Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne
|
|
- Anna Krzemińska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy wszystkich liczb porz adkowych. Wed lug Tw.14, Rozdzia l 5, każdy zbiór dobrze uporz adkowany z elementem najwiȩkszym jest krat a zupe ln a. Naturalnie nie zamierzamy twierdzić, że klasa wszystkich liczb porz adkowych wraz z relacj a inkluzji jest krat a zupe ln a, i to nie tylko z tego powodu, że klasa ta nie jest zbiorem (można by przecież, wykraczaj ac poza teoriȩ ZFC, odpowiednio uogólnić pojȩcie kraty zupe lnej, aby stosowa lo siȩ ono do wszelkich mnogości zbiorów), lecz dlatego, iż w klasie wszystkich liczb porz adkowych nie ma elementu najwiȩkszego, tzn. nie ma takiej liczby porz adkowej, w której każda liczba porz adkowa siȩ zawiera. Gdyby bowiem taka liczba istnia la, to jej nastȩpnik, bȩd acy na mocy Tw.9, Rozdzia l 8 liczb a porz adkow a, zawiera lby siȩ w niej, zatem, wobec przeciwnej inkluzji, by lby jej równy, co jest niemożliwe. Jednakże pokażemy, że dla dowolnego niepustego zbioru (nie jakiejkolwiek mnogości, lecz w laśnie zbioru) liczb porz adkowych, w klasie wszystkich liczb porz adkowych uporz adkowanej relacj a inkluzji istniej a jego kresy dolny i górny, tzn. wykażemy, że dla dowolnego niepustego zbioru z liczb porz adkowych istniej a takie liczby porz adkowe a, b, że y z, a y, x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, x y) x a)], (wtedy w laśnie a = infz) oraz y z, y b, x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, y x) b x)] (wtedy b = supz). Rozważmy dowolny niepusty zbiór z liczb porz adkowych oraz formu lȩ φ(x) postaci: x z. Wówczas na mocy Tw.21, Rozdzia l 8 istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że x z, czyli najmniejsza liczba porz adkowa w zbiorze z. Na mocy Tw.20, Rozdzia l 8 wprowadźmy jednoargumentow a operacjȩ nlp przyporz adkowuj ac a każdemu niepustemu zbiorowi z liczb porz adkowych najmniejsz a liczbȩ porz adkow a w zbiorze z. Wówczas z definicji najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x) mamy: nlp(z) z oraz y z, nlp(z) y, co natychmiast prowadzi do konkluzji: nlp(z) = infz. Jest oczywiste na podstawie Tw.23, Rozdzia l 8, że w przypadku, gdy z jest liczb a porz adkow a (niepust a), nlp(z) =. Uwaga: Wprowadzamy operacjȩ nlp w celu zaznaczenia, że term nlp(z) nazywa pewn a liczbȩ porz adkow a. Można by nie wprowadzać do teorii tej operacji, lecz wyrażać najmniejsz a liczbȩ porz adkow a w danym zbiorze w inny,
2 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych 106 sk adin ad znany sposób. Mianowicie, skoro nlp(z) z, wiȩc na mocy Tw.18(1), Rozdzia l 1, z nlp(z). Skoro zaś y z, nlp(z) y, wiȩc na mocy Tw.18(2), Rozdzia l 1, nlp(z) z. Ostatecznie nlp(z) = z. Naturalnie dla dowolnego niepustego zbioru z liczb porz adkowych (w szczególności dla niepustej liczby porz adkowej), zbiór czȩściowo uporz adkowany < z, > jest dobrze uporz adkowany (dla dowolnego niepustego y z, nlp(y) jest elementem najmniejszym w <y, >). Zwróćmy jeszcze uwagȩ na to, iż operacja nlp ma, na mocy Tw.19(i) (iii), Rozdzia l 8, nastȩpuj ac a w lasność: nlp(z) z y(y nlp(z) y z), co świadczy o tym, iż nlp(z) jest elementem minimalnym zbioru z. Co wiȩcej, jak mówi o tym nastȩpne twierdzenie, jest to jedyny element minimalny zbioru z: Twierdzenie 1: Dla dowolnego niepustego zbioru z liczb porz adkowych oraz dowolnej liczby porz adkowej y, y jest elementem minimalnym zbioru z wtw y = nlp(z). Dowód: Niech z bȩdzie zbiorem liczb porz adkowych oraz y liczb a porz adkow a. ( ): Za lóżmy, że (1) y z oraz (2) y z =. Rozważmy dowolny x z. Wówczas z (2): x y. St ad, ponieważ x, y s a liczbami porz adkowymi, na mocy Twierdzeń 17 i 18, Rozdzia l 8, otrzymujemy: y x. Ostatecznie, wobec (1) i dowolności wyboru zbioru x ze zbioru z, y = nlp(z). ( ): oczywisty. Aby opisać kres górny dowolnego zbioru liczb porz adkowych, rozważmy sumȩ tego zbioru: Twierdzenie 2: Suma dowolnego zbioru liczb porz adkowych jest liczb a porz adkow a. Dowód: Niech z bȩdzie zbiorem liczb porz adkowych. Wykazujemy, że z jest zbiorem tranzytywnym. Niech wiȩc x z. Wówczas dla pewnego a, a z oraz x a. Aby wykazać, że x z rozważmy y x. Z za lożenia a jest liczb a porz adkow a, zatem na mocy Tw.13, Rozdzia l 8, x jest liczb a porz adkow a, a wiȩc konsekwentnie również y jest liczb a porz adkow a. Na mocy Tw.14, Rozdzia l 8 mamy zatem: y a. Ostatecznie, z definicji sumy, y z. Wykazujemy, że x(x z x jest tranzytywny). Niech wiȩc x z. Wówczas x a oraz a z dla pewnego a. Na mocy za lożenia, a jest liczb a porz adkow a, wiȩc skoro x a, to x jest tranzytywny. Wniosek: x(x jest liczb a porz adkow a x jest liczb a porz adkow a) (suma liczby porz adkowej jest liczb a porz adkow a).
