowe porz adki Indukcja matematyczna Teoria mocy Drzewa i relacje Algebry Boole a Kraty i drzewa Aksjomaty teorii mnogości M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
19 Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje Relacje równoważności Czȩściowe porz adki Indukcja matematyczna Teoria mocy Drzewa i relacje Algebry Boole a Kraty i drzewa Aksjomaty teorii mnogości Liczby porz adkowe i kardynalne M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
20 Zdania Symbole p 0, p 1, p 2,... nazywać bȩdziemy zmiennymi zdaniowymi. Symbole i s a sta lymi; symbol nazywamy zdaniem zawsze prawdziwym, zdaniem zawsze fa lszywym. Rozważamy ponadto spójniki logiczne:,,,,. Spójnik nazywamy koniunkcj a, alternatyw a, negacja lub zaprzeczeniem. Kolejne dwa spójniki to implikacja i równoważność. Do konstrukcji jȩzyka Rachunku Zdań potrzebujemy jeszcze dwóch symboli. S a nimi nawiasy. Pierwszy z nich, (, nazywamy nawiasem otwieraj acym zaś drugi, ), nawiasem zamykaj acym. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
21 Definicja 1.1 Zmienne zdaniowe oraz sta le i s a zdaniami M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
22 Definicja 1.1 Zmienne zdaniowe oraz sta le i s a zdaniami Jeśli wyrażenia φ oraz ψ s a zdaniami, to zdaniami s a też: φ ψ, φ ψ, φ ψ, φ ψ, ψ M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
23 Definicja 1.1 Zmienne zdaniowe oraz sta le i s a zdaniami Jeśli wyrażenia φ oraz ψ s a zdaniami, to zdaniami s a też: φ ψ, φ ψ, φ ψ, φ ψ, ψ Dowolne wyrażenie zbudowane ze zmiennych zdaniowych poprzez zastosowanie skończonej liczby regu l z poprzedniego punktu jest także zdaniem M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
24 Wartści logiczne Wartościami logicznymi nazywamy symbole 0 i 1, które interpretujemy jako fa lsz i prawdȩ. x y x y x y x y x y x M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
25 Wartści logiczne Wartościami logicznymi nazywamy symbole 0 i 1, które interpretujemy jako fa lsz i prawdȩ. Na zbiorze {0, 1} określamy dzia lania,,,, zgodnie z nastȩpuj acymi zasadami: x y x y x y x y x y x M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
26 Definicja 1.2 Waluacj a nazywamy dowolny ci ag π = (w 0, w 1,...) taki, że dla dowolnego i, w i {0, 1} (jest wartości a logiczn a). M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
27 Definicja 1.3 (Wartościowanie) Niech π bȩdzie waluacj a. Dla dowolnego i, określamy wówczas π(p i ) = w i M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
28 Definicja 1.3 (Wartościowanie) Niech π bȩdzie waluacj a. Dla dowolnego i, określamy wówczas π(p i ) = w i π( ) = 1, π( ) = 0 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
29 Definicja 1.3 (Wartościowanie) Niech π bȩdzie waluacj a. Dla dowolnego i, określamy wówczas π(p i ) = w i π( ) = 1, π( ) = 0 Jeśli ψ oraz φ s a zdaniami dla których określone s a już wartości π(ψ) oraz π(φ), to π(ψ φ) = π(ψ) π(φ) π(ψ φ) = π(ψ) π(φ) π(ψ φ) = π(ψ) π(φ) π(ψ φ) = π(ψ) π(φ) π( ψ) = (π(ψ)) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
30 Definicja 1.3 (Wartościowanie) Niech π bȩdzie waluacj a. Dla dowolnego i, określamy wówczas π(p i ) = w i π( ) = 1, π( ) = 0 Jeśli ψ oraz φ s a zdaniami dla których określone s a już wartości π(ψ) oraz π(φ), to π(ψ φ) = π(ψ) π(φ) π(ψ φ) = π(ψ) π(φ) π(ψ φ) = π(ψ) π(φ) π(ψ φ) = π(ψ) π(φ) π( ψ) = (π(ψ)) Jeśli ψ = ψ(p 0,..., p n ) oraz π jest waluacj a, to π(ψ) = π(ψ(p 0,..., p n )) = ψ(π(p 0 ),..., π(p n )) gdzie ostatnie wyrażenie powstaje poprzez odpowiednie podstawienie i zależy od wyjściowych π oraz ψ. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, / 28
31 Przyk lad Niech π = (0, 0, 1, 0, 1,...) oraz niech ψ = (p 0 p 1 ) p 3. Wówczas π(ψ) = π((p 0 p 1 ) p 3 ) = (π(p 0 ) π(p 1 )) π(p 3 ) = = (0 0) 0 = 0 1 = 0. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
32 Przyk lad Niech π = (0, 0, 1, 0, 1,...) oraz niech ψ = (p 0 p 1 ) p 3. Wówczas π(ψ) = π((p 0 p 1 ) p 3 ) = (π(p 0 ) π(p 1 )) π(p 3 ) = MNIEJ FORMALNIE: = (0 0) 0 = 0 1 = 0. π(ψ) = (0 0) 0 = 0 1 = 0 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
33 Definicja 1.4 Zdanie ψ nazywamy tautologi a jeśli π(ψ) = 1 dla dowolnej waluacji π. Zapis: ψ. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
