Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa
|
|
- Juliusz Kosiński
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa warunki: (i) 1 x = x dla wszystkich x X, (ii) g (h x) = (gh) x dla dowolnych g, h G oraz x X. Gdy ustalimy element grupy, uzyskamy przekszta lcenie µ(g, ) = ϕ g : X X, ϕ g (x) = g x. Zauważmy, że z warunków (i), (ii) wynika, że (ϕ g 1 ϕ g )(x) = g 1 (g x) = (g 1 g) x = 1 x = x = id X (x). Zatem wszystkie przekszta lcenia ϕ g sa bijekcjami zbioru X na siebie. Niech S(X) oznacza grupe wszystkich bijekcji zbioru X na siebie, czyli permutacji zbioru X. Dzia lanie grupy G na X zadaje zatem funkcje ϕ: G S(X), ϕ(g) = ϕ g. Ponadto mamy ϕ(gh) = ϕ(g) ϕ(h), czyli ϕ jest homomorfizmem grup. Mamy wie c równoważna definicje. 1. Definicja. Dzia laniem grupy na zbiorze X nazywamy homomorfizm ϕ: G S(X). 2. Przyk lad. Dla dowolnej grupy G oraz X = G rozważmy dzia lanie µ: G G G dane wzorem µ(g, h) = gh (mnożenie w grupie G). Otrzymujemy homomorfizm ϕ: G S(G). Zauważmy, że ϕ jest monomorfizmem. Istotnie, jeśli ϕ(g) = id G, to gx = x dla dowolnego x G, a sta d g = 1. Tak udowodniliśmy 3. Twierdzenie Cayleya. Każda grupa jest podgrupa grupy permutacji zbioru swoich elementów. Jest prostym ćwiczeniem sprawdzenie, że jeśli zbiory X i Y sa równoliczne, to grupy permutacji S(X) oraz S(Y ) sa izomorficzne. W szczególności, jeśli zbiór X jest skończony oraz X = n, to S(X) S({1, 2,..., n}). Te ostatnia grupe be dziemy oznaczać S n. W szczególności, twierdzenie Cayleya mówi, że każda grupa skończona jest podgrupa pewnej grupy S n. Niech grupa G dzia la na zbiorze X. 4. Definicja. Orbita punktu x X nazywamy podzbiór O(x) = {g x : g G} X. 5. Stwierdzenie. Orbity zadaja rozbicie zbioru X na parami roz la czne podzbiory. Dowód. Rozważmy naste puja ca relacje w zbiorze X: powiemy, że x y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje element g G taki, że g x = y. Latwo sprawdzić, że jest to relacja równoważności. Jest oczywiste, że orbity dzia lania grupy G sa klasami abstrakcji tej relacji. Zawsze x O(x). W przypadku, gdy O(x) = {x} mamy g x = x dla dowolnego elementu g G. Taki punkt x nazywamy punktem sta lym dzia lania grupy G. Zbiór wszystkich punktów sta lych dzia lania grupy G na zbiorze X oznaczamy X G. 1
2 6. Definicja. Grupa izotropii punktu x X nazywamy podgrupe G x = {g G : g x = x} G. Nie ulegaja c sugestywnej nazwie, należy sprawdzić, że istotnie podzbiór G x jest podgrupa G jest to bardzo proste ćwiczenie. Poje cia orbity punktu oraz jego grupy izotropii sa ze soba ściśle zwia zane, jak pokazuje naste puja cy 7. Lemat. Niech grupa G dzia la na zbiorze X. Dla dowolnego punktu x X istnieje bijekcja pomie dzy zbiorem warstw lewostronnych G/G x jego grupy izotropii i jego orbita O(x). Dowód. Rozważmy funkcje α: G/G x O(x) dane wzorem α(gg x ) = g x. Ta funkcja jest dobrze określona, bo jeśli g 2 G x = g 1 G x, to g 2 = g 1 h dla pewnego h G x. Ponieważ h x = x, mamy g 2 x = (g 1 h) x = g 1 (h x) = g 1 x. Oczywiście funkcja α jest na : dowolny punkt g x orbity O(x) jest postaci α(gg x ). By sprawdzić różnowartościowość, za lóżmy, że α(g 1 G x ) = α(g 2 G x ). Wynika sta d, że g 1 x = g 2 x, zatem (g2 1 g 1) x = x. Wobec tego g2 1 g 1 G x, czyli g 1 g 2 G x, co implikuje g 1 G x = g 2 G x. 8. Wniosek. Jeśli skończona grupa G dzia la na zbiorze X, to wszystkie orbity sa skończone oraz dla dowolnego punktu x X zachodzi równość G x O(x) = G. Kolejny wniosek jest podstawa wielu zastosowań kombinatorycznych. 9. Wniosek. Jeśli skończona grupa G dzia la na zbiorze X, to moc każdej orbity jest dzielnikiem G. Szczególnie prosty i bogaty w zastosowania jest przypadek, gdy rza d G jest pote ga liczby pierwszej. 10. Definicja. Niech p be dzie liczba pierwsza. Skończona p-grupa nazywamy grupe G, dla której G = p n dla pewnej liczby naturalnej n 1. Jeśli skończona p-grupa dzia la na zbiorze X, to moc każdej orbity jest jedna z liczb p k, gdzie 0 k n. 11. Stwierdzenie. Jeżeli skończona p-grupa dzia la na skończonym zbiorze X, to X X G (mod p). Dowód. Niech O(x 1 ),..., O(x n ) be dzie pe lna lista orbit dzia lania skończonej p-grupy G na zbiorze X. Zatem X = O(x 1 ) O(x n ) oraz zbiory O(x i ) sa parami roz la czne. Wobec tego X = O(x 1 ) + + O(x n ). Niech O(x i ) = p k i. Jeśli k i 1, to O(x i ) 0 (mod p). Pozosta le orbity sa jednopunktowe, wie c suma ich mocy jest równa liczbie punktów sta lych dzia lania G na X. Zatem X X G (mod p). Powyższe stwierdzenie ma wiele zastosowań. Oto dwa przyk lady. 2
3 12. Przyk lad (Ma le Twierdzenie Fermata). Niech p be dzie liczba pierwsza. Dla dowolnej liczby naturalnej n mamy n p n (mod p). Dowód. Rozważmy zbiór X = {(a 1,..., a p ) : 1 a i n} Z p. Oczywiście X = n p. Grupa C p = x dzia la na zbiorze X przesuwaja c cia gi cyklicznie: x (a 1,..., a p ) = (a p, a 1,..., a p 1 ). Cia g (a 1,..., a p ) jest punktem sta lym tego dzia lania, jeśli x (a 1,..., a p ) = (a 1,..., a p ), tj. gdy (a p, a 1,..., a p 1 ) = (a 1,..., a p ). Wynika sta d, że a p = a 1 = a 2 = = a p 1. Wobec tego mamy dok ladnie n punktów sta lych: (a, a,..., a), 1 a n. Sta d n p = X X C p = n (mod p). 13. Przyk lad. Wykazać, że jeśli p jest liczba pierwsza, to ( ) p k m p m (mod p). k Rozwia zanie. Rozważmy zbiór X zero-jedynkowych macierzy o p k wierszach i o m kolumnach, które zawieraja dok ladnie p k jedynek. Każda taka macierz definiuje p k -elementowy podzbiór p k m-elementowego zbioru wszystkich pól macierzy, wie c X = ( p k m p k ). Grupa cykliczna G = C p k dzia la na zbiorze X przez cykliczne przesunie cia wierszy. Zauważmy, że macierz jest punktem sta lym tego dzia lania wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jedynki sa ustawione w jednej kolumnie. Zatem ( p k ) m = X X G = m (mod p). Naste pne twierdzenie ma dziesia tki zastosowań w kombinatoryce. p k 14. Twierdzenie Burnside a. Niech grupa skończona G dzia la na skończonym zbiorze X. Wtedy liczba orbit n tego dzia lania wyraża sie wzorem gdzie F ix(g) oznacza zbiór {x X : g x = x}. n = 1 G F ix(g), g G Dowód. Obliczymy sume g G F ix(g). Zauważmy, że zliczamy punkty zbioru X, z tym że punkt x X może wysta pić w tej sumie wiele razy. Dok ladnej, punkt x powtórzy sie dok ladnie tyle razy, w ilu zbiorach F ix(g) wyste puje, to jest dok ladnie G x razy. Wobec tego Niech O(x 1 ),..., O(x n ) be dzie pe lna lista orbit. F ix(g) = G x. g G x X Ustawmy sk ladniki naszej sumy w takiej kolejności, by punkty należa ce do tej samej orbity wyste powa ly obok siebie. Zatem n G x = G x. x X i=1 x O(x i ) Ale dla x O(x i ) mamy O(x) = O(x i ) wie c G x = G / O(x) = G / O(x i ) = G xi. Zatem n n n n G x = G xi = O(x i ) G xi = G = n G. i=1 x O(x i ) i=1 x O(x i ) i=1 i=1 3
4 Istnieje wiele interesuja cych sposobów, w jaki grupa G może dzia lać na sobie lub na swoich podzbiorach. Oto kilka przyk ladów. 15. Przyk lad. Dowolna grupa G dzia la na sobie (X = G) poprzez automorfizmy wewne trzne: g x = gxg 1. Orbitami tego dzia lania sa klasy sp żoności Cl(x) elementów grupy G. W szczególności, moc każdej klasy sp żoności jest dzielnikiem du grupy. Grupa izotropii elementu x G przy tym dzia laniu nosi nazwe jego centralizatora: C G (x) = {g G : gxg 1 = x}. Zbiór punktów sta lych, to centrum grupy: Z(G) = {x G : gxg 1 = x dla każdego g G}. Latwo sprawdzić, że Z(G) jest podgrupa grupy G. Zarówno centrum, jak i każda jego podgrupa, jest podgrupa normalna. Latwo wykazać, że jest to nawet podgrupa charakterystyczna: dowolny automorfizm φ : G G zachowuje Z(G). Stwierdzenie 11, zastosowane do tego dzia lania, daje 16. Twierdzenie. Skończona p-grupa ma nietrywialne centrum. Dowód. Niech G = p n, n 1. Grupa G dzia la na X = G przez automorfizmy wewne trzne, zatem, na mocy Stwierdzenia 11, mamy Z(G) = X G X = G = p n 0 (mod p). Zatem p jest dzielnikiem du grupy Z(G), wie c Z(G) Przyk lad. Dowolna grupa G dzia la poprzez automorfizmy wewne trzne na zbiorze X swoich podgrup. Grupa izotropii elementu H X, czyli podgrupy H G, nosi nazwe jej normalizatora: N G (H) = {g G : ghg 1 = H}. Punkty sta le tego dzia lania to podgrupy normalne grupy G. 18. Przyk lad. Niech H be dzie ustalona podgrupa grupy G. Wtedy grupa G dzia la na zbiorze lewych warstw podgrupy H: g xh = gxh. To dzia lanie na tylko jedna orbite, gdyż każda warstwa jest postaci gh = g 1H. Grupa izotropii warstwy 1H jest {g G : gh = H}, czyli sama podgrupa H. Otrzymujemy w ten sposób homomorfizm ρ H : G S(G/H), zwany reprezentacja regularna grupy G na warstwach H. Zauważmy, że dla H = 1 otrzymujemy reprezentacje Cayleya z Przyk ladu 2. Jeśli H < G oraz g G \ H, to ρ H (g) = gh 1H, czyli ρ H (g) id. Zatem dla H < G homomorfizm ρ H jest nietrywialny. Ja dro homomorfizmu ρ H sk lada sie z tych elementów g G dla których g xh = xh dla wszystkich x G, czyli gxh = xh, x 1 gxh = H, x 1 gx H, g xhx 1 dla wszystkich x G. W efekcie, ker(ρ H ) = xhx 1. x G Jest to najwie ksza podgrupa normalna grupy G, zawarta w H. 4
5 Gdy H jest podgrupa skończonego indeksu w G, n = [G : H], to S(G/H) S n. Zatem ρ H (G) S n jest także grupa skończona, która, na mocy twierdzenia o homomorfizmie, jest izomorficzna z grupa ilorazowa G/ker(ρ H ). Zatem ker(ρ H ) ma skończenie wiele warstw w G, czyli jest podgrupa skończonego indeksu. Zatem, reprezentacja regularna pozwala nam udowodnić 19. Twierdzenie. Jeśli grupa G ma podgrupe skończonego indeksu, to G ma także podgrupe normalna skończonego indeksu. Dok ladniej, jeśli [G : H] = n, to [G : ker(ρ H )] jest dzielnikiem n!. Zastosowanie dzia lania grup pozwala udowodnić jedno z najważniejszych twierdzeń o strukturze grup skończonych. Twierdzenie Lagrange a mówi, że jeśli H G, to H jest dzielnikiem G, ale nie gwarantuje istnienia podgrupy H du d dla każdego dzielnika d liczby G. W rzeczywistości taka podgrupa zwykle nie istnieje, a najmniejszym przyk ladem takiej sytuacji jest d = 6 oraz G = A 4. Takiego kontrprzyk ladu nie znajdziemy jednak, gdy G jest skończona p-grupa. 