3 2. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych 107 Dowód: Niech x bȩdzie liczb a porz adkow a. Na mocy Tw.13, Rozdzia l 8, x jest zbiorem liczb porz adkowych, zatem na mocy Tw.2, x jest liczb a porz adkow a. Skoro dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, z jest liczb a porz adkow a oraz na mocy Twierdzeń 11(1), 11(2) z Rozdzia lu 1, mamy: (1) y z, y z oraz (2) x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, y x) z x)], wiȩc z = supz. Zauważmy ponadto, że wed lug Tw.18, Rozdzia l 8, warunek (1) jest równoważny wyrażeniu y z, y S( z), które z kolei jest równoważne formule: (1) z S( z). Rozumuj ac analogicznie stwierdzamy, że (2) jest równoważne wyrażeniu: (2) x[x jest liczb a porz adkow a (z S(x) z x)]. Bezpośredni a konsekwencj a (1) i (2) oraz Tw.2 jest Twierdzenie 3: Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, z jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z S(x). 2. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Rozważmy teraz, dla dowolnego ustalonego zbioru z liczb porz adkowych, formu lȩ φ(x) postaci: z x. Na mocy Tw.2 ( 1) oraz Tw.9, Rozdzia l 8, S( z) jest liczb a porz adkow a, zatem wed lug Tw.3, istnieje liczba porz adkowa x taka, że φ(x). Zatem, na mocy Tw.21, Rozdzia l 8, istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że z x. Nastȩpuj ace twierdzenie podaje jej postać: Twierdzenie 4: Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, S(z) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z x. Dowód: Rozważmy dowolny zbiór liczb porz adkowych z. Na mocy Tw.4, Rozdzia l 7, S(z) = z z, zatem z S(z). Wykazujemy, że S(z) jest liczb a porz adkow a. Na mocy Tw.2, z jest liczb a porz adkow a, zatem wed lug Tw.13, Rozdzia l 8 zbiorem liczb porz adkowych. Wobec tego z z jest zbiorem liczb porz adkowych, zatem każdy jego element, bȩd ac liczb a porz adkow a, jest zbiorem tranzytywnym. Okazuje siȩ, że również sam zbiór z z jest tranzytywny. Weźmy bowiem dowolny y z z. Wówczas y z lub y z. Gdy y z, to y z (Tw.11(1), Rozdzia l 1). Gdy zaś y z, to na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, y z (bo y, z s a liczbami porz adkowymi). W obu przypadkach: y z z. Ostatecznie z z (tzn. S(z)) jest liczb a porz adkow a.
4 2. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych 108 Rozważmy φ(x) postaci: z x. Wykazaliśmy do tej pory, że S(z) jest liczb a porz adkow a tak a, że φ( S(z)). Aby wykazać, że S(z) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x), rozważmy dowoln a liczbȩ porz adkow a y tak a, że φ(y), tzn. (1) z y. Wówczas (2) z y. Weźmy bowiem dowolny x z. Zatem x a dla pewnej liczby porz adkowej a z. Z (1), a y. Ponieważ x jest liczb a porz adkow a (Tw.13, Rozdzia l 8), wiȩc na mocy Tw.14, Rozdzia l 8, x y. Z (1) i (2) mamy: z z y, tzn. S(z) y. W przypadku, gdy z jest liczb a porz adkow a, na podstawie Tw.2, Rozdzia l 8 mamy: S(z) = z, i oczywiście najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z x jest z. Rozważmy teraz dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych oraz dowolnej liczby porz adkowej a nastȩpuj ace warunki: (3) y z, y a, (4) x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, y x) a x a = x)]. Jest sensowne nazwać liczbȩ porz adkow a a, dla której spe lnione s a warunki (3), (4) kresem górnym zbioru z ze wzglȩdu na relacjȩ porz adkuj ac a. Pewne w atpliwości może tu budzić nastȩpnik implikacji ( y z, y x) a x a = x w warunku (4), bowiem dla nazwania liczby a kresem górnym ze wzglȩdu na, ów nastȩpnik powinien być postaci: a x. Jednakże wówczas warunek (3) z tak zmodyfikowanym warunkiem (4), niczego nie definiuj a nie istnieje bowiem liczba porz adkowa a, która by takie warunki spe lnia la (jeśli mamy a takie, że zachodzi (3), to wed lug zmodyfikowanego warunku (4), a a, co jest niemożliwe). Jest jasne na mocy definicji najmniejszej liczby porz adkowej x takiej, że φ(x) oraz Tw.4 i Twierdzeń 20, 18, Rozdzia l 8, że dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych istnieje dok ladnie jedna liczba porz adkowa a, dla której spe lnione s a warunki (3), (4), mianowicie a = S(z). W literaturze przedmiotu w laśnie S(z) nazywana jest kresem górnym zbioru z w klasie liczb porz adkowych. Dla odróżnienia od kresu górnego supz wzglȩdem inkluzji, oznaczmy kres górny wzglȩdem jako sup z. Zatem sup z = S(z) = z z. Ponieważ supz = z, wiȩc supz sup z, czyli supz sup z lub supz = sup z. W zależności od postaci zbioru z, każdy z tych dwóch przypadków, jeden b adź drugi, jest realizowany. Naturalnie równość obu kresów ma miejsce dok ladnie wówczas, gdy z z: (=sup) supz = sup z wtw z z.
5 2. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych 109 Zatem w przypadku, gdy z jest liczb a porz adkow a, czyli z jest zbiorem tranzytywnym, a wiȩc z z (Tw.2, Rozdzia l 8) mamy: (=suplp) supz = sup z wtw z = z. Ponadto, dla z bȩd acego liczb a porz adkow a, supz sup z wtw supz sup z wtw z z wtw (z z z = z) wtw z z z z wtw z z, na mocy Twierdzeń 18, 17, Rozdzia l 8. Ostatecznie: ( suplp) supz sup z wtw z z. Na przyk lad dla z =, supz = sup z oraz dla dowolnej niepustej liczby naturalnej z, supz sup z, bo, jak latwo sprawdzić, wówczas z = S( z), zaś z S( z). Weźmy pod uwagȩ przyk lad zbioru z liczb porz adkowych, który nie jest liczb a porz adkow a, powiedzmy, z = N {0}. Tutaj supz = sup z, bowiem z z: jeśli x N {0}, to również S(x) N {0}, lecz x S(x), zatem x (N {0}). Niech z = {1, 2}, tzn. z = 3 {0}. Oczywiście z nie jest liczb a porz adkow a. W tym przypadku, supz sup z. Bowiem z = {1, 2} = 1 2 = 2, st ad 2 z, jednakże 2 z, zatem z z, czyli zgodnie z warunkiem (=sup), supz sup z. Zauważmy, że tutaj zachodzi: z z. Wykażemy w nastȩpnym paragrafie, że warunek ( suplp) jest prawdziwy dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych (nie tylko dla dowolnej liczby porz adkowej z). W ogólności kres dolny inf z niepustego zbioru z ze wzglȩdu na porz adek, może nie istnieć. Kres ten winien być bowiem liczb a porz adkow a spe lniaj ac a warunki: y z, inf z y, x[x jest liczb a porz adkow a (( y z, x y) x inf z)]. Pierwszy z tych warunków jest równoważny formule: inf z z, drugi zaś wyrażeniu: x[x jest liczb a porz adkow a (x z x inf z)]. Lecz z = nlp(z) (zobacz poprzedni a uwagȩ). Zatem inf z by lby najwiȩksz a liczb a porz adkow a (ze wzglȩdu na inkluzjȩ) należ ac a do liczby porz adkowej nlp(z). Taka zaś liczba porz adkowa dla pewnych zbiorów z liczb porz adkowych nie istnieje. Na przyk lad, gdy z jest dowoln a niepust a liczb a porz adkow a, to nlp(z) =, wiȩc nie istnieje najwiȩksza liczba porz adkowa należ aca do nlp(z).
6 3. Suma nastȩpnika i nastȩpnik sumy dow. zbioru liczb porz adkowych Suma nastȩpnika i nastȩpnik sumy dowolnego zbioru liczb porz adkowych Powyżej, dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, porównaliśmy ze sob a dwie liczby porz adkowe (kresy górne zbioru z) : z, S(z), mianowicie w ogólności, z S(z). Twierdzenia 3, 4 umożliwiaj a dokonanie porównania innej pary liczb porz adkowych: S(z), S( z). Skoro S(z) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z x, zaś z S( z), wiȩc S(z) S( z). Ostatecznie mamy nastȩpuj acy Wniosek: Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, (1) z S(z) S( z), (2) z S(z) S( z). Jedn a z konsekwencji tego Wniosku jest alternatywa roz l aczna: (*) albo S(z) S( z) albo S(z) = S( z), dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych (na mocy Tw.18, Rozdzia l 8). Przypadek S(z) S( z) jest, wed lug Tw.6, Rozdzia l 7, równoważny warunkowi z z, a ten z kolei, na mocy (=sup) warunkowi z = S(z). Zatem, jeżeli S(z) S( z), to na mocy Wniosku, z z = S(z) S( z). W szczególności, gdy zbiór liczb porz adkowych z jest liczb a porz adkow a, a wiȩc gdy z z, warunek S(z) S( z) jest równoważny równości z = z, co już wcześniej zosta lo ustalone w Tw.6, Rozdzia l 8. Gdy wiȩc ów warunek zachodzi, to: z = z = S(z) S( z). Z kolei przypadek S(z) = S( z) jest, jak pokazuje nastȩpuj ace twierdzenie, równoważny warunkowi z z: Twierdzenie 5: S(z) = S( z). Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych, z z wtw Dowód: Niech z bȩdzie zbiorem liczb porz adkowych. ( ): Za lóżmy, że z z. Wówczas na mocy Tw.7, Rozdzia l 7, S( z) S(z). Ponieważ przeciwna inkluzja zachodzi (por. Wniosek), wiȩc S(z) = S( z). ( ): oczywisty na mocy Tw.7, Rozdzia l 7. Jeśli wiȩc S(z) = S( z), to na mocy Wniosku oraz Tw.5, z z S(z) = S( z),
7 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 111 w szczególności zaś, gdy z jest liczb a porz adkow a, to: z z = S(z) = S( z). Przy okazji zauważmy, że skoro warunek S(z) S( z) jest równoważny inkluzji z z, oraz warunek S(z) = S( z) jest równoważny temu, że z z, wiȩc, na mocy (*), mamy dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych prawdziw a alternatywȩ roz l aczn a: (**) albo z z albo z z. Pierwszy z cz lonów tej alternatywy, co już dawno ustalono, jest równoważny równości supz = sup z, drugi zaś wyrażeniu supz sup z. Jeśli bowiem z z, to ponieważ z S(z), wiȩc z S(z), tzn. supz sup z. Jeśli zaś z z, to prawdziwy jest pierwszy z cz lonów alternatywy (**), co oznacza równość obu kresów, zatem wówczas supz sup z. Krótko mówi ac, warunek ( suplp) jest prawdziwy dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych. Zauważmy ponadto, że z alternatywy (**) uzyskujemy wyrażenie: dla dowolnej liczby porz adkowej z: albo z = z albo z z. Inn a, oczywist a konsekwencj a wyżej sformu lowanego Wniosku jest wyrażenie: dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych istnieje liczba porz adkowa x taka, że z x, z którego wynika Twierdzenie 6: Nie istnieje zbiór wszystkich liczb porz adkowych. Dowód: Za lóżmy, że z jest zbiorem wszystkich liczb porz adkowych. Niech x bȩdzie liczb a porz adkow a tak a, że z x. Wówczas, skoro x jest liczb a porz adkow a, zaś z zbiorem wszystkich liczb porz adkowych, wiȩc x z. Wtedy jednak x x, co jest niemożliwe. Naturalnie, nie istnieje również zbiór wszystkich zbiorów tranzytywnych. Gdyby bowiem istnia l, to stosuj ac aksjomat podzbiorów z formu l a φ(x) postaci: x jest liczb a porz adkow a, oraz zmienn a woln a z oznaczaj ac a w laśnie ów zbiór, uzyskalibyśmy istnienie zbioru wszystkich liczb porz adkowych. 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne Nastȩpuj acy fakt jest odpowiednikiem Tw.6, Rozdzia l 8: Twierdzenie 7: równoważne: (i) x x, Dla dowolnej liczby porz adkowej x nastȩpuj ace warunki s a
8 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 112 (ii) x = S( x), (iii) S(x) = S( x). Dowód: Niech x bȩdzie dowoln a liczb a porz adkow a. (i) (iii): Na mocy Tw.5, x jest bowiem zbiorem liczb porz adkowych. (ii) (iii): na mocy Tw.2(i) (iv), Rozdzia l 8, x jest bowiem zbiorem tranzytywnym. Tw.6, Rozdzia l 8 jest oczywiście prawdziwe dla dowolnej liczby porz adkowej x. Zauważmy, że wed lug alternatywy (*) z poprzedniego paragrafu, dla dowolnej liczby porz adkowej x przynajmniej jeden z warunków (iii) z Tw.6, Rozdzia l 8 oraz Tw.7 musi być spe lniony. Jest oczywiste, że jednocześnie oba te warunki nie mog a być prawdziwe. Podobnie, skoro wed lug Tw.3, x S( x), wiȩc na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, dla dowolnej liczby porz adkowej x prawdziwa jest alternatywa: (***) x S( x) lub x = S( x), tzn. dla dowolnej liczby porz adkowej x dok ladnie jeden z warunków (ii) Tw.6, Rozdzia l 8 oraz Tw.7 jest prawdziwy. Konsekwentnie, bior ac pod uwagȩ Tw.6, Rozdzia l 8 oraz Tw.7, możemy podzielić klasȩ liczb porz adkowych na dwie grupy: w jednej grupie znajduj a siȩ te liczby porz adkowe, dla których prawdziwe s a warunki z Tw.6, Rozdzia l 8, w drugiej grupie te liczby porz adkowe, dla których prawdziwe s a warunki Tw.7. Definicja. Mówimy, że liczba porz adkowa x jest izolowana, gdy istnieje liczba porz adkowa y taka, że x = S(y). Liczbȩ porz adkow a, która nie jest izolowana, nazywamy graniczn a. Twierdzenie 8: (1) Dla dowolnej liczby porz adkowej x nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (i) x x, (ii) x = S( x), (iii) S(x) = S( x), (iv) supx sup x, (v) x jest izolowana. (2) Dla dowolnej liczby porz adkowej x nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (i) x = x, (ii) x S( x), (iii) S(x) S( x), (iv) supx = sup x, (v) x jest graniczna. Dowód: Pierwsze trzy warunki z (1) oraz (2) s a naturalnie równoważne na mocy Tw.7 oraz Tw.6, Rozdzia l 8. Równoważności (i) (iv) z (1) oraz z (2) to warunki, odpowiednio, ( suplp), (=suplp) z 2.
9 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 113 Na mocy Tw.8, Rozdzia l 7, warunek (2)(i) implikuje warunek (2)(v). Jest oczywiste, że warunek (1)(ii) implikuje warunek (1)(v). St ad prawd a jest, że jeżeli x jest liczb a porz adkow a graniczn a (tzn. x nie jest izolowana), to x S( x). Zatem na mocy (***), x S( x), co dowodzi, że warunek (2)(v) implikuje warunek (2)(ii). Zatem 2(v) jest równoważny każdemu z pozosta lych warunków z (2). Analogicznie, zak ladaj ac, że x jest izolowana (a wiȩc nie jest graniczna) mamy na mocy równoważności z (2), iż x S( x), co daje (wed lug (***)): x = S( x). Tak wiȩc warunek (1)(v) implikuje warunek 1(ii), Zatem (1)(v) jest równoważny każdemu z pozosta lych warunków z (1). Przyk ladem liczby porz adkowej granicznej jest zbiór (bo =, zob. Tw.8(2)). Przyk ladem liczby porz adkowej izolowanej jest jakakolwiek niepusta liczba naturalna. Prawdziwa jest bowiem interpretacja tw.2 arytmetyki elementarnej, 1, Rozdzia l 7, w teorii ZFC: x N(x = y N(x = S(y))). Rozważymy teraz najmniejsze liczby porz adkowe x takie, że φ(x) dla nastȩpuj acych formu l φ(x): y x, y x, y x y x, gdzie y jest dowoln a ustalon a liczb a porz adkow a. Oczywiście najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y x jest liczba porz adkowa y. Formu la y x y x, na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, jest równoważna formule y x. Zatem najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że y x jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y x y x. Bior ac pod uwagȩ Tw.1 Rozdzia l 7, oczekujemy wiȩc, że najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y x jest S(y): Twierdzenie 9: Dla dowolnej liczby porz adkowej y, S(y) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y x. Dowód: Niech y bȩdzie dowoln a liczb a porz adkow a. Naturalnie, na mocy Tw.9, Rozdzia l 8, S(y) jest liczb a porz adkow a. Wystarczy wiȩc teraz powo lać siȩ na Tw.1, Rozdzia l 7, aby skończyć dowód. Niemniej jednak wykonajmy ten dowód odwo luj ac siȩ do warunku (iii) Tw.19, Rozdzia l 8. Naturalnie y S(y), tzn. spe lnione jest φ(s(y)), gdzie φ(x) jest postaci: y x. Wykazujemy, że z(z S(y) y z). Za lóżmy nie wprost, że dla pewnego z : z S(y) oraz y z. Wówczas z pierwszego wyrażenia, na mocy Tw.18, Rozdzia l 8 (z jest liczb a porz adkow a) mamy: z y. St ad oraz z drugiego wyrażenia, y y, co jest niemożliwe. Wniosek: Dla dowolnej liczby porz adkowej y nie istnieje taka liczba porz adkowa x, że y x oraz x S(y).
10 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 114 Dowód: Rozważmy dowoln a liczbȩ porz adkow a y i za lóżmy nie wprost, że dla pewnej liczby porz adkowej z: (1) y z oraz (2) z S(y). Wówczas z (1) mamy: φ(z). Ponadto, skoro na mocy Tw.9, S(y) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x) (gdzie φ(x) := y x), wiȩc wed lug Tw.19(i) (iii), Rozdzia l 8 z (2) otrzymujemy: φ(z); sprzeczność (por. również uwagȩ po dowodzie Tw.1, Rozdzia l 7, 4). Jak widać, nazwa nastȩpnik liczby porz adkowej y dla zbioru S(y) jest uzasadniona. S(y) nastȩpuje bezpośrednio po y w porz adku wyznaczonym przez relacjȩ należenia do zbioru. Rozważmy, analogicznie jak powyżej, nastȩpuj ace trzy formu ly φ(x) dla ustalonej liczby porz adkowej y: y S(x), y S(x), y S(x) y S(x). Jest oczywiste, że dla liczby porz adkowej x formu ly: y S(x) oraz y S(x) y S(x) s a równoważne. Ponadto wyrażenie y S(x) jest na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, równoważne formule y x. Zatem najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y S(x) (oraz tak a, że y S(x) y S(x)) jest liczba porz adkowa y. Interesuj acy jest wiȩc jedynie przypadek formu ly φ(x) postaci: y S(x). Na mocy Tw.3 mamy natychmiast: Wniosek 1: Dla dowolnej liczby porz adkowej y, najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że y S(x) jest y. St ad oraz na podstawie Wniosku z Tw.9 otrzymujemy kolejny wniosek, analogiczny do Wniosku z Tw.9: Wniosek 2: Dla dowolnej liczby porz adkowej y nie istnieje taka liczba porz adkowa x, że y x oraz x y. Dowód: Rozważmy dowoln a liczbȩ porz adkow a y i za lóżmy nie wprost, że dla pewnej liczby porz adkowej z mamy: (1) y z oraz (2) z y. Na mocy Wniosku 1 (por. również alternatywȩ (***)), y S( y). Zatem z (2), z S( y). Lecz to, wraz z (1) jest, na mocy Wniosku z Tw.9 ( y jest liczb a porz adkow a), niemożliwe. Jest jasne, że w przypadku, gdy y jest liczb a porz adkow a izolowan a, a wiȩc gdy y = S( y) (Tw.8(1)), liczba porz adkowa y jest bezpośrednim poprzednikiem liczby y w porz adku liczb porz adkowych wyznaczonym relacj a.