34 Przyk lad Zdanie ψ = ((p 0 p 1 ) p 2 ) ( p 2 ( p 0 p 1 )) jest tautologi a. WYKAZAĆ!!! M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
35 Zdanie sprzeczne. Zdanie spe lnialne Zdanie ψ nazywamy sprzecznym jeśli ψ jest tautologi a M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
36 Zdanie sprzeczne. Zdanie spe lnialne Zdanie ψ nazywamy sprzecznym jeśli ψ jest tautologi a Zdanie ψ nazywamy spe lnialnym gdy nie jest tautologi a oraz istnieje waluacja π taka, że π(ψ) = 1 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
37 Twierdzenie 1.1 Jeżeli dane zdanie ψ = ψ(p 0,..., p n ) jest tautologi a oraz φ 0,..., φ n s a zdaniami, to zdanie ψ(φ 0,..., φ n ) również jest tautologi a. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
38 Twierdzenie 1.1 Jeżeli dane zdanie ψ = ψ(p 0,..., p n ) jest tautologi a oraz φ 0,..., φ n s a zdaniami, to zdanie ψ(φ 0,..., φ n ) również jest tautologi a. Dowód: Dla dowolnej waluacji π mamy π(ψ(φ 0,..., φ n )) = ψ(π(φ 0 ),..., π(φ n )). Niech teraz π bȩdzie waluacj a tak a, że π (p i ) = π(φ i ) dla dowolnego i {0, 1,..., n}. Wówczas π(ψ(φ 0,..., φ n )) = ψ(π(φ 0 ),..., π(φ n )) = ψ(π (p 0 ),..., π (p n )) = = π (ψ(p 0,..., p n )) = 1 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
39 Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... idempotentność: (p p) p, (p p) p M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
40 Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... idempotentność: (p p) p, (p p) p przemienność: (p q) (q p), (p q) (q p) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
41 Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... idempotentność: (p p) p, (p p) p przemienność: (p q) (q p), (p q) (q p) laczność: (p (q r)) ((p q) r), (p (q r)) ((p q) r) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
42 Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... idempotentność: (p p) p, (p p) p przemienność: (p q) (q p), (p q) (q p) laczność: (p (q r)) ((p q) r), (p (q r)) ((p q) r) rozdzielność: (p (q r)) (p q) (p r) (p (q r)) (p q) (p r) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
43 Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... idempotentność: (p p) p, (p p) p przemienność: (p q) (q p), (p q) (q p) laczność: (p (q r)) ((p q) r), (p (q r)) ((p q) r) rozdzielność: (p (q r)) (p q) (p r) (p (q r)) (p q) (p r) podwójna negacja: ( p) p M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
44 Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... idempotentność: (p p) p, (p p) p przemienność: (p q) (q p), (p q) (q p) laczność: (p (q r)) ((p q) r), (p (q r)) ((p q) r) rozdzielność: (p (q r)) (p q) (p r) (p (q r)) (p q) (p r) podwójna negacja: ( p) p prawo wy laczonego środka: (p p) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
45 Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... idempotentność: (p p) p, (p p) p przemienność: (p q) (q p), (p q) (q p) laczność: (p (q r)) ((p q) r), (p (q r)) ((p q) r) rozdzielność: (p (q r)) (p q) (p r) (p (q r)) (p q) (p r) podwójna negacja: ( p) p prawo wy laczonego środka: (p p) brak trzeciej możliwości: p p M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
46 Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... prawa de Morgana: (p q) ( p q), (p q) ( p q) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
47 Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... prawa de Morgana: (p q) ( p q), (p q) ( p q) przechodniość implikacji: ((p q) (q r)) (p r) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
48 Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... prawa de Morgana: (p q) ( p q), (p q) ( p q) przechodniość implikacji: ((p q) (q r)) (p r) eliminacja implikacji: (p q) ( p q) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
49 Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... prawa de Morgana: (p q) ( p q), (p q) ( p q) przechodniość implikacji: ((p q) (q r)) (p r) eliminacja implikacji: (p q) ( p q) eliminacja równoważności: (p q) ((p q) (q p)), (p q) ((p q) ( p q)) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
50 Definicja 1.5 Powiemy, że zdania α i β s a równoważne (zapisujemy α β) jeśli (α β). UWAGA: α β wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej waluacji π zachodzi π(α) = π(β) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
