Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
|
|
- Urszula Stankiewicz
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j } j J, {c k } k K ) f i - symbol funkcyjny P j - symbol relacji c k - symbol stałej Dodatkowo mamy funkcje: α : I N\{0} β : J N\{0} Funkcja f i jest α(i)-arna, a relacja P j jest β(i)-arna Sygnatura to L, α, β Teoria ciał uporządkowanych (ciało uporządkowane to np. R ) Jakie symbole używamy: Symbole funkcyjne (+), ( ) funkcje binarne, ( ), ( 1 ) funkcje unarne Symbol relacyjny relacja binarna Stałe 0,1 Czyli sygnatura języka ciał uporządkowanych jest następująca: ({+,,, 1 }, { }, {0, 1}) α(+) = 2, α( ) = 2, α( ) = 1, α( 1 ) = 1 β( ) = 2 Dodatkowo mamy symbole: 1
2 logiczne:,,,,,,, = pomocnicze: ), ( zmiennych: x 0, x 1, x 2, Termy języka L (o sygnaturze (L, α, β)) Definicja: Zbiór termów T L jest to najmniejszy zbiór spełniający warunki: c k T L, dla każdego k K x n T L, dla każdego n N jeśli α(i) = n i τ 1, τ 2,...τ n T L, to f i (τ 1, τ 2,...τ n ) T L y termów w języku teorii ciał uporządkowanych: 0, 1, x, y, z, +(x, y), (0, 0), (+(+(x, y), 1 (z))) Wersja normalna (notacja infiksowa): (x + y), (0 0), ((x + y) + z 1 ) 1.3 Formuły języka L Definicja: Zbiór formuł F L jest najmniejszym zbiorem spełniającym warunki: jeśli τ 1, τ 2 T L, to (τ 1 = τ 2 ) F L jeśli β(j) = n i τ 1, τ 2,..., τ n T L, to P j (τ 1, τ 2,...τ n ) F L jeśli ϕ, ψ F L, to ϕ, (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ), ( x n )ϕ, ( x n )ϕ F L y formuł języka teorii ciał uporządkowanych: ( x)(x + y = 1 + 0) ( x)( y)(x + y y 1 ) 1.4 Model języka L Jest to M = (M, {fi M } i I, {Pj M } j J, {c M k } k K), gdzie: M to niepusty zbiór (M nazywamy uniwersum struktury) f M i : M α(i) M P j M β(j) c M k M 2
3 1.5 Interpretacja termów (bez zmiennych) w modelu M Konwencja: τ T L τ M M (τ M : interpretacja termu τ) (c k ) M = c M k (f i (τ 1, τ 2,..., τ n )) M = f M i (τ 1, τ 2,..., τ n ) τ = (+(1, 1), 1), struktura R = (R,...) τ R = ((1 + 1) R 1) R = 2 1 = 2 CEL: mając ϕ F L pokazać M = ϕ Załóżmy, że ϕ jest zdaniem, tzn. w ϕ nie wystepują zmienne wolne. W formułach ( x)ψ, ( x)ψ zmienna x występująca w ψ jest związana. ( y)(( x)(x y) x = y) W formule x=y w powyższej formule, x jest wolny Rozszerzamy język L do L(M) W L(M) mamy dodatkowo stałe c a, dla a M Owe stałe interpretujemy naturalnie, tzn. c M a = a Definicja: (M = ϕ dla zdań ϕ w języku L(M)) M = τ 1 = τ 2 wtedy i tylko wtedy, gdy τ M 1 = τ M 2 M = P j (τ 1, τ 2,...τ n ) wtedy i tylko wtedy, gdy (τ M 1, τ M 2,..., τ M n ) P M j M = ϕ ψ wtedy i tylko wtedy, gdy M = ϕ lub M = ψ M = ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy nieprawda, że M = ϕ M = ( x)ϕ(x) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje a M takie, że M = ϕ(c a ) (w ϕ(x) mogą występować zmienne wolne, ϕ(c a ) to formuła ϕ(x) po zastąpieniu wszystkich wystąpień x przez c a ) M = ( x)ϕ(x) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego a M M = ϕ(c a ) 1.6 Spełnianie formuł Niech ϕ = ϕ(x 1,..., x n ) będzie formułą języka L, w której występują zmienne wolne x 1,..., x n Domknięcie uniwersalne tej formuły to: ϕ = ( x 1 )( x 2 )...( x n )ϕ(x 1, x 2,..., x n ) 3