20. Stwierdzenie. Jeśli G = p r, to w grupie G istnieja podgrupy du p k dla 0 k r. Dowód. Prowadzimy indukcje wzgle dem r. Dla r = 1 mamy G = C p ta grupa oczywiście ma podgrupy du p 0 = 1 oraz p 1 = p. Przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla grup du p r i niech G = p r+1. Z Twierdzenia 16 wynika, że Z(G) 1. Wybierzmy dowolny element z Z(G) du p; generuje on podgrupe normalna w G izomorficzna z C p. Niech π: G G/ z be dzie przekszta lceniem naturalnym. Ponieważ G/ z = p r, na mocy za lożenia indukcyjnego, w grupie G/ z istnieje podgrupa L du p k dla k = 0,..., r. Niech L = π 1 (L ). Wówczas, na mocy twierdzenia o homomorfizmie, L/ z L, wie c L = z L = p p k = p k+1. Znaleźliśmy zatem podgrupy G dów p k dla k = 1,..., r + 1. Dla k = 0 taka podgrupa jest 1. Naste puja ce twierdzenie mówi, że powyższa obserwacja uogólnia sie na dowolne grupy skończone. 20. Twierdzenie Sylowa. Niech G be dzie grupa skończona du p r m, gdzie p m. (i) Grupa G ma podgrupe du p r. Każda taka podgrupe nazywamy p-podgrupa Sylowa grupy G. (ii) Każda p-podgrupa grupy G jest zawarta w pewnej p-podgrupie Sylowa. (iii) Każde dwie p-podgrupy Sylowa sa sp żone w grupie G. (iv) Liczba p-podgrup Sylowa przystaje do 1 modulo p oraz jest dzielnikiem m. Dowód. (i) Rozważmy zbiór X wszystkich p r -elementowych podzbiorów grupy G. Grupa G dzia la na zbiorze X przez lewe przesunie cia: jeśli S X oraz g G, to g S = {gx : x S}. Mamy, na mocy Przyk ladu 13, ( ) ( G p r ) m X = = m 0 (mod p) p r p r zatem nie wszystkie orbity dzia lania G na X maja moc podzielna przez p. Istnieje zatem S X o tej w lasności, że p O(S) ; niech G S be dzie grupa izotropii zbioru S. Ponieważ p r G = O(S) G S, mamy p r G S. Z drugiej strony, jeśli x S, to elementy gx, g G S sa parami różnymi elementami zbioru S. Zatem G S S = p r. Wobec poprzedniej uwagi mamy G S = p r, wie c G S jest szukana p-podgrupa Sylowa. 5
6 (ii) oraz (iii): Niech H be dzie dowolna nietrywialna p-podgrupa grupy G, zaś P p-podgrupa Sylowa w G. Grupa H dzia la na zbiorze warstw Y podgrupy P w G. Ponieważ Y H Y = [G : P ] = m 0 (mod p) istnieje punkt sta ly tego dzia lania, tj. warstwa gp o tej w lasności, że HgP = gp, g 1 HgP = P, g 1 Hg P, H gp g 1. Gdy H jest także p-podgrupa Sylowa, mamy H = P = gp g 1, wie c H = gp g 1. (iv): Niech s p oznacza liczbe p-podgrup Sylowa grupy G. Niech P be dzie jedna z tych podgrup i niech Q 2,..., Q sp be dzie lista wszystkich pozosta lych. Rozważmy dzia lanie grupy P na zbiorze Z = {Q 2,..., Q sp } przez automorfizmy wewne trzne: g Q i = gq i g 1 dla g P. Przypuśćmy, że to dzia lanie ma punkt sta ly Q i, to znaczy że gq i g 1 = Q i dla wszystkich g P. Oznacza to, że P N G (Q i ). Wobec tego P, Q i sa dwiema p-podgrupami Sylowa w grupie N G (Q i ). Skoro tak, na mocy punktu (iii) istnieje element x N G (Q i ), który sp ga