51 W lasności równoważności α α M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
52 W lasności równoważności α α jeśli α β, to β α M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
53 W lasności równoważności α α jeśli α β, to β α jeśli α β oraz β γ, to α γ M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
54 W lasności równoważności α α jeśli α β, to β α jeśli α β oraz β γ, to α γ α wtedy i tylko wtedy, gdy α M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
55 W lasności równoważności α α jeśli α β, to β α jeśli α β oraz β γ, to α γ α wtedy i tylko wtedy, gdy α α wtedy i tylko wtedy, gdy α M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
56 Twierdzenie 1.2. Jeśli zdanie ϕ jest zdaniem sprzecznym, to dla dowolnego ψ, zdanie ϕ ψ jest tautologi a M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
57 Twierdzenie 1.2. Jeśli zdanie ϕ jest zdaniem sprzecznym, to dla dowolnego ψ, zdanie ϕ ψ jest tautologi a Dowód: Rozważmy dowoln a waluacjȩ π. Wówczas π(ϕ ψ) = (π(ϕ) π(ψ)) = (0 π(ψ)) = 1 (z tabelki). M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
58 Metody dowodzenia twierdzeń M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
59 Metody dowodzenia twierdzeń (ψ 1... ψ n ) ϕ M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
60 Metody dowodzenia twierdzeń (ψ 1... ψ n ) ϕ Zdania ψ 1,..., ψ n nazywamy za lożeniami M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
61 Metody dowodzenia twierdzeń (ψ 1... ψ n ) ϕ Zdania ψ 1,..., ψ n nazywamy za lożeniami ϕ nazywamy tez a M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
62 Definicja 1.6 Powiemy, że zdanie ϕ wynika ze zdań ψ 1,..., ψ n (zapisujemy {ψ 1,..., ψ n } ϕ) jeśli dla dowolnej waluacji π takiej, że π(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = 1 mamy π(ϕ) = 1 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
63 Definicja 1.6 Powiemy, że zdanie ϕ wynika ze zdań ψ 1,..., ψ n (zapisujemy {ψ 1,..., ψ n } ϕ) jeśli dla dowolnej waluacji π takiej, że π(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = 1 mamy π(ϕ) = 1 Wyrażenie postaci {ψ 1,..., ψ n } ϕ które s a prawdziwe nazywamy regu lami wnioskowania M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
64 Twierdzenie 1.3 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1.{ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
65 Twierdzenie 1.3 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1.{ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Dowód: (1) (2): Zak ladamy, że {ψ 1,..., ψ n } ϕ. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
66 Twierdzenie 1.3 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1.{ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Dowód: (1) (2): Zak ladamy, że {ψ 1,..., ψ n } ϕ. Musimy pokazać, że (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
67 Twierdzenie 1.3 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1.{ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Dowód: (1) (2): Zak ladamy, że {ψ 1,..., ψ n } ϕ. Musimy pokazać, że (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Rozważmy zatem dowoln a waluacjȩ π M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
68 Twierdzenie 1.3 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1.{ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Dowód: (1) (2): Zak ladamy, że {ψ 1,..., ψ n } ϕ. Musimy pokazać, że (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Rozważmy zatem dowoln a waluacjȩ π π((ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ) = (π(ψ 1 )... π(ψ n )) π(ϕ) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
69 Twierdzenie 1.3 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1.{ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Dowód: (1) (2): Zak ladamy, że {ψ 1,..., ψ n } ϕ. Musimy pokazać, że (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Rozważmy zatem dowoln a waluacjȩ π π((ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ) = (π(ψ 1 )... π(ψ n )) π(ϕ) Jeśli π(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = 1, to z za lożenia π(ϕ) = 1 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
