Wyk lad 6 Przyk lady homomorfizmów

Transkrypt

1 Wyk lad 6 Przyk lady hooorfizów Przyk lad 6.1. Dla dowolnych grup (G 1, 1, e 1 ), (G 2, 2, e 2 ) przekszta lcenie f: G 1 G 2 dane wzore f(x) = e 2 dla x G 1 jest hooorfize grup, bo f(a) 2 f(b) = e 2 2 e 2 = e 2 = f(a 1 b) dla dowolnych a, b G 1. Nazyway go hooorfize trywialny. Przyk lad 6.2. Niech G bedzie i g G. Wtedy przekszta lcenie f: G G dane wzore f(x) = g x g 1 dla x G jest autoorfize grupy G, gdyż f(a b) = g (a b) g 1 = (g a g 1 ) (g b g 1 ) = f(a) f(b) dla a, b G oraz przekszta lcenie h : G G dane wzore: h(x) = g 1 x g dla x G jest odwrotne do f. Taki autoorfiz f nazyway autoorfize wewn etrzny. Przyk lad 6.3. Niech H b edzie dzielnikie noralny grupy G i niech π: G G/H b edzie odwzorowanie dany wzore π(x) = xh dla x G. Wówczas dla dowolnych a, b G ay, że π(ab) = (ab)h = (ah) (bh) = π(a) π(b), wiec π jest hooorfize grup. Ponadto G/H = {ah = π(a) : a G}, wiec π jest,,na. Dla a G ay, że a Ker(π) π(a) = H ah = H a H, wiec Ker(π) = H. Taki hooorfiz π nazyway epiorfize naturalny. Przy okazji zauważy, że każdy dzielnik noralny grupy G jest jadre pewnego hooorfizu określonego na tej grupie. Stad wobec Stwierdzenia (vi), dzielniki noralne grupy G sa to dok ladnie jadra hooorfizów określonych na grupie G. Z twierdzenia o izoorfizie wynika stad zate, że każdy obraz hooorficzny grupy G jest izoorficzny z ilorazowa G/H dla pewnego H G. Stwierdzenie 6.4. Niech a bedzie cykliczna nieskończona i niech B bedzie dowolna grupa. Wówczas dla dowolnego b B przekszta lcenie f: a B dane wzore f(a k ) = b k dla wszystkich k Z (1) jest hooorfize grupy a w grup e B i f(a) = b. Ponadto f( a ) = b oraz jeśli o(b) =, to f jest zanurzenie, a jeśli o(b) = n N, to f nie jest zanurzenie i Ker(f) = a n. 1

2 Jeśli g: a B jest hooorfize i b = f(a), to g(a k ) = b k dla każdego k Z i g jest,,na wtedy i tylko wtedy, gdy b jest generatore grupy B. W szczególności oc zbioru wszystkich hooorfizów grupy a w grupe B jest równa ocy zbioru B. Dowód. Na ocy Stwierdzenia 3.7 każdy eleent grupy a ożna jednoznacznie zapisać w postaci a k dla pewnego k Z. Wobec tego f jest dobrze określone. Ponadto f(a) = f(a 1 ) = b 1 = b. Weźy dowolne x, y a. Wtedy x = a k i y = a l dla pewnych k, l Z. Stad f(x y) = f(a k a l ) = f(a k+l ) = b k+l oraz f(x) f(y) = b k b l = b k+l. Zate f(x y) = f(x) f(y) i f jest hooorfize. Ze wzoru (1) od razu wynika, że f( a ) = b. Niech o(b) = i a k Ker(f) dla pewnego k Z. Wtedy b k = e i na ocy Stwierdzenia 3.7, k = 0 oraz a k = e. Zate w ty przypadku Ker(f) = {e} i na ocy Stwierdzenia 5.18 (vii), f jest zanurzenie. Niech teraz o(b) = n N. Niech a k Ker(f) dla pewnego k Z. Wtedy e = f(a k ) = b k, skad na ocy Stwierdzenia 3.5, n k, czyli k = nl dla pewnego l Z i a k = (a n ) l a n. Jeśli zaś x a n, to x = (a n ) s = a ns dla pewnego s Z, wiec f(x) = b ns = (b n ) s = e s = e, czyli x Ker(f). Wobec tego w ty przypadku Ker(f) = a n, skad a n Ker(f). Ale a n e, bo o(a) =, wiec Ker(f) {e} i f nie jest zanurzenie. Ze Stwierdzenia 5.18 (iv) ay, że g(a k ) = [g(a)] k = b k dla każdego k Z. Ponadto wykazaliśy wcześniej, że g( a ) = b, wiec g jest,,na wtedy i tylko wtedy, gdy b jest generatore grupy B. Twierdzenie 6.5. Jedyna z dok ladnościa do izoorfizu nieskończona cykliczna jest grupa Z +. Każde dwie nieskończone grupy cykliczne a i b sa izoorficzne. Ponadto przekszta lcenia f: a b i g: a b dane wzorai: f(a k ) = b k i g(a k ) = b k dla k Z sa wszystkii różnyi izoorfizai grupy a na grupe b. Dowód. Niech a i b bed a nieskończonyi grupai cyklicznyi. Wtedy na ocy Stwierdzenia 6.4 przekszta lcenie f: a b dane wzore f(a k ) = b k jest zanurzenie i f jest,,na, czyli f jest izoorfize. W szczególności Z + jest jedyna z dok ladnościa do izoorfizu nieskończona cykliczna. Ponadto b 1 = b, wiec g jest też izoorfize, gdyż (b 1 ) k = b k dla dowolnego k Z. May też f(a) = b b 1 = g(a) na ocy Stwierdzenia 3.7, wiec f g. Niech h: a b bedzie izoorfize. Wtedy na ocy Stwierdzenia 6.4 dla c = h(a) jest h( a ) = c oraz h(a k ) = c k dla k Z. Ale h jest,,na, wiec c jest generatore grupy b i na ocy Stwierdzenia 3.7, c = b lub c = b 1, skad h = f lub h = g. Stwierdzenie 6.6. Niech a bedzie cykliczna rzedu n N i niech B bedzie dowolna grupa. Wówczas dla dowolnego b B takiego, że o(b) n przekszta lcenie f: a B dane wzore f(a k ) = b k dla wszystkich k Z (2) jest hooorfize grupy a w grup e B i f(a) = b. Ponadto f( a ) = b oraz jeśli 2

3 o(b) = n, to f jest zanurzenie, a jeśli o(b) n, to f nie jest zanurzenie i Ker(f) = a o(b). Jeśli g: a B jest hooorfize i b = g(a), to g(a k ) = b k dla każdego k Z, o(b) n i g jest,,na wtedy i tylko wtedy, gdy b jest generatore grupy B. Dowód. Z Uwagi 3.4 ay, że o(a) = n, wiec a = {e, a, a 2,..., a n 1 } na ocy Stwierdzenia Niech b B bedzie takie, że o(b) n. Wtedy dla dowolnych k, l Z takich, że a k = a l jest a k l = e, wiec na ocy Stwierdzenia 3.5, n k l, skad o(b) k l. Zate e = b k l, skad b k = b l, czyli f(a k ) = f(b l ). Wobec tego f jest dobrze określone. Ponadto f(a) = f(a 1 ) = b 1 = b. Weźy dowolne x, y a. Wtedy x = a k i y = a l dla pewnych k, l Z. Stad f(x y) = f(a k al ) = f(a k+l ) = b k+l oraz f(x) f(y) = b k bl = b k+l. Zate f(x y) = f(x) f(y) i f jest hooorfize. Ze wzoru (2) od razu wynika, że f( a ) = b. Niech o(b) = n i a k Ker(f) dla pewnego k Z. Wtedy b k = e i na ocy Stwierdzenia 3.5, n k, skad a k = e. Zate w ty przypadku Ker(f) = {e} i na ocy Stwierdzenia 5.18 (vii), f jest zanurzenie. Niech teraz o(b) n. Wtedy o(b) < n. Niech a k Ker(f) dla pewnego k Z. Wtedy e = f(a k ) = b k, skad na ocy Stwierdzenia 3.5, o(b) k, czyli k = o(b)l dla pewnego l Z i a k = (a o(b) ) l a o(b). Jeśli zaś x a o(b), to x = (a o(b) ) s = a o(b)s dla pewnego s Z, wiec f(x) = b o(b)s = (b o(b) ) s = e s = e, czyli x Ker(f). Wobec tego w ty przypadku Ker(f) = a o(b), skad a o(b) Ker(f). Ale a o(b) e, bo o(b) < n, wiec Ker(f) {e} i f nie jest zanurzenie. Ze Stwierdzenia 5.18 ay, że g(a k ) = [g(a)] k = b k dla każdego k Z i o(b) n. Ponadto wykazaliśy wcześniej, że g( a ) = b, wiec g jest,,na wtedy i tylko wtedy, gdy b jest generatore grupy B. Twierdzenie 6.7. Niech n N. Jedyna z dok ladnościa do izoorfizu cykliczna rzedu n jest grupa Z + n. Każde dwie grupy cykliczne a i b rzedu n sa izoorficzne. Ponadto przekszta lcenia f s : a b dane wzorai: f s (a k ) = b sk dla k Z oraz s {1, 2,..., n} takich, że (s, n) = 1 sa wszystkii różnyi izoorfizai grupy a na grupe b. W szczególności istnieje dok ladnie ϕ(n) różnych izoorfizów grupy a na grupe b. Dowód. Niech a i b bed a grupai cyklicznyi rzedu n i niech s {1, 2,..., n} bedzie takie, że (s, n) = 1. Wtedy na ocy Wniosku 3.11, b s jest generatore grupy b, wiec o(b s ) = n. Zate ze Stwierdzenia 6.6 przekszta lcenie f s : a b dane wzore f s (a k ) = b sk dla k Z jest zanurzenie i f s jest,,na, czyli f s jest izoorfize. W szczególności Z + n jest jedyna z dok ladnościa do izoorfizu cykliczna rzedu n. Niech s, r {1, 2,..., n} i (s, n) = (r, n) = 1 oraz f s = f r. Wtedy f s (a) = f r (a), skad b s = b r i na ocy Stwierdzenia 2.16, s = r. Niech h: a b bedzie izoorfize. Wtedy na ocy Stwierdzenia 6.6 dla c = h(a) jest h( a ) = c oraz h(a k ) = c k dla k Z. Ale h jest,,na, wiec c jest generatore grupy b i na ocy Wniosku 3.11, c = b s dla pewnego s {1, 2,..., n} takiego, że (s, n) = 1. Zate h(a k ) = (b s ) k = b sk dla k Z. Wobec tego h = f s. 3

4 Stwierdzenie 6.8. Niech, n N. Istnieje dok ladnie (n, ) wszystkich hooorfizów grupy cyklicznej a rzedu n w grupe cykliczna b rzedu i sa one postaci: Ponadto Ker(f j ) = f j (a k ) = b j (n,) k dla k Z oraz j = 0, 1,..., (n, ) 1. (3) a (n,) (j,(n,)) dla j = 0, 1,..., (n, ) 1. Dowód. Oznaczy A = a i B = b. Wówczas na ocy Stwierdzenia 6.6 każdy hooorfiz f: A B jest jednoznacznie wyznaczony przez eleent c = f(a), przy czy f(a k ) = c k dla k Z i o(c) n. Ponadto z twierdzenia Lagrange a o(c), wiec z teorii liczb ay, że o(c) (n, ). Z Uwagi 3.16 w grupie B istnieje dok ladnie jedna podgrupa C rzedu (n, ). Dalej, z Uwagi 3.4, o(x) = x dla każdego x B. Ponadto z Twierdzenia 3.9, o (b (n,) ) = (n, ), wi ec C = b (n,). Ale o(c) C i w C istnieje dok ladnie jedna podgrupa rzedu o(c), wiec c C. W ten sposób wykazaliśy, że jeśli f: A B jest hooorfize, to f(a) b (n,). Na odwrót, jeśli c b (n,), to o(c) (n, ), wiec ze Stwierdzenia 6.6 przekszta lcenie f: A B dane wzore f(a k ) = c k dla k Z jest hooorfize i f(a) = c. Wynika stad, że istnieje dok ladnie (n, ) wszystkich hooorfizów grupy A w grupe B i wszystkie one sa postaci f j (a k ) = b j (n,) k dla k Z oraz j = 0, 1,..., (n, ) 1. Ponadto ze Stwierdzenia 6.6, Ker(f j ) = a l j, gdzie l j = o(b j (n,) ). Ale na ocy Twierdzenia 3.9, o(b j (n,) ) = (n,), wiec (j,(n,)) l j = (n,), sk ad (j,(n,)) Ker(f j ) = a (n,) (j,(n,)). Przyk lad 6.9. Wyznaczyy wszystkie hooorfizy grupy A = a cyklicznej rzedu 124 w grupe cykliczna B = b rzedu 168. Wypiszey też jadro każdego z tych hooorfizów. Najpierw stosujac algoryt Euklidesa obliczay (124, 168) = (124, 44) = (44, 36) = (36, 8) = (8, 4) = 4. Nastepnie obliczay = 168 = 42. Ze Stwierdzenia 6.8 sa (n,) 4 dok ladnie 4 takie hooorfizy: f 0 (a k ) = e dla każdego k Z i Ker(f 0 ) = A; f 1 (a k ) = b 42k dla każdego k Z i Ker(f 1 ) = a 4 (1,4) = a 4 = {e, a 4, a 8,..., a 120 }, f 2 (a k ) = b 84k dla każdego k Z i Ker(f 2 ) = a 4 (2,4) = a 2 = {e, a 2, a 4,..., a 122 }, f 3 (a k ) = b 126k dla każdego k Z i Ker(f 3 ) = a 4 (3,4) = a 4 = {e, a 4, a 8,..., a 120 }. Twierdzenie Z dok ladnościa do izoorfizu istnieja dok ladnie dwie grupy rzedu 4: grupa czwórkowa Kleina K i grupa cykliczna Z + 4. Dowód. Niech G bedzie rzedu 4. Jeśli G posiada eleent rzedu 4, to G jest cykliczna i z Twierdzenia 6.7, G = Z + 4. W przeciwny przypadku ze Stwierdzenia 2.19, G = {e, x, y, z} dla pewnych x, y, z G takich, że xy = yx = z, o(x) = o(y) = o(z) = 2. Wobec tego tabelka grupy G a postać: 4

5 e x y z e e x y z x x e z y y y z e x z z y z e Rozważy bijekcje f: K G taka, że f(e) = e, f(s a ) = x, f(s b ) = y i f(s O ) = z. Wtedy tabelka grupy K przejdzie na tabelke grupy G, wiec f jest izoorfize, czyli G = K. Ponadto grupa K nie jest cykliczna, a wiec K nie jest izoorficzna z Z + 4. Przyk lad Ze Stwierdzenia 6.7 ay, że dla n N, f: Z + Z + n dane wzore f(k) = k 1 dla k Z jest hooorfize grupy Z + na grupe Z + n oraz Ker(f) = n. Zate z twierdzenia o izoorfizie ay Z + n = Z + / n. Twierdzenie Niech f: G A bedzie hooorfize grupy skończonej G w grupe A. Wówczas f(g) dzieli G. Jeżeli dodatkowo A jest skończona, to f(g) dzieli ( G, A ). Dowód. Z twierdzenia o izoorfizie ay, że f(g) = G/Ker(f), skad na ocy twierdzenia Lagrange a f(g) = G/Ker(f) = G, a wi ec Ker(f) f(g) G. Jeżeli dodatkowo grupa A jest skończona, to z twierdzenia Lagrange a i ze Stwierdzenia 5.18 (viii), f(g) dzieli A, wiec z eleentarnej teorii liczb f(g) dzieli ( G, A ). Wniosek Jeśli grupy A i B sa skończone i aja wzglednie pierwsze rzedy, to jedyny hooorfize f: A B jest hooorfiz trywialny. Dowód. Ponieważ ( A, B ) = 1, wiec z Twierdzenia 6.12 ay, że f(a) = 1. Zate f(a) = {e}, czyli f(a) = e dla każdego a A, a wiec f jest hooorfize trywialny. Przyk lad Pokażey, że nie istnieje nietrywialny hooorfiz grupy D 3 w grupe Z W ty celu za lóży, że istnieje nietrywialny hooorfiz f: D 3 Z Wtedy f(d 3 ) > 1 oraz z Twierdzenia 6.12, f(d 3 ) (6, 15) = 3, wiec f(d 3 ) = 3 oraz z twierdzenia o izoorfizie i z twierdzenia Lagrange a Ker(f) = 2. Ale Ker(f) D 3 i grupa D 3 nie posiada dzielnika noralnego rzedu 2, wiec ay sprzeczność. Przyk lad Pokażey, że jeśli niepuste zbiory A i B sa równoliczne, to grupy syetryczne S(A) i S(B) sa izoorficzne. Rzeczywiście, niech f: A B bedzie bijekcja. Określay F : S(A) S(B) wzore F (φ) = f φ f 1 dla φ S(A). Wtedy ze Wstepu do ateatyki ay, że F (φ) jest bijekcja jako z lożenie bijekcji, czyli F (φ) S(B) dla φ S(A). Ponadto dla dowolnych φ 1, φ 2 S(A) ay 5

6 F (φ 1 φ 2 ) = f (φ 1 φ 2 ) f 1 = = (f φ 1 f 1 ) (f φ 2 f 1 ) = F (φ 1 ) F (φ 2 ), wi ec F jest hooorfize. Ponadto G: S(B) S(A) dane wzore G(ψ) = f 1 ψ f dla ψ S(B) jest przekszta lcenie odwrotny do F. Zate F jest izoorfize. Twierdzenie 6.16 (Cayley a). Każda grupa G zanurza sie w grupe syetryczna S(G). Dowód. Niech dla g G: l g (x) = gx dla x G. Wtedy, jak wiey l g jest bijekcja zbioru G na siebie, wiec l g S(G). Niech F (g) = l g dla g G. Wtedy dla g, h, x G ay, że (F (gh))(x) = l gh (x) = (gh)x = g(hx) = gl h (x) = l g (l h (x)) = (l g l h )(x) = (F (g) F (h))(x), skad F (gh) = F (g) F (h) i F jest hooorfize. Jeżeli g Ker(F ), to l g (x) = x dla x G, czyli gx = x dla x G. Zate g = e. Stad ze Stwierdzenia 5.18, F jest zanurzenie. Z Twierdzenia Cayley a i z Przyk ladu 6.15 wynika od razu nastepuj acy Wniosek Każda grupa skończona rz edu n zanurza si e w grup e perutacji S n zbioru n-eleentowego {1, 2,..., n}. Przyk lad Poday ilustracje zastosowania dowodu twierdzenia Cayley a do wyznaczenia zanurzenia grupy Kleina w grupe S 4. Z tabelki grupy Kleina odczytujey na podstawie kolejnych jej kolun postacie lewostronnych nożeń l g dla g K: ( ) ( ) ( ) e Sa S e b S O e Sa S, S a b S O e Sa S, S b b S O, e S a S b S O S a e S O S b S b S O e S a ( ) e Sa S S O b S O. Nastepnie S O S b S a e wykorzystujey bijekcje zbioru K na zbiór {1, 2, 3, 4}: e 1, S a 2, S b 3, S O 4 i na ocy Przyk ladu 6.15 oraz tego, że z lożenie zanurzeń jest zanurzenie, otrzyujey nastepuj ace zanurzenie grupy K w grupe S ( 4 : ) ( ) e, S a = (1, 2) (3, 4), ( ) ( ) S b = (1, 3) (2, 4), S O = (1, 4) (3, 4) W szczególności ay stad, że V = {e, (1, 2) (3, 4), (1, 3) (2, 4), (1, 4) (2, 3)} jest pod grupy S 4 i V = K. Twierdzenie Wszystkii z dok ladnościa do izoorfizu grupai rzedu 6 sa: Z + 6 i D 3. Dowód. Grupy Z + 6 i D 3 nie sa izoorficzne, bo pierwsza z nich jest abelowa, a druga nie jest abelowa. Niech G bedzie rzedu 6. Z Zagadki 5 z Wyk ladu 3 istnieje w G eleent a rzedu 2. Jeśli w G nie a eleentu rzedu 3, to G nie oże być cykliczna, gdyż w grupie 6

7 cyklicznej rzedu 6 o generatorze u eleent u 2 a rzad 3. Zate każdy eleent zbioru G \ {e} a rzad 2 i x 2 = e dla każdego x G. Zate ze Stwierdzenia 2.18 grupa G jest abelowa. Istnieje zate v G \ {e, a} i wtedy {e, a, v, a v} jest pod rzedu 4 w grupie G, bo a v = v a, gdyż grupa G jest abelowa. Ale 4 6, wiec ay sprzeczność z twierdzenie Lagrange a. Zate w grupie G istnieje eleent b rzedu 3. Za lóży, że a b = b a. Wtedy ze Stwierdzenia 3.6, o(a b) = 6, wiec G = a b i na ocy Twierdzenia 6.7, G = Z + 6. Teraz za lóży, że a b b a. Ponieważ o(b) = 3, wiec z Uwagi 3.4, H = b jest pod rzedu 3 grupy G i G = 6, wiec (G : H) = 2, skad na ocy Stwierdzenia 4.14, H G. Dalej, ze Stwierdzenia 2.16, H = {e, b, b 2 }. Ale a 1 = a, wiec a b a b oraz a b a b i a b a e, wiec a b a = b 2, skad b a = a b 2 i b 2 a = a b. Stad wynika, że eleenty: e, a, b, b 2, a b, a b 2, sa parai różne, a ponieważ G = 6, wiec G = {e, a, a b, a b 2, b, b 2 }. Ponadto z naszych rozważań wynika, że tabelka dzia lania w grupie G wyglada nastepuj aco: e a a b a b 2 b b 2 e e a a b a b 2 b b 2 a a e b b 2 a b a b 2 a b a b b 2 e b a b 2 a a b 2 a b 2 b b 2 e a a b b b a b 2 a a b b 2 e b 2 b 2 a b a b 2 a e b Niech f: D 3 G bedzie bijekcja taka, że f(e) = e, f(s a ) = a, f(s b ) = a b, f(s c ) = a b 2, f(o 1 ) = b, f(o 2 ) = b 2. Wtedy tabelka grupy D 3 przejdzie na tabelke grupy G, wiec na ocy Uwagi 5.20, f jest izoorfize, czyli G = D 3. Przyk lad Udowodniy, że dla dowolnego cia la K istnieje epiorfiz f: GL n (K) K. Niech f(a) = det(a) dla A GL n (K). Z algebry liniowej wynika, że f jest odwzorowanie w zbiór K. Natoiast z twierdzenia Cauchy ego wynika, że f jest hooorfize grup. Dla dowolnego a K niech X a oznacza acierz kwadratowa stopnia n, która jest diagonalna i na g lównej przekatnej a eleenty a, 1,..., 1. Wtedy det(x a ) = a = a, wiec a = f(x a ). Zate funkcja f jest na i f jest epiorfize. Zauważy jeszcze, że Ker(f) = SL n (K). Zate z twierdzenia o izoorfizie ay, że GL n (K)/SL n (K) = K. Zagadka 1. Udowodnij, że grupy D 4 i Q 8 nie sa izoorficzne. Zagadka 2. Udowodnij, że UT 3 (Z 2 ) = D 4. Zagadka 3. Udowodnij, że zbiór Aut(G) wszystkich autoorfizów grupy G tworzy 7

8 grupe ze wzgledu na sk ladanie przekszta lceń. Uzasadnij też, że zbiór Inn(G) wszystkich autoorfizów wewnetrznych grupy G jest pod grupy Aut(G). Zagadka 4. Udowodnij, że grupa D 4 zanurza si e w grup e S 4. Zagadka 5. Niech a i b bed a różnyi eleentai rzedu 2 w grupie G, przy czy a b = b a. Uzasadnij, że istnieje dok ladnie jeden hooorfiz grup f: Q 8 G taki, że f(i) = a, f(k) = b i podaj obrazy pozosta lych eleentów grupy Q 8. Zagadka 6. Niech X bedzie niepusty zbiore generatorów grupy G i niech f, g bed a hooorfizai określonyi na grupie G w grupe A takii, że f(x) = g(x) dla każdego x X. Udowodnij, że wówczas f = g. Zagadka 7. Wyznacz wszystkie hooorfizy grupy Q + w grup e Q. 8