Podstawy mechaniki kwantowej. Elementarne zastosowania mechaniki kwantowej

Transkrypt

1 Podstawy mecaiki kwatowej. Elemetare zastosowaia mecaiki kwatowej a) Rówaie Scrödigera zależe od czasu b) Probabilistycza iterpretacja fukcji falowej c) Zasada ieozaczoości i probabilistyczy carakter przewidywań mecaiki kwatowej d) Rówaie Scrödigera iezależe od czasu, sta stacjoary. e) Waruki akładae a fukcje falową f) Własości cząstki zajdującej się w ieskończoej i skończoej studi potecjału, praktycze realizacje studi g) Efekt tuelowy i jego zastosowaia (opis emisji cząstek α z jadra, skaigowy mikroskop tuelowy) ) Kwatowy oscylator armoiczy

2 Liczby zespoloe Liczba zespoloa z a + ib i 1 a-re(z)- część rzeczywista liczby zespoloej z będąca liczbą rzeczywistą bim(z)- część urojoa liczby zespoloej z będąca liczbą rzeczywistą Liczba sprzężoa do liczby zespoloej z z * a ib Moduł liczy zespoloej z: ( a ib) ( a + ib) a i b a b * z z z + i 1 Użytecza relacja: α e i cosα + i siα

3 Fukcja falowa dla cząstki swobodej (a która klasyczie ie działa siła czyli porusza się oa ze stała prędkością i pędem ) Związek między własościami korpuskularymi cząstki E oraz p a jej własościami falowymi ω, λ, k: p λ p k λ π k E v ω π p-pęd, -liczba falowa,λ-długość fali, k (-stała Placka) λ π E-eergia v- częstość fali ω πv -częstość kołowa Dla opisu własości falowyc takiej cząstki wprowadzamy fukcje falową przyjmującą wartości zespoloe (czyli mającą część rzeczywistą i zespoloą) zależą od współrzędyc przestrzeyc i czasu r r r Ψ Ψ(, t) Re Ψ(, t) + i ImΨ(, t)

4 Załóżmy iż cząstka wykazująca własości falowe porusza się w obszarze stałego potecjału V0 (a cząstkę w ujęciu klasyczym ie działa wówczas żada siła, a jej eergia potecjala jest rówa tożsamościowo zeru). Gdy cząstka ta porusza się w kieruku ustaloym przez zwrot osi OX i ma eergię E to odpowiadająca jej fukcja falowa wyraża się wzorem Ψ Ψ( x, t) Acos Ae i( kx ωt ) A-dowola stała ( kx ωt) + iasi( kx ωt) α e i cosα + i siα Gdy A jest liczba rzeczywistą to część rzeczywista fukcji Ψ rówa opisuje fale płaską armoiczą propagującą wzdłuż osi OX Ψ r Acos ( kx ωt) Rówaie spełiae przez fukcję falową opisującą cząstkę swobodą poruszającą się w kieruku rówoległym do osi Ox Ψ Ψ i (*) t m x Ψ i( kx ωt) Jedym z rozwiązań tego rówaia jest fukcja gdy spełioe jest rówaie k co moża sprawdzić licząc pocode Ψ t iωae i ( kx ωt ) ω m iωψ Ψ x i ika ( kx ωt ) Ψ x i k Ae Ae i k 1 Ae k i( kx ωt ) i( kx ωt ) Ψ

5 Ψ t Ψ x Poieważ p k oraz to relacja ω jest rówoważa relacji p E m iωψ k Ψ Ψ i t i Ψ k m x m E ω λ ( iωψ) ωψ Ψ k m słuszej dla cząstki ierelatywistyczej obdarzoej masą. i 1 Rówaie Ψ i t jest spełioe gdy Ψ m x ω k m (*) ( ) Fukcja Ψ Acos kx ωt ie spełia rówaia (*) lecz tylko rówaie falowe d Ψ 1 d Ψ r r r 0 (V -prędkość fali) wówczas gdy k dx V dt V co prowadzi do iepoprawej relacji między eergią i pędem (słuszej tylko dla fotoów dla któryc Vc, Epc) ω Uzyskaie poprawej relacji miedzy pędem i eergia przy dodatkowym żądaiu by rówaie falowe było liiowe wymaga zapostulowaia go w postaci rówaia, którego rozwiązaiem jest fukcja falowa zespoloa. Liiowość rówaia zapewia iż suma dwóc fukcji będącyc jego rozwiązaiem jest także jego rozwiązaiem, co pozwala a uzyskaie opisu zjawisk iterferecji czy dyfrakcji fal materii.

6 W przypadku rucu w przestrzei trójwymiarowej w potecjale V0 rówaie i i Ψ t Ψ t Ψ m x x m + y Ψ x przyjmuje postać Ψ y Potecjał, w którym porusza się cząstka, rówy jej eergii potecjalej + + z + Ψ z m m Ψ Operator Laplace a W przypadku rucu w obszarze o V 0 w tym w szczególości potecjale zależym od położeia (w którym klasyczie a cząstkę działa siła) ależy rówaie uzupełić o dodatkowy czło Ψ + VΨ Ψ Ψ( r, t) Ψ i t Powyższe rówaie opisujące cząstkę ierelatywistyczą o iezerowej masie zostało sformułowae przez Erwia Scrödigera w 196 roku, przy czym w ogólym przypadku i( kx ωt ) Ψ( x, t) Ae

7 Iterpretacja Bora fukcji falowej * Kwadrat modułu fukcji falowej ρ Ψ Ψ Ψ jest miarą prawdopodobieństwa zalezieia cząstki kwatowej w daym miejscu w daej cwili czasu. Wielkość tą po odpowiedim uormowaiu fukcji falowej określa się jako gęstość prawdopodobieństwa przy czym prawdopodobieństwo zalezieia cząstki w daej cwili t w elemecie objętości dv jest rówe Ψ dv ( widać aalogie do fali elektromagetyczej o amplitudzie atężeia pola elektryczego E 0,w przypadku której prawdopodobieństwo zalezieia fotou w elemecie objętości dv jest proporcjoale do E0dV ) Prawdopodobieństwo zalezieia cząstki w całym obszarze jest rówe 1 (pewość). Wyika z tego waruek ormalizacji fukcji falowej Ψ dv 1 W przestrzei jedowymiarowej + Ψ ( x, t ) dx 1 Fale de Broglie a są falami V Uwaga: prawdopodobieństwa, Zajomość fukcji falowej pozwala poadto a określeie prawdopodobieństwa uzyskaia określoyc wyików w pomiarze różyc wielkości fizyczyc a cząstce zajdującej się w staie kwatowym specyfikowaym przez postać fukcji falowej

8 Wielkość proporcjoalą do gęstości prawdopodobieństwa ρ zalezieia cząstki w określoym pukcie przestrzei dla fali daej wzorem Ψ i Ae ( kx ωt) określa formuła ρ Ψ * A e ( kx ωt ) * i i( kx ω t) * Ψ Ψ Ae A A A cost Gęstość prawdopodobieństwa jest stała w przestrzei i w czasie. Nie posiadamy żadej iformacji o położeiu cząstki. Za to posiadamy pełą iformację o jej pędzie k m i eergii. E p x k Do opisu cząstki o której położeiu coś wiemy trzeba wykorzystywać fukcję falową zwaą paczką falową dla której pęd ie jest ściśle określoy będącą kombiacją fukcji falowyc o różyc wartościac pędu.

9 Zasada ieozaczoości Heiseberga w przestrzei jedowymiarowej Iloczy iepewości pomiaru pędu i pomiaru położeia cząstki ie może być miejszy od połowy stałej Placka dzieloej przez π p x x π Im zamy dokładiej pęd cząstki tym posiadamy miejszą iformacje dotycząca jej położeia. p p 0 Jeżeli zamy dokładie pęd cząstki x k x, to zamy długość odpowiadającej jej zespoloej fali płaskiej armoiczej λ/p x,, której kwadrat modułu jest stały w całej przestrzei. Nie możemy wówczas powiedzieć, gdzie coćby w przybliżeiu zajduje się cząstka. Położeie cząstki jest ieokreśloe. Zasada ieozaczoości wiąże się z korpuskularo-falową aturą materii Re Ψ Dla ustaloego czasu λ x x x y

10 Związek zasady ieozaczoości z falową aturą cząstek Cząstka, której odpowiada długość fali λ, padając a szczelię o szerokości x ma pęd skieroway wzdłuż osi y o wartości p y p/λ, składowa p x 0, po przejściu przez szczelię w wyiku dyfrakcji pojawia się składowa p x. Z klasyczej teorii dyfrakcji wyika iż położeie pierwszego miimum dyfrakcyjego odpowiada kątowi θ mi określoemu rówaiem x si( θ ) mi λ si( ) θ mi λ x x jest miara ieozaczoości x-owej składowej położeia cząstki w momecie przecodzeia cząstki przez szczelię Jeżeli cząstka pojawia się a ekraie w pukcie odpowiadającym kątowi θ > θ mi to musi mieć składową pędu p x > p si( θmi ) si( θmi ) λ x θ Poieważ większość cząstek pojawia się a ekraie w puktac dla któryc to moża przyjąć iż ieozaczoość tej składowej pędu cząstki p x jest co do rzędu wielkości rówa p x x x px Widać iż iloczy ieozaczoości położeia i pędu spełia relacje θ mi >

11 Związek zasady ieozaczoości z pomiarami Nie możemy wyzaczyć jedocześie tej samej składowej położeia i pędu cząstki kwatowej (p. elektrou). Jeśli ccielibyśmy wyzaczyć położeie cząstki to musielibyśmy oświetlić ją, czyli bombardować ją fotoami o eergii υ i pędzie o wartości p υ /c/λ. Powoduje to jedak oddziaływaie cząstki z fotoem prowadzące do zmiay jej pędu, której ie możemy kotrolować. Im częstość użytego światła jest większa czyli długość fali jest miejsza tym dokładiej określamy położeie cząstki, za to tracimy w większym stopiu iformacje wcześiejszą o jej pędzie. Uiemożliwia to dokłade wyzaczeie toru rucu cząstki cząstka prędkość foto

12 Zasada ieozaczoości Heiseberga dla położeia i pędu Nie moża jedocześie wyzaczyć tyc samyc składowyc położeia i pędu cząstki z dowolą dokładością. Iloczyy ieozaczoości (iepewości wyzaczeia) tyc wielkości spełiają zależości x p x y p y z p Zasada ieozaczoości ie akłada ograiczeń a pomiar różyc składowyc wektorów wodzącego i pędu cząstki Zasada ieozaczoości dla eergii i czasu E t π Zasada ta wiąże ze sobą p. ieozaczoość eergii cząstki z czasem trwaia pomiaru tej eergii. Wyika z iej iemożliwość dokładego pomiaru eergii cząstki zajdującej się w staie w którym czas jej przebywaia jest skończoy. z

13 Probabilistyczy carakter przewidywań mecaiki kwatowej Z zasady ieozaczoości wyika iż ie moża określić wszystkic wielkości potrzebyc do determiistyczego wyzaczeia zacowaia się cząstki kwatowej w przyszłości. Mimo iż rówaie Scrödigera pozwala opisać w sposób determiistyczy ewolucje fukcji falowej to ie jest możliwe determiistycze określeie wyików większości pomiarów wielkości fizyczyc przeprowadzoyc a tej cząstce. Wyiki tyc pomiarów zależą od fukcji falowej opisującej cząstkę zawierającą ajwiększy zasób iformacji o staie cząstki jaki możemy posiadać, ale iformacja ta zwykle pozwala wyłączie a określeie prawdopodobieństwa uzyskaia różyc wyików w pomiarze różyc wielkości fizyczyc. Poadto sam pomiar wprowadza pewą ieprzewidywalość co do dalszego zacowaia się cząstki zmieiając w trakcie oddziaływaia cząstki z przyrządem pomiarowym postać opisującej ją fukcji falowej w sposób zależy od uzyskaego wyiku pomiaru. Problem staowi także określeie fukcji falowej w oparciu o wyiki pomiarów.

14 Rówaie Scrödigera zależe od czasu ( r r r Ψ Ψ, t) V V ( r, t) m Ψ + VΨ Ψ i t Rówaie to będące rówaiem różiczkowym cząstkowym określa ewolucje w czasie fukcji falowej wprowadzoej dla opisu cząstki ierelatywistyczej o masie m. Narzucoa oa też waruki a wartości tej fukcja w sąsiedic puktac przestrzei dla ustaloej cwili czasu. Jeżeli występujący w rówaiu Scrödigera potecjał V ie zależy jawie r od czasu, to rozwiązaie rówaia Scrödigera moża V V (r ) r r ( r t r f t ψ poszukiwać w postaci: Ψ, ) ( ) ( ) x + y + z Moża wykorzystując metodę rozdzieleia zmieyc pokazać iż fukcja f(t) ma postać iet gdzie E-eergia cząstki, f ( t) Aexp A-dowola stała Część zależa od zmieyc przestrzeyc fukcji falowej spełia tzw. rówaie Scrödigera iezależe od czasu ψ (r r )

15 Rówaie Scrödigera iezależe od czasu m r r r ψ + ( r ) V ( r ) ψ ( r ) Eψ ( r ) W przestrzei jedowymiarowej d ψ ( x) m dx + V Dodatkowe waruki ałożoe a fukcje falową r ( x) ψ ( x) Eψ ( x) Fukcja opisująca cząstkę kwatową musi być skończoa ( jej część rzeczywista i urojoa przyjmuje wartości, któryc moduł < ), jedozacza i ciągła w całym obszarze. W przypadku gdy potecjał ie zmieia się o wielkość ieskończoą to rówież pocode tej fukcji po zmieyc przestrzeyc muszą być fukcjami ciągłymi, co wyika z powyższego rówaia. Waruki te wprowadzają dodatkowe ograiczeia a postać fukcji falowej i mogą prowadzić do ograiczeia możliwyc wartości eergii cząstki do wartości dyskretyc gdy ruc cząstki jest ograiczoy klasyczie w przestrzei do pewego obszaru.

16 Ogóle rozwiązaie rówaia Scrödigera zależego od czasu gdy potecjał od czasu ie zależy Rozwiązaie ogóle może być liiową kombiacją (superpozycją) rozwiązań zalezioyc poprzedio odpowiadającyc dozwoloym eergiom EE r Ψ (, t) gdzie (r) r ψ m E ω r ψ ( )exp i Et ( iω t) Gdy brak jest ograiczeia a dozwoloe eergie cząstki w ogólym rozwiązaiu suma po liczbie ideksującej rozwiązaia rówaia iezależego od czasu przecodzi w całkę po eergii lub wielkości zależej jedozaczie od eergii. W przypadku stau o ieustaloej eergii opisaego za pomocą sumy lub całki gęstość prawdopodobieństwa zalezieia cząstki w przestrzei zależy od czasu r ψ ( ) exp spełia rówaie Scrödigera iezależe od czasu z eergią E r r r ψ ( r ) + V ( r ) ψ ( r ) E ψ ( r ) r

17 W staie stacjoarym eergia cząstki jest ustaloa EE, a fukcja falowa opisująca cząstkę ma postać Ψ ( r, t) ψ ( r ) exp i (r r ψ ) m Sta stacjoary Et r r r ψ gdzie spełia rówaie iezależe od czasu : ( r ) + V ( r ) ψ ( r ) E ψ ( r ) r W takim staie r * r Et r Et r ρ Ψ(, t) ψ ( )exp i ψ ( )exp i ψ ( ) czyli gęstość prawdopodobieństwa zalezieia cząstki w przestrzei ie zależy od czasu

18 Cząstka kwatowa o eergii E>0 w ieskończoej jedowymiarowej studi potecjału bariera V ψ 0 studia V0 V ψ 0 bariera ψ 0 0 L x d ψ m dx Według klasyczej mecaiki w puktac o x0 i xl a cząstkę działa impulsowa siła w kieruku wętrza studi F-dV/dx. Ruc cząstki zacodzący ze stałą wartością prędkości jest ograiczoy do obszaru 0<x<L, (poza tym obszarem eergia kietycza cząstki byłaby<0, co wyklucza obecość tam cząstki). Eergia cząstki może być dowola. Według mecaiki kwatowej gdy V dla x<0 i dla x>l to fukcja falowa opisującą cząstkę kwatową jest róża od zera rówież tylko dla 0<x<L (ścisły dowód w dalszej części wykładu). Cząstka może zajdować się więc tylko w przedziale 0<x<L, ale jej eergia przyjmuje tylko wartości dyskrete. W celu opisu zacowaia się cząstki trzeba zaleźć fukcje falową spełiającą rówaie Scrödigera i ałożyć a ią wcześiej pozae waruki skończoości, jedozaczości i ciągłości. ( x) + V ( x) ψ ( x) Eψ ( x)

19 Rówaie Scrödigera iezależe od czasu dla przedziału 0 < x < L (obszar studi) gdzie V(x)0 d ψ d ψ me d ψ Eψ + ψ 0 + k ψ 0 m dx dx dx Ogóle rozwiązaie tego rówaia ma postać odpowiadającą sumie zespoloyc fal płaskic biegącyc w prawo i w lewo : ψ ψ ( x) C1 exp( ikx) + C exp( ikx) gdyż d d ( C1 exp( ikx) + C exp( ikx) ) dx ψ k 1 dx Moża je wykorzystując relacje α e i ( C exp( ikx) + C exp( ikx) ) k ψ cosα i siα ( ) ( ) rówież zapisać w postaci ψ C si kx + D cos kx lub ~ ~ gdzie D C + C C i C C C C cos δ D si δ ( ) ( ) ( ) 1 1 C me k -liczba rzeczywista Ψ ( x, t) ψ ( x) exp i α e i cosα + i siα ~ ψ C si kx +δ ( ) Fukcja falowa jest skończoa, jedozacza i ciągła zarówo w obszarze studi jak i poza studią gdzie ψ0. Należy jedak arzucić waruek ciągłości ψ w puktac x0 i xl. Z uwagi a ieskończoy skok potecjału w x0 i xl w tyc puktac ie obowiązuje waruek ciągłości dla pocodej. Et

20 ψ Dla x 0 waruek ciągłości fukcji falowej przyjmuje postać ψ ( x 0) Fukcja falowa dla 0<x<L Dla x L waruek ciągłości ma postać a zatem si kl czyli - liczba całkowita Ostateczie ( kx) D cos( kx) C si + 0 ( ) 0 ψ skąd wyika p. iż D0 ψ ψ C si( kx) kl π ( x) C si ψ ( x L) ( π x) przy czym 1,,3... (liczba całkowita dodatia) 0, gdyż dla 0, fukcja ψ byłaby tożsamościowo rówa zeru, a zatem ie mogła by opisywaćżadej cząstki. Zmiaa zaku prowadzi tylko do zmiay zaku fukcji falowej. Ze względu a to iż ses fizyczy ma tylko kwadrat modułu fukcji falowej fukcje o ujemym opisują te same stay cząstki co fukcje o >0 i rozwiązaia o <0 odrzucamy. L k 0 π L

21 Waruek kl π ozacza iż a długości studi potecjału mieści się całkowita wielokrotość połowy długości fali związaej z opisywaą cząstką gdyż π k λ π λ L π a zatem czyli L λ Waruek aalogiczy jak w przypadku powstaia fali stojącej a struie o długości L umocowaej sztywo a obu jej końcac.

22 Kwatowaie eergii k me k π L E k m E π ml E 1,,3,... Eergia cząstki w studi potecjału jest skwatowaa ( może przyjmować tylko dyskrete wartości) określoe powyższym wzorem Z kwatowaiem eergii mamy do czyieia zawsze wtedy ruc cząstki jest ograiczoy w przestrzei.

23 E Kwatowaie eergii π 1,,... liczba kwatowa ml Najmiejsza wartość eergii cząstki jest większa od zera E E π ml 1 > 0 elektro m e 9,11*10-31 kg; L10-10 m E 1 37eV eutro m 1,67*10-7 kg; L10-15 m E 1 04MeV Piłeczka m100g,l1m, E 1 34*10-49 ev ev1,6*10-19 J Cząstka ie może przyjąć eergii rówej zeru, gdyż ozaczałoby to rówieżże kwadrat pędu jak i sam pęd cząstki jak i jego ieozaczoość byłyby rówe zeru, a więc położeie cząstki musiało by być całkowicie ieokreśloe (a mocy zasady ieozaczoości Heiseberga), co ie ma miejsca w rozpatrywaym układzie. Wartość ajmiejszej eergii jak i odstępy pomiędzy dozwoloymi wartościami eergii maleją przy zwiększaiu się szerokości studi kwatowej i wzroście masy cząstki.