4 Definiujemy: M = ϕ, wtedy i tylko wtedy, gdy M = ϕ ϕ = ( x)(x 0 ( y)(y y)) R = ϕ, bo jeśli a 0, to istnieje b = a, takie, że b b = a Ale Q = ϕ, bo nie istnieje b Q, takie że b b = Teoria Definicja: Ustalmy język L. Teorią nazywamy zbiór T F L Definicja: M jest modelem teorii T, jeśli ( ϕ T ) M = ϕ (Piszemy w skrócie M = T ) Niech L będzie językiem teorii grup, tzn. jego sygnatura L = ({, 1 },, e) jest binarna, 1 jest unarna GT = {(x y) z = x (y z), x x 1 = x 1 x = e, x e = e x = x} Jeśli M = GT, to M jest grupą. Wiemy, że grupy istnieją, np. (R, {+, },, 0), (S n, {, 1 },, {id}) 1.8 Dowodzenie w teorii T Co to znaczy, że T = ϕ? (czytamy: teoria T dowodzi ϕ) Istnieje dowód, czyli ciąg formuł ϕ 1,..., ϕ n F L ϕ i T (ϕ i jest aksjomatem) lub ϕ i jest tautologią Klasycznego Rachunku Logicznego, np. lub ϕ i = ( x)(γ(x) δ(x)) ( x)(γ(x)) ( x)(δ(x)) ϕ i powstaje z ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ i 1 przy pomocy reguł dowodzenia Wyjaśnienie ψ F L jest tautologią KRL dla dowolnego L-modelu M, mamy M = ψ 4
5 1.9 Reguły dowodzenia α 1, α 2,..., α k oznacza, że z przesłanek α 1,..., α k można wnioskować α α Poprawna reguła dowodzenia ma własność: dla dowolnego modelu M: jeśli M = α 1, M = α 2,..., M = α k, to M = α Wystarczą dwie reguły dowodzenia: Modus Ponens: α, α β β Zasada generalizacji: ϕ ( x)ϕ 1.10 Sprzeczność, niesprzeczność, zupełność Definicja: Teoria T jest sprzeczna jeśli istnieje ϕ F L, dla której T = ϕ i T = ϕ Uwaga: Każdy program wyborczy jest sprzeczny. Dobry program wyborczy to taki, którego dowód sprzeczności jest długi i nieoczywisty. Definicja: Teoria T jest niesprzeczna T nie jest teorią sprzeczną. Twierdzenie Teoria T jest niesprzeczna ( T 0 T )(T 0 skończona T 0 niesprzeczna) oczywiste niewprost Załóżmy, że T sprzeczna. Wtedy istnieje ϕ, takie że T = ϕ i T = ϕ. W dowodach wykorzystujemy skończony zbiór aksjomatów T 0, zatem T 0 = ϕ i T 0 = ϕ Twierdzenie (Gödel) T jest niesprzeczna T ma model (( M)(M = T )) Komentarz: Aby pokazać, zauważmy, że T = ϕ implikuje M = ϕ Wniosek: Jeśli dowolny skończony T 0 T ma model, to T niesprzeczna. Definicja: Teoria T jest zupełna (T F L ), jeśli dla każdego ϕ F L : T = ϕ lub T = ϕ Uwaga: Jeśli T nie jest zupełna, to istnieje ϕ, dla którego: (T = ϕ) (T = ϕ) 5
6 Mówimy wtedy, że ϕ jest niezalezne od T Fakt: Jeśli T = ϕ to T { ϕ} jest niesprzeczna. Oczywiście, jeśli T { ϕ} jest niesprzeczna, to T = ϕ Wniosek: Aby pokazać, że T nie jest zupełna wystarczy znaleźć ϕ F L, takie, że T {ϕ} jest niesprzeczna i T { ϕ} niesprzeczna. : CH jest niezależna od ZFC. 2: GT jest niesprzeczna i nie jest zupełna Niech ϕ = jest n!+1 elementów ϕ n = ( x 1 )( x 2 )...( x n! )( x n!+1 )( i j x i x j ) R = ϕ, S n = ϕ 3: Rozważmy teorię GT (teoria nieskończonych grup) GT = GT {ϕ n : n N}, gdzie ϕ n zdefiniowana jak w poprzednim przykładzie. GT jest niesprzeczna i nie jest zupełna: Niech ψ = ( x, y)(x y = y x) R = ψ, S = ψ (S - grupa permutacji liczb naturalnych) Dowód dla S : Używając twierdzenia Gódla wystarczy stwierdzić, że S n = ψ, dla n 3. Zatem GT { ψ} jest niesprzeczna 1.11 Teoria modelu, podstruktury Definicja: Niech M będzie modelem dla języka L (L strukturą). Teorią modelu M nazywamy zbiór Th(M) = {ϕ F L : M = ϕ} Fakt: Th(M) jest niesprzeczną, zupełną teorią. M = Th(M), więc Th(M) jest teorią niesprzeczną. Weźmy dowolne ϕ F L Załóżmy, że ϕ / Th(M) (w przeciwnym wypadku Th(M) = ϕ) Wtedy nieprawda, że M = ϕ. Z definicji spełniania wtedy M = ϕ Definicja: Niech M, N będą L strukturami 1. M jest izomorficzne z N (M = N) jeśli istnieje izomorfizm ϕ : M N, taki że: ϕ jest bijekcją 6
7 ϕ zachowuje strukturę, tzn. ( i)( a 1, a 2,..., a n, b M)(f M i (a 1, a 2,..., a n ) = b f N i (ϕ(a 1 ), ϕ(a 2 ),..., ϕ(a n )) = ϕ(b)) ( j)( a 1, a 2,..., a n )(P M j (a 1, a 2,..., a n ) P N j (ϕ(a 1 ), ϕ(a 2 ),..., ϕ(a n ))) ( k)(ϕ(c M k ) = c N k ) 2. M jest elementarnie równoważne N, jeśli Th(M) = Th(N) Fakt: Jeśli M = N to M N 1.12 Elementarne podstruktury Definicja: M N (M jest elementarną podstrukturą (podmodelem) N) oznacza, że M N oraz dla dowolnego ϕ(x 1,..., x n ) F L oraz a 1,...a n M mamy M = ϕ(c a1,..., c an ) N = ϕ(c a1,..., c an ) Fakt: Jeśli M N to M N Weźmy dowolne zdanie ϕ F L. Wtedy z definicji elementarnej podstruktury: M = ϕ N = ϕ, czyli ϕ Th(M) ϕ Th(N) Zatem Th(M) = Th(N), czyli M N Twierdzenie (test Tarskiego-Vaughta) Niech M będzie L-strukturą oraz A M. Wtedy A jest uniwersum elementarnej podstruktury M wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej formuły ϕ(x 1, y 1,..., y n ) F L oraz elementów a 1,..., a n A: M = ( x)ϕ(x, c a1,..., c an ) istnieje a A, że M = ϕ(c a, c a1,..., c an ) Weźmy dowolne ϕ F L, a 1,..., a n A M = ( x)ϕ(x, c a1,..., c an ) (z elementarności) A = ( x)ϕ(x, c a1,..., c an ) (z definicji spełniania) istnieje a A A = ϕ(c a, c a1,..., c an ) (z elementarności) istnieje a A M = ϕ(c a, c a1,..., c an ) A jest uniwersum podstruktury 1. Relacje P j - relacja β(j)-arna P A j = P M j A β(j) 2. Funkcje Trzeba sprawdzić, że fi M A α(i) : A α(i) A Niech a 1,..., a n A Wtedy M = ( x)(x = f i (c a1,..., c an )) Z założenia, istnieje a A, M = (c a = f i (c a1,..., c an )) A zatem fi M(c a 1,..., c an ) = a 7
8 3. Stałe M = ( x)(c k = x) Z założenia, istnieje a A M = (c a = c k ), co oznacza, że a = c M k Pokażemy, że A M (dowód przez indukcję względem skomplikowania formuły ψ) 1. ψ formuła atomowa A = ψ M = ψ (wynika z A M) 2. ψ = ϕ 1 ϕ 2 A = ϕ 1 ϕ 2 (z założenia indukcyjnego) M = ϕ 1 lub M = ϕ 2 M = ϕ 1 ϕ 2 3. ψ = ϕ itp. analogicznie ψ = ( x)ϕ(x, c a1,..., c an ), a 1,..., a n A M = ( x)ϕ(x, c a1,..., c an ) (z założenia) istnieje a A M = ϕ(c a, c a1,..., c an ) istnieje a A A = ϕ(c a, c a1,..., c an ) A = ( x)ϕ(x, c a1,..., c an ) Twierdzenie: (dolne Löwenheima Skolema) Niech M będzie L-strukturą, L przeliczalny. Niech A M, A przeliczalny. Wtedy istnieje M M, taki, że A M Niech A 0 = A Niech Φ 0 = {ϕ(x, c a1,..., c an ) : M = ( x)ϕ(x, c a1,..., c an )} (ϕ(x, c a1,..., c an ) F L {ca:a A 0}) Φ 0 ℵ 0 Niech a ϕ M, że M = ϕ(c aϕ, c a1,..., c an ), dla ϕ Φ 0 A 1 = {a ϕ : ϕ Φ 0 }, A 1 ℵ 0 Φ 1 = {ϕ(x, c a1,..., c an ) : M = ( x)ϕ(x, c a1,..., c an ) (ϕ(x, c a1,..., c an ) F L {ca:a A 1}) Kontynuujemy, kładziemy M = n N A n M jest przeliczalny, A M M spełnia test Tarskiego-Vaughta! Twierdzenie: (górne Löwenheima Skolema) Niech M będzie L-strukturą. Niech κ > M, M nieskończony. Wtedy istnieje N M, N κ Niech T = Th(M, {c a, a M}) (teoria modelu M w języku wzbogaconym o stałe c a (dla a M)) Wzbogaćmy język o kolejne dodatkowe stałe : {c α : α κ} Niech T = T {c α c β : α β} 8
9 T jest niesprzeczny, bo dowolny skończony fragment T 0 T ma model. W M interpretujemy stałe c α (występujące w T 0 ), tak aby były parami różne. Z twierdzenia Gödla istnieje N = T, N κ, bo N {c N α N istnieje izomorficzna kopia modelu M M = {c N α : α M} (M to zielony model M) : α κ} W Fakt: DLO 0 jest zupełna (teoria gęstych liniowych porządków bez końców) (lista 9) Wiemy, że jeśli M = DLO 0 i N = DLO 0 oraz M = N = ℵ 0, to M = N Przypuśćmy, że DLO 0 nie jest zupełna. Wtedy istnieje ϕ, takie że T = DLO 0 {ϕ} i S = DLO 0 { ϕ} są niesprzeczne. Niech M = S, N = T Z dolnego twierdzenia Löwenheima Skolema istnieją przeliczalne M, N, że M M, N N Wtedy M = N. Zatem Th(M ) = Th(N ). Ale ϕ Th(M ), a ϕ Th(N ) co jest sprzecznością z definicją teorii modelu. 9
vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoMetalogika (12) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (12) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (12) Uniwersytet Opolski 1 / 204 Plan wykładu Plan
