Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

2 Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie; 2 strzał Lolka do tarczy (każdy punkt tarczy równo prawdopodobny) Znamy już naturalne przestrzenie probabilistyczne, które odpowiadają tym eksperymentom.

3 Wprowadzenie A co jeśli nie interesują nas prawdopodobieństwa zbiorów wyników eksperymantu, ale rozkład prawdopodobieństw dla pewnych liczb związanych z eksperymentem np. rozkład prawdopodobieństw 1 liczby żetonów wygranych przez Bolka; 2 liczby punktów uzyskanych przez Lolka; 3 odległości od środka tarczy wyniku strzału Lolka.

4 Zmienna losowa 1 Liczba żetonów wygranych przez Bolka; 2 Liczba punktów uzyskanych przez Lolka; 3 Odległości od środka tarczy wyniku strzału Lolka; jest wartością funkcji, która każdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowuje pewną wartość z R.

5 Zmienna losowa 1 Liczba żetonów wygranych przez Bolka; 2 Liczba punktów uzyskanych przez Lolka; 3 Odległości od środka tarczy wyniku strzału Lolka; jest wartością funkcji, która każdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowuje pewną wartość z R. Definicja Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Dowolną funkcję X : Ω R taką, że dla dowolnego zbioru borelowskiego A B(R) X 1 (A) = {ω Ω : X (ω) A} F nazywamy zmienną losową.

6 Szczypta teorii miary itp. Zmienna losowa jest to po prostu dowolna funkcja z (Ω, F, P) do R mierzalna w sensie Lebesgue a.

7 Przykład 1 Bolek postawił na czerwone ; Niech X : Ω R będzie zmienną losową równą wygranej Bolka (w żetonach). Prawdopodobieństwa jakich zdarzeń (w (Ω, F, P)) nas interesują? Bolek przegrał jeden żeton {X = 1} = X 1 ( 1) F. Bolek wygrał jeden żeton {X = 1} = X 1 (1) F Bolek nie wygrał żetonu {X 0} = X 1 ((, 0]) F.

8 Przykład 1 Bolek postawił na czerwone ; Niech X : Ω R będzie zmienną losową równą wygranej Bolka (w żetonach). Prawdopodobieństwa jakich zdarzeń (w (Ω, F, P)) nas interesują? Bolek przegrał jeden żeton {X = 1} = X 1 ( 1) F. Bolek wygrał jeden żeton {X = 1} = X 1 (1) F Bolek nie wygrał żetonu {X 0} = X 1 ((, 0]) F. Ich prawdopodobieństwa w (Ω, F, P) P (X = 1) = P (X 0) = ,P (X = 1) = 37

9 Przykład 2 Lolek strzela do tarczy; Niech Y : Ω R będzie zmienną losową równą liczbie uzyskanych punktów. Prawdopodobieństwa jakich zdarzeń (w (Ω, F, P)) nas interesują? Lolek dostał 10 punktów {Y = 10} = Y 1 (10) F. Lolek dostał co najwyżej 5 punktów {Y 5} = Y 1 ((, 5]) F

10 Przykład 2 Lolek strzela do tarczy; Niech Y : Ω R będzie zmienną losową równą liczbie uzyskanych punktów. Prawdopodobieństwa jakich zdarzeń (w (Ω, F, P)) nas interesują? Lolek dostał 10 punktów {Y = 10} = Y 1 (10) F. Lolek dostał co najwyżej 5 punktów {Y 5} = Y 1 ((, 5]) F Ich prawdopodobieństwa w (Ω, F, P) P (Y = 10) = ,P (Y 5) = 100

11 Trochę oszukana definicja Rozkład zmiennej losowej to informacja o tym, jakie wartości ta zmienna losowa może przyjmować i jakie są prawdopodobieństwa tych wartości. Rozkład zmiennej losowej jest miarą probabilistyczną na B(R).

12 Trochę oszukana definicja Rozkład zmiennej losowej to informacja o tym, jakie wartości ta zmienna losowa może przyjmować i jakie są prawdopodobieństwa tych wartości. Rozkład zmiennej losowej jest miarą probabilistyczną na B(R). Z punktu widzenia praktycznego: rozkład zmiennej losowej niesie mniej informacji niż zmienna losowa, i czasem dobrze jest pozbyć się nadmiaru informacji, a czasem pozbywanie się informacji nie jest mądre.

13 Definicja Rozkładem (prawdopodobieństwa) zmiennej losowej X nazywamy miarę probabilistyczną (funkcję prawdopodobieństwa) na prostej R wyposażonej w σ-ciało zbiorów borelowskich B(R) zadaną wzorem P X (A) := P( {ω Ω : X (ω) A } ) = P ( X 1 (A) ) = P(X A) dla dowolnego borelowskiego zbioru A B(R) Przypomnienie Dowolną funkcję X : Ω R taką, że dla dowolnego zbioru borelowskiego A B(R) nazywamy zmienną losową. X 1 (A) = {ω Ω : X (ω) A} F

14 Definicja Rozkładem (prawdopodobieństwa) zmiennej losowej X nazywamy miarę probabilistyczną (funkcję prawdopodobieństwa) na prostej R wyposażonej w σ-ciało zbiorów borelowskich B(R) zadaną wzorem P X (A) := P( {ω Ω : X (ω) A } ) = P ( X 1 (A) ) = P(X A) dla dowolnego borelowskiego zbioru A B(R) Definicja - bardziej ogólnie Rozkładem prawdopodobieństwa na R nazywamy każdą miarę probabilistyczną na B(R).

