A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

Save this PDF as:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami."

Transkrypt

1 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A [, +] nazywamy funkcją zbiorów. Definicja 3.1 Funkcję zbiorów na A nazywamy: i addytywną skończenie addytywną jeśli A,B A A B =, A B A A B = A + B. ii σ-addytywną przeliczalnie addytywną jeśli dla A i A, i 1 takich, że A i A j = dla i j, i, j 1 oraz A i A zachodzi równość A i = A i. Stosując indukcję matematyczną łatwo wykazać, że jeśli na A jest addytywną funkcją zbiorów wtedy dla dowolnego ciągu skończonego A i A, i = 1,..., n, n 1 takiego, że A i A j = dla i j, i, j = 1,..., n oraz gdy m A i A dla 2 m n, to mamy równość n A i = A i. Definicja 3.2 Funkcję zbiorów : A [0, +] nazywamy miarą na A jeśli jest ona σ-addytywna oraz = 0. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. Definicja 3.3 Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, a : A [0, +] miarą. Wtedy uporządkowaną trójkę X, A, nazywamy przestrzenią z miarą. Niech będzie dana przestrzeń z miarą X, A,. Jeśli X < to miarę nazywamy miarą skończoną. Jeśli natomiast X = 1, to nazywamy miarą probabilistyczną, a uporządkowaną trójkę X, A, przestrzenią probabilistyczną. Miarę nazywamy σ- skończoną jeśli istnieje przeliczalna rodzina {A i } i 1 A taka, że A i = X oraz A i < dla każdego i 1 lub równoważnie jeśli istnieje przeliczalna rodzina {B i } i 1 A taka, że B i B i+1, i 1, B i = X oraz B i < dla każdego i 1.

2 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Twierdzenie 3.4 Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą. Wtedy i n 1, B i A, 1 i n, B i B j = dla i j n B i = n B i; ii A, B A, B A A B; iii A, B A, B A, B < A \ B = A B; iv A, B A A B + A B = A + B; v n 1, A i A, 1 i n n A i n A i subaddytywność; vi A i A, A i A i+1, i 1 A i = limi A i ; vii A i A, A i+1 A i, i 1, n 0 1 A n 0 < A i = limi A i ; viii A i A, i 1 A i A i σ-subaddytywność. Dowód. Ad. i Niech A i A dla i 1 i niech Wtedy A i A j = dla i j 1 oraz A i = B i dla i = 1,..., n, A i = dla i n + 1. n B i = A i = A i = B i. Ad. ii Jeśli A, B A oraz B A to A = A \ B B suma rozłączna. Zatem z punktu i oraz z nieujemności miary dostajemy A = A \ B + B B. Ad. iii Z punktu ii mamy A = A \ B + B. Stąd i z założenia B < mamy A B = A \ B. Ad. iv Sumę A B możemy przedstawić jako sumę rozłączną, mianowicie Z punktu i otrzymujemy A B = A \ A B A B B \ A B. A B = A \ A B + A B + B \ A B. Stąd po dodaniu stronami A B mamy A B + A B = A \ A B + A B + B \ A B + A B = A + B.

3 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Ad. v Z punktu iv dostajemy Dalej dowód przez indukcję. A 1 + A 2 = A 1 A 2 + A 1 A 2 A 1 A 2. Ad. vi Oznaczmy B 1 = A 1 oraz B n = A n \ A n 1 dla n > 1. Wtedy a B n B m = dla n m, n, m 1; b A n = n k=1 B k, n 1; c A i = k=1 B k. Stąd i z σ-addytywności miary mamy A i = B k = B k = lim k=1 Ad. vii Zauważmy, że k=1 a A i = i=m A i, dla każdego m 1; b A n0 A i. n k=1 Stąd i z udowodnionych już własności miary dostajemy iii A n0 A i = A n0 \ A i = A n0 \ Otrzymujemy więc = B k = lim n n A n0 +i k=1 A n0 A n 0 +i = An0 \ A n0 +i B k = lim n A n. = A n0 vi = lim A n0 \ A n0 i +i iii = lim An0 A n0 i +i = A n0 lim A n0 i +i = A n0 lim A i. i A i = lim i A i. A n0 +i Ad. viii Niech A i A, i 1. Oznaczmy B n = n A i, n 1. Ciąg {B n } n 1 jest ciągiem wstępującym i jego suma mnogościowa jest równa sumie mnogościowej ciągu wyjściowego {A i } i 1. Zatem A i = v lim n vi B n = lim B n = lim n n n A i = A i. A i

