Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Transkrypt

1 Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem liniowo niezależnym oraz dla każdego zbioru liniowo niezależnego Y V takiego, że X Y jest X = Y. Definicja 7.1. Każdy maksymalny liniowo niezależny podzbiór X wektorów przestrzeni liniowej V nazywamy baza tej przestrzeni. Twierdzenie 7.2. Każdy liniowo niezależny zbiór wektorów X 0 przestrzeni liniowej V można rozszerzyć do bazy X X 0 tej przestrzeni. Dowód. Niech A bedzie rodzina wszystkich podzbiorów liniowo niezależnych przestrzeni V zawierajacych zbiór X 0. Wtedy A =, bo X 0 A. Ponadto zbiór A jest cześciowo uporzadkowany przez inkluzje zbiorów. Jeżeli B jest lańcuchem w A, tzn. dla dowolnych Y, Z B jest Y Z lub Z Y, to Y 0 = Y B Y też jest zbiorem liniowo niezależnym, gdyż dla dowolnych α 1,..., α n Y 0 istnieja Y 1,..., Y n B takie, że α i Y i dla i = 1,..., n. Wtedy istnieje k n takie, że Y i Y k dla każdego i = 1,..., n, skad α 1,..., α n Y k. Ale zbiór Y k jest liniowo niezależny, wiec zbiór {α 1,..., α n } też jest liniowo niezależny. Zatem w A każdy lańcuch ma ograniczenie górne, wiec z lematu Kuratowskiego-Zorna istnieje w A element maksymalny X, który jest szukana baza przestrzeni V zawierajac a X 0. Ponieważ zbiór pusty jest liniowo niezależny, wiec z twierdzenia 7.2 mamy natychmiast nastepuj ace Twierdzenie 7.3. Każda przestrzeń liniowa posiada baz e. Twierdzenie 7.4. Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Zbiór X V jest baza przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy X jest zbiorem liniowo niezależnym oraz V = lin(x) (tzn. X generuje V ). Dowód. Za lóżmy, że X jest baza przestrzeni V. Wówczas X jest zbiorem liniowo niezależnym. Weźmy dowolne α V i za lóżmy, że α lin(x). Wtedy z twierdzenia 6.30 wynika, że α X oraz zbiór X {α} jest liniowo niezależny. Zatem X nie jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym i mamy sprzeczność. Na odwrót, za lóżmy, że zbiór X jest liniowo niezależny oraz V = lin(x). Weźmy dowolny liniowo niezależny zbiór Y V taki, że X Y. Gdyby X Y, to dla pewnego α Y by loby, że α X i zbiór X {α} Y jest liniowo niezależny. Zatem z twierdzenia 6.30 mielibyśmy, że α lin(x) = V, co prowadzi do sprzeczności. Zatem X = Y i zbiór X jest baza przestrzeni V. Przyk lad 7.5. Ponieważ zbiór {1, x, x 2,... } generuje przestrzeń R[x] i jest liniowo niezależny, wiec na mocy twierdzenia 7.4 jest on baza tej przestrzeni. 1

2 Przyk lad 7.6. Niech n N. Wówczas z twierdzenia 7.4 oraz z przyk ladów 6.16 i 6.23 wynika od razu, że zbiór {ε 1,..., ε n } jest baza przestrzeni R n. Nazywamy ja baza kanoniczna. Z twierdzeń 6.17, 7.11 i 7.16 wynika od razu nastepuj ace Twierdzenie 7.7. Niech α 1,..., α n bed a parami różnymi wektorami i niech β 1,..., β n bed a parami różnymi wektorami przestrzeni liniowej V. Za lóżmy, że uk lad wektorów (β 1,..., β n ) powstaje z uk ladu (α 1,..., α n ) przez kolejne zastosowanie skończonej liczby operacji elementarnych. Wówczas zbiór {β 1,..., β n } jest baza przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {α 1,..., α n } jest baza tej przestrzeni. Twierdzenie 7.8. Niech α 1,..., α n bed a wektorami przestrzeni liniowej V. Wówczas każdy maksymalny (wzgledem liczby elementów) podzbiór liniowo niezależny A {α 1,..., α n } jest baza podprzestrzeni lin(α 1,..., α n ). Dowód. Niech A {α 1,..., α n } bedzie maksymalnym (wzgledem liczby elementów) podzbiorem liniowo niezależnym. Wówczas oczywiście lin(a) lin(α 1,..., α n ) = W. Niech i = 1,..., n. Jeśli α i A, to α i lin(a); jeśli zaś α i A, to z maksymalności A wynika, że zbiór A {α i } jest liniowo zależny. Zatem z twierdzenia 6.30 α i lin(a). Stad {α 1,..., α n } lin(a), czyli W lin(a) i ostatecznie lin(a) = W. Zatem z twierdzenia 7.4 zbiór A jest baza podprzestrzeni W. Twierdzenie 7.9. Niech α 1,..., α n bed a parami różnymi wektorami przestrzeni liniowej V. Wówczas zbiór {α 1,..., α n } jest baza przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor α V można jednoznacznie zapisać w postaci α = a 1 α a n α n dla pewnych a 1,..., a n R. Dowód. Za lóżmy, że zbiór {α 1,..., α n } jest baza przestrzeni V. Wówczas z twierdzenia 7.4 mamy, że V = lin(α 1,..., α n ) oraz zbiór {α 1,..., α n } jest liniowo niezależny. Zatem dla dowolnego α V istnieja a 1,..., a n R takie, że α = a 1 α a n α n. Jeśli b 1,..., b n R sa takie, że α = b 1 α b n α n, to a 1 α a n α n = b 1 α b n α n, czyli (a 1 b 1 ) α (a n b n ) α n = θ, wiec z liniowej niezależności zbioru {α 1,..., α n } mamy, że a i b i = 0, czyli a i = b i dla i = 1,..., n. Na odwrót, jeżeli a 1,..., a n R sa takie, że a 1 α a n α n = θ, to a 1 α a n α n = 0 α α n, skad z jednoznaczności zapisu wektora a i = 0 dla i = 1,..., n, czyli zbiór {α 1,..., α n } jest liniowo niezależny. Ponadto z za lożenia V = lin(α 1,..., α n ), wiec z twierdzenia 7.4 zbiór {α 1,..., α n } jest baza przestrzeni V. Definicja Niech {α 1,..., α n } bedzie baza przestrzeni liniowej V. Wówczas ciag (α 1,..., α n ) nazywamy baza uporzadkowan a przestrzeni V. Niech α V. Wtedy na mocy twierdzenia 7.9 istnieje dok ladnie jeden ciag (a 1,..., a n ) R n taki, że α = a 1 α a n α n. Ciag (a 1,..., a n ) nazywamy ciagiem wspó lrzednych wektora α w bazie (α 1,..., α n ), a element a i, dla każdego i = 1,..., n, nazywa sie i-ta wspó lrz edn a wektora α w tej bazie. 2

3 Wniosek Niech V bedzie przestrzenia liniowa i niech, dla pewnej liczby naturalnej n, (α 1,..., α n ) bedzie baza uporzadkowan a tej przestrzeni. Przyporzadkujmy każdemu wektorowi α V, ciag jego wspó lrzednych w bazie (α 1,..., α n ). Otrzymane w ten sposób odwzorowanie φ jest bijekcja zbioru V na zbiór R n. Przy tym φ(α i ) = ε i dla i = 1,..., n. Definicja Odwzorowanie φ określone w powyższym wniosku nazywamy uk ladem wspó lrz ednych wyznaczonym przez baze (α 1,..., α n ). 2 Wymiar przestrzeni liniowej Lemat Niech wektory α 1,..., α n tworza baze przestrzeni V i niech α = a 1 α a n α n, przy czym a j 0. Wówczas wektory α 1,..., α j 1, α, α j+1,..., α n (1) też tworza baze przestrzeni V. Dowód. Zauważmy, że wektory (1) powstaja z wektorów α 1,..., α n przez kolejne wykonanie nastepuj acych operacji elementarnych: a j w j, w j + a 1 w 1,..., w j + a j 1 w j 1, w j + a j+1 w j+1,..., w j + a n w n. Zatem na mocy twierdzenia 7.18, wektory (1) tworza baze przestrzeni V. Twierdzenie 7.14 (Steinitza o wymianie). Jeśli wektory α 1,..., α n tworza baze przestrzeni liniowej V, a wektory β 1,..., β s sa liniowo niezależne, to (i) s n oraz (ii) spośród wektorów α 1,..., α n można wybrać n s wektorów, które l acznie z wektorami β 1,..., β s tworza baze przestrzeni V. Dowód. Zastosujemy indukcje wzgledem s. Dla s = 0 teza jest oczywista. Za lóżmy, że teza zachodzi dla liczb mniejszych od pewnej liczby naturalnej s i rozpatrzmy s wektorów liniowo niezależnych β 1,..., β s. Wektory β 1,..., β s 1 sa liniowo niezależne, a wiec z za lożenia indukcyjnego s 1 n i istnieje n s+1 = n (s 1) wektorów spośród wektorów α 1,..., α n, które l acznie z β 1,..., β s 1 tworza baze przestrzeni V. Dla uproszczenia znakowania przyjmiemy, że tymi wektorami sa α 1,..., α n s+1. Wykażemy najpierw, że s 1 < n. W przeciwnym razie by loby n = s 1 (bo s 1 n), a zatem już wektory β 1,..., β s 1 tworzy lyby baze przestrzeni V, a stad wynika loby, że β s lin(β 1,..., β s 1 ), co na mocy twierdzenia 6.30 prowadzi do sprzeczności (gdyż wektory β 1,..., β s sa liniowo niezależne). Wobec tego s 1 < n, a stad s n. To dowodzi (i). Ponieważ wektory β 1,..., β s 1, α 1,..., α n s+1 tworza baze przestrzeni V, wiec β s jest ich kombinacja liniowa. Wobec liniowej niezależności wektorów β 1,..., β s i twierdzenia 6.30, w kombinacji liniowej przedstawiajacej β s, co najmniej jeden z wektorów α 1,..., α n s+1 wystepuje ze wspó lczynnikiem różnym od zera. Bez zmniejszania ogólności rozważań możemy przyjać, że a n s+1 0. Wtedy z lematu 7.13 wektory β 1,..., β s 1, α 1,..., α n s, β s tworza baze przestrzeni V, czyli wektory β 1,..., β s, α 1,..., α n s tworza baze przestrzeni V, co kończy dowód twierdzenia. 3

4 Wniosek Jeśli n-elementowy zbiór jest baza przestrzeni liniowej V, to każda baza tej przestrzeni sk lada sie z dok ladnie n wektorów. Dowód. Niech wektory α 1,..., α n tworza baze przestrzeni liniowej V. Niech X bedzie inna baza tej przestrzeni. Gdyby zbiór X mia l wiecej niż n elementów, to by lyby one liniowo niezależne i otrzymalibyśmy sprzeczność z twierdzeniem Steinitza o wymianie. Zatem X n. Ale wektory α 1,..., α n sa liniowo niezależne i zbiór skończony X jest baza przestrzeni V, wiec znowu z twierdzenia Steinitza o wymianie n X, czyli ostatecznie X = n. Definicja Liczb e elementów dowolnej skończonej bazy przestrzeni liniowej V nazywamy wymiarem przestrzeni V i oznaczamy przez dim V. W ten sposób wymiar jest określony dla wszystkich takich przestrzeni, które maja skończona baze. Jeśli dana przestrzeń liniowa V nie ma skończonej bazy, to mówimy, że jej wymiar jest nieskończony i piszemy dim V =. Można udowodnić, że wszystkie bazy dowolnej przestrzeni liniowej V maja te sama moc. Wobec tego można określić wymiar dowolnej przestrzeni liniowej V jako moc dowolnej bazy przestrzeni V. Przyk lad Ponieważ przestrzeń R n posiada baze n-elementowa (np. baze kanoniczna), wiec dim R n = n. Przyk lad Ponieważ zbiór pusty jest baza przestrzeni zerowej {θ}, wiec dim{θ} = 0. Przyk lad Ponieważ zbiór {1, x, x 2,... } jest baza przestrzeni R[x], wiec dim R[x] =. Przyk lad W przestrzeni liniowej R wektory ɛ 1 = [1, 0, 0,... ], ɛ 2 = [0, 1, 0,... ],... a liniowo niezależne. Zatem z twierdzenia Steinitza o wymianie dim R =. s Twierdzenie Jeśli przestrzeń liniowa V ma wymiar n, to każda jej podprzestrzeń W ma wymiar nie wiekszy niż n. Dowód. Niech X bedzie baza podprzestrzeni W. Wtedy zbiór X jest liniowo niezależny, wiec na mocy twierdzenia Steinitza o wymianie X n. Twierdzenie Dla dowolnej podprzestrzeni W przestrzeni liniowej V wymiaru skończonego równoważne sa warunki: (i) dim W = dim V, (ii) W = V. Dowód. (ii) (i). Oczywiste. (i) (ii). Oznaczmy n = dim V. Wtedy istnieje baza {α 1,..., α n } przestrzeni V. Ale dim W = n, wiec istnieje baza {β 1,..., β n } podprzestrzeni W. Zatem wektory β 1,..., β n sa liniowo niezależne i na mocy twierdzenia Steinitza o wymianie można je uzupe lnić do bazy przestrzeni V, n n = 0 wektorami wybranymi spośród wektorów α 1,..., α n. Zatem wektory β 1,..., β n tworza baze przestrzeni V, skad V = lin(β 1,..., β n ) = W. Z twierdzenia 7.8 wynika od razu nastepuj ace Twierdzenie Niech α 1,..., α n bed a wektorami przestrzeni liniowej V. Wówczas 4

5 dim lin(α 1,..., α n ) n. Ponadto dim lin(α 1,..., α n ) = n wtedy i tylko wtedy, gdy wektory α 1,..., α n sa liniowo niezależne. Twierdzenie Niech α 1,..., α n bed a wektorami przestrzeni liniowej V wymiaru n. Wówczas równoważne sa warunki: (i) zbiór {α 1,..., α n } jest baza przestrzeni V, (ii) zbiór {α 1,..., α n } jest liniowo niezależny, (iii) zbiór {α 1,..., α n } generuje przestrzeń V. Dowód. (i) (ii). Oczywiste. (ii) (iii). Wynika od razu z twierdzenia Steinitza o wymianie. (iii) (i). Z za lożenia wynika, że V = lin(α 1,..., α n ). Zatem dim lin(α 1,..., α n ) = n i na mocy twierdzenia 7.23 zbiór {α 1,..., α n } jest liniowo niezależny. Zatem ostatecznie ten zbiór jest baza przestrzeni V. Twierdzenie Niech V 1 i V 2 bed a skończenie wymiarowymi podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V. Wówczas podprzestrzenie V 1 V 2 i V 1 +V 2 sa również skończenie wymiarowe i zachodzi wzór: dim(v 1 + V 2 ) = dim V 1 + dim V 2 dim(v 1 V 2 ). (2) Dowód. Ponieważ V 1 V 2 jest podprzestrzenia przestrzeni skończenie wymiarowej V 1, wiec z twierdzenia 7.21 przestrzeń V 1 V 2 jest skończenie wymiarowa. Niech {α 1,..., α k } bedzie baza przestrzeni V 1 V 2. Wtedy z twierdzenia Steinitza o wymianie ten zbiór można uzupe lnić do bazy {α 1,..., α n, β 1,..., β s } przestrzeni V 1 i można go też uzupe lnić do bazy {α 1,..., α k, γ 1,..., γ r } przestrzeni V 2. Wtedy dim(v 1 V 2 ) = k, dim V 1 = k+s i dim V 2 = k+r, wiec pozostaje wykazać, że dim(v 1 +V 2 ) = k+s+r. Ale V 1 +V 2 = lin(α 1,..., α k, β 1,..., β s )+lin(α 1,..., α k, γ 1,..., γ r ) = lin(α 1,..., α k, β 1,..., β s, γ 1,..., γ r ), wiec wystarczy wykazać, że wektory α 1,..., α k, β 1,..., β s, γ 1,..., γ r sa liniowo niezależne. W tym celu weźmy dowolne skalary a 1,..., a k, b 1,..., b s, c 1,..., c r R takie, że a 1 α a k α k + b 1 β b s β s + c 1 γ c r γ r = θ. Oznaczmy: α = a 1 α a k α k, β = b 1 β b s β s, γ = c 1 γ c r γ r. Wtedy γ = (α + β) V 1 V 2. Zatem istnieja d 1,..., d k R takie, że γ = d 1 α d k α k, skad c 1 γ c r γ r + ( d 1 ) α ( d k ) α k = θ. Zatem z liniowej niezależności wektorów α 1,..., α k, γ 1,..., γ r mamy, że c 1 =... = c r = d 1 =... = d k = 0, czyli γ = θ oraz θ = α + γ. Zatem z liniowej niezależności wektorów α 1,..., α k, β 1,..., β s otrzymamy, że a 1 =... = a k = b 1 =... = b s = 0 i ostatecznie wektory α 1,..., α k, β 1,..., β s, γ 1,..., γ r sa liniowo niezależne. Wniosek Niech V 1, V 2 bed a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V wymiaru n. Wtedy dim(v 1 V 2 ) dim V 1 + dim V 2 n. Dowód. Ponieważ dim(v 1 + V 2 ) n, wiec z twierdzenia 7.25 uzyskujemy, że dim V 1 + dim V 2 dim(v 1 V 2 ) n, skad mamy teze. 5

6 3 Suma prosta podprzestrzeni Lemat Niech V 1 i V 2 bed a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V. Nastepuj ace warunki sa równoważne: (i) V i V 2 = {θ}; (ii) Dla dowolnych α 1, β 1 V 1, α 2, β 2 V 2 z tego, że α 1 + α 2 = β 1 + β 2 wynika, że α 1 = β 1 i α 2 = β 2. Dowód. (i) (ii). Weźmy dowolne α i, β i V i dla i = 1, 2 takie, że α 1 + α 2 = β 1 + β 2. Wtedy α 1 β 1 = α 2 β 2 V 1 V 2. Ale V 1 V 2 = {θ}, wiec α 1 β 1 = α 2 β 2 = θ, skad α 1 = β 1 i α 2 = β 2. (ii) (i). Weźmy dowolne α V 1 V 2. Ponieważ α + θ = θ + α oraz α, θ V 1 i θ, α V 2, wiec α = θ i θ = α, skad V 1 V 2 = {θ}. Definicja Mówimy, że przestrzeń liniowa V jest suma prosta swoich podprzestrzeni V 1 i V 2, gdy V = V 1 +V 2 oraz spe lniony jest którykolwiek warunek (a wiec oba warunki) powyższego lematu. Piszemy wtedy V = V 1 V 2. Mówimy też, że podprzestrzeń V 2 jest dope lnieniem liniowym podprzestrzeni V 1 (w przestrzeni V ). Twierdzenie Dla dowolnej podprzestrzeni V 1 przestrzeni liniowej V istnieje podprzestrzeń W V taka, że V = V 1 W. Dowód. Z twierdzenia 7.3 podprzestrzeń V 1 posiada baze X. Zatem z twierdzenia 7.2 istnieje podzbiór Y V roz l aczny z X i taki, że zbiór X Y jest baza przestrzeni V. Ponadto V 1 = lin(x) oraz V = lin(x Y ). Niech W = lin(y ). Wtedy z twierdzenia 6.9 mamy, że lin(x Y ) = lin(x) + lin(y ), czyli V = V 1 + W. Niech α V 1 W. Wtedy istnieja α 1,..., α n X, β 1,..., β k Y, a 1,..., a n, b 1,..., b k R takie, że α = a 1 α a n α n = b 1 β b k β k, skad a 1 α a n α n + ( b 1 ) β ( b k ) β k = θ. Zatem z liniowej niezależności zbioru X Y mamy, że a 1 =... = a n = b 1 =... = b k = 0, czyli α = θ i V 1 W = {θ}. Zatem V = V 1 W. 4 Hiperp laszczyzny liniowe Definicja Niech V bedzie n-wymiarowa przestrzenia liniowa. Hiperp laszczyzna liniowa przestrzeni V nazywamy każda podprzestrzeń przestrzeni V o wymiarze n 1. Twierdzenie Niech V bedzie przestrzenia liniowa wymiaru n i niech V 1 bedzie podprzestrzenia wymiaru k. Wówczas V 1 jest cześci a wspólna n k hiperp laszczyzn liniowych przestrzeni V. Dowód. Niech {α 1,..., α k } bedzie baza podprzestrzeni V 1. Z twierdzenia Steinitza o wymianie możemy ja uzupe lnić do bazy {α 1,..., α k, α k+1,..., α n } przestrzeni V. Niech W i = lin(α 1,..., α k,..., α k+i 1, α k+i+1,..., α n ) dla i = 1,..., n k. Wówczas W 1,..., W n k sa hiperp laszczyznami zawierajacymi V 1, skad V 1 W 1... W n k. Niech α W 1... W n k. Wtedy istnieja a 1,..., a n R takie, że α = a 1 α a n α n. Dla liczb naturalnych i n k mamy, że α W i, wiec wektor α można przedstawić w postaci α = a i1 α

7 a i k+i 1 α k+i 1 +a i k+i+1 α k+i a in α n. Z jednoznaczności przedstawienia wektora α w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy (α 1,..., α n ) wynika, że a k+i = 0 dla wszystkich i = 1,..., n k. Wobec tego α = a 1 α a k α k V 1. Zatem W 1... W n k V 1 i ostatecznie V 1 = W 1... W n k. Twierdzenie Niech l bedzie liczba naturalna. Niech V 1,..., V l bed a hiperp laszczyznami n-wymiarowej przestrzeni liniowej V. Wówczas dim(v 1... V l ) n l. Dowód. Dla l = 1 teza jest oczywiście prawdziwa. Za lóżmy, że teza zachodzi dla pewnego naturalnego l = k i niech V 1,..., V k+1 bed a hiperp laszczyznami przestrzeni V. Z za lożenia indukcyjnego wynika, że dim(v 1... V k ) n k, a z wniosku 7.26 otrzymujemy dim(v 1... V k V k+1 ) dim(v 1... V k ) + n 1 n. Zatem dim(v 1... V k V k+1 ) n k + n 1 n = n (k + 1). Z zasady indukcji wynika zatem, że nasze twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej l. Z twierdzeń 7.32 i 7.33 wynika od razu nastepuj acy Wniosek Każda k-wymiarowa podprzestrzeń W n-wymiarowej przestrzeni liniowej V daje si e przedstawić jako przeci ecie n k, ale nie mniejszej liczby hiperp laszczyzn liniowych. 5 Podprzestrzenie przestrzeni wspó lrz ednych Twierdzenie Podprzestrzeń W przestrzeni R n wyznaczona przez równanie a 1 x a n x n = 0, gdzie a 1,..., a n R i co najmniej jeden ze wspó lczynników a 1,..., a n jest różny od zera, jest hiperp laszczyzna liniowa. Dowód. Za lóżmy, że wspó lczynnik a i 0 dla pewnego i = 1,..., n. Podprzestrzeń W jest różna od R n, gdyż wektor ε i nie jest rozwiazaniem rozpatrywanego równania, a stad dim W n 1. Dla dowodu równości dim W = n 1 wystarczy wiec wskazać n 1 liniowo niezależnych rozwiazań równania a 1 x a n x n = 0. Latwo sprawdzić, że wektory ε 1 a 1 a i ε i,..., ε i 1 a i 1 a i ε i, ε i+1 a i+1 a i ε i,..., ε n an a i ε i czynia zadość temu żadaniu. Z twierdzeń 7.26 i 7.35 wynika od razu nastepuj acy Wniosek Podprzestrzeń przestrzeni R n wyznaczona przez uk lad m równań jednorodnych liniowych ma wymiar nie mniejszy niż n m. Twierdzenie Każda hiperp laszczyzna liniowa W przestrzeni liniowej R n jest wyznaczona przez pewne równanie a 1 x a n x n = 0, gdzie a 1,..., a n K. Dowód. Niech wektory α i = [a i1,..., a in ] dla i = 1,..., n 1 tworza baze hiperp laszczyzny W i niech V bedzie podprzestrzenia opisana przez uk lad równań a 11 x a 1n x n = 0 a 21 x a 2n x n = 0.. (3) a n 1 1 x a n 1 n x n = 0 7

8 Z wniosku 7.36 wynika, że dim V n (n 1) = 1, a wiec podprzestrzeń V zawiera niezerowy wektor. Niech [b 1,..., b n ] bedzie niezerowym wektorem podprzestrzeni V. Przestrzeń V 1 wyznaczona przez równanie b 1 x b n x n = 0 jest na mocy twierdzenia 7.35 hiperp laszczyzna liniowa. Ponadto z określenia wektora [b 1,..., b n ] wynika, że wektory α j dla j = 1,..., n 1 należa do hiperp laszczyzny V 1, a zatem W = lin(α 1,..., α n 1 ) V 1. Ponieważ dim W = dim V 1 = n 1, wiec z twierdzenia 7.22, W = V 1. Z twierdzenia 7.37 i z wniosku 7.34 mamy natychmiast nastepuj acy Wniosek Każda k-wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni liniowej R n jest wyznaczona przez uk lad z lożony z n k, ale nie mniej, równań liniowych jednorodnych. 8