24 ψ ψ Ψ ( π x) ( x) C si dla 0<x<L L 1,,3,... 0 ψ Stałą C moża wyzaczyć z dokładością do stałej o module 1 z waruku ormowaia Normowaie fukcji dla x<0 lub x>l ( x, t) dx ψ ( x) dx ψ ( x) dx 1 L 0 si ψ k ( kx) dx ( 1 cos( kx) ) dx x si( kx) C L 0 si π x dx L 1 L 0 si L π L π L L x dx 1 x 0 L si 4π L x 0 C L ψ L si π L x

25 Fukcja falowa będąca rozwiązaiem rówaia Scrödigera zależego od czasu dla cząstki zajdującej się w jedowymiarowej ieskończoej studi potecjału w staie o ustaloej eergii ma w obszarze studi czyli dla x z zakresu 0<x<L postać ml E π Ψ t ml i x L L t E i x L L t f x t x exp si exp si ) ( ) ( ), ( π π π ψ Poza obszarem studi czyli dla x<0 lub x>l mamy 0 ), ( Ψ t x

26 ρ( x) Gęstość prawdopodobieństwa oscyluje między wartością maksymalą rówą /L a zerem (według mecaiki klasyczej gęstość prawdopodobieństwa powia być stała i rówa 1/L w przedziale [0, L]) L ρ L L ψ π L ( x) si x L L π L * * ( x) Ψ Ψ ψ ψ si x Dla dużyc odstępy miedzy puktami dla któryc gęstość ρ(x) osiąga maksymale i miimale wartości są bardzo iewielkie. Gęstość uśredioa po x jest stała i rówa gęstości określoej dla cząstki klasyczej (przejaw zasady korespodecji) L

27 Cząstka w skończoej jedowymiarowej symetryczej studi potecjału V(x) bariera studia bariera V ( x) V V gdy 0 x < 0 < x < L x > L V 0 L V 0 0 L x Według mecaiki klasyczej cząstka o eergii 0<E<V 0 mogła by się poruszać tylko w obszarze 0<x<L. Według mecaiki kwatowej istieje skończoe prawdopodobieństwo wikięcia cząstki w obszar bariery potecjału o x<0 lub x>l. Według klasyczej mecaiki cząstka o eergii E<V 0 musiała by posiadać w barierac ujemą eergię kietyczą, co wykluczeia możliwość jej tam przebywaia.

28 Rówaie Scrödigera iezależe od czasu dla przedziału x > L lub x<0 (obszar barier potecjału gdzie V(x)V 0 >E ) m d ψ + V 0ψ dx κ m ( V E) 0 Rozwiązaie tego rówaia spełiające waruek iż dla x ± ma postać ( ) ψ ψ 1 Aexp κx ψ ψ B exp( κx) 3 d ψ dx 1 Eψ d ( Aexp( κx) ) dla x<0 dla x>l κ Aexp x dx d ψ m V dx ( E) gdzie -liczba rzeczywista gdyż p. ( κ ) κ ψ 1 (A,B-stałe) ψ ( x) < κ ψ κ ψ κ ψ 0 Fukcja falowa wika w głąb bariery, ale maleje wykładiczo ze wzrostem odległości od studi. Gdy V 0 to κ czyli fukcja falowa w obszarze bariery jest tożsamościowo rówa zeru o ψ 0 d ψ dx 1 d ψ κ ψ 0 dx 1 1 1

29 ψ ( x ) ψ ( x 0) 1 0 L ψ 3 x ( x ) ( L) A ψ C si( kl) + D cos( kl) B exp( κl) dψ dψ dx dx ψ d d dx Ostateczie ( ) x 0 ( x 0) 1 ( ) 3 x L ( x L) dx ( ) ψ ψ 1 Aexp κx ψ ψ C si( kx) + D cos( kx) ψ ψ B exp κx dψ dx 3 ( ) dψ dx k D κa kc dla x<0 dla 0<x<L dla x>l 1 κa exp( κx) k[ C cos( kx) Dsi( kx )] 3 κb exp ( κx ) Poieważ w puktac ieciągłości potecjału x0 i xl zmiaa potecjału jest skończoa to w puktac tyc ciągła musi być zarówo fukcja ψ jak i jej pocoda dψ /dx. Rówaia ciągłości w puktac x0 oraz xl przyjmują postać: dψ dx [ C cos( kl) D si( kl) ] κb exp( κl)

30 A D A D 0 ( kl) + D cos( kl) B exp( κl) C si( kl) + D cos( kl) B exp( κl) 0 C si k κa kc κa kc 0 [ C cos ( kl) Dsi( kl) ] κb exp( κl) k[ C cos( kl) Dsi( kl) ] + κb exp( κl) κ 0 0 si( kl) k k cos( kl) 1 cos( kl) k 0 si( kl) 0 A exp( κl) C 0 D κ exp( κl) B 0 a a a a a a a a a a a a a a a a A C D B a a a a A + a A + a A + a A + a C C C C a a a a D + a D + a D + a D + a B B B B

31 Zalezioe rówaia staowią jedorody układ rówań a współczyiki A,C 1,C,B który moża zapisać w postaci macierzowej 1 0 κ 0 0 si( kl) k k cos( kl) 1 cos( kl) k 0 si( kl) 0 A exp( κl) C 0 D κ exp( κl) B Warukiem istieia jego iezerowego rozwiązaia jest zerowaie się wyzaczika macierzy kwadratowej złożoej ze współczyików występującyc w powyższyc rówaiac co prowadzi do uwikłaego rówaia a dozwoloe dyskrete wartości eergii cząstki, które moża rozwiązać graficzie lub umeryczie ( kl) 0 k κ k + κkctg me k kl π arctg -liczba aturala κ κ 0 m ( V E) Układ rówań (*) dla zalezioyc uprzedio dozwoloyc eergii cząstki pozwala a wyrażeie wartości trzec współczyików poprzez czwarty, którego wartość z dokładością do stałej o module 1 moża określić z waruku ormalizacji fukcji falowej, co pozwala a określeie uormowaej postaci fukcji falowej. 0 (*)

32 ψ ( x) bariera studia bariera Przykładowe fukcje falowe i odpowiadające im gęstości * prawdopodobieństwa ρ x Ψ Ψ dla cząstki w symetryczej studi o skończoej wysokości barier bariera studia bariera * ( ) ψ ψ 0 L / L x

33 Własości cząstki zajdującej się w skończoej symetryczej studi potecjału 1)Istieje skończoe prawdopodobieństwo zalezieia cząstki w obszarze barier poza studią potecjału w którym klasyczie cząstka ie mogła by przebywać gdyż posiadała by ujemą eergię kietyczą.. Gęstość prawdopodobieństwa maleje wykładiczo w miarę oddalaia się od graic studi. Prawdopodobieństwo zalezieia cząstki barierze o określoej wysokości rośie ze wzrostem eergii cząstki ) W obszarze studi gęstość prawdopodobieństwa ie jest opisaa fukcją stalą ( w przeciwieństwie do przewidywań mecaiki klasyczej). 3) Eergia cząstki może przyjmować tylko dyskrete wartości. Miimala eergia jest większa od zera (oba wioski są sprzecze z przewidywaiami mecaiki klasyczej). 4) W studi symetryczej istieje zawsze jede sta podstawowy o ajiższej eergii miejszej od wysokości bariery opisay symetryczą fukcją falową względem puktu xl/. Jego eergia rośie ze wzrostem wysokości barier. W staie tym gęstość prawdopodobieństwa zalezieia cząstki osiąga maksimum w środku studi. 5) Gdy występują w takiej studi stay o wyższyc eergiac to koleje stay są opisae a zmiaę fukcjami atysymetryczymi i symetryczymi względem puktu xl/. W takic staac gęstość prawdopodobieństwa w obszarze studi spada do zera w pewyc puktac, któryc ilość wzrasta ze wzrostem eergii cząstki. Ze wzrostem tej eergii maleje odległość między puktami odpowiadającymi maksimum i miimum tej gęstości (gęstość po uśredieiu w staac, w któryc ta odległość staje się bardzo mała, moża opisać fukcją stałą co jest zgode z przewidywaiami mecaiki klasyczej ) 5) Ze wzrostem szerokości studi maleje ajiższa dozwoloa eergia cząstki w studi jak i odstęp pomiędzy dozwoloymi kolejymi eergiami cząstki w studi.