15 Uwaga dotycząca oznaczeń Niebawem poznamy wiele słynnych rozkładów prawdopodobieństwa (czyli miar probabilistycznych na B(R)) Fakt, że zmienna X ma rozkład P X będziemy oznaczać. X P X

16 Uwaga dotycząca oznaczeń P X (A) = P( {ω Ω : X (ω) A } ) = P ( X 1 (A) ) = P(X A) Dla szczególnych zbiorów np. A = (a, b), A = {c} {ω } P X ((a, b)) = P( ) Ω : a < X (ω) < b = P ( X 1 ((a, b)) = P(a < X < b) ( {ω } ) P X ({c}) = P Ω : X (ω) = c = P ( X 1 ({c}) ) = P(X = c) Zazwyczaj będziemy wykorzystywać ostatnią, najkrótszą notację.

17 Uwaga Dowolna zmienna losowa X : Ω R wyznacza nową przestrzeń probabilistyczną (R, B(R), P X ). W konkretnych przypadkach (a tylko takie będziemy rozpatrywać) podanie rozkładu zmiennej losowej X jest o wiele prostsze niż podawanie miary dla każdego zbioru borelowskego. Przykład 3 W przypadku wygranej Bolka (zmiennej losowej X ) wystarczy podać P X ({ 1}) = P(X = 1) = 19 37, P X ({1}) = P(X = 1) = Dlaczego?

18 Trochę nazewnictwa Trochę nazewnictwa Mówimy, że zmienna losowa X jest skupiona na zbiorze A R, gdy P (X A) = P ( X 1 (A) ) = 1 (wybieramy zwykle jak najmniejszy lub jak najładniejszy taki zbiór). Przykład 4 Na jakim zbiorze skupiona jest zmienna losowa X równa wygranej Bolka w ruletkę? Y równa liczbie punktów Lolka w rzucie do tarczy? Z równa odległości strzału Lolka od środka tarczy?

19 Dystrybuanta Dla dowolnej zmiennej losowej można określić dystrybuantę. Definicja Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F : R R daną wzorem ( ) F (a) = P (X a) = P X 1 ((, a]). Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby a R zbiór {X a} = X 1 ((, a]) F jest zdarzeniem w przestrzeni (Ω, F, P), na której X jest określona.

20 Przykład 5 Bolek postawił na czerwone ; Niech X : Ω R będzie zmienną losową równą wygranej Bolka. Podaj dystrybuantę zmiennej losowej X.

21 Wprowadzenie Przykład 6 Lolek strzela jeden raz do tarczy. Dowolny punkt tarczy trafia z tym samym prawdopodobieństwem. Niech Z : Ω R będzie zmienną losową równą odległości strzału od środka. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej Z.

22 Własności dystrybuanty Twierdzenie Dystrybuanta F zmiennej losowej ma następujące własności: 1 jest niemalejąca; 2 F ( ) = lim t F (t) = 0, 3 F ( ) = lim t F (t) = 1; 4 jest prawostronnie ciągła, tzn. F (t) = lim s t + F (s) Dowód:

23 Własności dystrybuanty Twierdzenie Dystrybuanta F zmiennej losowej ma następujące własności: 1 jest niemalejąca; 2 F ( ) = lim t F (t) = 0, 3 F ( ) = lim t F (t) = 1; 4 jest prawostronnie ciągła, tzn. F (t) = lim s t + F (s) Dowód: Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne. Twierdzenie Dowolna funkcja F : R R, która ma własności 1-4 jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej.

24 Własności dystrybuanty Przykład 7 Które z poniższych obrazków pokazują wykres dystrybuanty pewnej zmiennej losowej?

25 Własności dystrybuanty Inne przydatne własności Dowód: P (X < t) = lim s t F (s). P (X = t) = F (t) lim s t F (s).

26 To wiemy P (X t) = F (t), P (X < t) = lim s t F (s). Przykład 8 Zmienna losowa ma dystrybuantę 0 dla x < 0; 1 F (x) = 5 dla 0 x < 1; 1 5 x dla 1 x < 3; 1 dla x 3. Wyznacz: P (X = 2), P (X = 3), P (X 3), P (X < 3), P (2 < X < 3).

27 Przeciwobraz X : Ω R ważne własności Wybrane własności przeciwobrazu dla A, B, A n R X 1 (R) = Ω, X 1 ( ) =, X 1 (R \ A) = Ω \ X 1 (A), czyli X 1 (A ) = (X 1 (A)), X 1 (B \ A) = X 1 (B) \ X 1 (A), X 1 ( n=1 A n ) = n=1 X 1 (A n ), X 1 ( n=1 A n ) = n=1 X 1 (A n ). Przeciwobrazy i σ ciała Jeśli F jest σ ciałem w R, to X 1 (F) = {X 1 (A) : A F} jest σ ciałem w Ω. Jeśli A jest niepustą rodziną podzbiorów zbioru R, to σ(x 1 (A)) = X 1 (σ(a)).

28 X jest zmienną losową na (Ω, F, P) Definicja σ ciałem generowanym przez zmienną losową X (ozn. σ(x )) nazywamy najmniejsze σ ciało podzbiorów Ω, względem których X jest mierzalna. σ(x ) = X 1 (B(R)) = {X 1 (B) : B B(R)} Przykład 5 Bolek postawił na czerwone w ruletkę. Niech X : Ω R będzie zmienną losową równą wygranej Bolka. Wyznacz σ(x ). Przypomnienie: rozkład zmiennej losowej niesie mniej informacji niż zmienna losowa.