Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Transkrypt

1 29 marca 2011

2 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś prawdopodobieństwa. Trójka (Ω, F, P), gdzie P jest rodzina funkcji prawdopodobieństwa nazywamy przestrzenia statystyczna.

3 Przestrzeń statystyczna s luży do opisu możliwych mechanizmów rzadz acych eksperymentem losowym. Wybór przestrzeni statystycznej jest zazwyczaj kompromisem miedzy prostota modelu a jego adekwatnościa.

4 Przyk lad Oznaczmy przez p prawdopodobieństwo otrzymania or la przy jednokrotnym rzucie moneta. Wówczas Ω = {O, R}, F = {, {O}, {R}, {O, R}} oraz P = {p : 0 p 1}

5 Jednym z podstawowych zadań statystyki jest podanie metod, które umożliwiaja identyfikacje rozk ladu prawdopodobieństwa, rzadz acego eksperymentem losowym, na podstawie obserwacji jego wyniku X

6 Poj ecie próby prostej i statystyki W dalszej cześci wyk ladu zostanie pokazane, że wielokrotne powtarzanie eksperymentu może znacznie u latwić identyfikacje opisujacego go rozk ladu prawdopodobieństwa. Zebrane wyniki eksperymentu np. X 1, X 2,... X n (gdzie X 1, X 2,... (zmienne losowe)) nazywamy próba losowa Jeżeli rozk lady zmiennych losowych X 1, X 2,... X n sa niezależne, to mamy do czynienia z prosta próba losowa.

7 Przyk lady prób losowych 1 wyniki rzutów moneta; 2 wyniki rzutów kostka; 3 czas obs lugi klientów przy kasie; 4 d lugość piór pawia.

8 Poj ecie próby prostej i statystyki Z każda próba losowa można zwiazać funkcje T o wartościach rzeczywistych, każda taka funkcje nazywamy statystyka

9 Przyk lady statystyk 1 X 2 S 2 = 1 n ni=1 (X i X ) 2 3 mo, me, d, X min, X max.

10 Przyk lady statystyk Średnia z próby Niech X 1, X 2,... X n bedzie próba losowa. Średnia z próby nazywamy statystyke X n = 1 n X i n Uwaga i=1 Średnia jako funkcja próby losowej jest zmienna losowa

11 Podstawowe w lasności średniej z próby 1 Jeżeli EX 1 =... = EX n = µ, to E X n = µ 2 Jeżeli X 1,..., X n jest próba prosta oraz EX i = µ i VarX i = σ 2 < dla i = 1, 2,..., n, to Var X n = Var( 1 ni=1 n X i ) = 1 n σ2 3 Jeżeli X 1, X 2,..., X n sa zmiennymi losowymi z rozk ladu normalnego N(µ, σ), to X jest zmienna losowa o rozk ladzie N(µ, σ/ n)

12 Rozk lad normalny w lasności średniej z próby - interpretacja N(0,1) N(0,0.5) N(0,0.25)

13 W lasności średniej - prawo wielkich liczb Niech X bedzie zmienna losowa taka, że EX = µ i o skończonej wariancji i niech X 1,..., X n bedzie prosta próba losowa z rozk ladu zmiennej X. Wówczas X n E[X ] gdy n.

14 Przyk lad zastosowania prawa wielkich liczb - rzut moneta Nich X 1, X 2,... X n, bed a to wyniki kolejnych rzutów moneta. Z prawa wielkich liczb wiemy, że X E[X ] = p. Stad średnia arytmetyczna z próby jest oszacowaniem (estymatorem) parametru p.

15 Zadanie Wygeneruj n-krotny rzut moneta dla n = 50, 500, Oblicz średnia dla każdego z tych przypadków a nastepnie porównaj wyniki.

16 Uwaga Prawo wielkich liczb nie daje żadnej odpowiedzi na pytanie jak liczna powinna być próba aby przybliżenie nieznanej wartości oczekiwanej by lo dobre.

17 Estymacja przedzia lowa W praktyce zdarza si e, że zamiast szacowania wartości nieznanego parametru (przy pomocy estymatorów) decydujemy si e na podanie przedzia lu, do którego z pewnym prawdopodobieństwem należy szacowany przez nas parametr.

18 Problem Oszacowanie parametru µ na podstawie próby X 1, X 2,..., X n z rozk ladu N (µ, σ). Uwaga Rozpatrujemy dwa przypadki 1 parametr σ jest znany (rzadko spotykany w praktyce); 2 parametr σ nie jest znany (przypadek cz esto spotykany w praktyce).

19 Przypadek nr. 1 Niech X 1, X 2,..., X n b edzie to próba losowa z rozk ladu N(µ, σ) przy czym parametr µ jest nieznany natomiast parametr σ jest znany. Po serii latwych przekszta lceń :) otrzymujemy: P( X a α σ/ n µ X + a α σ/ n) = 1 α. Jest to przedzia l ufności dla parametru µ utworzony na podstawie próby losowej X 1, X 2,... X n na poziomie istotności 1 α Uwaga a α jest to wartość kwantyla (rz edu 1 α/2) z rozk ladu normalnego N(0, 1).

20 Przypadek nr. 2 Niech X 1, X 2,..., X n b edzie to próba losowa z rozk ladu N(µ, σ) przy czym parametr µ oraz parametr σ jest nieznany. Przypadek ten jest nieco trudniejszy i wymaga szczypty wiedzy matematycznej. Podzielimy ten przypadek na dwa tzn. Przypadek nr.2a oraz Przypadek nr. 2b.

21 Przypadek nr. 2a Niech X 1, X 2,..., X n gdzie n 30 b edzie to próba losowa z rozk ladu N(µ, σ) przy czym parametr µ oraz parametr σ jest nieznany.

22 Przypadek 2a szczypta matematyki Niech X 1, X 2,..., X n bedzie próba prosta z rozk ladu normalnego N(µ, σ) o nieznanych µ i σ. Zmienna losowa t = X µ S n 1 n ma rozk lad t Studenta o n 1 stopniach swobody ( S n 1 = 1 n 1 ni=1 (X i X ) 2 ).

23 Przypadek nr. 2a Po serii latwych przekszta lceń :) otrzymujemy: P( X t(α, n 1)S n 1 / n µ X +t(α, n 1)S n 1 / n) = 1 α. Jest to przedzia l ufności dla parametru µ utworzony na podstawie próby losowej X 1, X 2,... X n na poziomie istotności 1 α Uwaga t(α, n 1) oznacza kwantyl rz edu α/2 z rozk ladu studenta z n 1 stopniami swobody.

24 Przypadek nr. 2b Niech X 1, X 2,..., X n b edzie to próba losowa (n- duże ) z rozk ladu N(µ, σ) przy czym parametr µ oraz parametr σ jest nieznany. Uwaga Przypadek ten traktujemy tak jak przypadek nr. 1 z tym, że we wzorze zamiast parametru σ stosujemy: S n = 1 n n (X i X ) 2. i=1

25 Problem Pytanie Co zrobić gdy nasze obserwacje nie pochodza z rozk ladu normalnego? Możliwe odpowiedzi 1 w przypadku ma lej próby możemy napisać list do św. Miko laja (w wiadomej sprawie); 2 w przypadku licznej próby możemy użyć Centralnego Twierdzenia Granicznego.

26 Rozk lad średnich z próby i b l ad standardowy Wniosek z Centralnego Twierdzenia Granicznego Jeśli z populacji o jakimkolwiek rozk ladzie ze średnia µ i odchyleniem standardowym σ pobieramy próby o dużej liczebności N, to rozk lad średnich z tych prób bedzie rozk ladem normalnym o średniej µ i odchyleniu standardowym σ/ N. Zatem dla dowolnych a, b, a b i zmiennej losowej Z o standardowym rozk ladzie normalnym zachodzi P(a X µ σ/ n b) P(a Z b) = Φ(b) Φ(a) dla n daż acych do nieskończoności, gdzie Φ jest funkcja dystrybuanty standardowego rozk ladu normalnego.

27 Uwaga 1 Nie ma uniwersalnej regu ly mówiacej dla jak dużych n przybliżenie prawdopodobieństwa P(a X µ σ/ b) przez n rozk lad normalny jest dobre

28 Zadanie Rzucamy 200 razy nieznana moneta. Podaj przedzia l ufności dla parametru p na poziomie ufności 0.95.

29 Odpowiedź Stosujemy wzór: P( X a α σ/ n p X + a α σ/ n) = 1 α. przy czym za σ wstawiamy X (1 X ).

30 Zadanie W celach antropometrycznych wylosowano n = 400 studentów i dokonano pomiarów, mierzac miedzy innymi d lugość ich stopy. Otrzymano z tej próby x = 26.4 oraz s = 1.7 cm. Znajdź 0.90 przedzia l ufności dla średniej d lugości stopy.

31 Przedzia l ufności dla wariancji W badaniach statystycznych wariancja należy do najcześciej szacowanych parametrów. Gdy obserwacje pochodza z rozk ladu normalnego, wtedy można zbudować przedzia l ufności dla wariancji σ 2.

32 Podstawowe wyjaśnienia Najcześciej używanymi estymatorami wariancji sa statystyki określone wzorami: S n = 1 n (X i X ) n 2. oraz i=1 S n 1 = 1 n (X i X ) n 1 2. i=1

33 Przypadek nr. 1 Niech X 1, X 2,..., X n (n 30) b edzie to próba losowa z rozk ladu N(µ, σ) przy czym parametr µ oraz parametr σ jest nieznany. Po serii latwych przekszta lceń :) otrzymujemy: P( ns2 n c 2 σ 2 ns2 n c 1 ) = 1 α. gdzie c 1 oraz c 2 sa wartościami kwantyli rozk ladu χ 2 z n 1 stopniami swobody. Spe lniajacymi warunki: P(χ 2 < c 1 ) = 1 2 α oraz P(χ 2 c 2 ) = 1 2 α.

34 Zadanie W celu oszacowania dok ladności pewnego przyrzadu pomiarowego dokonano nim 5 niezależnych pomiarów d lugości pewnego odcinka i otrzymano nastepuj ace wyniki: 15.15, 15.20, 15.04, 15.14, Przyjmujac wspó lczynnik ufności 0.98 zbudować przedzia l ufności dla nieznanej wariancji pomiarów tym przyrzadem.