34 Z kwatowaiem eergii związaej z rucem elektroów w jedym z kieruków możemy mieć do czyieia p. w ciekic warstwac metaliczyc oraz w eterostrukturac półprzewodikowyc utworzoyc z warstw odpowiedio dobrayc różyc półprzewodików. We wszystkic tego układac całkowita eergia układu jest rówa sumie eergii związayc z rucem w 3 prostopadłyc do siebie kierukac. Efektywie w takic układac mamy do czyieia tylko z kwatyzacją eergii związaej z rucem cząstek w kieruku prostopadłym do warstw, który jest ograiczoy do grubości warstwy, podczas gdy w przypadku eergii związaej z rucem w pozostałyc kierukac, który prawie ie jest ograiczoy przestrzeie, odstępy między dozwoloymi poziomami eergetyczymi są pomijalie małe Na skutek kwatyzacji eergii związaej z rucem w kieruku prostopadłym do warstw eergia stau podstawowego (o ajiższej eergii) ulega podwyższeiu w stosuku do eergii odpowiadającej sytuacji gdy ruc cząstki ie jest ograiczoy w przestrzei, atomiast dla staów o eergiac wyższyc od eergii stau podstawowego odstępy miedzy dozwoloymi wartościami całkowitej eergii staja się ieskończeie małe i widmo eergetycze jest quasi-dyskrete, coć kwatowaie eergii związaej z rucem w jedym kieruku wpływa a ilość staów dostępyc dla elektroów o eergiac z określoego przedziału.

35 Rozmiary trójwymiarowyc półprzewodików i metali są a tyle duże iż odległości pomiędzy sąsiedimi poziomami eergetyczymi są a tyle małe iż moża je zaiedbać. Na skutek jedak oddziaływaia elektroów z joami zajmującymi regulare położeie w krysztale pojawiają się pasma eergetycze grupujące stay eergetycze dozwoloe dla elektroów rozdzieloe przez przerwy eergetycze o eergiac z zakresu dla któryc brak jest staów dostępyc dla elektroów. W metalac pasmo grupujące stay o ajwyższyc eergiac jest zapełioe częściowo przez elektroy, ktore mogą przewodzić prąd W przypadku półprzewodików ajistotiejsze z kolei są dwa pasma a)pasmo przewodictwa b)pasmo walecyje W T0K wszystkie stay z pasma walecyjego są zajęte przez elektroy a stay z pasma przewodictwa są ieobsadzoe. W wyższyc temperaturac pod wpływem wzburzeń termiczyc część elektroów z pasma walecyjego przecodzi do pustyc staów w paśmie przewodictwa pozostawiając w paśmie walecyjym puste stay, o któryc mówimy ze są obsadzoe przez dziury

36 Heterostruktury są utworzoe z warstw wykoayc z różyc półprzewodików o różej przerwie eergetyczej E GaAs Do pasma przewodictwa Niższe położeie da pasma przewodictwa w GaAs iż AlGaAs powoduje to iż w GaAs pojawiają się dyskrete poziomy dla eergii elektroów związaej z ic rucem w kieruku prostopadłym do iterfejsów. Kwatowaie to występuje dla eergii miejszyc od da pasma przewodictwa w AlGaAs (warstwy GaAs stają się studiami kwatowymi ) Heterostruktury moża wytwarzać p. przy pomocy metody MBE (epitaksji z wiązek molekularyc) lub MOCVD (osadzaie warstw a powierzci materiałów poprzez stosowaie związków metaloorgaiczyc w formie gazowej).

37 Epitaksja - MBE Reaktor MBE Rozgrzaą płytkę podłoża aświetla się w wysokiej próżi (10-8 Pa) wiązkami molekularymi, utworzoymi z par cząsteczek lub atomów pocodzącyc ze źródeł (komórek efuzyjyc), gdzie wytwarza się je przy pomocy grzaia. Istieje możliwość regulowaia rodzaju i atężeia użytyc wiązek co stwarza możliwość regulowaia składu i grubości powstałyc warstw. Podłoże ma temperaturę 500, C żeby umożliwić migracje termicza atomów. Zbudowae jest z kryształu o stałej sieci zbliżoej do stałej sieci odowaej warstwy krystaliczej. Reaktory MBE mają wbudowae spektroskopy retgeowskie czy też dyfraktometry elektroowe, dzięki którym moża a bieżąco kotrolować wzrost warstwy. Wadą procesu jest długi czas wzrostu warstwy: 0.5-1µm/. ale za to istieje możliwość otrzymywaia eterostruktur o grubościac warstw określoyc kryształów rzędu pojedyczyc warstw atomowyc oraz sterowaia domieszkowaiem eterostruktur.

38 Kropka kwatowa Z pełą efektywą kwatyzacją eergii mamy do czyieia w układzie w którym ruc cząstek jest ograiczoy we wszystkic kierukac. Układ taki azywamy kropką kwatową zwaą czasem sztuczym atomem. Kropki te możemy wytwarzać p. a) przy pomocy metod litograficzyc, którym poddaje się strukturę warstwową b) wywołaia dyfuzji atomów w strukturac warstwowyc z barier potecjału do odpowiedic obszarów studi w celu ograiczeia rozmiarów studi c) elektrostatyczie przy pomocy dodatkowyc elektrod wytwarzającyc pole elektrycze ograiczające ruc cząstek aładowayc d) wytrącaia półprzewodikowyc kryształów koloidalyc o wymiarac aometryczyc z roztworu odpowiediego materiału w cieczy e) wymuszając wzrost kryształu w postaci wysp. W przypadku kropek samoorgaizującyc się wzrost taki astępuje podczas próby tworzeia przy pomocy metody MBE warstwy krystaliczej a podłożu krystaliczym różiącym się stałą sieci (odległością pomiędzy sąsiedimi atomami) od odowaego kryształu.