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoCo to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany
Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Załóżmy, że wiemy co to są liczby naturalne... Język (I-go rzędu): V, { F n : n IN
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone
Bardziej szczegółowoII Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki. Janusz Czelakowski. Wykład 8. Arytmetyka
II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki Janusz Czelakowski Wykład 8. Arytmetyka Jak dobrze wiadomo, jednym z kluczowych praw zachodzących w dziedzinie liczb naturalnych jest Zasada Indukcji.
Bardziej szczegółowoTautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Bardziej szczegółowoDefinicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:
Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których
Bardziej szczegółowoDefinicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
Bardziej szczegółowoLogika matematyczna wersja 0.94 (1 września 2005)
Witold Bołt Taduesz Andrzej Kadłubowski Logika matematyczna wersja 0.94 (1 września 2005) Spis treści Wstęp 2 1 Systemy relacyjne 2 2 Język, termy i formuły 3 2.1 Język........................................
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Łosia o ultraprodukcie
Twierdzenie Łosia o ultraprodukcie Stanisław Dercz 2010.03.22 Streszczenie Prezentujemy ciekawe twierdzenie teorii modeli, umożliwiające budowanie modeli teorii pierwszego rzędu. Wprowadzamy jedynie konieczny
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Bardziej szczegółowoSystem BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Bardziej szczegółowoPoczątki informatyki teoretycznej. Paweł Cieśla
Początki informatyki teoretycznej Paweł Cieśla Wstęp Przykładowe zastosowanie dzisiejszych komputerów: edytowanie tekstów, dźwięku, grafiki odbiór telewizji gromadzenie informacji komunikacja Komputery
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW
Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika
Bardziej szczegółowoMonoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (4)
Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoZadania z forcingu. Marcin Kysiak. Semestr zimowy r. ak. 2002/2003
Zadania z forcingu Marcin Kysiak Semestr zimowy r. ak. 2002/2003 Dokument ten zawiera zadania omówione przeze mnie na ćwiczeniach do wykładu monograficznego dr. A. Krawczyka "Zdania nierozstrzygalne w
Bardziej szczegółowoWykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości
Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje
Bardziej szczegółowoPodstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (I JiIN UAM)
Logika Matematyczna (I JiIN UAM) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 31V-1VI 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (I JiIN UAM) 31V-1VI 2007 1
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Bardziej szczegółowoDefinicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:
Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których
Bardziej szczegółowoAdam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Bardziej szczegółowoRachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty
Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty
Bardziej szczegółowoZasady krytycznego myślenia (1)
Zasady krytycznego myślenia (1) Andrzej Kisielewicz Wydział Matematyki i Informatyki 2017 Przedmiot wykładu krytyczne myślenie vs logika praktyczna (vs logika formalna) myślenie jasne, bezstronne, oparte
Bardziej szczegółowoWykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoRachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.
Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były
Bardziej szczegółowo1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14
Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10
Bardziej szczegółowoRekurencyjna przeliczalność
Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne
Bardziej szczegółowo14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe
14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech
Bardziej szczegółowoKonsekwencja logiczna
Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami
Bardziej szczegółowoLogika. Logika. Z czego się składa: model dziedzina, o której własnościach wnioskujemy,
Z czego się składa: model dziedzina, o której własnościach wnioskujemy, język w którym zapisujemy te własności, interpretacja przypisująca napisom języka elementy z modelu Składowe części języka: termy
Bardziej szczegółowo020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Struktury modelowe Przedstawimy teraz pewien
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?
Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące
Bardziej szczegółowoSchematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (10)
Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan
Bardziej szczegółowoWykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoLOGIKA WSPÓŁCZESNA (3): METALOGIKA
5 wykładów dla Studium Doktoranckiego Wydziału Neofilologii UAM LOGIKA WSPÓŁCZESNA (3): METALOGIKA JERZY POGONOWSKI Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wstęp Metalogika to
Bardziej szczegółowoTrzy razy o indukcji
Trzy razy o indukcji Antoni Kościelski 18 października 01 1 Co to są liczby naturalne? Indukcja matematyczna wiąże się bardzo z pojęciem liczby naturalnej. W szkole zwykle najpierw uczymy się posługiwać
Bardziej szczegółowoParadygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Bardziej szczegółowoLekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań
Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie
Bardziej szczegółowoW pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Bardziej szczegółowo12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoLogika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne
Logika i teoria mnogości Wykład 14 1 Sformalizowane teorie matematyczne W początkowym okresie rozwoju teoria mnogości budowana była w oparciu na intuicyjnym pojęciu zbioru. Operowano swobodnie pojęciem
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoLista egzaminacyjna zadań z matematycznych podstaw informatyki, wersja 3.
1 Lista egzaminacyjna zadań z matematycznych podstaw informatyki, wersja 3. Funkcje pierwotnie rekurencyjne. Problemy: Zapoznaj się z teorią funkcji pierwotnie rekurencyjnych. Ważne są definicje klasy
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoLOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Gödla. Jerzy Pogonowski. Funkcje rekurencyjne. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Twierdzenia Gödla Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Twierdzenia Gödla Funkcje rekurencyjne 1 / 21 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę
Bardziej szczegółowo1 Funkcje uniwersalne
1 1 Funkcje uniwersalne 1.1 Konstrukcja funkcji uniweralnej Niech P będzie najmniejszym zbiorem liczb spełniającym warunki 1) 0, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 2 P, 2) 0, n, 3, k P dla wszystkich n > 0 oraz k takich,
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
Bardziej szczegółowoLogika dla informatyków
Logika dla informatyków Notatki do wykładów 21 kwietnia 2002 Niniejszy dokument zawiera listę najważniejszych definicji i twierdzeń omawianych na wykładzie z Logiki dla Informatyków i określa zakres materiału,
Bardziej szczegółowo1 Funktory i kwantyfikatory
Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 1 1 Funktory i kwantyfikatory x X x X Φ(x) dla każdego x X (= dla wszystkich x) zachodzi formuła Φ(x) Φ(x) istnieje x X takie, że (= dla pewnego x) zachodzi
Bardziej szczegółowoPredykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut
Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoRównoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoElementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1
Elementy rachunku lambda λ 1 Notacja λ x 3x + 7 3x + 7 jest różniczkowalna 3x + 7 jest mniejsze od 2 (2,3) 5 f(2, 3) = 2 + 3 g(2) = 2 + 3 λx(3x + 7) 3x + 7 λx λy(x + y) = λxy(x + y) λx(x + 3) 2 Rachunek
Bardziej szczegółowoElementy logiki Klasyczny rachunek predykatów
Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Plan na dziś: 1. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdzeń.
Bardziej szczegółowoDrobinka semantyki KRP
Drobinka semantyki KRP Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Drobinka semantyki KRP Uniwersytet Opolski 1 / 48 Wstęp
Bardziej szczegółowoElementy logiki Klasyczny rachunek predykatów
Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoInternet Semantyczny i Logika II
Internet Semantyczny i Logika II Ontologie Definicja Grubera: Ontologia to formalna specyfikacja konceptualizacji pewnego obszaru wiedzy czy opisu elementów rzeczywistości. W Internecie Semantycznym językiem
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoPodstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania
Bardziej szczegółowoLOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowo