Wykład 6. F m 1 m 2 R T. a = m/s 2

Transkrypt

1 . ąkol-notatki do Wykładu z izyki Wykład 6 6. Ciążenie powszechne (gawitacja) 6. Pawo powszechnego ciążenia Newton spadanie ciał. Skoo istnieje siła pzyciągania poiędzy dowolny ciałe i ieią, to usi istnieć siła iędzy każdyi dwoa asai i. Skoo siła jest popocjonalna do asy ciała to usi być popocjonalna do każdej z as i oddzielnie czyli: Newton zastanawiał się ównież, czy siła działająca na ciała będzie alała waz ze wzoste odległości. Doszedł do wniosku, że gdyby ciało znalazło się w odległości takiej jak siężyc to będzie ono iało takie sao pzyspieszenie jak siężyc bowie natua siły gawitacyjnej poiędzy ieią i siężyce jest taka saa jak poiędzy ieią i każdy ciałe. Pzykład Obliczy jakie jest pzyspieszenie siężyca i jaki jest stosunek pzyspieszenia siężyca do pzyspieszenia gawitacyjnego pzy powiezchni iei? astosujey ównanie na pzyspieszenie dośodkowe (wykład - uch jednostajny po okęgu). Wówczas: 4π a v ω gdzie jest odległością od iei do siężyca. a odległość wynosi k, a okes obiegu siężyca 7. dnia. Otzyujey więc a /s W pobliżu powiezchni iei pzyspieszenie wynosi 9.8 /s. Stąd stosunek pzyspieszeń wynosi: a/g /590 (/60) W ganicach błędu a/g /. Newton wykonał takie obliczenia i wyciągnął wniosek, że siła pzyciągania iędzy dwoa asai aleje odwotnie popocjonalnie do kwadatu odległości iędzy nii (odległość iędzy śodkai as). Sfoułował więc pawo powszechnego ciążenia ~ Stałą popocjonalności oznacza się G, więc 6-

2 . ąkol-notatki do Wykładu z izyki G (6.) Newton oszacował watość stałej G zakładając śednią gęstość iei ρ 5 0 kg/ (poównać to z gęstością piewiastków z układu okesowego np. ρ Si.8 0 kg/, ρ e kg/ ). Punkte wyjścia jest ównanie: G Jeżeli weźiey to otzyay: G godnie z II zasadą Newtona a, gdzie a g. Stąd G g więc g G Wiey, że ρv więc G g ρ 4 π g 4πρ Uwzględniając otzyay G N /kg co jest watością tylko o 0% większą niż ogólnie pzyjęta watość N /kg. Poównując pzyspieszenie gawitacyjne na obicie siężyca i na powiezchni iei, Newton zakładał, że ieia zachowuje się tak jakby jej cała asa była skupiona w śodku. gadywał, że tak a być ale dowód ateatyczny pzepowadził dopieo 0 lat później (wtedy też sfoułował achunek całkowy). ównanie (6.) nazywa się pawe powszechnego ciążenia, ponieważ dokładnie to sao pawo stosuje się do wszystkich sił gawitacyjnych. o sao pawo wyjaśnia spadanie ciał na ieię, tłuaczy uch planet, pozwala obliczyć ich asy i okesy obiegu. Pzykład Jaki był okes obiegu siężyca pzez oduł statku Apollo? a 6-

3 . ąkol-notatki do Wykładu z izyki G gdzie jest asą siężyca, a poienie obity po jakiej kąży oduł o asie. Ponieważ pzyspieszenie 4π a więc 4π G 4π G π G Podstawiając watości liczbowe: poień siężyca 740 k, asę kg i G N /kg, otzyay s czyli 08 inut. 6. Doświadczenie Cavendisha Newton obliczył watość stałej G na podstawie pzyjętego założenia o śedniej watości gęstości iei. Gdyby ieia iała tak jak gwiazdy jądo o supe wielkiej gęstości to wynik uzyskany pzez Newtona byłby obaczony duży błęde. Czy ożna wyznaczyć stałą G w laboatoiu niezależnie od asy iei i ty say uniknąć błędu związanego z szacowanie gęstości iei? W ty celu tzeba ziezyć siłę oddziaływania dwóch as i uieszczonych w odległości x (ysunek). x Wówczas siła czyli G /x x G 6-

4 . ąkol-notatki do Wykładu z izyki auważy, że dla as każda po kg oddalonych od siebie o 0 c siła a watość N tj. 0 9 azy niej niż cięża kg i jest za ała by ją wykyć (dokładnie) zwykłyi etodai. Poble ten ozwiązał Heny Cavendish w 797. Wykozystał on fakt, że siła potzebna do skęcenia długiego, cienkiego włókna kwacowego o kilka stopni jest badzo ała. Cavendish najpiew wykalibował włókna, a następnie zawiesił na nich pęt z dwiea ałyi kulkai ołowianyi na końcach (ysunek a). Następnie w pobliżu każdej z kulek uieścił większą kulę ołowianą i ziezył pecyzyjnie kąt o jaki obócił się pęt (ysunek b). Poia wykonane etodą Cavendisha dają watość G N /kg. a) b) α 6.. Ważenie iei ając już godną zaufania watość G, Cavendish wyznaczył z ównania: g G Wynik poiau jest ównie dokładny jak wyznaczenia stałej G. Cavendish wyznaczył też asę Słońca, Jowisza i innych planet, któych satelity zostały zaobsewowane. Np. na ysunku poniżej niech będzie asą Słońca, a asą planety kążącej wokół Słońca np. iei. 6-4

5 . ąkol-notatki do Wykładu z izyki Wtedy G/ Ponieważ pzyspieszenie a 4π / to z ównania a otzyujey czyli G 4π 4π G Jeżeli jest odległością ieia - Słońce, ok, to jest asą Słońca. Podobne obliczenia ożna pzepowadzić dla innych planet. 6. Pawa eplea uchu planet ani Newton zapostulował pawo powszechnego ciążenia, Johannes eple stwiedził, że uch planet stosuje się do tzech postych paw. Pawa eplea wzocniły hipotezę openika. Paca eplea (609-69) była wielki odkycie i akte odwagi zwłaszcza po ty jak w 600 oku spalono na stosie Giodana Buno zwolennika systeu heliocentycznego. Pzyponijy, że nawet Galileusz został zuszony do publicznego odwołania swoich poglądów (6 ) io, że papież był jego pzyjaciele. Dogate wtedy był pogląd, że planety pouszają się wokół iei po skoplikowanych toach, któe są złożenie pewnej liczby okęgów. Np. do opisania obity asa tzeba było około okęgów óżnej wielkości. eple poszukiwał nieskoplikowanej geoetycznie obity, żeby udowodnić że as i ieia uszą obacać się wokół Słońca. Po latach pacy odkył tzy poste pawa, któe zgadzały się z wynikai poiaowyi pozycji planet z badzo dużą dokładnością. e pawa stosują się też do satelitów okążających jakąś planetę. Piewsze pawo eplea 6-5

6 . ąkol-notatki do Wykładu z izyki ażda planeta kąży po obicie eliptycznej, ze Słońce w jedny z ognisk tej elipsy. Dugie pawo eplea (pawo ównych pól) Linia łącząca Słońce i planetę zakeśla ówne pola w ównych odstępach czasu. zecie pawo eplea Sześciany półosi wielkich obit dowolnych dwóch planet ają się do siebie jak kwadaty ich okesów obiegu. (Półoś wielka jest połową najdłuższej cięciwy elipsy). Dla obit kołowych Newton ozwijając swoją teoię potafił dowieść, że tylko wtedy, gdy siła jest odwotnie popocjonalna do kwadatu odległości, obita dowolnej planety jest elipsą ze Słońce w jedny z ognisk oaz, że. Newton wypowadził pawa eplea z zasad dy- naiki. Pzykładowo wypowadźy III pawo eplea dla planet pouszających się po obitach kołowych. ozystając z otzyanego upzednio wzou na asę Słońca otzyay dla piewszej planety: 4π G a dla dugiej Poównując otzyay 4π G czyli Dugie pawo eplea wynika z zasady zachowania pędu (dowód ożna poinąć). 6.4 Cięża Cięża zazwyczaj definiujey jako siłę ciążenia działającą na ciało. W pobliżu powiezchni iei dla ciała o asie będzie ona ówna g. Na siężycu cięża jest niejszy w poównaniu z ciężae na iei około sześć azy. G G 0.65 Definicja ciężau oże być yląca. Np. astonauta poio, że działa na niego jeszcze siła ciążenia uważa, że jest w stanie nieważkości. izjologiczne odczucie ciężau czyli ile siły tzeba włożyć np. do podniesienia ęki. 6-6

7 . ąkol-notatki do Wykładu z izyki 6.4. Cięża pozony, asa bezwładna i asa gawitacyjna Ważną konsekwencją tego, że siła gawitacyjna działająca na ciało jest popocjonalna do jego asy, jest ożliwość poiau asy za poocą iezenia siły gawitacyjnej. ożna to zobić używając wagi spężynowej albo poównując siły gawitacyjne działające na asę znaną (wzozec) i na asę nieznaną innyi słowy ważąc ciało na wadze. Powstaje pytanie czy w obu etodach iezyy tę saą właściwość. Np. gdy spóbujey pchnąć klocek po idealnie gładkiej pozioej powiezchni to wyaga to pewnego wysiłku, a pzecież ciążenie nie pojawia się tu w ogóle. onieczność pzyłożenia siły jest związana z asą. a asa występuje we wzoze a. Nazyway ją asą bezwładną. W innej sytuacji utzyujey ten klocek uniesiony w góę w stanie spoczynku. Bezwładność nie odgywa tu żadnej oli bo ciało nie pzyspiesza, jest w spoczynku. Ale usiy używać siły o watości ównej pzyciąganiu gawitacyjneu iędzy ciałe i ieią, żeby ciało nie spadło. Odgywa tu olę ta właściwość ciała, któa powoduje jego pzyciąganie pzez inne obiekty takie jak ieia i siła jest tu dana wzoe ' G gdzie ' jest asą gawitacyjną. Czy i ' ciała są sobie ówne? asa bezwładna spadając swobodnie w pobliżu powiezchni iei a pzyspieszenie a, pzy czy ' a G jeżeli inna asa uzyskuje inne pzyspieszenie a to ' a G Dzieląc te ównania pzez siebie otzyay a a ' ' Widziy, że jeżeli wszystkie ciała spadają z ty say pzyspieszenie a a g to stosunek as bezwładnych jest ówny stosunkowi as gawitacyjnych. Jeżeli dla jednej substancji ustaliy, że asa bezwładna jest ówna asie gawitacyjnej to pawdziwe to będzie dla wszystkich substancji. Aktualnie jesteśy w stanie stwiedzić, że a a z dokładnością 0-0. e wyniki sugeują, że asa bezwładna jest ówna asie gawitacyjnej. o stwiedzenie nazywa się zasadą ównoważności. onsekwencją jest to, że nie ożna ozóżnić iędzy pzyspieszenie układu (laboatoiu), a pzyspieszenie gawitacyjny. a zasada jest punkte wyjścia ogólnej teoii względności Einsteina. 6-7

8 . ąkol-notatki do Wykładu z izyki 6.5 Pole gawitacyjne Na pzykładzie sił gawitacyjnych oówiy ważne w fizyce pojęcie pola. Nasze ozważania ozpoczynay od uieszczenia asy w początku układu. W punkcie pzestzeni opisany wektoe znajduje się natoiast asa. Wekto opisuje położenie asy względe asy więc siłę oddziaływania gawitacyjnego iędzy tyi asai (ównanie 6.) ożey zapisać w postaci wektoowej G G (6.) wóćy uwagę, że siłę tę ożey potaktować jako iloczyn asy i wektoa γ() pzy czy γ ( ) G (6.) Jeżeli w punkcie uieścilibyśy inną asę np. ' to ponownie oglibyśy zapisać siłę jako iloczyn asy ' i tego saego wektoa γ() ' ' γ ( ) Widziy, że wekto γ() nie zależy od obiektu na któy działa siła (asy ) ale zależy od źódła siły (asa ) i chaakteyzuje pzestzeń otaczającą źódło (wekto ). Oznacza to, że asa stwaza w punkcie takie waunki, że uieszczona w ni asa odczuje działanie siły. Inaczej ówiąc asie pzypisujey obsza wpływu (działania), czyli pole. wóćy uwagę, że ozdzieliliśy siłę na dwie części. Stwiedzay, że jedna asa wytwaza pole, a następnie to pole działa na dugą asę. aki opis pozwala uniezależnić się od obiektu (asy ) wpowadzanego do pola. pojęcia pola kozysta się nie tylko w związku z gawitacją. Jest ono badzo użyteczne ównież pzy opisie zjawisk elektycznych i agnetycznych. Źódłai i obiektai działania pola elektycznego są ładunki w spoczynku, a pola agnetycznego ładunki w uchu. Właściwości pól wytwazanych pzez ładunki elektyczne oówiy w dalszych ozdziałach. Chociaż pole jest pojęcie abstakcyjny jest badzo użyteczne i znacznie upaszcza opis wielu zjawisk. Na pzykład gdy ay do czynienia z wieloa asai, ożey najpiew obliczyć w punkcie pole pochodzące od tych as, a dopieo pote siłę działającą na asę uieszczoną w ty punkcie. pole sił wiąże się nie tylko pzestzenny ozkład wektoa natężenia pola, ale ównież pzestzenny ozkład enegii. Właśnie zagadnienio dotyczący pacy i enegii są poświecone następne ozdziały Pole gawitacyjne wewnątz kuli ozpatzy teaz pole czaszy kulistej o asie i poieniu. Dla > pole jest ówne G/ tj. tak jakby cała asa była skupiona w śodku kuli (pzykład z satelitą). Jakie jest jednak pole wewnątz czaszy? 6-8

9 . ąkol-notatki do Wykładu z izyki ozważy pzyczynki od dwóch leżących napzeciwko siebie powiezchni A i A w punkcie P wewnątz czaszy (ysunek poniżej). agent A czaszy jest źódłe siły ~ A /( ) ciągnącej w lewo. Powiezchnia A jest źódłe siły ciągnącej w pawo ~ A /( ). A A P ay więc A A ozważań geoetycznych widać, że A A (pola powiezchni stożków ~ do kwadatu wyiaów liniowych) Po podstawieniu do piewszego ównania otzyujey ak więc wkłady wnoszone pzez A i A znoszą się. ożna w ten sposób podzielić całą czaszę i uzyskać siłę wypadkową ówną zeo. ak więc wewnątz czaszy pole gawitacyjne jest ówne zeu. Pole wewnątz czaszy ającej skoupę dowolnej gubości też jest zeo bo ożey podzielić tę skoupę na szeeg cienkich wastw koncentycznych. Na ysunku poniżej pzedstawiono pełną kulę o poieniu i asie. P W punkcie P pole pochodzące od zewnętznej wastwy jest zee. Pole pochodzi więc tylko od kuli o poieniu czyli a G/ lub a GρV/ 6-9

10 . ąkol-notatki do Wykładu z izyki Dla kuli V 4π /. Gęstość ρ 4 więc pole w punkcie P wynosi a G π Widziy, że pole zienia się liniowo z. a g ~ ~/ 6-0