39 Potecjale wybrae zastosowaia kropek kwatowyc a) lasery i diody świecące emitujące promieiowaie elektromagetycze (światło) o długości fali zależej od rozmiaru kropki (częstotliwość promieiowaia rośie wraz ze zmiejszaiem rozmiarów kropki a skutek wzrostu odległości w skali eergii pomiędzy poziomami eergetyczymi. Emisja promieiowaia pojawia się przy przecodzeiu elektrou miedzy tymi poziomami czemu towarzyszy emisja fotou o eergii rówej różicy eergii tyc poziomów proporcjoalej do częstości promieiowaia ) b) komputery kwatowe CdSe c) markery służące do określaia rucu pewyc obiektów w orgaizmac żywyc oraz ośiki substacji dostarczayc do wybrayc komórek orgaizmów żywyc d) trazystory jedoelektroowe

40 Efekt tuelowy Cząstka klasycza ie może przejść przez barierę, która przewyższa jej eergię E<V 0. Prawdopodobieństwo przejścia dla cząstki klasyczej jest rówe zeru Mecaika kwatowa dopuszcza sytuację, że cząstka o eergii miejszej od wysokości bariery eergetyczej wika w głąb bariery i przedostaje się do obszary leżącego a prawo od bariery. Prawdopodobieństwo przejścia cząstki kwatowej przez barierę jest róże od zera i jest określoe przez współczyik trasmisji, który w praktyce jest róży od zera gdy bariera ie jest zbyt gruba i wysoka, a cząstka kwatowa ma iewielką masę

41 Re( Ψ) V 0 0 d x Cząstki o ustaloej eergii poruszające się w lewo lub w prawo w obszarze leżącym a lewo od bariery (x<0) oraz poruszające się w prawo w obszarze a prawo od bariery (x>d) opisują odpowiedio dobrae do powyższyc przypadków zespoloe armoicze fale płaskie. W obszarze bariery o szerokości d i wysokości V 0 cząstkę o eergii E<V 0 opisuje fukcja malejąca w przybliżeiu wykładiczo ze wzrostem x. Gdy wartość tej fukcji jest róża od zera dla xd to łączy się oa płyie z falą płaską w obszarze x>d co gwaratuje możliwość zaistieia efektu tuelowego. To że cząstka może przebywać w staie o eergii E<V 0 moża też rozumieć jako przejaw zasady ieozaczoości Heiseberga dla eergii i czasu gdyż czas przebywaia cząstki w barierze efektywie jest skończoy (czasu tego rzędu ps ie moża określić posługując się do opisu cząstek fal płaskic, jak to będziemy robić a wykładzie). Przyjęty tu opis pozwala a określeie współczyików trasmisji T i odbicia R wyrażającyc się poprzez kwadraty stosuków amplitud fal opisującyc cząstkę padającą A, cząstkę odbitą B i cząstkę, która przetuelowała przez barierę F.

42 Współczyik odbicia określający prawdopodobieństwa odbicia cząstki od bariery potecjału o wysokości V 0 i szerokości d R B A 4κ k cos ( ) κ + k si ( κd ) ( κd ) ( κ k ) + si ( κd ) Współczyik trasmisji określający prawdopodobieństwa przeikięcia cząstkę przez tą barierę potecjału k me T 1 R F A 4κ k cos 4k κ ( ) ( ) κd + κ k si ( κd ) κ m( V0 E) cos( x) 1 [ exp( x) + exp( x) ] si( x) [ exp( x) exp( x) ] Gdy bariera ie jest bardzo iska i wąska to współczyik trasmisji dla cząstki o E<V 0 jest zaczie miejszy od 1 i maleje wykładiczo ze wzrostem grubości bariery 16k κ T exp k + κ 1 ( ) ( κd )

43 Efekt tuelowaia tłumaczy możliwość wydostaia się cząstki α (podwójie zjoizowaego atomu elu) z jądra w trakcie przemiay jądrowej α. Szacuje się iż wysokość bariery potecjału wyikającej z oddziaływaia kolumbowskiego cząstki z jądrem jest dla 38 U ie miejsza iż 8,8 MeV, podczas gdy eergia cząstek α opuszczającyc takie jądro może wyosić tylko 4, MeV. Wyika z tego iż zgodie z klasyczą mecaiką cząstki te ie mogły by opuścić jądra. Mogą oe jedak opuścić jadro a skutek efektu tuelowego. jądro Efekt tuelowy w fizyce jądrowej 4 He + Od eergii emitowayc cząstek bardzo silie zależy prawdopodobieństwa tuelowaia a tym samym emisji cząstki α prowadzącej do rozpadu jadra, determiujące średi czas życia jąder promieiotwórczyc. Efekt tuelowy zmiejsza także eergię iezbędą do zaistieia sytezy jader lekkic pierwiastków iezbędą do pokoaia ic elektrostatyczego odpycaia.

44 Tuelowaie przez barierę - prąd tuelowy E Poziom Fermiego d V 0 T Prawdopodobieństwo tuelowaia 16k κ exp( κd ) m( V ) 0 E κ k + κ ( ) Po przyłożeiu apięcia między dwoma przewodzącymi materiałami rozdzieloymi przez barierę potecjału (warstwę izolatora lub próżię) płyie pomiędzy imi prąd wtedy gdy bariera jest odpowiedio cieka (~0.1-1 m). Główy w wkład do prądu tuelowego woszą elektroy o ajwyższyc dozwoloyc eergiac w elektrodzie źródłowej zajdujące się tuż poiżej poziomu Fermiego w tej elektrodzie. Natężeie prądu tuelowego I jest iezwykle czułe a zmiaę grubości bariery (wzrost grubości o około 0,5 m zmiejsza prąd o czyik rzędu 10 4 zależość wykładicza). Natężeie prądu zależy także ilości staów dostępyc dla elektroów w obu elektrodac o eergiac z zakresu pomiędzy poziomami Fermiego w obu elektrodac.

45 Skaigowy Mikroskop Tuelowy (STM) Dmitri Petrovyk. ttp://ao wiz.tripod. com STM pozwala a pomiar prądu tuelowego pomiędzy badaą powierzcią materiału ie będącego izolatorem i igłą mikroskopu, a przez to określeie położeia atomów w próbce oraz kształtu powierzci dzięki wykorzystaiu omawiayc własości prądu. W celu otrzymaia wysokiej rozdzielczości (rzędu 0,1 m w poziomie i 0,001m w pioie) obrazu igła mikroskopu jest bardzo cieka (może być zakończoa pojedyczym atomem ).

46 STM kształt powierzci ttp://researcer.watso.ibm.com Atomy Fe a Cu ttp://ceesdekk erlab.tudelft.l Naorurka węglowa

47 STM maipulacja atomami Przy zastosowaiu silego (impulsowego) pola elektryczego możliwy jest przeskok atomu z powierzci do igły i odwrotie co pozwala a zastosowaie do przeoszeia atomów. Naolitografia

48 Klasyczy jedowymiarowy oscylator armoiczy masa m V F kx Siła armoicza x d x a dt i jego rozwiązaie gdzie ω x Rówaie rucu: k m x ma ( ω + ) Acos t δ 0 -częstość kołowa drgań d x F m dt kx opisuje drgaia armoicze A-amplituda drgań 1 1 Eergia potecjala V kx mω x mx& 1 1 Całkowita eergia oscylatora E Eki + V + kx mω A cost E Amplitudę drgań A moża uzależić od całkowitej eergii oscylatora A mω Ruc oscylatora jest ograiczoy do x z zakresu A < x < A czyli obszaru w którym 1 E ki 0 V ( x) mω x E Brak ograiczeń a możliwe eergie oscylatora poza tym iż E 0. Oscylator może w szczególości mieć eergie rówą zeru co odpowiada A0 czyli spoczykowi.