te podgrupy: P = xq i x 1. Ale xq i x 1 = Q i, z definicji normalizatora. Wynika sta d, że P = Q i, wbrew za lożeniu. Wobec tego wszystkie orbity dzia lania P na zbiorze Z maja moc podzielna przez p, zatem p Z = s p 1. W końcu, wszystkie p-podgrupy Sylowa sa sp żone w G, wie c s p jest moca orbity dzia lania G na zbiorze tych podgrup przez automorfizmy wewne trzne. Wobec tego s p dzieli G = p r m i nie dzieli sie przez p. Wynika sta d, że s p m. A oto przyk lad zastosowania twierdzenia Sylowa. Wiemy, że grupa A 5 jest prosta oraz A 5 = Stwierdzenie. Każda grupa prosta du 60 jest izomorficzna z A 5. Dowód. Niech G be dzie grupa prosta du 60. Zauważmy, że G nie ma podgrupy indeksu n 4, bo wtedy reprezentacja regularna grupy G na jej warstwach dawa laby zanurzenie G w zbyt ma la grupe S n. Natomiast wykażemy, że grupa prosta du 60 ma podgrupe indeksu 5. Przypuśćmy, że takiej podgrupy nie ma. Niech n p oznacza liczbe p-podgrup Sylowa w grupie G. Z twierdzenia Sylowa wynika, że n 2 {1, 3, 5, 15}, n 3 {1, 4, 10} oraz n 5 {1, 6}. Ponieważ jednak liczba n p jest równa indeksowi normalizatora p-podgrupy Sylowa, z naszych za lożeń wynika, że n p > 5, zatem n 2 = 15, n 3 = 10 oraz n 5 = 6. Ponieważ pary p-podgrup Sylowa dla p = 3, 5 przecinaja sie trywialnie, elementy dów 1, 3 lub 5 zajmuja w grupie G la cznie = 35 miejsc. Pozostaje zatem 25 miejsc na nietrywialne elementy 2-podgrup Sylowa. Gdyby te podgrupy też przecina ly sie parami trywialnie, zajmowa lyby wie cej, bo aż 15 3 = 45 miejsc. Istnieje zatem para 2-podgrup Sylowa taka, że K 1 K 2 = H 1. Wtedy K 1 K 2 N G (H) < G, zatem 4 = K 1 N G (H) G oraz N G (H) > K 1 = 4, ska d grupa N G (H) jest du 12 lub 20, czyli indeksu 5 sprzeczność. Niech N be dzie podgrupa indeksu 5 w grupie G. Reprezentacja regularna G na warstwach N zadaje izomorfizm G z podgrupa G S 5. Ponieważ G A 5 G, to G A 5 jest albo grupa trywialna, albo ca la grupa G. Pierwszy przypadek nie jest możliwy, gdyż wtedy rzutowanie S 5 S 5 /A 5 Z 2 by loby różnowartościowe na 60-elementowej grupie G. Wobec tego mamy G = G A 5 A 5. Z równości dów wynika że G = A 5. Na koniec ważna techniczna uwaga, cze sto użyteczna w rozumowaniach w teorii grup. 22. Lemat (argument Frattiniego). Niech P be dzie p-podgrupa Sylowa podgrupy normalnej H G. Wtedy G = H N G (P ). Dowód. Weźmy dowolny element g G. Wtedy gp g 1 ghg 1 = H, gdyż H G. Zatem P, gp g 1 sa dwiema podgrupami Sylowa w H. Na mocy twierdzenia Sylowa, istnieje element h H taki, że hp h 1 = gp g 1. Zatem (h 1 g)p (h 1 g) 1 = P, czyli h 1 g = k N G (P ). Wobec tego g = hk H N G (P ). 6
4. Dzia lanie grupy na zbiorze
17 4. Dzia lanie grupy na zbiorze Znaczna cze ść poznanych przez nas przyk ladów grup, to podgrupy grupy bijekcji jakiegoś zbioru. Cze sto taka podgrupa sk lada sie z bijekcji, które zachowuja dodatkowa
Bardziej szczegółowo5. Podgrupy normalne i grupy ilorazowe
22 5 Podgrupy normalne i grupy ilorazowe Niech ϕ : G H be dzie homomorfizmem Rozpatrzmy zbiór warstw lewostronnych G/ ker ϕ grupy G wzgle dem podgrupy ker ϕ Latwo zauważyć, że ϕ(x) = ϕ(y) x 1 y ker ϕ x
Bardziej szczegółowo1 Znaleźć wszystkie możliwe tabelki dzia lań grupowych na zbiorze 4-elementowym.
Algebra I Bardzo dobrym źród lem zadań (ze wskazówkami do rozwia zań) jest M Bryński, J Jurkiewicz - Zbiór zadań z algebry, doste pny w bibliotece Moje zadania dla studentów z *: https://wwwmimuwedupl/%7eaweber/zadania/algebra2014/grupyzadpdf
Bardziej szczegółowoProstota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem.
Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem. 1 2 0. Twierdzenie Schura Zassenhausa W tym rozdziale zajmiemy sie bardzo użytecznym twierdzeniem,
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowo1. Zadania z Algebry I
1 Zadania z Algebry I Z 11 Znaleźć podgrupy grup Z 12, Z 8, D 6 i D 12 i narysować graf zawierań mie dzy nimi Z 12 Niech Q 8 := j, k GL(2, C), gdzie j, k sa macierzami: j = ( ) i 0 0 i k = ( 0 ) 1 1 0
Bardziej szczegółowoAlgebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Bardziej szczegółowoAlgebra I. A. Bojanowska P. Traczyk
Algebra I A Bojanowska P Traczyk 2 Istnieje bardzo dużo podre czników algebry o różnym stopniu zaawansowania Poniższy tekst powsta l dla bardzo prostej przyczyny: chcieliśmy dostarczyć studentom WMIM opracowanie
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoAlgebra I B ALGEBRA I B. W ladys law Narkiewicz
ALGEBRA I B W ladys law Narkiewicz Notatki do wyk ladu dla II roku matematyki w semestrze zimowym 2005/2006 0 1 I. Poje cia wste pne 1.1. Dzia lania 1. Dzia laniem w niepustym zbiorze X nazywamy każde
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoDziałanie grupy na zbiorze
Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:
Bardziej szczegółowoZadania o grupach Zadania zawieraja
Zadania o grupach 18112014 Zadania zawieraja odsy lacze do podre czników [BT] A Bojanowska, P Traczyk, Algebra I (skrypt) http://wwwmimuwedupl/%7eaboj/algebra/algfinv1pdf [Br] J Browkin, Teoria cia, BiblMat49,
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoDziałanie grupy na zbiorze
Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia A Pilitowska i A Romanowska 24 kwietnia 2006 1 Grupy i quasigrupy 1 Pokazać, że w każdej grupie (G,, 1, 1): (a) jeśli xx = x, to x = 1, (b) (xy) 1 = y 1 x 1, (c) zachodzi
Bardziej szczegółowoTeoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
Bardziej szczegółowoPierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja
Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja przestrzenie liniowe nad A: każdy z nich ma rozk lad na sume modu lów prostych. W tych rozk
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 13 stycznia 013 1 Reprezentacje liniowe grup skończonych 1. Pokazać, że zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z jedności jest grupa abelowa wzgle dem mnożenia.. Pokazać,
Bardziej szczegółowoPierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta
Pierścienie rupowe wyk lad 3 Już wiemy, że alebre rupowa CG skończonej rupy G można roz lożyć na sume lewych podmodu lów prostych Oólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume prosta jeo dwóch podmodu
Bardziej szczegółowo1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy
1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoROZDZIA l 13. Zbiór Cantora
ROZDZIA l 3 Zbiór Cantora Jednym z najciekawszych i najcze ściej spotykanych w matematyce zbiorów jest zbiór Cantora W tym rozdziale opiszemy jego podstawowe w lasności topologiczne Najprościej można go
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść pierwsza Anna Romanowska 26 marca 2014 1 Pó lgrupy i monoidy 1.1 W lasności podstawowe Definicja 1.11. Pó lgrupa nazywamy pare (P, ), gdzie P jest zbiorem,
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze
KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze ściowo uporza dkowane 17 maja 2012 W rozdziale tym omówimy jedno z fundamentalnych poje ć kombinatoryki, jakim jest zbiór cze ściowo uporza dkowany. Pokażemy w jaki
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowo14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe
14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
Bardziej szczegółowo2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH
2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH Typeset by AMS-TEX 2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH 7 Zasada bijekcji. Jeżeli istnieje bijekcja f : A B, tj. f jest funkcja różnowartościowa i,,na (tzn.
