Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.

Transkrypt

1 Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi w zbiorach N, Z, Q oraz R, podczas gdy odejmowanie jest działaniem wewnętrznym tylko w zbiorach Z, Q, R, zaś dzielenie - w zbiorach Q\{0} oraz R\{0}. 2. Odejmowanie w N, dzielenie w Z czy też dzielenie w Q nie są działaniami wewnętrznymi (bo wynik tych działań nie zawsze jest zawarty w zbiorze odpowiednio N, Z, Q) Kontrprzykład do 2. 3,7, 3 7 = 4 ż GRUPY Definicja: Grupą nazywamy parę uporządkowaną (G, ), gdzie G jest niepustym zbiorem, zaś to działanie wewnętrzne w tym zbiorze spełniająca warunki: (G1),, (G2) (G3) (a b) c = a (b c) (łączność) a e = e a = a Jeżeli ponadto spełniony jest warunek (G4), (element neutralny) a = a = e (elementy odwrotne) a b = b a To parę (G, ) nazywamy grupą abelową. Przykłady. a. ({ -1, 0, 1}, + ) - grupa (przemienność) b. (Z,+), (Q,+), (R,+), (Q\{0}, ), (R\{0}, ) grupy abelowe. c. (R,*) gdzie * działanie określone w następujący sposób a * b = a + b Działanie jest wewnętrzne 2. Pokażemy, że (a* b) * c = a *(b* c) L = (a* b) * c = (a + b +5 )* c = a +b +5 +c + 5 = a + b + c + 10 P = a *(b* c) = a *(b + c + 5) = a + b + c = a + b + c +10 L = P 3. Element neutralny, czyli a * e = a + e +5 = e + a + 5 = e * a a * e = a a + e + 5 = a e = -5 spr. (-5)* a = -5 + a + 5 = a 4. Elementy odwrotne, czyli a * = a = -5 a * e = e * a = a a * = a = + a + 5 = * a a * = -5 a = -5 = -a 10 ( -a, -a-10 ) a * ( -a 10) = a + (-a) = a a 5 = -5 = e 5. Sprawdzimy czy (R,*) jest grupą abelową

2 a * b = a + b +5 = b + a + 5 = b * a d. (, ), gdzie = + " + < " + 4 % jest wewnętrzne w 2. Łączność zachodzi 3. e= = 0, 1 = 3, 2 = 2, 3 = 1 5. Grupa jest abelowa d*. ( \{0}, ), niestety nie jest wewnętrznym działaniem, bo e. (, \{0},, ), gdzie, = 5.,"/ ) 5, , jest wewnętrzne w, 2. Łączność zachodzi 3. e= = 1, 2 = 3, 3 = 2, 4 = 4 5. Grupa jest abelowa Kontrprzykłady. 1. (R, ) nie jest grupą, bo liczba 0 nie ma elementu odwrotnego ( (G3) nie jest spełniony) 2. (N +) nie jest grupą, bo nie spełnia warunku o odwrotności. Własności 1. W grupie istnieje dokładnie jeden element neutralny. 2. W grupie dla dowolnego elementu istnieje dokładnie jeden element do niego odwrotny. 3. W grupie (G, ) 1 ) = 4. W grupie (G, ), 1) = 5. W grupie zachodzą prawa skreśleń, tzn. jeżeli (G, ) jest grupą, to dla dowolnych,, prawdzie są implikacje: a. ca = cb => a = b b. ac = bc => a = b 6. W grupie (G, ) dla dowolnych a, b G równania a. ax = b x=a -1 b b. xa = b x=ba -1

3 o niewiadomej x mają po dokładnie jednym rozwiązaniu. Definicja: Niech (G, ) i (H, ) będą grupami. Funkcję 3 6 nazywamy homomorfizmem grup jeżeli, 3 1 ) = 3 1 ) 3 1 ) Homomorfizm 3 6 nazywamy: Monomorfizmem, gdy 3 jest przekształceniem różnowartościowym Epimorfizmem, gdy 3 jest przekształceniem na Izomorfizmem, gdy 3 jest bijekcją Automorfizmem, gdy 3 jest bijekcją oraz (G, ) = (H, ) Przykład. f homomorfizm grup (Z,+) i (, ) oraz 718) = 2 9,7 6 sprawdzamy czy, ) = 7 1 ) 7 1 ) ) = 2 :; = 2 : 2 ; = 7 1 ) 7 1 ) Tak, więc f jest homomorfizmem. PIERŚCIENIE Definicja: Pierścieniem nazywamy trójkę uporządkowaną (P,+, ), gdzie P jest zbiorem niepustym, zaś + i są działaniami wewnętrznymi w zbiorze P, spełniającą następujące warunki: (R1),, = 1 + ) + = ) //łączność dodawania (R2) 0 = = + 0 = 0 + = //element neutralny dodawania (R3) = = + 1 ) = 1 ) + = 0 //elementy przeciwne (R4), = + = + //przemienność dodawania (R5),, = 1 ) = 1 ) //łączność mnożenia (R6),, = 1 + ) = + //rozdzielność mnożenia 1 + ) = + względem dodawania Uwaga: Używając pojęcia grupy można krótko powiedzieć, że pierścieniem jest trójka uporządkowana (P,+, ), w której (P,+) jest grupą abelową (warunki (R1)-(R4)), a mnożenie jest łączne (warunek (R5)) i rozdzielne względem dodawania (warunek (R6)). Podstawowe własności pierścieni: 1. = 0 = 0 = 0 2., = 1 ) = 1 ) = 1 ) 3.,, = 1 ) = Definicja: Pierścień nazywamy pierścieniem przemiennym, jeżeli mnożenie w pierścieniu jest przemienne, tzn. gdy oprócz warunków (R1)-(R6) z definicji ogólnej pierścienia spełniony jest warunek: (R7), = = Definicja: Pierścień nazywamy pierścieniem z jedynką (jednością), jeżeli posiada on jedynkę (element neutralny mnożenia), tzn. gdy oprócz warunków (R1)-(R6) z definicji ogólnej pierścienia spełniony jest warunek: (R8) 1 = = 1 = 1 =

4 Definicja: Element a 0 pierścienia P nazywamy dzielnikiem zera, gdy istnieje 0 b P taki, że: = 0 > = 0 Definicja: Pierścień przemienny z 1 0 i bez dzielników zera nazywamy pierścieniem całkowitym, gdy spełniony jest następujący warunek:, = 1 = 0 1 = 0 = 0)) Definicja: Niech (P,+, ) oraz (P,+, ) będą pierścieniami. Odwzorowanie φ:p P nazywamy homomorfizmem pierścieni, gdy:, = 31 + ) = 31), = 31 ) = 31) Definicja: Jeżeli homomorfizm pierścieni jest odwzorowaniem na zbioru P na P to nazywamy go epimorfizmem pierścieni. Jeżeli homomorfizm pierścieni jest odwzorowaniem różnowartościowym zbioru P w P to nazywamy go monomorfizmem pierścieni. Odwzorowanie φ:p P będące jednocześnie epimorfizmem i monomorfizmem nazywamy izomorfizmem pierścieni. Przykłady: 1. Pierścieniami przemiennymi z jednością są (Z,+, ), (Q,+, ) oraz (R,+, ) 2. Dla dowolnego naturalnego n 2 pierścieniem przemiennym z jednością jest (Z n,+ n, n ) PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Nieskończony ciąg (a 0, a 1, a 2, ) elementów pierścienia P nazywamy wielomianem, jeśli istnieje takie n 0, że dla dowolnego s>n 0 mamy a s =0. Zbiór wielomianów oznaczmy przez P[x]. W zbiorze tym wprowadźmy działania: (a0, a1, a2, )+(b0, b1, b2, )=(a0+b0, a1+b2, ) (a0, a1, a2, ) (b0, b1, b2, )=(c0, c1, c2, ) gdzie c0=a0 b0, c1=a0 b1+a1 b0, c2=a0 b2+a1 b1+a2 b0, Wówczas strukturę (P[x],+, ) nazywamy pierścieniem (wielomianów). CIAŁA Definicja: Ciałem nazywamy trójkę uporządkowaną (F, +, ), gdzie F jest zbiorem o co najmniej dwóch elementach, zaś + i są działaniami wewnętrznymi w zbiorze F spełniające warunki : (F1) ( F, + ) jest grupą abelową. (F2) ( F\{0}, ) jest grupą abelową. (F3),, A 1 + ) = + Lub Definicja: Ciało to pierścień całkowity bez dzielników zera i taki, w którym każdy niezerowy element ma element odwrotny. Przykłady. 1. 1B,+, ),1,+, ) są ciałami. 2. Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to C D, D, D E jest ciałem. 3. 1B,, ) gdzie jest zdefiniowane a b = a + b + 1, jest zdefiniowane a b = a + b + ab

5 Własności 1. Ciało zawiera co najmniej dwa elementy 0 i 1 ( zero ciała i jedynka ciała ) A, A, A A a 0 = 0 a = 0 a 1 ) = 1 ) b = 1 ) a = 0 => a = 0 v b = 0 G = 0 => = 0