49 Jedowymiarowy oscylator armoiczy Oscylatorem azywamy w ogólości układ, dla którego potecjał jest opisay fukcją kwadratową położeia daą wzorem 1 V kx gdzie k stała dodatia Przykłady układów do opisu któryc moża zastosować opis wprowadzoy dla oscylatora : 1) Drgające atomy w cząsteczkac O V(x) x V Potecjał w jakim poruszają się atomy wokół położeń rówowagi RR eq (w którym potecjał przyjmuje wartość miimalą) w cząsteczkac moża, gdy wycyleie atomów z położeia rówowagi xr-r eq jest ieduże, wyrazić przez potecjał oscylatora armoiczego 3 dv 1 d V 1 d V 3 1 d V 1 ( R) V ( Req ) + x + x x... x kx 3 dr R R + dr + 8 dr dr eq R R eq R R moża przyjąć jako 0 0 dąży do 0 eq R R eq d V dr ) złożoe kolektywe drgaia atomów w krysztale moża opisać w postaci superpozycji armoiczyc drgań ormalyc o różyc częstościac drgań 3) drgaia pola elektryczego i magetyczego pola elektromagetyczego R R eq oz. k

50 Kwatowy jedowymiarowy oscylator armoiczy W celu zalezieia dozwoloyc eergii E i odpowiadającyc im fukcji falowyc dla oscylatora o masie m musimy rozwiązać iezależe od czasu rówaie Scrödigera z potecjałem: V 1 1 ( x) kx mω x m ψ + V ( x) ψ x k-stała dodatia, ω -klasycza częstość kołowa drgań ( x) Eψ ( x) m ψ + x 1 mω x ψ ( x) Eψ ( x) Nie da się zapisać ogólego rozwiązaia tego rówaia przy pomocy fukcji elemetaryc, moża je zapisać p. przy wykorzystaiu szeregów lub fukcji specjalyc Oczywiście fukcje będące rozkazaiem tego rówaia muszą mieć poadto tą własość iż ie mogą igdzie osiągać wartości ieskończoyc co sprowadza się w aszym przypadku do waruku iż dla x ± mamy ψ 0 Waruek te może być spełioy tylko dla dyskretyc wartości eergii oscylatora E k m

51 Wyiki rozwiązaia rówaia Scrödiera 1 E ω( + ) Dozwoloe eergie oscylatora 0,1,,.. Ψ Fukcja falowa opisująca oscylator w staie o eergii E ( x, t) ψ ( x) f mω ( t) mω π 1/ 4 1! H mω x exp exp i Podstawowe własości oscylatora wyikające z uzyskaego rozwiązaia rówaia Scrödigera: 1) Najmiejsza eergia oscylatora tzw. eergia drgań zerowyc jest rówa 1 Gdyby oscylator miał eergię rówa zeru, to zalibyśmy E 0 ω dokładie jego pęd (rówy p0) oraz położeie x0, co ie jest możliwe a mocy zasady ieozaczoości. ) Eergia oscylatora może przyjmować tylko dyskrete wartości a odległość w skali eergii kolejyc dozwoloyc poziomów eergetyczyc oscylatora jest stała i rówa E ω mω x gdzie H x H ( ξ ) -wielomia Hermite a, który moża określić ze d H 0 ( ξ ) 1; H1 ( ξ ) ξ wzoru H ( ξ ) ( 1) exp( ξ ) exp( ξ ) p. 3 dξ H ( ξ ) 4ξ E+ 1 H Et ( ξ ) 8ξ 1ξ 3

52 3) W przeciwieństwie do oscylatora klasyczego w przypadku oscylatora kwatowego (podobie jak dla każdej cząstki kwatowej) ie możemy określić zależości położeia cząstki od czasu, a tylko zaleźć gęstość prawdopodobieństwa zalezieia cząstki w przestrzei która w przypadku oscylatora zajdującego się w staie stacjoarym (o ustaloej eergii) ie zależy od czasu x ( x) ρ Ψ ( x, t) ψ ( x) 4) Fukcja falowa wika w obszar o w którym E<V a więc cząstka według mecaiki klasyczej miałaby ujemą eergie kietyczą. Istieje skończoe prawdopodobieństwo zalezieia cząstki poza obszarem klasyczie dostępym. 5) W obszarze klasyczie dostępym fukcja falowa, a więc i gęstość prawdopodobieństwa ρ( x) oscyluje, przy czym liczba oscylacji rośie ze wzrostem x > A

53 x 6) W staie podstawowym o 0 ajwiększe prawdopodobieństwo zalezieia cząstki występuje dla x 0 podczas gdy w modelu klasyczym ajwiększe prawdopodobieństwo zalezieia cząstki występuje dla x A, gdyż w tyc puktac cząstka porusza się ajwoliej. Taką własość wykazuje gęstość prawdopodobieństwa dla oscylatora zajdującego się w staac o wysokiej eergii gdy, kiedy uśredioa po x fukcja gęstości prawdopodobieństwa zalezieia cząstki w przestrzei jest zbliżoa do gęstości określoej w mecaice klasyczej Widać iż pewe własości oscylatora zajdującego się w staie o dużej liczbie kwatowej są zbliżoe do własości oscylatora klasyczego, co jest przejawem zasady korespodecji. Brak obserwacji kwatowaia eergii w przypadku oscylatora klasyczego wiążę się z faktem iż eergia ω jest bardzo mała w stosuku do wartości eergii jakie może zwykle taki oscylator posiadać

54 Przykładowe pytaia opisowe 1) a) Sformułować zasadę ieozaczoości Heiseberga dla położeia i pędu oraz eergii i czasu. Podać przykłady wskazujące a zgodość opisu obiektów lub zjawisk kwatowyc z zasadą Heiseberga b) Rozważyć cząstkę swobodą o masie m i eergii E opisaą poiższą fukcją falową E me Ψ ( x, t ) A exp ( ikx iωt) gdzie ω, k Co moża powiedzieć o pędzie tej cząstki? Czemu rówa jest ieozaczoość pomiaru pędu dla tej cząstki? Czy moża wyróżić pukty w przestrzei w któryc występuje podwyższoa gęstość prawdopodobieństwa zalezieia tej cząstki? Jaka musi być ieozaczoość położeia tej cząstki ażeby była spełioa zasada ieozaczoości? ) Sformułować w ogólej postaci rówaie Scrödigera zależe i iezależe od czasu. Wyjaśić zaczeie wszystkic symboli pojawiającyc się w tyc rówaiac. 3) Omówić przewidywae przez mecaikę kwatową podstawowe własości cząstki poruszającej się w obszarze daym potecjałem V V ( x) 0 V0 0 dla dla dla x < 0 0 < x < L x > L (studia kwatowa o skończoej głębokości), jeżeli eergia cząstki jest miejsza od wysokości barier. Które z ic różią się od własości poruszającej się w takim samym potecjale cząstki opisywaej w ramac mecaiki klasyczej? Rozważyć w szczególości co moża powiedzieć a temat eergii aalizowaej cząstki i gęstości prawdopodobieństwa zalezieia jej w różyc obszarac przestrzei. Jak możemy praktyczie wytworzyć studie kwatową? W opisie tematu ie jest wymagae podaie kokretyc wzorów dotyczącyc eergii czy fukcji falowej rozważaej cząstki.

55 4) Na czym polega efekt tuelowy? Jak moża go wyjaśić wykorzystując pojęcie fukcji falowej związaej z cząstką kwatową? Jakie są podstawowe własości zjawiska tuelowego? W szczególości określić jaką w przybliżeiu postać ma w złączac tuelowyc z grubymi barierami zależość współczyika trasmisji od grubości bariery? Jaką własość cząstek α emitowayc w trakcie rozpadu ciężkic jąder moża wyjaśić odwołując się do zjawiska tuelowego? Na czym polega działaie skaigowego mikroskopu tuelowego? Jaka własość zjawiska tuelowego umożliwia osiągięcie dużej rozdzielczości obrazu uzyskaego przy pomocy tego mikroskopu? 5) Kwatowy jedowymiarowy oscylator armoiczyokreślić podstawowe własości cząstki kwatowej poruszającej się potecjale opisującym jedowymiarowy oscylator armoiczy. Wskazać różicę pomiędzy własościami takiej cząstki przewidywaymi przez mecaikę kwatową a własościami takiej samej cząstki przewidywaymi przez mecaikę klasyczą. Zwrócić szczególą uwagę a możliwe wyiki pomiarów eergii cząstki oraz prawdopodobieństwo jej zalezieia w różyc obszarac przestrzei.

56 Przykładowe pytaia testowe 1) K tóre z poiższyc rówań jest rówaiem Scrödigera zależym od czasu Ψ t a) i + V Ψ Ψ t m m b) i + V Ψ Ψ c) i [ + V ]ψ t Ψ? t m d) i + V Ψ (gd zie + + x y z ). Z azaczyć popraw ą odpowiedź ) W iem y iż cząstka poruszająca się w przestrzei jedow ym iarowej opisaa jest zespoloą fukcją falo wą Ψ ( x, t ). Jak m oża określić dla cwili czasu t gęstość praw dopodobieństwa zalezieia tej cząstki w pukcie o współrzędej x? a) ρ Ψ * b) ρ Ψ Ψ c) ρ Ψ d) ρ Ψ e) ρ Ψ x * ( Ψ ozacza fukcję sprzężoą w sposób zespoloy do fukcji Ψ ) Z azaczyć w szystkie popraw e odpow iedzi. Jaki w aruek m usi spełiać fukcja falowa aby opisyw aa w ybraym i wzoram i wielkość aprawdę reprezetowała gęstość prawdopodobieństwa a) Ψ dx 1 b) Ψ dx 1 c) Ψ < 1 d) fukcja falow a m usi przyjm ować wartości rzeczyw iste Zazaczyć w łaściwą odpow iedź.

57 3) Rozważamy fukcję falową opisująca cząstkę kwatową poruszającą się w obszarze potecjału przyjmującego we wszystkic puktac przestrzei skończoe wartości. Które z podayc iżej twierdzeń dotyczącyc własości tej fukcji są twierdzeiami prawdziwymi? a) Wartości tej fukcji muszą być liczbami rzeczywistymi. b) Fukcja ta ie może osiągać wartości ieskończoyc. c) Fukcja ta musi być fukcją ciągłą swoic argumetów przestrzeyc. d) Fukcja ta musi być fukcją jedozaczą. e) Fukcja ta w żadym pukcie przestrzei ie może przyjmować wartości rówej zero. f) Pierwsza pocoda tej fukcji po każdej ze zmieyc przestrzeyc musi być fukcją ciągłą. 4) Które z poiższyc stwierdzeń dotyczącyc właściwości stau stacjoarego w jakim zajduje się cząstka kwatowa są stwierdzeiami prawdziwymi? a) w staie stacjoarym fukcja falowa opisująca cząstkę kwatową ie zależy od czasu b) w staie stacjoarym gęstość prawdopodobieństwa zalezieia cząstki w przestrzei ie zależy od czasu c) w staie stacjoarym zaa jest eergia cząstki d) w staie stacjoarym zay jest pęd cząstki e) w staie stacjoarym fukcja falowa opisująca cząstkę staowi superpozycje co ajmiej dwóc fukcji będącyc rozwiązaiem rówaia Scrödigera iezależego od czasu o różyc eergiac f) w staie stacjoarym fukcje falową opisującą cząstkę kwatową moża wyrazić wzorem ie ( ) t ψ ( r, t) ψ r exp g) w staie stacjoarym fukcje falową opisującą cząstkę kwatową moża wyrazić wzorem E ( ) t ψ ( r, t) ψ r exp ) w staie stacjoarym fukcje falową opisującą cząstkę kwatową moża wyrazić wzorem ie ( ) ( ) t ψ ( r, t) c t ψ r exp w którym co ajmiej dwa współczyiki c są róże od zera

58 5) Czy poiższe twierdzeia dotyczące własości cząstki kwatowej o eergii E<V 0 poruszającej się w potecjale daym wzorem: V0 dla x < 0 V( x) 0 dla 0 < x < L opisującym studię kwatową o skończoej V0 dla x > L głębokości są stwierdzeiami prawdziwymi? a) Eergia cząstki może przyjmować tylko wartości dyskrete. b) Eergia cząstki ie może być rówa zeru. c) Prawdopodobieństwo zalezieia cząstki w obszarac barier o x>l oraz x<0 jest rówe zeru. d) Istieją stay o określoej eergii w przypadku któryc gęstość prawdopodobieństwa zalezieia cząstki w pukcie o xl jest większa iż w pukcie xl. e) Gęstość prawdopodobieństwa zalezieia cząstki w dowolym pukcie w studi (czyli w obszarze o x z zakresu 0<x<L) jest jedakowa. f) Istieją stay o określoej eergii w przypadku któryc w obszarze studi moża wyróżić pukty w któryc gęstość prawdopodobieństwa zalezieia tam cząstki osiąga wartość zero. Zazaczyć wszystkie poprawe stwierdzeia. V(x) V 0 L 0 L V 0 x

59 6) Eergia kwatowego jedowymiarowego oscylatora armoiczego tz. cząstki o masie m 1 1 poruszającej się w obszarze potecjału daego wzorem V kx wyraża się wzorem: E ω + (gdzie π, -stała Placka, k ω ). m Czy liczba w powyższym wzorze może być a) wielokrotością liczby 1 spełiającą waruek ,0,,1,,,,... 1 tz. b) dowolą liczbą aturalą łączie z zerem tz. 0,1,,3,4,... c) dowolą liczbą całkowitą tz.... 4, 3,, 1,0,1,,3,4,... d) dowolą liczbą rzeczywistą? Zazaczyć poprawą odpowiedź. 7) Zakładając, iż A ozacza klasycza amplitudę drgań oscylatora zależą od eergii oscylatora E mω E i daą wzorem A określić, które z poiższyc własości kwatowego oscylatora odróżiają go od oscylatora klasyczego. a) Eergia kwatowego oscylatora ie może być rówa zeru. b) Eergia kwatowego oscylatora może przyjmować tylko dyskrete wartości. c) Eergia kwatowego oscylatora może przyjmować ujeme wartości. d) Wyik pomiaru eergii oscylatora kwatowego może być day liczbą urojoą. e) Istieje prawdopodobieństwo zalezieia cząstki w obszarze w którym x>a. f) Gęstość prawdopodobieństwa zalezieia cząstki w obszarze w którym -A<x<A ie zależy od x. g) W staie podstawowym o ajiższej eergii gęstość prawdopodobieństwa zalezieia oscylatora jest maksymala dla x ± A. ) Istieją stay w przypadku któryc gęstość prawdopodobieństwa zalezieia oscylatora jest rówa zeru w puktac dla któryc -A<x<A. Zazaczyć wszystkie poprawe stwierdzeia.