70 Twierdzenie 1.3 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1.{ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Dowód: (1) (2): Zak ladamy, że {ψ 1,..., ψ n } ϕ. Musimy pokazać, że (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Rozważmy zatem dowoln a waluacjȩ π π((ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ) = (π(ψ 1 )... π(ψ n )) π(ϕ) Jeśli π(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = 1, to z za lożenia π(ϕ) = 1 (2) (1): Zak ladamy, że (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ jest tautologi a oraz rozważamy dowoln a waluacjȩ dla którejπ(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = 1. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
71 Twierdzenie 1.3 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1.{ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Dowód: (1) (2): Zak ladamy, że {ψ 1,..., ψ n } ϕ. Musimy pokazać, że (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Rozważmy zatem dowoln a waluacjȩ π π((ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ) = (π(ψ 1 )... π(ψ n )) π(ϕ) Jeśli π(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = 1, to z za lożenia π(ϕ) = 1 (2) (1): Zak ladamy, że (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ jest tautologi a oraz rozważamy dowoln a waluacjȩ dla którejπ(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = 1. Punkt 2. otrzymujemy ponownie korzystaj ac z operatora. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
72 Twierdzenie 1.4 Pewne regu ly wnioskowania {p} p M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
73 Twierdzenie 1.4 Pewne regu ly wnioskowania {p} p {p, p} q M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
74 Twierdzenie 1.4 Pewne regu ly wnioskowania {p} p {p, p} q {p, q} p q M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
75 Twierdzenie 1.4 Pewne regu ly wnioskowania {p} p {p, p} q {p, q} p q {p q} p {p q, p q} q M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
76 Twierdzenie 1.4 Pewne regu ly wnioskowania {p} p {p, p} q {p, q} p q {p q} p {p, p q} q (modus ponens) {p q, p q} q M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
77 Twierdzenie 1.5 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1. {ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. nie istanieje waluacja π taka, że π(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = π( ϕ) = 1 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
78 Twierdzenie 1.5 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1. {ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. nie istanieje waluacja π taka, że π(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = π( ϕ) = 1 Dowód: M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
79 Twierdzenie 1.5 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1. {ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. nie istanieje waluacja π taka, że π(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = π( ϕ) = 1 Dowód: Proszȩ przygotować w domu:) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
80 Dowody wprost Polegaj a na pokazaniu, że z za lożeń twierdzenia wynika jego teza M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
81 Dowody wprost Polegaj a na pokazaniu, że z za lożeń twierdzenia wynika jego teza Przyk lad: Jeśli a > 0, b > 0 oraz a 2 + b 2 > 3, to (a + b) 2 > 3 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
82 Dowody Nie Wprost Wykorzystujemy tautologiȩ ( q p) (p q) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
83 Dowody Nie Wprost Wykorzystujemy tautologiȩ ( q p) (p q) lub jeśli ktoś woli regu lȩ { q p} p q M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
84 Dowody Nie Wprost Wykorzystujemy tautologiȩ ( q p) (p q) lub jeśli ktoś woli regu lȩ { q p} p q fa lszywość tezy poci aga fa lszywość za lożenia M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
85 Dowody Nie Wprost Wykorzystujemy tautologiȩ ( q p) (p q) lub jeśli ktoś woli regu lȩ { q p} p q fa lszywość tezy poci aga fa lszywość za lożenia Przyk lad: Jeśli 2 nie dzieli sumy dwóch liczb naturalnych, to przynajmniej jedna z tych liczb jest nieparzysta. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
86 Dowody przez sprowadzenie do sprzeczności Mamy ((ψ ϕ) ) (ψ ϕ) (ψ ϕ) ψ ϕ ψ ϕ M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
87 Dowody przez sprowadzenie do sprzeczności Mamy ((ψ ϕ) ) (ψ ϕ) (ψ ϕ) ψ ϕ ψ ϕ Zatem mamy regu lȩ wnioskowania {(ψ ϕ) } ψ ϕ M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
88 Dowody przez sprowadzenie do sprzeczności Mamy ((ψ ϕ) ) (ψ ϕ) (ψ ϕ) ψ ϕ ψ ϕ Zatem mamy regu lȩ wnioskowania {(ψ ϕ) } ψ ϕ Przyk lad: Jeśli x 2 = 3, to x nie jest liczb a wymiern a. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
89 Dowody przez sprowadzenie do sprzeczności Mamy ((ψ ϕ) ) (ψ ϕ) (ψ ϕ) ψ ϕ ψ ϕ Zatem mamy regu lȩ wnioskowania {(ψ ϕ) } ψ ϕ Przyk lad: Jeśli x 2 = 3, to x nie jest liczb a wymiern a. Korzystaj ac z regu ly rozważanej trzeba pokazać, że za lożenie x 2 = 3 i x jest liczb a wymiern a prowadzi do sprzeczności. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
90 Dowody przez rozważenie przypadków {p q, p q} q M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
91 Dowody przez rozważenie przypadków {p q, p q} q Przyk lad: Dla dowolnej liczb rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x x M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, / 28
Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas
Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Ćwiczenie 1. (Zad. L. Newelskiego) Niech p oznacza zdanie Ala je, zaś q zdanie As wyje. Zapisz jako formu ly rachunku zdań nastȩpuj ace zdania: 1.1.
1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Matematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Rachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe
Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
LOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Logika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Elementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1. P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Logika Hoare a
25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Logika Hoare a Rozważamy najprostszy model imperatywnego jezyka programowania z jednym typem danych. Wartości tego
Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na
Elementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne
Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań
Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie
Wykłady ze Wstępu do Matematyki. Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska
Wykłady ze Wstępu do Matematyki Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska MAJ 2012 Spis treści 1 Rachunek Zdań 7 1.1 Zdania i Waluacje............................ 7 1.2 Przegląd Najważniejszych Tautologii..................
Cia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Definicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór
Logika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Wykłady ze Wstępu do Matematyki. Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska
Wykłady ze Wstępu do Matematyki Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska MAJ 2012 Spis treści 1 Rachunek Zdań 7 1.1 Zdania i Waluacje............................ 7 1.2 Przegląd Najważniejszych Tautologii..................
Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26
Wykład 1 Informatyka Stosowana 3 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 1 / 26 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) ( Egzamin) 30h (w semetrze letnim ) ( Egzamin) Zajęcia praktyczne:
Wartości logiczne. Za zdanie b. Powiedzenie studenci miewaja
Wartości logiczne Za zdanie b edziemy uważać dowolne stwierdzenie, o którym można powiedzieć, że jest albo prawdziwe, albo fa lszywe, i które nie może być jednocześnie i prawdziwe, i fa lszywe. Powiedzenie
Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.
Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność
Logika formalna SYLABUS A. Informacje ogólne
Logika formalna SYLABUS A. Informacje ogólne studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Rodzaj przedmiotu Rok studiów /semestr Wymagania wstępne Liczba godzin zajęć Założenia i cele przedmiotu
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 14 stycznia 2013 1 Kraty 1. Pokazać, że każda klasa kongruencji kraty (K, +, ) jest podkrata kraty (K, +, ). 2. Znaleźć wszystkie kongruencje kraty 2 3, gdzie 2 jest
W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14
Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10
Zasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Logika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Elementy logiki 1. Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa.
Rachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A
WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Teoria mnogości Set theory Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba godzin/tydzień:
KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 7
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory Kod Punktacja ECTS* 7 Koordynator Dr hab. prof. UP Piotr Błaszczyk Zespół dydaktyczny: Dr hab. prof.
Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania
Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania Testerzy oprogramowania lub osoby odpowiedzialne za zapewnienie jakości oprogramowania oprócz wykonywania testów mogą zostać
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Logika i teoria mnogości Ćwiczenia
Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje
Elementy logiki. Zdania proste i złożone
Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie
Logika i teoria mnogości Ćwiczenia
Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Wykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33
Wykład 1 Informatyka Stosowana 2 października 2017 Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 1 / 33 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) (Egzamin) 30h (w semetrze letnim) (Egzamin) 3h lekcyjne
Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
4 Klasyczny rachunek zdań
4 Klasyczny rachunek zdań Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Spis najważniejszych tautologii: (a) p p prawo wyłączonego środka (b) ( p) p prawo podwójnej negacji (c) p q q p (d) p q q p prawo
http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/wstep.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego, wypracowanie podstawowych umiejętności przeprowadzania
Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości
Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Konsekwencja logiczna
Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami
Logika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW
Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika
Schematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu
Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit
Paradygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów
Rozdział 1. Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów 1.1. Zdania Przez α, β będziemy oznaczać zdania. Każdemu zdaniu możemy przyporządkować wartość logiczną 1, gdy jest prawdziwe oraz wartość logiczną
Adam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Wykład 1. Informatyka Stosowana. 1 października Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października / 26
Wykład 1 Informatyka Stosowana 1 października 2018 Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 1 / 26 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) (Egzamin) 30h (w semetrze letnim) (Egzamin) 3h lekcyjne
Lista 1 (elementy logiki)
Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły
Logika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:
Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze
Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym
Szymon G l ab. Struktury losowe II Graf losowy. Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka
Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka Graf losowy jako granica Fraisse Przez K graf oznaczmy rodzinȩ wszystkich skończonych grafów (np. na N). Niech G bȩdzie granic a Fraisse rodziny K graf. Strukturȩ
KARTA KURSU. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory Kod Punktacja ECTS* 6 Koordynator Dr hab. prof. UP Piotr Błaszczyk Zespół dydaktyczny dr Antoni
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
LOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:
SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],
Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia
Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Kwantyfikatory. 5 6 Relacje 7
SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017
Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2020 realizacja w roku akademickim 2016/2017 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu
Elementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje
Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.put.poznan.pl/ maciej.grzesiak Konsultacje: poniedziałek, 8.45-9.30, środa 8.45-9.30, piątek 9.45-10.30, pokój 724E Treść
Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S.
Logika binarna Logika binarna zajmuje się zmiennymi mogącymi przyjmować dwie wartości dyskretne oraz operacjami mającymi znaczenie logiczne. Dwie wartości jakie mogą te zmienne przyjmować noszą przy tym
Rachunek zdao i logika matematyczna
Rachunek zdao i logika matematyczna Pojęcia Logika - Zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Rachunek zdao - dział logiki
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne
Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 25 IV 2010 Plan wykładu: Intuicje dotyczące poprawności wnioskowania Wnioskowanie dedukcyjne Reguły niezawodne a
III rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Matematyka dyskretna Oznaczenia
Matematyka dyskretna Oznaczenia Andrzej Szepietowski W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia. oznacza kwantyfikator ogólny dla każdego. oznacza kwantyfikator szczegó lowy istnieje. 1 Sumy i iloczyny
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL
SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)
Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2019 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Wstęp do logiki i teorii
1 Funktory i kwantyfikatory
Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 1 1 Funktory i kwantyfikatory x X x X Φ(x) dla każdego x X (= dla wszystkich x) zachodzi formuła Φ(x) Φ(x) istnieje x X takie, że (= dla pewnego x) zachodzi
Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia
Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.