11 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 115 W przypadku, gdy y jest liczb a graniczn a, y = y (Tw.8(2)) i wówczas y nie ma bezpośredniego poprzednika. Gdyby bowiem x by l takim bezpośrednim poprzednikiem liczby y, to y by lby jego nastȩpnikiem: y = S(x). Oznacza loby to, że y jest, wbrew za lożeniu, liczb a porz adkow a izolowan a: y jest izolowana: y S( y) y S(y) y jest graniczna: y y S( y) S(y) Naturalnie, jeżeli y jest niepust a liczb a porz adkow a graniczn a, to y jest zbiorem indukcyjnym. Istotnie, y (Tw.23, Rozdzia l 8) oraz gdy x y, to na mocy Tw.9, S(x) y, co implikuje S(x) y, skoro y jest graniczna (y S(x)). Jest również oczywiste, że jeżeli liczba porz adkowa jest zbiorem indukcyjnym, to jest ona graniczna. Izolowana liczba y nie jest bowiem zbiorem indukcyjnym, skoro y y, zaś S( y) y. Gdy y jest izolowana, to sytuacja postaci:... n y... y y y nie ma miejsca. Gdyby bowiem zachodzi la, to y mia lby nieskończone zejście: y, y, y,..., n y,.... Dok ladniej zanalizujmy możliwość takiej sytuacji w oparciu o nastȩpuj ace twierdzenia. Twierdzenie 10: Dla dowolnego zbioru z liczb porz adkowych granicznych, z jest liczb a porz adkow a graniczn a. Dowód: Niech z bȩdzie zbiorem liczb porz adkowych granicznych. Za lóżmy nie wprost, że z jest izolowana. Wówczas dla pewnej liczby porz adkowej x: (1) z = S(x). Skoro x S(x), wiȩc x z, zatem z definicji sumy, dla pewnego u mamy: (2) x u oraz (3) u z. Oczywiście z (3) na mocy Tw.11(1), Rozdzia l 1, otrzymujemy: (4) u z. Na mocy Tw.9, z (2), S(x) u (wed lug (3) u jest liczb a porz adkow a), co wraz z (1) daje z u i konsekwentnie z (4) otrzymujemy: z = u. Lecz wed lug (3), u jest graniczna, zatem z jest graniczna. Sprzeczność z za lożeniem.
12 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 116 Twierdzenie 11: Dla dowolnej liczby porz adkowej izolowanej, wśród wszystkich liczb granicznych do niej należ acych, istnieje liczba najwiȩksza. Dowód: Niech y bȩdzie dowoln a licz a porz adkow a izolowan a. Rozważmy aksjomat podzbiorów dla formu ly φ(x) postaci: x jest liczb a porz adkow a graniczn a x y. Na podstawie tego aksjomatu natychmiast stwierdzamy istnienie zbioru z = {x : x jest graniczna x y} wszystkich liczb porz adkowych granicznych bȩd acych elementami zbioru y. Naturalnie z (bo z) oraz (1) z y. Wykażemy, że z jest elementem najwiȩkszym w zbiorze liniowo uporz adkowanym <z, >. W tym celu rozważmy prawdziw a alternatywȩ: (2) albo z z albo z z (zobacz (**), 3). Za lóżmy, że zachodzi: (3) z z. Wówczas naturalnie z jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że z x (taka najmniejsza liczba porz adkowa jest wed lug Tw.4 postaci S(z), co jest równe z z, co z kolei jest równe z; por. również (=sup) z 3). Zatem z (1) otrzymujemy: z y, czyli z y lub z = y (Tw.18, Rozdzia l 8). Lecz z jest zbiorem liczb granicznych, wiȩc wed lug Tw.10, z jest graniczna, tymczasem y jest izolowana. Wobec tego z y i konsekwentnie z y. Wówczas jednak, z definicji zbioru z, z z, co wobec (3) oznacza, że z z, a to jest niemożliwe (jest sk adin ad wiadome, że obydwa cz lony alternatywy (2) nie mog a być prawdziwe). Skoro nie jest prawd a, że z z, wiȩc z (2) otrzymujemy: z z. Lecz przecież u z, u z (Tw.11(1), Rozdzia l 1). Ostatecznie z jest najwiȩksz a liczb a porz adkow a w zbiorze z. Weźmy pod uwagȩ dowoln a liczbȩ porz adkow a izolowan a y. Na mocy Tw.11, niech ng(y) bȩdzie najwiȩksz a liczb a porz adkow a graniczn a należ ac a do y. Rozważmy zbiór y S(ng(y)). Dla dowolnej liczby porz adkowej x mamy: x y S(ng(y)) wtw (x y i x S(ng(y))) wtw (x y i x ng(y) i x ng(y)) wtw (x y i ng(y) x). Ostatecznie, y S(ng(y)) = {x : ng(y) x y}. Zauważmy, że (ng) x y S(ng(y)), x jest izolowana. Gdyby bowiem pewna liczba x 0 taka, że ng(y) x 0 y by la graniczna, to by loby x 0 ng(y) i jednocześnie ng(y) x 0 oraz ng(y) x 0 (Wniosek z Tw.18, Rozdzia l 8), co jest niemożliwe. Po lóżmy dla dowolnej liczby porz adkowej x, S 0 (x) = x oraz S n+1 (x) = S(S n (x)) dla n = 0, 1,.... Lemat: Dla dowolnej liczby porz adkowej x oraz dowolnej liczby naturalnej n : S n+1 (x) = x {x, S(x), S 2 (x),..., S n (x)}.
13 4. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 117 Dowód: (indukcyjny). Niech x bȩdzie dowoln a liczb a porz adkow a (lub po prostu dowolnym zbiorem). Dla n = 0 powyższa równość jest spe lniona na mocy definicji nastȩpnika. Za lóżmy, że dla jakiegoś n równość ta jest spe lniona. Wówczas S (n+1)+1 (x) = S(S n+1 (x)) = S n+1 (x) {S n+1 (x)} = x {x, S(x), S 2 (x),..., S n (x)} {S n+1 (x)} = x {x, S(x), S 2 (x),..., S n (x), S n+1 (x)}. Twierdzenie 12: Dla dowolnej izolowanej liczby y, zbiór y S(ng(y)) = {x : ng(y) x y} jest skończony. Dowód: Za lóżmy nie wprost, że y jest tak a liczb a porz adkow a izolowan a, że {x : ng(y) x y} nie jest zbiorem skończonym. Weźmy pod uwagȩ zbiór z = {ng(y)} {x : ng(y) x y} = {x : ng(y) x y}. Wykażmy indukcyjnie, że (1) dla dowolnego n = 0, 1,..., S n (ng(y)) z. Jest oczywiste, że ng(y) z, zatem S 0 (ng(y)) z. Za lóżmy, że dla jakiegoś n N, S n (ng(y)) z. St ad (2) S n (ng(y)) y. Z (2) i przechodniości relacji, ponieważ ng(y) S(ng(y)) S 2 (ng(y))... S n (ng(y)), otrzymujemy: (3) {S(ng(y)),..., S n (ng(y))} {x : ng(y) x y}. Ponieważ S(S n (ng(y)) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że S n (ng(y)) x (Tw.9), wiȩc z (2), S(S n (ng(y))) y. Dlatego S(S n (ng(y))) y lub S(S n (ng(y))) = y (Tw.18, Rozdzia l 8). Lecz równość S(S n (ng(y))) = y wraz z (3) oznacza (zob. Wniosek z Tw.9), że {S(ng(y)),..., S n (ng(y))} jest zbiorem wszystkich liczb porz adkowych x takich, że ng(y) x x y czyli zbiór y S(ng(y)) by lby skończony wbrew za lożeniu. Zatem S(S n (ng(y))) y, tzn. S n+1 (ng(y)) y. Naturalnie ng(y) S n+1 (ng(y)), ostatecznie S n+1 (ng(y)) z, co kończy dowód (1). Z kolei, dziȩki (1) można rozważyć funkcjȩ (ci ag) f : N z postaci: n N, f(n) = S n (ng(y)). Wykazujemy, że (4) zbiór ng(y) f (N) jest liczb a porz adkow a. Oczywiście elementami tego zbioru s a wy l acznie liczby porz adkowe, zatem zbiory tranzytywne, wystarczy wiȩc wykazać, że ng(y) f (N) jest zbiorem tranzytywnym. Niech wiȩc x ng(y) f (N). Gdy x ng(y), to oczywiście x ng(y), zatem x ng(y) f (N). Niech x f (N). Wówczas x = S n (ng(y)), dla pewnego n N. Zatem x = ng(y), gdy n = 0, oraz x = ng(y) {ng(y), S(ng(y)),..., S n 1 (ng(y))}, gdy n 0 (zobacz lemat powyżej). Ostatecznie, x ng(y) f (N), bo gdy n 0, to {ng(y), S(ng(y)),..., S n 1 (ng(y))} f (N). Po lóżmy: u = ng(y) f (N). Na mocy (4), u u (Tw.2, Rozdzia l 8). Wykazujemy teraz, że u u, co daje równość u = u i dowodzi (Tw.8(2)), że (5) u jest graniczna.
14 5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne 118 Niech wiȩc x u. Zatem x ng(y) lub x f (N). Gdy x ng(y), to S(x) ng(y), bo ng(y) jest graniczna (tzn. S(x) ng(y), zaś S(x) ng(y)), st ad S(x) u. Podobnie, gdy x f (N), czyli x = S n (ng(y)) dla pewnego n N, mamy: S(x) = S n+1 (ng(y)) f (N), zatem S(x) u. Ostatecznie, skoro x S(x) oraz S(x) u, wiȩc x u. (Krótko mówi ac, wykazaliśmy tu, że zbiór u jest zamkniȩty na operacjȩ S, a ponieważ u, wiȩc u jest liczb a porz adkow a, która jest zbiorem indukcyjnym, zatem u nie jest izolowana.) Naturalnie f (N) z y, z definicji funkcji f oraz zbioru z. Oczywiście ng(y) y (bo ng(y) y). Zatem ng(y) f (N) y, tzn. u y. St ad zaś u y lub u = y (Tw.18, Rozdzia l 8). Lecz wobec (5) i za lożenia, że y jest izolowana, u y. Zatem u y. St ad, ponieważ ng(y) u (bo f(0) = ng(y), zaś f(0) u), otrzymujemy: u {x : ng(y) x y}, co, wobec (5), jest sprzeczne z wyrażeniem (ng). Wniosek: Dla dowolnej liczby izolowanej y istnieje liczba naturalna n taka, że y = ng(y) {ng(y), S(ng(y)),..., S n (ng(y))} = S n+1 (ng(y)). Dowód: Niech y bȩdzie izolowana. Wykazujemy, że dla pewnego n N pierwsza z równości jest spe lniona. Druga jest bezpośredni a konsekwencj a lematu powyżej. Naturalnie y = S(ng(y)) (y S(ng(y)). St ad (1) y = ng(y) {ng(y)} {x : ng(y) x y}. Zbiór {x : ng(y) x y}, na mocy Tw.12, jest skończony, zatem (2) {x : ng(y) x y} = lub (3) dla pewnego k 1, {x : ng(y) x y} jest k-elementowy. Gdy zachodzi (2), to z (1) mamy: (4) y = ng(y) {S 0 (ng(y))}. Gdy zachodzi (3), to mamy: (5) {x : ng(y) x y} = {S(ng(y)),..., S k (ng(y))}, bowiem ng(y) S(ng(y))... S k (ng(y)) y, oraz S(ng(y)),..., S k (ng(y)) s a jedynymi liczbami x takimi, że ng(y) x y, gdy zbiór {x : ng(y) x y} jest k-elementowy. Na mocy (1) i (5) otrzymujemy: y = ng(y) {ng(y), S(ng(y)),..., S k (ng(y))}. 5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne Powyższe ustalenia mog a wydawać siȩ nieco zbyt abstrakcyjne, w sytuacji, gdy jedynym przyk ladem liczby granicznej, jakim do tej pory dysponujemy, jest zbiór. Aby dostarczyć przyk ladów niepustych liczb granicznych, rozważymy najpierw najmniejsz a liczbȩ porz adkow a nie bȩd ac a liczb a naturaln a.
15 5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne 119 Weźmy pod uwagȩ φ(x) postaci: (x jest liczb a naturaln a), lub x N. Ponieważ zachodzi φ(n) oraz N jest liczb a porz adkow a, wiȩc na mocy Tw.21, Rozdzia l 8 istnieje najmniejsza liczba porz adkowa x taka, że x nie jest liczb a naturaln a. Oznaczamy j a symbolem ω. Na mocy Tw.19(i) (iii), Rozdzia l 8 mamy zatem: (ω1) ω N oraz (ω2) y(y ω y N). Wyrażenie (ω2) jest równoważne temu, iż ω N. Ponieważ zarówno ω jak N s a liczbami porz adkowymi, wiȩc na mocy Tw.18, Rozdzia l 8, ω N lub ω = N, co wraz z (ω1) prowadzi do wniosku: Wniosek: ω = N, tzn. najmniejsz a liczb a porz adkow a nie bȩd ac a liczb a naturaln a jest zbiór liczb naturalnych N. Twierdzenie 13: ω jest najmniejsz a niepust a liczb a porz adkow a graniczn a. Dowód: Mamy wykazać, że ω jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że φ(x), gdzie φ(x) jest postaci: x x jest graniczna. Oczywiście ω. Wykazujemy, że ω jest graniczna. Za lóżmy, że tak nie jest. Wówczas ω jest izolowana, czyli ω = S(a), dla pewnej liczby porz adkowej a. Ponieważ a S(a), wiȩc a ω, tzn. (wed lug powyższego Wniosku) a N czyli a jest liczb a naturaln a. Na mocy Tw.10, Rozdzia l 7, S(a) jest liczb a naturaln a, zatem ω N, tzn. N N, co jest niemożliwe. Zatem spe lniona jest formu la φ(ω). Na mocy Tw.19(i) (iii), Rozdzia l 8 wystarczy teraz wykazać, że y(y ω φ(y)), czyli y(y ω (y = y jest izolowana)). Weźmy wiȩc pod uwagȩ dowolny y ω taki, że y. Wówczas y jest niepust a liczb a naturaln a, zatem jest nastȩpnikiem jakiejś liczby naturalnej a, tzn. y = S(a) dla pewnej liczby porz adkowej a, czyli y jest liczb a porz adkow a izolowan a. ω nie jest jedyn a niepust a liczb a graniczn a. Aby podać nastȩpn a z kolei liczbȩ graniczn a, a wiȩc najmniejsz a liczbȩ graniczn a x tak a, że ω x musimy rozważyć aksjomat podstawiania (AxSUB) ψ, w którym formu la ψ(y, z) jest postaci: (ψ) (y ω z = y) (y ω z = S y (ω)). Na pierwszy rzut oka można by mieć w atpliwości (mog ly one już pojawić siȩ poprzednio przy okazji operowania definicj a termu S n (x)) czy (ψ) jest formu l a jȩzyka teorii ZFC, a to z tego powodu, że ci ag symboli: S y (ω), gdzie y jest przecież zbiorem, nie wydaje siȩ być termem tego jȩzyka. Oznaczenie S n (ω) ma sens, ale wówczas, gdy n nie jest żadnym zbiorem, lecz ilości a zastosowań operacji S. Aby rozwiać te w atpliwości, rozważmy skończony zbiór
16 5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne 120 A ω = {ω, S(ω), S(S(ω)),..., S(... (S(ω))...)}. Niech w ostatnim z wypisanych termów ilość wyst apień symbolu S wynosi n. Rozważmy liczbȩ naturaln a (zbiór) {, S( ), S(S( )),..., S(... (S( ))...)} tak a, że ilość wyst apień S w ostatnim termie również wynosi n. Zgodnie z ustalon a konwencj a notacyjn a tak a liczbȩ naturaln a oznaczamy S(n), gdzie n jest teraz liczb a naturaln a bȩd ac a zbiorem. Weźmy pod uwagȩ funkcjȩ fn ω : S(n) A ω, mianowicie fn ω = {<, ω>, <S( ), S(ω)>, <S(S( )), S(S(ω))>,..., < S(... (S( ))...), S(... (S(ω))...) >}. Oznaczmy teraz dla dowolnego y S(n), S y (ω) = fn ω (y), w szczególności wiȩc S n (ω) = fn ω (n) (n jest tutaj zbiorem). Naturalnie w ten sam sposób mamy również dla dowolnej liczby porz adkowej (czy w ogóle dowolnego zbioru) x : S n (x) = fn(n), x gdzie n jest zbiorem (fn x : S(n) A x ). Jest zatem jasne, że formu la ψ(y, z) ma w laściwie postać nastȩpuj ac a: (y ω z = y) (y ω z = f ω y (y)), w której nie mamy już do czynienia ze zbiorem y postrzeganym jako ilość zastosowań operacji S. W dalszym ci agu bȩdziemy rozważać postać (ψ), pamiȩtaj ac, że mamy tam do czynienia z pewnym skrótem definicyjnym. Formu la ψ(y, z) ustala przyporz adkowanie każdemu zbiorowi y jego samego, gdy y ω, oraz zbioru S y (ω), gdy y ω. Spe lniony jest wiȩc poprzednik w (AxSUB) ψ : y z[ψ(y, z) v(ψ(y, v) v = z)]. Wobec tego mamy nastȩpnik postaci: u z(z u y(y ω ψ(y, z)). Bior ac pod uwagȩ aksjomat identyczności mamy jedyny zbiór u, którego istnienie stwierdza powyższa formu la. Ponieważ wyrażenie y ω ψ(y, z) jest równoważne formule y ω z = S y (ω), wiȩc ów zbiór, oznaczaj ac go symbolem S ω (ω), możemy określić nastȩpuj aco: z(z S ω (ω) y(y ω z = S y (ω))). Istnieje zatem zbiór, który nieformalnie zapisalibyśmy w postaci: S ω (ω) = {ω, S(ω),..., S n (ω),...}. Twierdzenie 14: Zbiór ω S ω (ω) jest najmniejsz a liczb a porz adkow a x tak a, że x jest graniczna i ω x. Dowód: Wykazanie faktu, że ω S ω (ω) jest liczb a porz adkow a graniczn a przebiega analogicznie jak wykazanie warunków (4), (5) w dowodzie Tw.12. Zamiast liczby granicznej ng(y) mamy teraz liczbȩ graniczn a ω, oraz zamiast obrazu f (N) zbiór S ω (ω), który jest również obrazem zbioru N wed lug funkcji g : N S ω (ω) przyporz adkowuj acej każdej liczbie naturalnej n zbiór S n (ω).
17 5. Niepuste liczby porz adkowe graniczne 121 Oczywiście, ω ω S ω (ω). Niech teraz x bȩdzie dowoln a liczb a graniczn a tak a, że ω x. Aby wykazać, że ω S ω (ω) x, co skończy dowód, wykazujemy, że (1) ω x oraz (2) S ω (ω) x. (1) jest oczywiste, skoro ω x (Tw.18, Rozdzia l 8). Wykazanie, że zachodzi (2) sprowadza siȩ do indukcyjnego dowodu faktu, iż n ω, S n (ω) x. Dowód ten jest podobny do wykazania waruku (1) z dowodu Tw.12. Oczywiście, S 0 (ω) x. Zak ladamy, że dla jakiegoś n, S n (ω) x. Wówczas, na mocy Tw.9, S(S n (ω)) x lub S(S n (ω)) = x. Lecz ostatnia równość nie może zachodzić skoro x jest graniczna. Zatem S n+1 (ω) x. Zauważmy, że zastosowanie aksjomatu podstawiania dla stwierdzenia istnienia zbioru S ω (ω), można uogólnić dla dowolnej operacji jednoargumentowej F oraz dowolnego zbioru X, tak, aby ustalić istnienie zbioru F ω (X). Wystarczy wzi ać pod uwagȩ ten aksjomat z formu l a ψ(y, z) postaci: (y ω z = y) (y ω z = F y (X)), aby uzyskać istnienie zbioru: F ω (X) = {z : y(y ω z = F y (X))}, nieformalnie zapisywanego w postaci: {X, F (X),..., F n (X),...}. Jasne jest wiȩc, że możemy ustalić kolejne liczby porz adkowe graniczne, mianowicie: ω 2 = ω 1 S ω (ω 1 ), gdzie ω 1 = ω S ω (ω), ω 3 = ω 2 S ω (ω 2 ),..., ω n = ω n 1 S ω (ω n 1 ),..., przy czym ω ω 1 ω 2... ω n... oraz miȩdzy nimi w porz adku ustalonym relacj a, nie ma innych liczb granicznych.
Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej
Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej 1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe Oto cztery pierwsze liczby naturalne zapisane wed lug różnych czterech notacji w porz adku od najmniejszej do najwiȩkszej:,
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Relacje binarne
Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia
Bardziej szczegółowoRozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat
Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat 1. Zbiory czȩściowo uporz adkowane Definicja. Relacjȩ binarn a określon a na zbiorze A nazywamy relacj a czȩściowo porz adkuj ac a, gdy jest zwrotna, antysymetryczna
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Liczby kardynalne
Rozdzia l 11. Liczby kardynalne 1. Równoliczność zbiorów Definicja. Dla dowolnych zbiorów x, y : x jest równoliczny z y, gdy istnieje funkcja f : x y, która jest bijekcj a. Zauważmy, że funkcja f : y,
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoRozdzia l 7. Liczby naturalne
Rozdzia l 7. Liczby naturalne 1. Arytmetyka elementarna Arytmetyka elementarna jest najprostsz a z teorii liczb naturalnych. Ujmuje ona liczby naturalne bez uwzglȩdnienia dzia lań dodawania i mnożenia.
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoLOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoLogika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas
Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Ćwiczenie 1. (Zad. L. Newelskiego) Niech p oznacza zdanie Ala je, zaś q zdanie As wyje. Zapisz jako formu ly rachunku zdań nastȩpuj ace zdania: 1.1.
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoSzymon G l ab. Struktury losowe II Graf losowy. Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka
Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka Graf losowy jako granica Fraisse Przez K graf oznaczmy rodzinȩ wszystkich skończonych grafów (np. na N). Niech G bȩdzie granic a Fraisse rodziny K graf. Strukturȩ
Bardziej szczegółowoLiczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza. Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 Liczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza 2 1 0 1 2 3 x Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza MATEMATYKA
Bardziej szczegółowoOSOBNO ANALITYCZNYCH
Uniwersytet Jagielloński Instytut Matematyki Zbigniew B locki ZBIORY OSOBLIWOŚCI FUNKCJI OSOBNO ANALITYCZNYCH Praca magisterska Promotor: Prof. dr hab. Józef Siciak Kraków 99 .Wstȩp. Jeśli Ω jest zbiorem
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoWyk lad 5. Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu. 1. Granice niew laściwe
Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Granice niew laściwe Definicja 1 Ci ag (x n ) d aży do (jest rozbieżny do) + jeśli c R N n > N x n > c a do
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowo0.1 Sposȯb rozk ladu liczb na czynniki pierwsze
1 Temat 5: Liczby pierwsze Zacznijmy od definicji liczb pierwszych Definition 0.1 Liczbȩ naturaln a p > 1 nazywamy liczb a pierwsz a, jeżeli ma dok ladnie dwa dzielniki, to jest liczbȩ 1 i sam a siebie
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoRachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe
Bardziej szczegółowoTomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011
Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska 50-370 Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. Wyk lady 4 i 5: Przestrzenie unitarne i Hilberta (rzeczywiste
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowoci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x
ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1 Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji f n : [, [ x nx + x nx + 1, Rozwi azanie: Mówi siȩ, że ci ag funkcji f n zd aży punktowo
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017
Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoT O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.
T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla
Bardziej szczegółowoP. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF
29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Oznaczenia
Matematyka dyskretna Oznaczenia Andrzej Szepietowski W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia. oznacza kwantyfikator ogólny dla każdego. oznacza kwantyfikator szczegó lowy istnieje. 1 Sumy i iloczyny
Bardziej szczegółowoTOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ,
TOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ, SPÓJNOŚĆ I POJȨCIA BLISKIE (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA) R R Abstract. Poniższe notatki do ćwiczeń zbieraj a podstawowe pojȩcia i stwierdzenia
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R
Bardziej szczegółowoNiesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Grupy cykliczne
Wyk la 3 Grupy cykliczne Definicja 3.1. Niech a bezie elementem grupy (G,, e). Jeżeli istnieje liczba naturalna k taka, że a k = e, to najmniejsza taka liczbe naturalna k nazywamy rzeem elementu a. W przeciwnym
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?
Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoAnaliza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 4 1. Zbiory otwarte i domkniȩte Pojȩcia które teraz wprowadzimy można rozpatrywać w każdej przestrzeni metrycznej
Bardziej szczegółowoW poszukiwaniu kszta ltów kulistych
W poszukiwaniu kszta ltów kulistych Piotr Mankiewicz April 4, 2005 Konwersatorium dla doktorantów Notacje 1 Cia lo wypuk le - wypuk ly, domkniȩty podzbiór ograniczony w R n. Odleg lość geometryczna dwóch
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego
Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoDefinicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Bardziej szczegółowoLiczby naturalne i ca lkowite
Chapter 1 Liczby naturalne i ca lkowite Koncepcja liczb naturalnych i proste operacje arytmetyczne by ly znane już od oko lo 50000 tysiȩcy lat temu. To wiemy na podstawie archeologicznych i historycznych
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (4)
Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoWykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Bardziej szczegółowoPrzykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Bardziej szczegółowo