Mechanika klasyczna zasada zachowania energii. W obszarze I cząstka biegnie z prędkością v I, Cząstka przechodzi z obszaru I do II.

Transkrypt

1 Próg potencjału Mecanika klasyczna zasada zacowania energii mvi mv E + V W obszarze I cząstka biegnie z prędkością v I, E > V w obszarze cząstka biegnie z prędkością v Cząstka przecodzi z obszaru I do. v V m I E < V W obszarze I cząstka biegnie z prędkością v I, cząstka odbija się od bariery i biegnie z prędkością v I Cząstka nie wnika do obszaru. Próg potencjału Mecanika kwantowa równanie Scrödingera niezależne od czasu Obszar I Obszar d ψ Eψ m d x d ψ ( E V )ψ m d x ψ I( x) Aexp( ikx) + B exp( ikx) ψ ( x) C exp( ikx) + D exp( ikx) me k m( E V ) k Cząstka pada na próg z obszaru I, w obszarze nie ma fali biegnącej w lewo D Warunki ciągłości w punkcie x funkcji falowej A + B C pocodnej funkcji falowej po x A k B k C rozwiązanie układu równań k k B A k + k k C k + k k A

2 Próg potencjału E>V I V Współczynnik odbicia vb B R v A A Współczynnik przejścia v T v ( k k ) ( k + k ) C C A A R+T k k ( k + k ) Część rzeczywista i kwadrat modułu funkcji falowej cząstki padającej na próg potencjału w zależności od energii oznaczonej przez zieloną linię przerywaną. Próg potencjału E<V V I V Głębokość wnikania cząstki do obszaru (wzbronionego) d(κ) - Dla cząstek padającyc na próg z lewej strony współczynnik odbicia R, współczynnik transmisji T. W obszarze energia cząstki jest mniejsza od energii potencjalnej E<V i m( V E) k iκ Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w obszarze zanika wykładniczo z odległością od progu P x ψ x ψ x C C exp κx ( ) ( ) ( ) ( ) Przebieg w czasie części urojonej i kwadratu modułu funkcji falowej cząstki o energii E<V padającej na próg potencjału. Przed progiem powstaje fala stojąca.

3 Próg potencjału Zależność współczynnika odbicia R i współczynnika przejścia T od energii cząstki. Bariera potencjału o skończonej szerokości Rozwiązanie równania Scrödingera energia cząstki mniejsza od bariery E<V Obszar I ψ I ( x) Aexp( ikx) + B exp( ikx) me k Obszar ψ ( x) C exp( κx) + D exp( κx) m( V E) κ Obszar I x F exp ikx + G exp ikx ψ I ( ) ( ) ( ) Cząstka pada na barierę z obszaru I, w obszarze I nie ma fali biegnącej w lewo G x warunki ciągłości xa A B C + D funkcji falowej ika ikb κ C + κd pocodnej + C exp( κa) + D exp( κa) F exp( ika) κc exp( κa) + κd exp( κa) ikf exp( ika) Należy rozwiązać układ równań i wyrazić amplitudy B, C, D, E przez A.

4 Zjawisko tunelowe - bariera potencjału o skończonej szerokości κ m ( V E) Współczynnik przejścia tunelowego F T A + [ exp( κa) exp( κa) ] 6 E V E V Przybliżenie niezbyt wąskiej bariery κa>> E E T 6 exp( κ a ) << V V Współczynnik przejścia zgrubne oszacowanie a m( V E) T ( a) exp κ exp Bariera potencjału Gdy energia cząstki padającej jest mniejsza od energii potencjalnej E<V funkcja falowa zanika w obszarze bariery ale występuje przenikanie fali do obszaru za barierą zjawisko tunelowe. Gdy energia cząstki jest większa od energii potencjalnej bariery E>V występuje częściowe odbicie. Studnia potencjału Funkcja falowa ma postać oscylacyjną we wszystkic obszarac, bo energia cząstki jest wszędzie większa od energii potencjalnej. Wewnątrz studni długość fali jest mniejsza. Część rzeczywista funkcji falowej cząstki padającej na barierę lub studnię potencjału w zależności od energii.

5 Skaningowy mikroskop tunelowy STM Powierzcnia grafitu Atomy ksenonu na powierzcni () kryształu niklu - obraz STM skaningowy mikroskop tunelowy Atomowy stadion - atomy żelaza Fe na powierzcni miedzi Cu. 8 atomów żelaza na powierzcni () kryształu miedzi tworzy kolistą zagrodę dla elektronów na powierzcni metalu Etapy tworzenia zagrody z atomów Fe na Cu 5

6 Oscylator armoniczny Energia potencjalna w zależności od położenia i poziomy energii E n n + ω Strzałkami zaznaczono dozwolone przejścia między sąsiednimi poziomami energii n± - absorpcja lub emisja fotonu o energii ħω. Oscylator armoniczny Równanie Scrödingera ( x) d φ m dx mω x + φ ( x) Eφ( x) Bezwymiarowa zmienna y x mω Unormowane funkcje własne φ n wielomiany Hermite a H H H H H ( y) H ( y) exp ( y) ( y) y ( y) y ( y) 8y y ( y) 6y 8y + y n n n! π wielomiany Hermite a funkcje własne oscylatora armonicznego 6