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z ALGEBRY OGÓLNEJ
WYKŁADY Z ALGEBRY OGÓLNEJ II UNIWERSYTET w BIAŁYMSTOKU Instytut Matematyki Ryszard R. Andruszkiewicz WYKŁADY Z ALGEBRY OGÓLNEJ II Białystok 2007 Copyright c Uniwersytet w Białymstoku, Białystok 2005 ISBN
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowo7. Klasyfikacja skończenie generowanych grup przemiennych
32 7 Klasyfiacja sończenie generowanych grup przemiennych W tym rozdziale zajmiemy sie sończenie generowanymi grupami przemiennymi Zgodnie z tradycja be dziemy sie pos lugiwać zapisem addytywnym Dzia lanie
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowo5. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej
Kiedy może być potrzebne numeryczne wyznaczenie pierwszej lub wyższej pochodnej funkcji jednej zmiennej? mamy f(x), nie potrafimy znaleźć analitycznie jej pochodnej, nie znamy postaci f(x), mamy stablicowane
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoPisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8
EGZAMIN DYPLOMOWY, cze ść I (testowa) 22.06.2009 INSTRUKCJE DOTYCZA CE WYPE LNIANIA TESTU 1. Nie wolno korzystać z kalkulatorów. 2. Sprawdzić, czy wersja testu podana na treści zadań jest zgodna z wersja
Bardziej szczegółowo... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1
4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy
Bardziej szczegółowo1 Grupy. 1.1 Grupy. (2) dla działania istnieje element neutralny, tzn. istnieje e G taki, że ae = a = ea dla dowolnego a G;
1 Grupy 1.1 Grupy Definicja. Grupą nazywamy niepusty zbiór G z działaniem : G G G, (a, b) ab, spełniającym warunki: (1) działanie jest łączne, tzn. a(bc) = (ab)c dla dowolnych a, b, c G; (2) dla działania
Bardziej szczegółowoWybrane Zagadnienia Algebry
Wybrane Zagadnienia Algebry Anna Romanowska 20 października 2016 Konspekt wyk ladu Spis Treści 1. Dzia lania monoidów i grup na zbiorach 2. Pó lgrupy, monoidy i grupy wolne 3. P-grupy i twierdzenia Sylova
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowo(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 14 stycznia 2013 1 Kraty 1. Pokazać, że każda klasa kongruencji kraty (K, +, ) jest podkrata kraty (K, +, ). 2. Znaleźć wszystkie kongruencje kraty 2 3, gdzie 2 jest
Bardziej szczegółowo1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup
1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoZadania o pierścieniach
Zadania o pierścieniach 18.1.2015 Zadania zawieraja odsy lacze do podre czników [AMcD] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction To Commutative Algebra (wiele wydań) [BB] A. Biaynicki-Birula, Zarys algebry,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Bardziej szczegółowoO centralizatorach skończonych podgrup
O centralizatorach skończonych podgrup GL(n, Z) Rafał Lutowski Instytut Matematyki Uniwersytetu Gdańskiego III Północne Spotkania Geometryczne Olsztyn, 22-23 czerwca 2009 1 Wprowadzenie Grupy podstawowe
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o
Bardziej szczegółowoUdowodnimy najpierw, że,,dla dostatecznie dużych x liczby a k x k i a 0 + a 1 x + + a k x k maja ten sam znak. a k
WIELOMIANY STOPNIA WYŻSZEGO NIŻ DWA Przypominamy, że wielomianem k tego stopnia nazywamy funkcje f postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a k x k, gdzie wspó lczynnik a k jest liczba różna od 0. Piszemy
Bardziej szczegółowoZadania z GAL-u. 1 Rozwia. Listopad x + 3y = 1 3x + y = x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 1.2
Zadania z GAL-u Listopad 2004 1 Rozwia zać uk lady równań: 11 12 13 14 15 { 2x + 3y = 1 3x + y = 0 x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 3x + y + z = 1 x + 2z = 6 3y + 2z = 0 2x + 3y + 2z = 1 3x + 4y
Bardziej szczegółowo2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowosa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński)
