Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice

Transkrypt

1 Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr a Boole a. Ponieważ dla danego elementu kraty istnieje co najwyżej jedno jego uzupe lnienie, wiȩc dowoln a algebrȩ Boole a można wyposażyć w 1-argumentow a operacjȩ:, przyporz adkowuj ac a każdemu elementowi a jego uzupe lnienie: a. W ten sposób algebrȩ Boole a bȩdziemy traktować jako uk lad: (A,,,, 0, 1). Twierdzenie 2.1: Algebra (A,,,, 0, 1) typu (2,2,1,0,0) jest algebr a Boole a wtw dla dowolnych x, y, z A spe lnione s a równości: (1) x x = x, x x = x, (2) x y = y x, x y = y x, (3) x (y z) = (x y) z, x (y z) = (x y) z, (4) x (x y) = x, x (x y) = x, (dystr.) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (6) x 1 = x, x 0 = x, (7) x x = 0, x x = 1. Dowód: ( ): oczywisty. ( ): Za lóżmy, że algebra (A,,,, 0, 1) spe lnia równości (1)-(7). Dziȩki równościom (1)-(6) jest niew atpliwie krat a dystrybutywn a z zerem i jedynk a. Dziȩki (7), na mocy Tw.1.26, każdy element x ma uzupe lnienie postaci: x. Zatem algebra ta jest algebr a Boole a. Przyk lady. 2-elementowa algebra Boole a: ({0, 1},,,, 0, 1), gdzie operacje zdefiniowane s a nastȩpuj aco: dla dowolnych x, y {0, 1}, x y = 1 wtw x = y = 1, x y = 0 wtw x = y = 0 oraz 1 = 0, 0 = 1. Dowolne cia lo podzbiorów (C,,,,, u) ustalonego zbioru u jest algebr a Boole a, w szczególności, cia lo (P (u),,,,, u) wszystkich podzbiorów zbioru u jest algebr a Boole a. Twierdzenie 2.2: W dowolnej algebrze Boole a (A,,,, 0, 1) zachodz a zwi azki: dla dowolnych x, y A, (i) 1 = 0, 0 = 1, (ii) x = x, (iii) (x y) = x y, (iv) (x y) = x y, (v) x y wtw y x.

2 2. Kraty implikatywne 2 Dowód: (i) wynika z Tw dla(ii): Na mocy Wniosku z Tw.1.26 mamy: x jest uzupe lnieniem elementu x wtw x jest uzupe lnieniem elementu x, sk ad oczywiście otrzymujemy: x jest uzupe lnieniem elementu x, zatem x = x. dla (iii): Na mocy Tw.1.26 wystarcza wykazać, że (x y) ( x y) = 0 oraz (x y) ( x y) = 1. Zatem: (x y) ( x y) = ((x y) x) ((x y) y) = ((x x) y) (x (y y)) = (0 y) (x 0) = 0 0 = 0 oraz (x y) ( x y) = (x x y) (y x y) = (1 y) (1 x) = 1 1 = 1. (iv) dowodzi siȩ analogicznie jak (iii). dla (v) : ( ): Za lóżmy, że x y. Wówczas x y = x. St ad (x y) = x. Dlatego na mocy (iii) : x y = x, czyli, bior ac pod uwagȩ (5), otrzymujemy: y x. ( ): rozumowanie odwrotne z zastosowaniem ponadto (ii). Twierdzenie 2.3: W dowolnej algebrze Boole a (A,,,, 0, 1), dla dowolnych a, b A, element a b jest relatywnym pseudo-uzupe lnieniem elementu a wzglȩdem b. Dowód: Po pierwsze, a ( a b) = (a a) (a b) = 0 (a b) = a b b, zatem a b {x A : a x b}. Po drugie, weźmy pod uwagȩ dowolny x A taki, że a x b. Wówczas (a x) b = b, zatem a ((a x) b) = a b, dlatego (( a a) ( a x)) b = a b, czyli ( a x) b = a b, tzn., x ( a b) = a b i ostatecznie, x a b. W ten sposób, algebrȩ Boole a można wyposażyć w 2-argumentow a operacjȩ przyporz adkowuj ac a ci agowi elementów a, b relatywne pseudo-uzupe lnienie a b elementu a wzglȩdem b, tzn., a b = a b. 2. Kraty implikatywne Definicja. Kratȩ, w której dla dowolnych elementów a, b istnieje relatywne pseudo-uzupe lnienie elementu a wzglȩdem b nazywamy krat a implikatywn a (lub r.p.c-krat a od relatively pseudo-complemented lattice). W ten sposób postrzegamy kratȩ implikatywn a jako algebrȩ (A,,, ) tak a, że jest operacj a przyporz adkowuj ac a ci agowi elementów a, b relatywne pseudo-uzupe lnienie elementu a wzglȩdem b. Twierdzenie 2.4: Algebra (A,,, ) typu (2, 2, 2) jest krat a implikatywn a wtw (A,, ) jest krat a oraz spe lniony jest warunek: dla dowolnych a, b, x A, (8) a x b wtw x a b. Dowód: ( ): Za lóżmy, że (A,,, ) jest krat a implikatywn a. Wykazujemy warunek (8). ( ): Dowód oczywisty.

3 2. Kraty implikatywne 3 ( ): Za lóżmy, że x a b. Wówczas, x (a b) = x. Zatem a x = (a x) (a b) a (a b) b. ( ): Za lóżmy, że w kracie (A,, ) operacja spe lnia warunek (8). Ponieważ a b a b, wiȩc z (8): a b {x A : a x b}. Natomiast implikacja (8)( ) świadczy o tym, że a b jest elementem najwiȩkszym w zbiorze {x A : a x b}. Zatem a b jest relatywnym pseudo-uzupe lnieniem elementu a wzglȩdem b. Twierdzenie 2.5: Krata implikatywna jest krat a dystrybutywn a z jedynk a. Dowód: Niech (A,,, ) bȩdzie krat a implikatywn a. Fakt, że krata ta ma jedynkȩ wynika natychmiast z Tw Wykazujemy dystrybutywność. Niech x, y, z A. Po lóżmy: a = (x y) (x z). St ad x y a oraz x z a. Stosuj ac wiȩc (8) na mocy Tw.2.4, otrzymujemy: y x a oraz z x a. Dlatego y z x a. Zatem, znowu z (8): x (y z) a, tzn., x (y z) (x y) (x z). Przyk lad. Dowolny lańcuch < A, > z elementem najwiȩkszym 1 jest krat a implikatywn a: dla dowolnych jego elementów a, b : a b = 1, gdy a b oraz a b = b, gdy b a i b a. Twierdzenie 2.6: W kracie implikatywnej (A,,,, 1) spe lnione s a zwi azki: dla dowolnych a, b, c A, (i) a a = 1, (ii) 1 a = a, (iii) b a b, (iv) a b wtw a b = 1, (v) a (a b) = a b, (vi) a (b c) = (a b) c, (vii) a (b c) (a b) (a c), (viii) (a b) (a c) a (b c), (ix) (a c) (b c) (a b) c. Dowód: (i), (ii) s a bezpośredni a konsekwencj a Tw.1.28(i), (iii). Warunek (iii) wynika z (8) wobec faktu, iż a b b. dla (iv) : ( ) : Niech a b. Ponieważ x A, a x a, wiȩc z za lożenia: x A, a x b. St ad a b = 1. ( ): Niech a b = 1. Ponieważ a (a b) b, wiȩc a 1 b, zatem a b. dla (v): Ponieważ a (a b) a oraz a (a b) b, wiȩc a (a b) a b. Z drugiej strony, a b a, a b b a b z (iii), zatem a b a (a b). Ostatecznie, a (a b) = a b. dla (vi): Po lóżmy x = a (b c), y = (a b) c. Ponieważ (a b) ((a b) c) c, czyli (a b) y c, wiȩc a y b c, a st ad y x. Z dugiej strony, a (a (b c)) b c, tzn. a x b c. Zatem z (8): b (a x) c, dlatego x (a b) c, tzn., x y. dla (vii): Ponieważ wed lug (v) : a (a b) (a (b c)) = (a b) (a (b c)) = b (a (a (b c))) = b (a (b c)) b (b c) c, wiȩc

4 3. Algebry Heytinga 4 (a b) (a (b c)) a c, st ad zaś: a (b c) (a b) (a c). dla (viii): Ponieważ a (a b) (a c) a (a b) b oraz a (a b) (a c) a (a c) c, wiȩc a (a b) (a c) b c, zatem (a b) (a c) a (b c). dla (ix): Ponieważ a (a c) (b c) a (a c) c oraz b (a c) (b c) b (b c) c wiȩc (a (a c) (b c)) (b (a c) (b c)) c, zatem z dystrybutywności (Tw.2.5) otrzymujemy: (a b) (a c) (b c) c, st ad zaś: (a c) (b c) (a b) c. Twierdzenie 2.7: Algebra (A,,, ) typu (2,2,2) jest krat a implikatywn a wtw (A,, ) jest krat a (tzn. spe lnione s a równości (1)-(4)) oraz dla dowolnych x, y, z A spe lnione s a równości: (9) x x = y y, (10) x (x y) = x y, (11) x (y z) = (x y) z. Dowód: ( ): oczywisty na mocy Tw.2.5, Tw.2.6(i), (v), (vi). ( ): Za lóżmy, że w kracie (A,, ) mamy operacjȩ, dla której zachodz a równości (9)-(11). Zauważmy najpierw, iż wed lug (10), dla dowolnych a, b A mamy: a (a b) = a b b, czyli a b należy do zbioru {x A : a x b}. Aby wykazać, że a b jest elementem najwiȩkszym w tym zbiorze, udowodnimy wcześniej pewne fakty pomocnicze. Po pierwsze, na mocy (9), dla dowolnego x A, element x x jest jednym i tym samym elementem, oznaczmy wiȩc go jakoś, np. symbolem 1. Wtedy dla dowolnego x A, na mocy (10) mamy: x 1 = x (x x) = x x = x, co dowodzi, że x 1, tzn. element 1 jest jedynk a w kracie (A,, ). Po drugie, zachodzi: (i) x 1 = 1. Bowiem, na mocy (11): x 1 = x (x x) = (x x) x = x x = 1. Po trzecie, dowodzimy, że dla dowolnych a, b A, (ii) a b wtw a b = 1. ( ): Niech a b. Wówczas a b = a. Zatem z (11) oraz (i) : a b = (a b) b = a (b b) = a 1 = 1. ( ): Niech a b = 1. Wówczas z (10): a b = (a b) a = 1 a = a, zatem a b. Weźmy teraz dowolne a, b, x A takie, że a x b. Wówczas, na mocy (ii) : (a x) b = 1. Lecz wed lug (11): (a x) b = (x a) b = x (a b). Zatem x (a b) = 1. Wobec tego z (ii) : x a b. 3. Algebry Heytinga Definicja. Kratȩ implikatywn a z zerem nazywamy algebr a Heytinga. W algebrze Heytinga dysponujemy operacj a pseudo-uzupe lnienia : dla dowolnego elementu x algebry, x = x 0 (por. Tw.1.23). Zatem algebrȩ Heytinga można postrzegać jako algebrȩ (A,,,,, 0, 1) typu (2,2,2,1,0,0)

5 3. Algebry Heytinga 5 tak a, że (A,,,, 1) jest krat a implikatywn a, 0 - jest zerem tej kraty oraz jest operacj a pseudo-uzupe lnienia. Naturalnie algebry Heytinga można zdefiniować równościowo, tzn. podaj ac zbiór równości spe lnionych w tych algebrach. Wystarczy zastosować Tw.2.7. Jeśli rozważamy algebry Heytinga w postaci (A,,,, 0) to definiuj a je równości (1)-(4), (9)-(11) oraz równość: x 0 = x; jeśli zaś w postaci: (A,,,,, 0, 1), to należy dodać jeszcze równość definiuj ac a operacjȩ pseudo-uzupe lnienia: x = x 0, przy czym zamiast równości (9) wystȩpuje teraz równość : x x = 1. Przyk lady. Nastȩpuj aca krata jest algebr a Heytinga: 1 c d a b 0 Operacja pseudo-uzupe lnienia jest tu określona nastȩpuj aco: 0 1 a d b a c 0 d a 1 0 Niech < X, > bȩdzie dowolnym zbiorem cz. up. oraz niech D(X) bȩdzie zbiorem wszystkich podzbiorów Y X spe lniaj acych warunek: x, y X(x Y i x y y Y ). Wówczas (D(X),,,, ) jest algebr a Heytinga, w której dla dowolnych Y, Z D(X), Y Z = {U D(X) : U Y Z} = {x X : y X(x y i y Y y Z} = {x X : [x) Y Z}, gdzie dla dowolnego x X, [x) = {y X : x y}. Albowiem, po pierwsze, latwo sprawdzić, że (D(X),,, ) jest krat a z zerem (tzn., że iloczyn i suma teoriomnogościowa s a operacjami na D(X) oraz D(X)). Po drugie, wykazujemy, że dla dowolnych Y, Z D(X), Y (Y Z) Z (naturalnie kratowym porz adkiem w (D(X),, ) jest inkluzja). Ustalmy wiȩc Y, Z D(X). Mamy dowieść, iż Y {x X : [x) Y Z} Z, co jest oczywiste. Po trzecie, należy dowieść, że U D(X), jeżeli Y U Z, to U (Y Z), co jest oczywiste z pierwszego określenia operacji pseudouzupe lnienia: Y Z = {U D(X) : U Y Z}.

6 3. Algebry Heytinga 6 Dla zbioru cz. up. z przyk ladu z 1, rozdzia l 1, opisana powyżej algebra Heytinga ma postać: {a, b, c, d, e} {a, c, d, e} {b, c, d, e} {c, d, e} {d, e} {d} {e} Operacja pseudo-uzupe lnienia jest tu określona nastȩpuj aco: {a, b, c, d, e} {d} {e} {e} {d} {d, e} {c, d, e} {a, c, d, e} {b, c, d, e} {a, b, c, d, e} Twierdzenie 2.8: W algebrze Heytinga (A,,,,, 0, 1) spe lnione s a zwi azki: dla dowolnych a, b A, (i) a a = 0, (ii) a a = a, (iii) a a, (iv) a b b a, (v) a = a, (vi) (a b) = a b, (vii) a b (a b), (viii) a b a b, (ix) a b = b a, (x) 0 a = 1, (xi) (a a) = 1.

7 3. Algebry Heytinga 7 Dowód: dla (i) oczywisty z definicji pseudo-uzupe lnienia. dla (ii): Na mocy (i) oraz Tw.2.6(v) : a (a a) = a a = 0. Zatem a a a 0 = a. Z drugiej strony, a a a, na podstawie Tw.2.6(iii). dla (iii): Na mocy (i) : a a 0 = a. dla (iv): Za lóżmy, że a b. Wówczas a b = a. St ad a b = (a b) b = 0, zatem b a 0 = a. dla (v): Na mocy (iii) : a a oraz a a, sk ad, na podstawie (iv) : a a. Ostatecznie, a = a. dla (vi): Ponieważ a a b, b a b, wiȩc wed lug (iv) : (a b) a, (a b) b, zatem (a b) a b. Z drugiej strony, na mocy dystrybutywności i (i) : (a b) ( a b) = (a a b) (b a b) = 0 0 = 0, zatem a b (a b) 0 = (a b). dla (vii): Ponieważ z dystrybutywności i (i) : (a b) ( a b) = (a b a) (a b b) = 0 0 = 0, wiȩc a b (a b) 0 = (a b). dla (viii): Ponieważ wed lug dystrybutywności oraz (i) : a ( a b) = (a a) (a b) = 0 (a b) = a b b, wiȩc a b a b. dla (ix): Na mocy Tw.2.6(v) : a (b (a b)) = b (a (a b)) = b (a b) = 0, zatem b (a b) a 0 = a. St ad zaś otrzymujemy: a b b a. Wobec dowolności wyboru elementów a, b, zamieniaj ac a na b i b na a mamy: b a a b i ostatecznie: a b = b a. dla (x): oczywisty na mocy Tw.2.6(iv). dla (xi) : (a a) = ( a a) = 0 = 1, na mocy (vi), (i) oraz Tw.1.24 (1 jest uzupe lnieniem elementu 0 w algebrze Heytinga, zatem jest pseudo-uzupe lnieniem 0, st ad 1 = 0). Na mocy Tw.2.3 jest oczywiste, że dowolna algebra Boole a (A,,,,, 0, 1), gdzie dla dowolnych a, b A, a b = a b, jest algebr a Heytinga. W ogólności zwi azek miȩdzy tymi typami algebr jest postaci: Twierdzenie 2.9: Algebra (A,,,,, 0, 1) jest algebr a Boole a wtw (A,,,,, 0, 1) jest algebr a Heytinga, w której dla dowolnego x A : x x = 1. Dowód: ( ): Oczywisty (por. równość (7) w Tw.2.1). ( ): Za lóżmy, że (A,,,,, 0, 1) jest algebr a Heytinga tak a, że spe lniona jest równość: x x = 1. Ponieważ x x = 0 (Tw.2.8(i)), wiȩc wobec dystrybutywności algebry Heytinga, na mocy Tw.1.28, x jest uzupe lnieniem elementu x, czyli każdy element tej algebry ma uzupe lnienie. Jest to wiȩc algebra Boole a. Naturalnie w Tw.2.9 równość: x x = 1, można zamienić na równość: x = x, uzyskuj ac prawdziwe twierdzenie. Bowiem oczywiście równość x = x jest spe lniona w dowolnej algebrze Boole a (T.2.2(ii)), natomiast odwrotnie, w każdej algebrze Heytinga spe lniaj acej tȩ równość, na mocy Tw.2.8(xi), spe lniona jest równość: x x = 1, co na mocy Tw.2.9 świadczy o tym, iż algebra ta jest algebra Boole a.

8 4. Algebry implikacyjne 8 4. Algebry implikacyjne Definicja. Algebrȩ (A,, 1) typu (2,0) nazywamy algebr a implikacyjn a, gdy (i) relacja określona na A nastȩpuj aco: a b wtw a b = 1, jest czȩściowo porz adkuj aca, (ii) 1 jest elementem najwiȩkszym w < A, >, (iii) dla dowolnych a, b A, b a b, (iv) dla dowolnych a, b, c A, a (b c) (a b) (a c). Twierdzenie 2.10: Każda krata implikatywna, precyzyjniej: odpowiedni redukt tej kraty, jest algebr a implikacyjn a. Dowód: Oczywisty na mocy Tw.2.5 oraz Tw.2.6(iv), (iii), (vii). Twierdzenie 2.11: Dla dowolnego zbioru cz. up. < A, > z elementem najwiȩkszym 1, algebra (A,, 1), w której dla dowolnych x, y A : x y = 1, gdy x y oraz x y = y, gdy x y, jest algebr a implikacyjn a. Dowód: Zauważmy najpierw, że dla dowolnych a, b A : a b wtw a b = 1. Bowiem implikacja ( ) jest oczywista z określenia operacji. Aby dowieść implikacji odwrotnej za lóżmy, że a b = 1 oraz że a b. Wówczas z określenia operacji : a b = b. Zatem b = 1, a wiȩc a b; sprzeczność. W ten sposób relacja definiowana przez operacjȩ wed lug warunku (i) definicji algebry implikacyjnej, jest czȩściowo porz adkuj aca, bo relacja wyjściowa jest czȩściowo porz adkuj aca. Oczywiście również warunki (ii), (iii) tej definicji s a spe lnione. Aby wykazać, że spe lniony jest warunek (iv), weźmy pod uwagȩ elementy a, b, c A i rozważmy alternatywȩ: a c lub a c. Jeśli zachodzi a c, to na mocy (i) : a c = 1. Ponieważ a b 1, wiȩc a b a c, zatem z (i) : (a b) (a c) = 1, a st ad a (b c) (a b) (a c). Za lóżmy, że a c. Wówczas, z określenia operacji mamy: a c = c. Rozważmy alternatywȩ: b c lub b c. Niech b c. Wówczas a b (gdyby by lo: a b, to by loby: a c, co jest niemożliwe). Zatem a b = b i wówczas zgodnie z za lożeniem: a b c, zatem wed lug (i) otrzymujemy: (a b) c = 1. Zatem (a b) (a c) = 1, czyli znowu: a (b c) (a b) (a c). Gdy zaś b c, to b c = c i w konsekwencji: a (b c) = a c = c (a b) c = (a b) (a c). Twierdzenie 2.12: W algebrze implikacyjnej (A,, 1) zachodz a nastȩpuj ace zwi azki: dla dowolnych a, b, c A, (i) a b c b a c, (ii) 1 a = a, (iii) b c a b a c, (iv) a b b c a c, (v) a (a b) = a b, (vi) a (b c) = b (a c) (vii) a (b c) = (a b) (a c), (viii) (a b) ((b a) b) = (b a) ((a b) a).

9 4. Algebry implikacyjne 9 Dowód: dla (i): Za lóżmy, że a b c. Zatem a (b c) = 1. St ad na mocy warunków (ii), (iv) definicji algebry implikacyjnej otrzymujemy: (a b) (a c) = 1, co implikuje: a b a c, zatem wed lug warunku (iii) definicji algebry implikacyjnej: b a c. dla (ii): Ponieważ 1 a 1 a, wiȩc na mocy (i) mamy: 1 (1 a) a, tzn., (1 a) a = 1. Zatem (1 a) a. Z drugiej strony, a 1 a na mocy warunku (iii) definicji algebry implikacyjnej. Ostatecznie, 1 a = a. dla (iii): Za lóżmy, że b c, czyli b c = 1. Zatem skoro a 1, wiȩc a (b c), tzn., a (b c) = 1. St ad i z warunków (iv), (ii) definicji algebry implikacyjnej, otrzymujemy: (a b) (a c) = 1, co implikuje: a b a c. dla (iv): Za lóżmy, że a b, tzn. a b = 1. Wówczas z warunków (iii), (iv) definicji algebry implikacyjnej zachodzi: b c a (b c) (a b) (a c) = 1 (a c) = a c (zastosowanie (ii)). dla (v): Z (ii) oraz warunku (iv) definicji algebry implikacyjnej mamy: a (a b) (a a) (a b) = 1 (a b) = a b. Z drugiej strony, a b a (a b), na mocy warunku (iii) tejże definicji. Ostatecznie, a (a b) = a b. dla (vi): Ponieważ wed lug warunku (iv) definicji algebry implikacyjnej: a (b c) (a b) (a c) wiȩc dziȩki (i) otrzymujemy: a b (a (b c)) (a c). St ad, na mocy warunku (iii) definicji mamy: b (a (b c)) (a c). Zatem znowu stosuj ac (i) uzyskujemy: a (b c) b (a c). Zamieniaj ac a na b i b na a mamy: b (a c) a (b c) i ostatecznie, a (b c) = b (a c). dla (vii): Z warunku (iii) definicji algebry implikacyjnej: b a b, zatem stosuj ac (iv) i (vi) mamy: (a b) (a c) b (a c) = a (b c). L acz ac to z warunkiem (iv) definicji otrzymujemy: a (b c) = (a b) (a c). dla (viii): Ponieważ b a b a, wiȩc na mocy (i) : b (b a) a, st ad na mocy (iii) otrzymujemy: (b a) b (b a) ((b a) a). Zatem wed lug (v) : (b a) b (b a) a, a st ad znowu dziȩki (iii) a nastȩpnie (vi) : (a b) ((b a) b) (a b) ((b a) a) = (b a) ((a b) a). Zamieniaj ac a na b oraz b na a otrzymujemy: (b a) ((a b) a) (a b) ((b a) b). Ostatecznie zachodzi (viii). Twierdzenie 2.13: Algebra (A,, 1) typu (2,0) jest algebr a implikacyjn a wtw dla dowolnych x, y, z A spe lnione s a równości: (12) 1 x = x, (13) x x = 1, (14) x (y z) = (x y) (x z), (15) (x y) ((y x) y) = (y x) ((x y) x). Dowód: ( ): Oczywisty na mocy Tw.2.12(ii), (vii), (viii). ( ): Za lóżmy, że w algebrze (A,, 1) spe lnione s a równości (12)-(15). Wykazujemy warunek (i) definicji algebry implikacyjnej. Zwrotność relacji

10 5. Algebry modalne 10 określonej w (i) wynika z (13). Aby wykazać jej antysymetriȩ za lóżmy, że a b i b a, tzn., a b = b a = 1. Wówczas z (15) mamy: 1 (1 b) = 1 (1 a), a st ad b = a, dziȩki (12). Zanim dowiedziemy przechodniości relacji wykazujemy, że a A, a 1 = 1. Rzeczywiście, na mocy (13) i (14): a 1 = a (a a) = (a a) (a a) = 1. Aby dowieść przechodniości za lóżmy, że a b oraz b c, czyli a b = b c = 1. Wówczas z (14) i (12): 1 = a 1 = a (b c) = (a b) (a c) = 1 (a c) = a c, zatem a c. Naturalnie warunek (ii) definicji algebry implikacyjnej wynika z faktu: a 1 = 1. Na mocy (14) i (13) mamy: b (a b) = (b a) (b b) = (b a) 1 = 1, zatem b a b, co dowodzi warunku (iii). Oczywiście warunek (iv) jest spe lniony na mocy (14) i zwrotności relacji. 5. Algebry modalne Definicja. Algebra (A,,,, I, 0, 1) typu (2,2,1,1,0,0) jest nazywana algebr a modaln a, gdy (A,,,, 0, 1) jest algebr a Boole a oraz operacja I spe lnia nastȩpuj ace warunki: dla dowolnych a, b A, (16) I(a b) = Ia Ib, (17) I1 = 1. Algebra modalna (A,,,, I, 0, 1) nazywana jest topologiczn a algebr a Boole a, gdy operacja I spe lnia warunki: dla dowolnego a A, (18) Ia a, gdzie jest kratowym porz adkiem kraty (A,, ), (19) IIa = Ia. Operacja I w topologicznej algebrze Boole a nosi nazwȩ operacji wnȩtrza. Naturalnie każda algebra Boole a wyposażona w operacjȩ identycznościow a, jest topologiczn a algebr a Boole a (w której operacj a wnȩtrza jest funkcja identycznościowa). Definicja. Niech (A,,,, I, 0, 1) bȩdzie topologiczn a algebr a Boole a. Operacjȩ 1-argumentow a C na zbiorze A określon a nastȩpuj aco: dla dowolnego a A, Ca = I a, nazywamy operacj a domkniȩcia. Element a A nazywamy otwartym (domkniȩtym), gdy a = Ia (a = Ca). Twierdzenie 2.14: Dla dowolnego elementu a w topologicznej algebrze Boole a, jego wnȩtrze Ia (domkniȩcie Ca) jest najwiȩkszym elementem otwartym bȩd acym pod nim (najmniejszym elementem domkniȩtym bȩd acym nad nim) wed lug kratowego porz adku. Dowód: Niech a bȩdzie dowolnym elementem topologicznej algebry Boole a (A,,,, I, 0, 1). Na mocy warunku (19), element Ia jest otwarty. Natomiast wed lug warunku (18), Ia jest pod a. Aby dowieść, że element Ia jest

11 5. Algebry modalne 11 najwiȩkszym w zbiorze {x A : x = Ix i x a}, najpierw wykazujemy, że zachodzi w ogólności, dla dowolnych x, y A: (20) x y Ix Iy. Niech x y. Zatem x y = x. St ad i z (16): Ix Iy = Ix, dlatego Ix Iy. Za lóżmy teraz że element otwarty x jest taki, że x a. Wówczas na mocy (20): Ix Ia. Lecz Ix = x. Zatem x Ia. Zanim wykażemy dualn a czȩść twierdzenia, udowodnimy nastȩpuj ace w lasności operacji domkniȩcia C: dla dowolnych a, b A, (21) C(a b) = Ca Cb, (22) C(0) = 0, (23) a Ca, (24) CCa = Ca, (25) a b Ca Cb. Mamy wiȩc na mocy (16): C(a b) = I (a b) = I( a b) = (I a I b) = I a I b = Ca Cb. Dalej, na mocy (17): C0 = I 0 = I1 = 1 = 0. Z kolei, wed lug (18): I a a. Zatem, na mocy Tw.2.2(v) : a I a, tzn. a Ca. Wreszcie, wed lug (19) mamy: CCa = I ( I a) = II a = I a = Ca. Warunku (25) dowodzi siȩ analogicznie jak warunku (20), korzystaj ac z (21) w miejsce (16). Oczywiście, na mocy (24), (23), Ca jest elementem domkniȩtym takim, że a jest pod nim. Niech teraz x A bȩdzie elementem domkniȩtym takim, że a x. Wówczas z (25): Ca Cx, czyli Ca x. Twierdzenie 2.15: Dla dowolnej topologicznej algebry Boole a (A,,,, I, 0, 1) algebra (G(A),,,,, 0, 1), gdzie G(A) = {a A : a = Ia} jest zbiorem wszystkich elementów otwartych i dla dowolnych a, b G(A) : a b = I(a b) = I( a b) oraz a = I a = Ca, jest algebr a Heytinga. Dowód: Najpierw wykażmy, że operacje, topologicznej algebry Boole a s a operacjami na zbiorze G(A). Niech wiȩc a, b G(A), tzn. a = Ia, b = Ib. Wówczas, zgodnie z (16): a b = Ia Ib = I(a b), zatem a b G(A). Ponadto, z (18): I(a b) a b. Z drugiej strony, a a b oraz b a b, zatem z (20): Ia I(a b) i Ib I(a b), czyli Ia Ib I(a b). Lecz Ia Ib = a b, zatem a b I(a b). Ostatecznie, a b = I(a b), czyli a b G(A). Co wiȩcej, wed lug (17): 1 G(A), również 0 G(A), bowiem z (18): I0 0, a oczywiście 0 Ia. Naturalnie a b, a G(A) z określenia operacji, (na mocy (19) dla dowolnego x A, Ix G(A)). Aby wykazać, że (G(A),,,,, 0, 1) jest algebr a Heytinga, zauważmy najpierw, że dla dowolnego a G(A), a = a 0, jak również, że 0 jest zerem tej algebry. Wystarcza wiȩc wykazać zwi azek (8) (Tw.2.4): dla dowolnych a, b, x G(A), a x b wtw x a b. ( ): Za lóżmy, że a x b. Wówczas x a x = 1 ( a x) = ( a a) ( a x) = a (a x) a b, dlatego Ix I( a b), czyli x a b.

12 5. Algebry modalne 12 ( ): Za lóżmy, że x a b, zatem x I( a b) a b. Wówczas a x a ( a b) = (a a) (a b) = 0 (a b) = a b b. Definicja. Topologiczn a algebrȩ Boole a (A,,,, I, 0, 1) nazywamy algebr a monadyczn a, gdy dla dowolnego a A, CIa = Ia, tzn., gdy każdy otwarty element tej topologicznej algebry Boole a jest jednocześnie elementem domkniȩtym. Naturalnie w każdej algebrze monadycznej spe lniona jest równość: dla dowolnego elementu a, (26) Ia = I Ia, bowiem CIa = Ia wtw I Ia = Ia wtw I Ia = Ia. Definicja. Algebra (A,,,, I, 0, 1) typu (2,2,1,1,0,0) jest nazywana algebr a Henlego, gdy (A,,,, 0, 1) jest algebr a Boole a oraz operacja I jest zdefiniowana nastȩpuj aco: dla dowolnego a A, Ia = 0, gdy a 1 oraz I1 = 1. Twierdzenie 2.16: Algebra Henlego jest algebr a monadyczn a. Dowód: Bezpośrednio z określenia operacji I w algebrze Henlego widać, że warunki (17),(18,(19) s a spe lnione. Ponadto, dla dowolnych jej elementów a, b mamy: a b 1 wtw a 1 lub b 1, zatem gdy a, b s a takie, że a b 1, to I(a b) = 0 oraz Ia = 0 lub Ib = 0, czyli Ia Ib = 0, zatem I(a b) = Ia Ib. Naturalnie, gdy a, b s a takie, że a b = 1, to a = b = 1 i wówczas Ia = Ib = 1, czyli Ia Ib = 1, zaś I(a b) = 1. Ostatecznie, warunek (16) zachodzi. W ten sposób widać, że algebra Henlego jest algebr a topologiczn a. Ponadto, w algebrze Henlego mamy: dla dowolnego elementu a, Ca = 1, gdy a 0 oraz C0 = 0. Bowiem gdy a 0, czyli a 1 zachodzi: Ca = I a = 0 = 1, natomiast C0 = I 0 = I1 = 1 = 0. Zatem, gdy a 1, to CIa = C0 = 0 = Ia oraz CI1 = C1 = 1 = I1, czyli algebra Henlego jest monadyczna.