7 Oscylator armoniczny Funkcje własne i wartości własne energii oscylatora armonicznego. Wartości własne energii E n n + ω Zielone linie oznaczają dozwolone wartości energii i stanowią linie odniesienia dla funkcji falowyc ϕ(x) i rozkładów gęstości prawdopodobieństwa ϕ(x). 8 Oscylator armoniczny n, Eω / V/( ) 5.6. P klas, P kwant potencjał V P klasycznie P kwantowo y(mω/) / x Prawdopodobieństwo znalezienia w różnyc położeniac cząstki wykonującej drgania armoniczne o energii E,5ħω w potencjale V(x)mω x / zgodnie z klasycznym opisem rucu (krzywa amarantowa); zgodnie z opisem kwantowym stanu podstawowego n (krzywa zielona). 7

8 8 Oscylator armoniczny n, Eω / 7 V/( ) 6 5 potencjał V P klasycznie P kwantowo.8.6. Pklas, Pkwant y(mω/) / x Prawdopodobieństwo znalezienia w różnyc położeniac cząstki wykonującej drgania armoniczne o energii E,5ħω w potencjale V(x)mω x / zgodnie z klasycznym opisem rucu (krzywa amarantowa); zgodnie z opisem kwantowym - pierwszy stan wzbudzony n (krzywa zielona). 8 Oscylator armoniczny n, E5ω / V/( ) potencjał V P klasycznie P kwantowo.8.6. Pklas, Pkwant y(mω/) / x Prawdopodobieństwo znalezienia w różnyc położeniac cząstki wykonującej drgania armoniczne o energii E,5ħω w potencjale V(x)mω x / zgodnie z klasycznym opisem rucu (krzywa amarantowa); zgodnie z opisem kwantowym - drugi stan wzbudzony n (krzywa zielona). 8

9 V/(ħω ) Oscylator armoniczny n7, E5ħω / potencjał V P klasycznie P kwantowo P klas, P kwant y(mω /ħ) / x Prawdopodobieństwo znalezienia w różnyc położeniac cząstki wykonującej drgania armoniczne o energii E 7 7.5ħω w potencjale V(x)mω x / zgodnie z klasycznym opisem rucu (krzywa amarantowa); zgodnie z opisem kwantowym siódmy stan wzbudzony n7 (krzywa zielona). Wykresy gęstości prawdopodobieństwa w zależności od zmiennej yx(mω/ħ) ½ dla stanu podstawowego n i stanów wzbudzonyc n,,, oscylatora armonicznego. 9

10 Aparat matematyczny mecaniki kwantowej Operator określony na pewnym zbiorze funkcji, przyporządkowuje każdej funkcji inną funkcję z tego samego zbioru, np. mnożenie funkcji f(x) przez zmienną x: xˆ f ( x) x f ( x) d ' różniczkowanie funkcji: f ( x) f ( x) d x Operator liniowy: A ˆ ( a f+ f ) aaˆ f+ Aˆ f a liczba Równanie własne: Aˆ f n an fn działanie operatora sprowadza się do mnożenia funkcji własnej operatora f n przez liczbę a n wartość własną. Przemienność operatorów wynik kolejnego działania (iloczynu) dwu operatorów może zależeć od ic kolejności Aˆ Bˆ BA ˆ ˆ d np. Aˆ xˆ, Bˆ d d d d x xˆ f ( x) x f ( x), xˆ f ( x) ( x f ( x) ) f ( x) + x f ( x) d x d x d x Komutator dwu operatorów: [ Aˆ Bˆ ] AB ˆ ˆ Bˆ Aˆ d, np. x ˆ, d x Jeżeli [ A ˆ, Bˆ ] dwa operatory są przemienne, to mają wspólny zbiór funkcji własnyc. Zasady mecaniki kwantowej. Stan obiektu fizycznego jest opisany przez funkcję falową Ψ.. Ψ(x,t ) dx jest prawdopodobieństwem znalezienia obiektu w cwili t w pobliżu punktu x w przedziale dx.. Każdej obserwowalnej wielkości fizycznej A odpowiada pewien operator liniowy Â, który ma wartości własne rzeczywiste (operator ermitowski). W wyniku pojedynczego pomiaru wielkości fizycznej otrzymuje się jedną z wartości własnyc operatora a n.. W stanie opisanym funkcją falową Ψ, wartość średnia wielu pomiarów wielkości fizycznej, której odpowiada operator  jest dana wzorem: a Ψ ÂΨdv, gdzie całkowanie jest po całym obszarze, na którym określona jest funkcja Ψ. Ψ 5. Funkcja falowa Ψ(x,y,z,t) spełnia równanie Scrödingera ĤΨ i t zależne od czasu. W stanie stacjonarnym funkcja falowa ψ(x,y,z) spełnia równanie Scrödingera niezależne od czasu Ĥψ Eψ, które jest równaniem własnym operatora energii amiltonianu: ˆ H V ( x, y, z) m + + x y z +