4 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Stwierdzenie 3.5 Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą skończoną i niech A i A dla 1 i n. Wtedy n A i = A i A i1 A i2 + 1 i 1 <i 2 n + 1 k 1 1 i 1 <i 2 <...<i k n + 1 n 1 A 1 A 2... A n. A i1 A i2... A ik + Dowód. Dla n = 1 jest oczywisty. Dla n = 2 wynika z Twierdzenia 3.4 iv. Dalej stosując indukcję matematyczną. Zostawiamy to jako ćwiczenie. Przykład 3.6 a Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną oraz niech x X będzie ustalonym punktem. Wtedy { 1 dla x A, δ x A = A A 0 dla x A, jest miarą delta Diraca. b Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną. Wtedy i 0 tzn. A = 0 dla A A, ii A = + dla A A i A oraz = 0 są miarami. c Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, gdzie X jest zbiorem nieprzeliczalnym oraz A A wtedy i tylko wtedy, gdy A IN lub A IN. Wtedy { 1 gdy A IN, A = A A 0 gdy A IN, jest miarą na A. d Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną. Wtedy A = #A jest miarą miarą liczącą. e Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, gdzie #X = i niech {x i } i 1 X będzie ustalonym ciągiem. Załóżmy, że dany jest ciąg liczbowy {p i } i 1 taki, że p i > 0 dla i 1 oraz p i = 1. Wtedy = p i δ xi jest miarą probabilistyczną.

5 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Twierdzenie 3.7 Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, gdzie A = σc oraz C jest π-układem. Załóżmy ponadto, że dane są dwie miary i ν na A o własnościach: i i ν są σ-skończone na C; ii A = νa dla każdego A C. Wtedy = ν tzn. A = νa dla każdego A A. Dowód. Z założenia i istnieją: A i C, A i < dla i 1 oraz B j C, νb j < dla j 1 oraz A i = X, B j = X, Rozważmy rodzinę {A i B j } i,j 1 C, której elementy oznaczmy przez G k, k 1. Z założeń dostajemy G k = νg k < dla k 1 oraz k=1 G k = X. Bez straty ogólności możemy założyć, że G k G k+1 dla k 1 wystarczy określić F n = n k=1 G k i zauważyć, że ze Stwierdzenia 3.5 F n = νf n < dla n 1. Dla k 1 rozważmy rodzinę D k = { A A : A G k = νa G k }. Łatwo zauważyć, że i C D k ; ii D k jest λ-układem. Stąd λc D k A. Z Twierdzenia 2.20 mamy λc = σc. Zatem D k = A, k 1. Niech A A. Wtedy z Twierdzenia 3.4 vi dostajemy A = A X = A G k = k=1 k=1 A G k = lim A G k = lim νa G k k k = ν A G k = νa X = νa. k=1 Uwaga. Założenie o σ-skończoności miar na C w powyższym twierdzeniu jest istotne. Rzeczywiście, niech X = IR, C = { a, b] : a b, a, b IR }. Widzimy od razu, że C

6 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz jest π-układem. Ponadto wiadomo, że σc = BIR. Rozważmy dwie miary na BIR: A = #A oraz νa = gdy A i ν = 0 dla A BIR. Jak łatwo zauważyć = ν na C oraz ν na BIR. Na zakończenie tego tematu zanotujmy jeszcze natychmiastowy wniosek wypływający z Twierdzenia 3.7 Wniosek 3.8 Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, gdzie A = σc oraz C jest algebrą. Załóżmy ponadto, że dane są dwie miary i ν na A o własnościach: i i ν są σ-skończone na C; ii A = νa dla każdego A C. Wtedy = ν tzn. A = νa dla każdego A A. 3.2 Miary przedziałów Oznaczmy 3.1 C = { a, b], b, : a b < }. Załóżmy ponadto, że dana jest funkcja F : IR IR niemalejąca i prawostronnie ciągła. Oznaczmy jeszcze F + := lim x + F x i F := lim x F x. Określmy funkcję zbiorów na C wzorem 3.2 a, b] = F b F a, b, + = F + F b. Zauważmy, że 3.3 = a, a] = F a F a = 0. Okazuje się, że tak określona funkcja zbiorów jest miarą na C, mianowicie zachodzi Twierdzenie 3.9 Funkcja zbiorów określona wzorem 3.2 jest miarą na C. Dowód. Jak już zauważyliśmy w 3.3 = 0. Pozostało tylko udowodnić σ-addytywność. W pierwszej części dowodu wykażemy, że jest σ-addytywna na rodzinie C 0 = { a, b] : a, b IR } C. W tym celu pokażemy najpierw, że jest addytywna na C 0. Niech a, b] = n a i, b i ], gdzie a, b], a i, b i ] C 0 dla i = 1,..., n oraz a i, b i ] są parami rozłączne dla i = 1,..., n.

7 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Bez straty ogólności możemy założyć, że rozpatrywane przedziały są niepuste oraz możemy je ponumerować w następujący sposób: Wtedy a = a 1 < b 1 = a 2 < b 2 = a 3 <... < b n 1 = a n < b n = b. a, b] = F b F a = F b n F a 1 = F bi F a i = a i, b i ], co kończy dowód addytywności na C 0. Udowodnimy teraz subaddytywność w pewnym sensie na C 0 tzn. jeśli to a, b] n a i, b i ], gdzie a, b], a i, b i ] C 0, dla i = 1, 2,..., n a, b] a i, b i ]. Dowód indukcyjny. Dla n = 1. Niech a, b] a 1, b 1 ]. Ponieważ funkcja F jest niemalejąca, więc a, b] = F b F a F b 1 F a 1 = a 1, b 1 ]. Dla n > 1. Niech n+1 a, b] a i, b i ], gdzie a, b], a i, b i ] C 0, dla i = 1, 2,..., n. Bez straty ogólności możemy dodatkowo założyć, że b a n+1, b n+1 ]. a 1 b 1 a a n+1 b b n+1 Gdy a > a n+1 to dowodzona własność subaddytywności jest oczywista z założenia indukcyjnego. Gdy a a n+1 to a, a n+1 ] n a i, b i ], więc ponownie korzystając z założenia indukcyjnego otrzymujemy

8 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Stąd a, a n+1 ] a i, b i ]. a, b] = a, a n+1 ] a n+1, b] = a, a n+1 ] + a n+1, b] n+1 a i, b i ] + a n+1, b] a i, b i ]. Wykażemy teraz σ-addytywność na C 0. Niech a, b] = a i, b i ] gdzie a, b], a i, b i ] C 0, dla i = 1, 2,..., gdzie a i, b i ] są parami rozłączne dla i 1. Niech n > 1 i rozważmy n a i, b i ]. Możemy założyć, że a a 1 < b 1 a 2 < b 2 a 3 <... < b n 1 a n < b n b. Mamy więc 3.4 a, b] = a, a 1 ] n n 1 a i, b i ] b i, a i+1 ] b n, b]. Suma po prawej stronie 3.4 jest rozłączna, więc korzystając z addytywności otrzymujemy a, b] = a, a 1 ] + Stąd dla każdego n > 1 mamy czyli n 1 a i, b i ] + b i, a i+1 ] + b n, b] a, b] a, b] a i, b i ], a i, b i ]. a i, b i ]. Udowodnimy teraz nierówność w drugą stronę. Z prawostronnej ciągłości funkcji F mamy dla każdego ε > 0 a, a + δ] = F a + δ F a < ε 2, δ i >0 δ>0 b i, b i + δ i ] = F b i + δ i F b i < ε, dla i 1. 2i+1

9 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz a a + δ a i b i b Mamy [a + δ, b] a, b] = a i, b i ] a i, b i + δ i. Ze zwartości przedziału [a + δ, b] istnieje n 1 patrz Dodatek takie, że n [a + δ, b] a ij, b ij + δ ij. Stąd Zatem n a + δ, b] a ij, b ij + δ ij ]. a, b] = a, a + δ] + a + δ, b] ε 2 + a ij, b ij + δ ij ] = ε 2 + a ij, b ij ] + b ij, b ij + δ ij ] ε + a ij, b ij ] ε + a i, b i ]. Z dowolności ε > 0 otrzymujemy a, b] a i, b i ]. Tym samym została zakończona pierwsza część dowodu tzn. udowodniliśmy σ-addytywność na C 0. W drugiej części dowodu wykażemy, że jest σ-addytywna na C. W tym celu wystarczy rozważyć dwa przypadki , b] = b, = I i, I i, b IR, b IR,

10 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz gdzie I i C i są parami rozłączne dla i 1. Załóżmy, że zachodzi 3.5. Rozważmy dwa przypadki a Załóżmy, że istnieje i 0 takie, że I i0 =, b i0 ] z rozłączności parami wynika, że wśród I i, i 1 może istnieć tylko jeden taki nieograniczony przedział. Mamy więc, b] =, b i0 ] a i, b i ] =, b i0 ] b i0, b], i i 0 gdzie a i IR dla i i 0 oraz b i IR dla i 1. Stąd i z udowodnionej σ-addytywności na C 0 mamy, b] = F b F = F b F b i0 + F b i0 F =, b i0 ] + b i0, b] =, b i0 ] + i i 0 a i, b i ] = a i, b i ]. b Załóżmy, że I i = a i, b i ], i 1, gdzie a i, b i IR dla i 1. Dowód rozbijemy na dwa podprzypadki i Niech F >. Wtedy z 3.5 mamy 3.7 a in < n b in. i n n 0 n n 0 Zatem dla każdego n 1 możemy napisać, b] =, a in ] a i, b i ] =, a in ] a in, b] a i a in oraz, b] = F b F = F b F a in + F a in F = a in, b] + F a in F = a i, b i ] + F a in F n a i a in bo na mocy 3.7 a in, gdy n. a i, b i ], ii Niech F = tzn., b] = +. Dla dowodu wystarczy więc wykazać, że 3.8 a i, b i ] = +.

11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Korzystając z dowodu i dostajemy a i, b i ] = a in, b] = F b F a in n a i a in bo na mocy 3.7 a in, gdy n, co dowodzi , Tak więc dowód w przypadku 3.5 został zakończony. Nietrudno zauważyć, że dowód dla przypadku 3.6 przebiega analogicznie jak dla 3.5. Rozpatruje się te same podprzypadki z oczywistą zamianą na +. Zostawiamy więc ten przypadek jako ćwiczenie. Uwaga. Zauważmy, że przyjmując F x = x dla x IR dostajemy miarę na C dla której a, b] = b a dla a, b IR oraz I = + jeśli I C i I jest przedziałem nieograniczonym. Miarę tę będziemy oznaczać przez λ i nazywać miarą Lebesgue a na C. W dalszej części skryptu będziemy starali się rozszerzyć miarę Lebesgue a na algebrę a następnie na σ-algebrę generowaną przez rodzinę C. Rozszerzenie λ na algebrę generowanę przez C wynika z następującego twierdzenia. Twierdzenie 3.10 Niech C będzie rodziną podzbiorów określoną wzorem 3.1 i niech będzie miarą na C. Wtedy możemy jednoznacznie rozszerzyć do miary na αc tzn. takiej, że C =. Dowód. Dowód zaczniemy od wykazania równości αc = G, gdzie { n G = Rodzina G jest algebrą, bo } A i : A i C, i = 1,..., n, A i A j =, i j, i, j = 1,..., n, n 1. i Z 3.1 mamy C oraz C G, więc G; ii Niech A G. Wtedy A = n A i, gdzie A i C dla 1 i n, A i A j = dla i j, 1 i, j n oraz n 1. Stąd A = n A i. Ponieważ dopełnienie każdego elementu rodziny C jest rozłączną skończoną sumą elementów rodziny C co natychmiast wynika z definicji rodziny C więc możemy napisać A = n m i j i =1 A i,ji, A i,ji C, j i = 1,..., m i, i = 1,..., n oraz dla każdego 1 i n zbiory A i,ji są dla j i = 1,..., m i parami rozłączne. Korzystając z rozdzielności iloczynu monogościowego względem sumy mnogościowej dostajemy n A = A i,ji, gdzie J i = {1, 2,..., m i }, i = 1, 2,..., n. j 1,...,j n J 1 J n

12 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Zauważmy, że n A i,j i C dla 1 i n bo z definicji C wynika natychmiast, że rodzina ta jest zamknięta na skończone przekroje oraz n A i,j i są parami rozłączne tzn. dla i 1,..., j n, j 1,..., j n J 1 J n takich, że i 1,..., j n j 1,..., j n mamy n n A i,ji A i,j i =. Zatem A G. iii Niech A, B G. Wtedy A = B = Zatem n A i, A i C, 1 i n, A i A j =, i j, 1 i, j n, n 1, m B j, B j C, 1 j m, B j B k =, j k, 1 j, k m, m 1. A B = n m A i B j = n m A i B j. Ponieważ A i B j C dla 1 i n, 1 j m oraz A i B j są parami rozłączne dla 1 i n, 1 j m, więc A B G, czyli G jest algebrą. Ponieważ C G. Zatem z definicji αc mamy zawieranie αc G. Z drugiej strony rozłączne sumy n A i, gdzie A i C, 1 i n muszą należeć do αc. Zatem z definicji G wynika, że G αc co ostatecznie dowodzi równości αc = G. Określmy teraz : αc [0, +] wzorem 3.9 A = gdzie A i, A αc, n A = A i, A i C, 1 i n, A i A j =, i j, 1 i, j n, n 1. Wykażemy, że jest dobrze określona tzn., gdy n m A = A i = B j αc,

13 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz gdzie to Rzeczywiście A i = A i C, 1 i n, A i A j =, i j, 1 i, j n, n 1, B j C, 1 j m, B j B k =, j k, 1 j, k m, m 1, = A i A i = m B j = m A i B j = m B j. m A i B j m n A i B j = m B j. Wykażemy, że jest miarą na αc. Warunek = 0 jest oczywisty. Pozostała do wykazania σ-addytywność. Niech A n αc, n 1, A n A m =, n m, n, m 1 oraz A n αc. Ponieważ elementy αc są rozłącznymi sumami elementów z C więc m A n = B i, B i C, 1 i m, B i B j =, i j, 1 i, j m. Z tego samego powodu dla każdego n 1 mamy A n = k n Stąd dostajemy 3.10 B i = B i A n,j A n,j C, 1 j k n, A n,i A n,j =, i j, 1 i, j k n. A n = B i A n = k n B i A n,j Elementy ostatnich sum w 3.10 są parami rozłączne i należą do C więc z σ-addytywności na C dostajemy k n B i = B i A n,j. Stąd i z definicji mamy A n = m B i = = m k n m B i = B i A n,j = m k n A n, B i A n,j

14 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz bo m m A n = A n B i = k n B i A n,j. Tak więc jest miarą. Jednoznaczność roszerzenia wynika natychmiast z 3.9. Na koniec zauważmy jeszcze oczywistość C =. Uwaga. Ponieważ rozszerzenie miary na algebrę αc jest jednoznaczne będziemy oznaczać je takim samym symbolem jak wyjściową miarę. Stosując powyższe twierdzenie możemy teraz rozszerzyć miarę Lebesgue a λ na algebrę αc. Mamy więc określoną miarę λ na zbiorach, które są rozłącznymi i skończonymi sumami przedziałów z C. W dalszym ciągu będziemy się starali rozszerzyć miarę Lebesgue a na rodzinę bardziej złożonych zbiorów. Okazuje się, że takie dalsze rozszerzenie jest możliwe, mianowicie stosując tzw. procedurę Carathodorego możemy rozszerzyć miarę Lebesgue a m.in. na σ-algebrę generowaną przez C tj. na σ-algebrę zbiorów borelowskich patrz Twierdzenie 2.12 i Uwaga po tym twierdzeniu, a nawet na trochę szerszą σ-algebrę zawierającą σ-algebrę zbiorów borelowskich tzw. σ-algebrę zbiorów Lebesgue a. Z tą metodą zapoznamy się w dalszej części skryptu. 3.3 Zadania Zad. 1. Niech #X =. Określmy funkcję zbiorów ϕ : 2 X [0, ] wzorem { 0 gdy #A <, ϕa = + gdy #A =. Wykazać, że ϕ jest addytywna ale nie jest σ-addytywna. Zad. 2. Wykazać, że a Niech X będzie będzie niepustym zbiorem oraz niech x X będzie ustalonym punktem. Wtedy { 1 dla x A, δ x A = A 2 X 0 dla x A, jest miarą tzw. Delta Diraca. b Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną. Wtedy i 0 tzn. A = 0 dla A A; ii A = + dla A A i A oraz = 0. są miarami.

15 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz c Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, gdzie X jest zbiorem nieprzeliczalnym oraz A A wtedy i tylko wtedy, gdy A IN lub A IN. Wtedy A = { 1 gdy A IN, 0 gdy A IN, A A jest miarą na A. d Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną. Wtedy A = #A jest miarą miarą liczącą. e Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, gdzie #X = i niech {x i } i 1 X będzie ustalonym ciągiem. Załóżmy, że dany jest ciąg liczbowy {p i } i 1 taki, że p i > 0 dla i 1 oraz p i = 1. Wtedy jest miarą probabilistyczną. = p i δ xi Zad. 3. Niech X = 0, 1] i niech A będzie algebrą z zadania 14 rozdział 2. Określmy funkcję zbiorów : A {0, 1} wzorem { 1, 1/2, b] A dla pewnego 1/2 < b 1, A = 0, w przeciwnym przypadku, A A. Sprawdzić, czy jest miarą na A. Zad. 4. Niech X, d będzie przestrzenia metryczną, a x X będzie ustalonym punktem takim, że zbiór {x} nie jest zbiorem otwartym. Zbiór F X nazywamy sąsiedztwem punktu x, jeśli jest on postaci F = U \ {x}, gdzie U jest otoczeniem punktu x. Określmy rodzinę zbiorów A 2 X następująco: A A wtedy i tylko wtedy, gdy A zawiera pewne sąsiedztwo punktu x lub A jest rozłączny z pewnym sąsiedztwem x. Zdefiniujmy funkcję zbiorów ϕ : A [0, +] wzorem ϕa = { 1 gdy A zawiera pewne sąsiedztwo x, 0 gdy A jest rozłączny z pewnym sąsiedztwem x, A A. a Pokazać, że A jest algebrą, a ϕ miarą skończenie addytywną. b Sprawdzić, czy ϕ jest σ-addytywna. Zad. 5. Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, a : A [0, ] addytywną funkcją zbiorów na A taką, że = 0 i jest σ-subaddytywna. Wykazać, że jest miarą.

16 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz Zad. 6. Niech i ν będą miarami na przestrzeni mierzalnej X, A. Wykazać, że + ν oraz a dla a 0 są też miarami. Zad. 7. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą i niech A n A, n 1. Wykazać, że A n = 0 A n = 0 dla każdego n 1. Zad. 8. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą, gdzie miara jest σ-skończona i X = +. Pokazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M > 0 istnieje A A takie, że M < A < +. Zad. 9. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą. Wykazać, że dla A, B A mamy A B = 0 = A = B. Zad. 10. Niech X, A, będzie przestrzenią probabilistyczną. Niech A 1,..., A n A są takie, że A i > n 1. Wykazać, że n A i > 0. Zad. 11. Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, a : A [0, ] skończenie addytywną funkcją zbiorów taką, że = 0. Wykazać, że jest miarą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu {A i } i 1 takiego, że A i A i+1 dla i 1 mamy A i = lim i A i. Zad. 12. Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, a : A [0, ] skończenie addytywną funkcją zbiorów taką, że = 0 i X <. Wykazać, że jest miarą skończoną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu {A i } i 1 takiego, że A i+1 A i dla i 1 mamy A i = lim i A i. Zad. 13. Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną, a : A [0, ] skończenie addytywną funkcją zbiorów taką, że = 0 i X <. Wykazać, że jest miarą

17 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz skończoną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu {A i } i 1 takiego, że A i+1 A i dla i 1 i A i = mamy lim i A i = 0. Zad. 14. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą oraz niech B n A, n 1 będą takie, że B n \ B n+1 = 0 dla n 1. Wykazać, że B i = lim i B i. Zad. 15. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą skończoną. Wykazać, że dla dowolnych A 1,..., A n A zachodzi n A i = 1 k 1 k=1 1 i 1 <...<i k n A i1... A ik. Zad. 16. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą i niech {A n } n 1 A będzie taki, że A i A j = 0 dla i j, i, j 1. Wykazać, że A n = A n. Zad. 17. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz niech {A n } n 1, {B n } n 1 A będą takie, że B n A n dla n 1. Wykazać nierówność A n B n An B n. Zad. 18. Niech X, A, będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech {A n } n 1 A będzie taki, że A n = 1 dla n 1. Wykazać równość A n = 1. Zad. 19. Niech X, A będzie przestrzenią mierzalną i niech { n } n 1 będzie ciągiem miar na A. Załóżmy, że n A n+1 A dla A A i n IN. Wykazać, że funkcja zbiorów : A [0, ] dana wzorem A = lim n na, A A

18 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz jest miarą. Zad. 20. Niech X, BX, będzie przestrzenią z miarą skończoną, gdzie X, d jest przestrzenią metryczną. Wykazać, że dla dowolnego ε > 0 i dla dowolnego A BX istnieją zbiór otwarty U i zbiór domknięty F takie, że F A U i U \ F < ε. Zad. 21. Niech X, A, będzie przestrzenią z miarą skończoną, gdzie A = σc oraz C jest algebrą. Wykazać, że algebra C jest gęsta w A względem miary tzn. ε>0 A A A B < ε. B C Zad. 22. Niech F będzie ultrafiltrem podzbiorów zbioru X. Określmy ϕa = { 1 gdy A F, 0 gdy A F,, A 2 X. a Pokazać, że ϕ jest addytywna na 2 X. b Niech #X = i niech ϕ : 2 X {0, 1} będzie addytywną funkcją zbiorów oraz ϕx = 1. Wykazać, że { A X : ϕa = 1} jest ultrafiltrem. c Wykazać, że jeśli #X = to istnieje addytywna funkcja zbiorów ϕ : 2 X {0, 1} taka, że ϕa = 0 dla każdego skończonego zbioru A X i ϕx = 1. d Wykazać, że jeśli X jest zbiorem przeliczalnym to funkcja zbiorów ϕ z punktu c nie może być σ-addytywna.

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

7 Twierdzenie Fubiniego

7 Twierdzenie Fubiniego M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X. 1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

Zadania do Rozdziału X

Zadania do Rozdziału X Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. 7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura

Bardziej szczegółowo

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy 5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue

Bardziej szczegółowo

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Dekompozycje prostej rzeczywistej

Dekompozycje prostej rzeczywistej Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1 Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji f : R R

Ciągłość funkcji f : R R Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne: 1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Informacja o przestrzeniach Sobolewa Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017

Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017 Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu

Bardziej szczegółowo

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi Wykład 3 Miara zewnętrzna Definicja 3.1 (miary zewnętrznej Funkcję przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę (A [0, + ] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

1 Elementy analizy funkcjonalnej

1 Elementy analizy funkcjonalnej M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,

Bardziej szczegółowo

Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn

Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018 Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy

Bardziej szczegółowo

zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób: 1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Przedział domknięty Przykład 1. Pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie Hilberta

1 Przestrzenie Hilberta M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja diofantyczna

Aproksymacja diofantyczna Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

26 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136

26 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 26 marzec, 212 Łańcuchy z czasem ciągłym S = {, 1,..., }, B S = 2 S, ale T = [, ) lub T = (, ). Gdy S skończone,

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Plebanek Miara i całka skrypt do wykładu Funkcje rzeczywiste

Grzegorz Plebanek Miara i całka skrypt do wykładu Funkcje rzeczywiste Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego Grzegorz Plebanek Miara i całka skrypt do wykładu Funkcje rzeczywiste c Grzegorz Plebanek (2009) wersja γ (2013) Spis treści 0 Wiadomości wstępne 1 0.1

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004. Adam Jakubowski

Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004. Adam Jakubowski Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, styczeń 2004 Spis treści

Bardziej szczegółowo

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf 9. Różniczkowanie. Jeśli f jest funkcją rzeczywistą, to granice D + f(x) = lim sup t x + f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x t x f(t) f(x), t x f(t) f(x) f(t) f(x) D + f(x) = lim inf oraz D f(x) = lim inf

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Elementy Teorii Miary i Całki

Elementy Teorii Miary i Całki Elementy Teorii Miary i Całki c Lech Drewnowski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. dama Mickiewicza w Poznaniu Poznań 2008 http://main2.amu.edu.pl/ drewlech/dydaktyka.html http://main2.amu.edu.pl/

Bardziej szczegółowo

MNRP r. 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Grzegorz Kowalczyk

MNRP r. 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Grzegorz Kowalczyk MNRP 18.03.2019r. Grzegorz Kowalczyk 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Definicja (σ - ciało) Niech Ω - dowolny zbiór. Rodzinę F P (Ω), gdzie P (Ω) jest rodziną wszystkich podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Schematy Piramid Logicznych

Schematy Piramid Logicznych Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x)) Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

R k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0

R k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0 Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/10 indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo