Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem.

Transkrypt

1 Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem. 1

2 2 0. Twierdzenie Schura Zassenhausa W tym rozdziale zajmiemy sie bardzo użytecznym twierdzeniem, które podaje warunek dostateczny na to, by rozszerzenie N i G π H by lo produktem pó lprostym, co jak wiemy pozwala wiele powiedzieć o strukturze grupy G, jśli znamy grupy H i N. Zaczynamy od lematu, który pokazuje, że dla dowolnej skończonej podgrupy normalnej N G można wskazać taka podgrupe, która wraz z N generuje G Lemat Frattini. Niech G be dzie dowolna (niekoniecznie skończona ), N G jej skończona pod, zaś P N pewna Sylowa grupy N. Wówczas G = N G (P ) N. Dowód. Niech g G be dzie dowolnym elementem. Wówczas gp g 1 gng 1 = N jest Sylowa grupy N, a zatem istnieje x N, dla którego xgp g 1 x 1 = P. Oznacza to, że xg N G (P ), czyli g N G (P ) N Twierdzenie Schura Zassenhausa. Jeżeli G jest grupa skończona, N G jej pod i ( N, [G: N]) = 1, to podgrupa N ma dope lnienie normalne w G. Dowód twierdzenia podamy za Rose [R] i poprzedzimy lematem, który jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Schura Zassenhausa Lemat. Jeżeli G jest grupa skończona, A G jej przemienna pod normalna i ( A, [G: A]) = 1, to podgrupa A ma dope lnienie normalne w G. Zaczniemy od udowodnienia twierdzenia Schura Zassenhausa, przy za lożeniu prawdziwości lematu. Dowód. Zastosujemy indukcje ze wzgle du na N = m. Jeżeli m = 1, to teza jest oczywista. Niech P N be dzie pewna Sylowa grupy N. Z lematu Frattini wynika, że G = N G (P ) N, a zatem G/N = (N G (P ) N)/N = N G (P )/(N N G (P )). Mamy dwie możliwości: a) N N G (P ) N i b) N N G (P ) = N a) N N G (P ) N: Oczywiście N N G (P ) N G (P ) i ( N N G (P ), [N G (P ): (N N G (P ))]) = 1. Z za lożenia indukcyjnego istnieje podgrupa K N G (P ), która jest dope lnieniem normalnym do N N G (P ) w N G (P ). Wynika z tego, że K N = {1} i K = [N G (P ): (N N G (P ))] = [G: N], a zatem K jest także dope lnieniem normalnym do N w G. b) N N G (P ) = N: Z równości G = N G (P ) N wynika wie c, że G = N G (P ) i P G. Centrum Z(P ) P jest pod charakterystyczna, wie c Z(P ) G i możemy rozpatrzeć N/Z(P ) G/Z(P ). Zauważmy, że N/Z(P ) G/Z(P ) spe lnia za lożenia twierdzenia Schura Zassenhausa i N/Z(P ) < N, wie c z za lożenia indukcyjnego istnieje H G/Z(P ), które jest dope lnieniem normalnym podgrupy N/Z(P ) w G/Z(P ). Niech H = π 1 (H) G, gdzie π : G G/Z(P ) jest rzutowaniem na grupe ilorazowa. Mamy Z(P ) H jest pod przemienna i [H : Z(P )] = H

3 jest wzgle dnie pierwszy z p, a wie c i z Z(P ). Z lematu wynika wie c, że istnieje podgrupa K H, która jest dope lnieniem normalnym Z(P ) w H. Nietrudno sprawdzić,że K jest szukanym dope lnieniem normalnym N w G. Pozostaje nam udowodnić lemat. Dowód lematu. Oznaczmy przez n rza d grupy ilorazowej G/A. Rozpatrzmy rodzine T wszystkich podzbiorów X = {x 1,..., x n } G, dla których x 1 A,..., x n A sa wszystkimi elementami grupy ilorazowej G/A. Na rodzinie T określamy dzia lanie grupy G przez domnażanie z lewej strony, to znaczy g({x 1,..., x n }) = {gx 1,..., gx n } (jest oczywiste, że g(x) T ). Dla zbiorów X, Y T definiujemy element grupy A be cy ich ilorazem X/Y = n i=1 x iy 1 i, gdzie x i A = y i A. Zauważmy, że z przemienności grupy A wynika, że X/Y jest dobrze określone i nie zależy od kolejności mnożenia. W rodzinie T wprowadzamy relacje równoważności: X Y wtedy i tylko wtedy, gdy X/Y = 1. Latwy rachunek przekonuje nas, że dla dowolnego elementu g G jeżeli X Y, to gx gy. Wynika z tego, że grupa G dzia la na zbiorze klas abstrakcji T /. Pokażemy, że grupa izotropii dowolnego [X] T / dla tego dzia lania jest dope lnieniem normalnym podgrupy A w G. W tym celu pokażemy, że dzia lanie A na T / be ce ograniczeniem dzia lania G ma: trywialne grupy izotropii, jedna orbite. Z tego, że A jest pod wynika, że dla każdego a A, ax i A = x i A a zatem a(x)/x = a n. Jeżeli a([x]) = [X], to a n = 1, co wobec ( A, n) = 1 oznacza, że a = 1 i pierwsza w lasność jest udowodniona. Niech [X], [Y ] T / be różnymi elementami i niech X/Y = a. Ponieważ ( A, n) = 1, to istnieje element b A, taki że b n = a 1 (a 1 = a k A +ln = a ln dla pewnych liczb ca lkowitych k, l). Zatem b(x)/y = b(x)/x X/Y = 1 i b([x]) = Y. Niech teraz K G be dzie pod izotropii elementu [X] T /. Z w lasności wynika, że A K = {1}. Dla dowolnego g G, z w lasności wnioskujemy, że istnieje a A, dla którego g([x]) = a([x]), a zatem a 1 g K i g A K. Zatem K jest dope lnieniem normalnym A w G. Rozważania przeprowadzone powyżej pozwalaja udowodnić nie tylko istnienie dope lnienia normalnego, ale i jego jednoznaczność, z dok ladnościa do sprze żenia Stwierdzenie. Jeżeli G jest grupa skończona, A G jej przemienna podgrupa i ( A, [G: A]) = 1, to każde dwa dope lnienia normalne A w G sa sprze żone. Dowód. Pozostajemy przy oznaczeniach z dowodu lematu. Jeżeli L G jest dope lnieniem normalnym A w G, to zbiór elementów L należy do T jego obraz w T / oznaczamy symbolem [L]. Grupa L jest oczywiście zawarta w grupie izotropii [L] i z w lasności wnosimy, że istnieje element x A, taki że xlx 1 K. Ponieważ L = K = n, to xlx 1 = K. Powstaje naturalne pytanie, czy w sytuacji ogólniejszej (bez za lożenia przemienności), ale przy za lożeniach twierdzenia Schura Zassenhausa każde dwa dope lnienia 3

4 4 normalne do N w G sa sprze żone. Okazuje sie, że jest tak w istocie, ale dowód wymaga skorzystania ze wzmiankowanego już w rozdziale 5 bardzo trudnego twierdzenia Feita Thompsona.

5 5 ZADANIA Z 0.1. Pokazać, że jeżeli G jest skończona, P jej pewna Sylowa i K G pod taka, że N G (P ) K, to N G (K) = K. Z 0.2. Niech G be dzie skończona, a K G jej podgupa. Niech p G i p G/K. Pokazać, że istnieje podgrupa H G, taka że p H i G = H K.