Zadanie 1 Pokazać, że dowolne dwie kule w R z metryka sa homeomorficzne Niech ρ be dzie metryka równoważna z, to znaczy wyznaczaja ca topologie na R Czy wynika z tego, że dowolne dwie kule w metryce ρ
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2, cze ść dziesia ta
Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta Informacja ogólna dla tych, którzy jeszcze ze mna chca rozmawiać o stopniach: zdecydowana wie kszość twierdzeń w matematyce, w analizie w szczególności, sk lada
Bardziej szczegółowoPojȩcie przestrzeni metrycznej
ROZDZIA l 1 Pojȩcie przestrzeni metrycznej Definicja 1.1. Dowolny niepusty zbiór X z funkcja ρ : X X [0, ), spe lniaja ca naste puja ce trzy warunki M1: ρ(x, y) = 0 x = y, M2: ρ(x, y) = ρ(y, x), M3: ρ(x,
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Grupy cykliczne
Wyk la 3 Grupy cykliczne Definicja 3.1. Niech a bezie elementem grupy (G,, e). Jeżeli istnieje liczba naturalna k taka, że a k = e, to najmniejsza taka liczbe naturalna k nazywamy rzeem elementu a. W przeciwnym
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoc a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.
y = ax 2 + bx + c WIELOMIANY KWADRATOWE Zajmiemy sie teraz wielomianami stopnia drugiego, zwanymi kwadratowymi. Symbol w be dzie w tym rozdziale oznaczać wielomian kwadratowy, tj. w(x) = ax 2 + bx + c
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia
KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia 18 grudnia 2006 Zasada szufladkowa, zwana też zasada Dirichleta, a w jez. ang.,,pigeonhole Principle może być sformu lowana naste puja co.
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe wste
3 grudnia 2007 orawi lem dowód twierdzenia o rzybliżeniach dziesie tnych Zajmiemy sie teraz cia gami nieskończonym, ale zaisywanymi w ostaci sum. Definicja 2. (szeregu) Niech (a n ) be dzie dowolnym cia
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Algebra DALG 201 Lato prof. Wojciech Gajda
Zadania do wykładu Algebra DALG 201 Lato 2015 prof. Wojciech Gajda Zadanie 1. Znaleźć rzędy wszystkich elementów w grupie G jeżeli: (a) G=Z/16 (b) G=(Z/36) (c) G=Q 8 (d) G=D 5 (e) G=Z/2 Z/8 (f) G=S 4.
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2018/2019 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Pierścienie Euklidesa
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść druga Anna Romanowska 22 października 2015 Pierścienie i cia la.1 Idea ly i pierścienie ilorazowe Definicja.11. Pierścień, w którym wszystkie idea ly
Bardziej szczegółowoRzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15
Materiały Dydaktyczne 2015 Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Niech G będzie grupą z elementem neutralnym e i niech a G. Załóżmy, że istnieje co najmniej jedna
Bardziej szczegółowoTekst poprawiony 27 XII, godz. 17:56. Być może dojda
Tekst poprawiony 27 XII, godz. 7:56. Być może dojda naste pne zadania Definicja 7. krzywej) Niech P oznacza dowolny przedzia l niezdegenerowany. Przekszta lcenie r: P IR k nazywamy krzywa. Jeśli r jest
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2016/2017 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 2 13 Ciało ułamków
Bardziej szczegółowoAlgebra 2008/9 Notatki do wyk ladów. A. Pawe l Wojda Wydzia l Matematyki Stosowanej AGH
Algebra 2008/9 Notatki do wyk ladów A. Pawe l Wojda Wydzia l Matematyki Stosowanej AGH 21 stycznia 2009 Spis treści 1 Wyk lad I. 1.X.2008 3 1.1 Wstep................................. 3 1.2 Arytmetyka liczb
Bardziej szczegółowoRachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoi=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Bardziej szczegółowoP. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF
29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowoAlgorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowo