Odbicie fali od granicy ośrodków

Transkrypt

1 FOTON 8, Jesień 0 33 Odbicie fali od graicy ośrodków Jerzy Giter Uiwersytet Warszawski Kiedy światło się odbija? Zamy doskoale zjawisko załamaia światła a graicy dwóch ośrodków o różych współczyikach załamaia. Przebiega oo jedak istotie różie w dwóch skrajych przypadkach:. Zmiaa współczyika załamaia zachodzi w warstwie powierzchiowej o grubości małej w porówaiu z długością fali ( skokowo, rys. a). Wtedy oprócz promieia załamaego pojawia się promień odbity. Jako przykład może służyć odbicie światła od szyby szklaej. Długość fali światła zieloego w powietrzu jest rówa w przybliżeiu = 0,5 µm. Współczyik załamaia zmieia się od dla powietrza do,5 dla szkła w warstwie o grubości porówywalej z promieiem atomu, czyli rzędu d 0, m = 0,000 µm. Zatem stosuek /d Zmiaa współczyika załamaia zachodzi płyie w warstwie przejściowej o grubości zaczie większej od długości fali (rys. b). Wtedy promień odbity się ie pojawia! Obserwację tego rodzaju przeprowadza się a graicy wody (a górze) i asycoego roztworu soli kucheej (a dole). Przypuśćmy, że a skutek zjawiska dyfuzji grubość warstwy przejściowej jest rówa d = cm = µm. Jeżeli długość fali w powietrzu jest rówa λ = 0,5 µm, w wodzie jest miejsza i rówa λ w = 0,5 µm/,33 0,38 µm. Stosuek λ w /d jest więc rówy około 0, Rys.. Gdyby światło padało a graicę ośrodków ie pod kątem, ale prostopadle: (a) W przypadku fala odbita zalazłaby się w tym samym obszarze, co fala padająca i astąpiłaby jej iterferecja z falą padającą. Gdyby odbicie było całkowite, powstałaby fala stojąca. Kiedy odbicie jest częściowe, powstaje fala półstojąca, którą moża potraktować jako superpozycję fali stojącej

2 34 FOTON 8, Jesień 0 i fali biegącej. W obu przypadkach amplituda fali świetlej ie jest stała, ale periodyczie zależy od położeia. (b) W przypadku fali odbitej ie ma a więc ie ma i iterferecji fal. Moża więc zadać pytaie: jak gruba musi być płya warstwa dzieląca ośrodki, aby od zachowaia graiczego (a) przejść do zachowaia graiczego (b)? Opis dla fal elektromagetyczych byłby dość skomplikoway. Moża jedak prześledzić problem a prostym modelu mechaiczym. Moża do rozwiązaia zagadieia zastosować prostą metodę umeryczą. Zaim jedak do tego przejdziemy, musimy przypomieć kilka spraw. Odbicie a graicy dwóch ośrodków ciągłych Przypomijmy a początek, jak zachodzi odbicie a graicy dwóch ośrodków ciągłych. Przyjmijmy, że graica zajduje się w pukcie x = 0. Mówi się więc tak (rys. ):. Na lewo od graicy istieją dwie fale biegące: padająca: U P (x, t) = P cos (q x ωt), () i odbita: gdzie q. U R (x, t) = R cos (q x + ωt). (). Na prawo jest jeda fala przechodząca, biegąca ( ): U Q (x, t) = Q cos (q x ωt). (3) Waruek ciągłości fukcji a graicy ośrodków prowadzi do relacji: P + R = Q. (4) Waruek ciągłości pochodej a graicy ośrodków prowadzi do związku: q P R = q Q = Q = Q; (5) gdzie jest współczyikiem załamaia światła ośrodka względem ośrodka. Rys..

3 FOTON 8, Jesień 0 35 Zwykle amplitudę fali padającej P traktuje się jako wielkość zaą. Korzystając ze wzorów (4) i (5) oblicza się amplitudy fali odbitej R i fali przechodzącej Q. My jedak teraz postąpimy trochę iaczej. Powiemy: zamy falę w obszarze prawym. Jaka jest fala w obszarze lewym? Fala ta jest superpozycją fal U P i U R, ma więc postać:, cos cos Pcos( q x)cos( t) si( qx)si ( t) Rcos( qx)cos( t) si( qx)si ( t) P Rcos( q x)cos( t) P Rsi ( q x)si ( t) U x t P q x t R q x t Q cos( q x)cos( t) Q si ( q x)si ( t). Wyrażeie to ma postać sumy dwóch fal stojących, przesuiętych w fazie o ćwierć okresu. Dla określoego x fala ta opisuje zmieość harmoiczą z częstością kołową. Wyrażeie to moża przedstawić w postaci: U ( x, t) Q cos ( q x) si ( q x) cos( qx) si( qx) (7) cos( t) si( t). cos ( qx) si ( qx) cos ( qx) si ( qx) Jest to więc ruch o amplitudzie, zależej od x: A( x) Q cos ( q x )si ( q x) Q ( )si ( q x). (8) Fazę (x) tego ruchu określa związek: si( q x) tg x tg q x (9) ( ) ( ) cos( qx ) Fazą w dalszym ciągu ie będziemy się zajmować. Powróćmy do amplitudy, określoej wzorem (8). Widać z iego, że głębokość jej oscylacji może być potraktowaa jako miara itesywości fali odbitej. Na przykład: dla = amplituda oscyluje pomiędzy a ; dla odbicia od ostrej graicy ie ma oscylacji, czyli ie pojawia się fala odbita, jeżeli =. Jest to jedak przypadek trywialy. Model mechaiczy Rozważmy teraz model mechaiczy, o którym wspomieliśmy a początku. Będzie to układ kul, które mogą się poruszać wzdłuż prostej (rys. 3). Kule te połączoe są jedakowymi sprężyami, atomiast masy kul: (6)

4 36 FOTON 8, Jesień 0 a. po prawej stroie, dla 0, masy kul są jedakowe i rówe ; b. po lewej stroie, dla b, masy kul są jedakowe i rówe 0,5. Zakładać będziemy dla uproszczeia, że b jest całkowite. c. w środkowym obszarze przejściowym masy zmieiają się płyie pomiędzy skrajymi wartościami. W obliczeiach umeryczych przyjęto masy opisae poiższym wzorem (wykres widoczy jest w górej części rys. 5): m 0, 5 0,375 cos b. (0) Nawias tej fukcji jest rówy dla = 0, a rówy zeru dla = b. Jeżeli położymy b =, obszar przejściowy zikie. Rys. 3. Rówaia ruchu Ruch kul aszego modelu opisują rówaia Newtoa F = m a, () gdzie F ozacza siłę działającą a -tą kulę, m masę tej kuli, a a jej przyspieszeie.. Niech U ozacza wychyleie -tej kuli z położeia rówowagi (rys. 4). Przyspieszeie a jest drugą pochodą U względem czasu, czyli: a d U () t. () dt Rys. 4.. Siła działająca a -tą kulę zależy od wychyleń trzech kul: U, U i U +. Jest oa róża od zera wtedy, kiedy lewa sprężya ma ią długość, iż

5 FOTON 8, Jesień 0 37 sprężya prawa. Kula prawa działa a kulę środkową siłą proporcjoalą do wydłużeia sprężyy: F p = K(U + U ); (3) gdzie K jest współczyikiem sprężystości każdej ze spręży. Podobie kula lewa działa a środkową siłą: Ich wypadkowa jest więc rówa: F l = K(U U ). (4) F = K (U + U )+ K (U U ) = K (U + + U U ). (5) Podstawmy wzory () i (5) do () i podzielmy od razu obie stroy przez K. Dostajemy układ powiązaych ze sobą rówań, opisujących ruch kul: U + (t) + U (t) U (t) = m d U t K dt (). (6) Fale harmoicze Ograiczmy się teraz do fal harmoiczych o określoej częstości kołowej. W takim przypadku każda z kul porusza się ruchem periodyczym, który moża opisać fukcją: U (t) = A cos ( t + ). (7) Nieujema wielkość A ozacza amplitudę, a fazę tego ruchu. Korzystając ze wzoru a sumę cosiusów wyrażeie to możemy zapisać w postaci: cos( ) [cos( )cos( ) si( )si( )] U t A t A t t (8) [ A cos( )] cos( t) [ A si( )] si( t) C cos( t) S si( t). Wprowadziliśmy w tym wzorze wielkości Zauważmy przy okazji, że (cos + si = ): C = A cos ( ), (9) S = A si ( ). (0) A C S. () Podstawmy wyrażeie (8) do (6). Dostajemy: ( C C C )cos( t) ( S S S)si ( t) m m Ccos( t) Ssi ( t). K K ()

6 38 FOTON 8, Jesień 0 W rówaiu tym muszą być rówe po obu stroach odpowiedio współczyiki przy cos t i przy si t, bo są to dwie fukcje liiowo iezależe. Prowadzi to do dwóch rówań o idetyczej postaci: m C C C C, K (3) m S S S S K. (4) Pierwsze z ich wiąże ze sobą tylko wielkości C, a drugie tylko wielkości S. Jedakowe masy: rozwiązaie aalitycze Jeżeli wszystkie masy kul m są jedakowe, rówaie (3) ma proste rozwiązaie aalitycze, odpowiadające fali stojącej w układzie: C = cos (q). (5) Wielkość q, gdzie ozacza długość fali wyrażoą w jedostce rówej odległości między kulami, zajdującymi się w położeiach rówowagi. Podstawiając (6) do lewej stroy (4) otrzymujemy stosując wzory a sumę cosiusów i a kwadrat siusa: cos[ q( )] cos[ q( )] cos( q) cos( q)cos( q) cos( q) q [cos( q) ] cos( q) 4si cos( q). Wstawiając te wyik oraz (6) do (4) otrzymujemy: q m 4si cos( q) cos( q). K Skrócimy to wyrażeie przez cos(q). Dostaiemy związek pomiędzy q a : czyli m (6) (7) si q 4K, (8) m q si. K (9) Związek te podaway jest przy omawiaiu drgań sieci krystaliczej w każdym elemetarym podręcziku fizyki ciała stałego.

7 FOTON 8, Jesień 0 39 Załóżmy jeszcze, że q jest małe, czyli długość fali w ośrodku jest zaczie większa od odległości między kulami (patrz też dalej, rys. 5). Możemy wtedy zastosować przybliżeie si x x, co prowadzi do rówości: m q K. (30) Powróćmy do aszego zagadieia i zauważmy: masy m w obszarze lewym są cztery razy miejsze, iż w obszarze prawym. Wyika stąd w aszym przybliżeiu, że wartość q w obszarze lewym jest dwa razy miejsza, iż w obszarze prawym. A więc długość fali w obszarze lewym jest dwa razy większa, iż w obszarze prawym. Ozacza to, że współczyik załamaia jest rówy. Czytelik może sprawdzić samodzielie, że rozwiązaia rówaia (5) moża poszukiwać w postaci Prowadzi to poowie do związków (9) i (30). S = si (q). (3) Niejedakowe masy, algorytm obliczeń umeryczych Jeżeli masy kul ie są rówe, moża wyzaczyć wielkości C i S umeryczie. Wielkości C wyzaczymy astępująco:. Przyjmiemy, że obszar prawy odpowiada 0. W obszarze tym przyjmiemy dla C rozwiązaie (5), w którym q wyrazimy przez wzorem (30).. Dla obszaru lewego i przejściowego, czyli dla < 0, wzór (3) potraktujemy jako podstawę algorytmu obliczeia umeryczego, w którym koleje C będziemy wyrażać przez C i C + (wędrujemy od = 0 w lewo): C m C C K. (3) W algorytmie tym trzeba przyjąć dwie wielkości wyjściowe, czyli C 0 i C. Obliczymy je ze wzoru (5), obowiązującego dla obszaru prawego. Wielkości m te są więc odpowiedio rówe C 0 = i C cos K. Podobie obliczymy wielkości S.. Przyjmiemy dla obszaru prawego 0 rozwiązaie (3), w którym q wyrazimy przez wzorem (30).. Natomiast dla obszaru lewego i przejściowego wzór (4) potraktujemy jako podstawę algorytmu S m S S K. (33)

8 40 FOTON 8, Jesień 0 W algorytmie tym do obliczeia S 0 i S zastosujemy wzór (3). Wielkości te m są więc odpowiedio rówe S 0 = 0 i S si K. Wyiki obliczeń umeryczych Szczegółowe obliczeia umerycze zajdują się w excelowskim pliku zmiee_. W programie tym przyjęto K =, = 0,. Moża w im dowolie zmieiać szerokość obszaru przejściowego, czyli b. Przytoczmy tu przykładowe wyiki dla b = 50 (rys. 5).. Krzywa góra przedstawia zależość m od. Zgodie z wyjściową umową w prawej części m =, w lewej m = 0,5.. Zależości obliczoych C i S od przedstawiają krzywe odpowiedio szara i czara w środkowej części rys. 5. Zauważamy, że w obu przypadkach długość fali w obszarze lewym jest dwa razy większa iż w obszarze prawym, czego ależało oczekiwać a podstawie wzoru (3). W obszarze przejściowym płyie zmieiają się zarówo długość fali, jak i jej amplituda. Krzywą dolą przedyskutujemy poiżej. Rys. 5. Uzyskae fale stojące Powróćmy do wzoru (9). Wyrażeia C cos ( t) dla różych, z obliczoymi powyżej wartościami C, odpowiadają pewej fali stojącej. Jest oa trochę róża od typowo omawiaej w szkole, bo jej długość fali zmieia się od miejsca do miejsca. Poadto róże są amplitudy drgań w różych strzałkach. Przyzwoicie zachowuje się tylko w obszarach skrajych, w których masy kul m są stałe. Niemiej zależość czasową w każdym pukcie opisuje ta sama fukcja: cost. Podoby charakter ma i czło S si t, jego ruch jest w stosuku do zależości poprzediej przesuięty w fazie o 4 okresu.

9 FOTON 8, Jesień 0 4 Budujemy falę biegącą Nas jedak właściwie iteresowało coś iego: oczekiwaliśmy, że w obszarze prawym powia istieć tylko fala biegąca w prawo (por. rozważaia a początku artykułu). Dopuszczaliśmy przy tym możliwość, że w obszarze lewym będzie istiała i biegąca w prawo fala padająca i biegąca w lewo fala odbita które w sumie dają falę półstojącą. Takie rozwiązaie możemy sobie zbudować z fal omówioych powyżej. Musimy tylko zauważyć, że falę biegącą moża uzyskać przez superpozycję fal stojących. Napiszmy wzór a falę biegącą w prawo w obszarze prawym i zastosujmy do iego wzór a cosius sumy: U ( t) A cos ( q t) A cos ( q) cos ( t) Asi ( q) si ( t). (34) We wzorze tym amplituda A ie zależy od. Utwórzmy zatem we wszystkich obszarach fukcję U (t) = C cos t + S si t. (35). W obszarze prawym C = A cos (q) (wzór 5). W pozostałych obszarach doczepiliśmy do tego cosiusa wielkości C obliczoe umeryczie.. Podobie w obszarze prawym S = A si (q) (wzór 3), w pozostałych zamy S z obliczeń umeryczych. Na podstawie wzoru (34) widzimy, że kombiacja (35) daje w prawym obszarze falę biegącą w prawo o amplitudzie jedostkowej. Musimy się zastaowić, jaka jest ta fala w pozostałych obszarach. Możemy a to pytaie odpowiedzieć, obliczając zależość amplitudy fali od, posługując się wyrażeiem A C S (). Jeżeli mamy do czyieia z falą półstojącą, amplituda ta ie powia być stała, ale quasi-periodyczie zależeć od. Przedstawia to doly wykres a rys. 5. W prawym obszarze przyjęta została amplituda A =. Widać, że dla b = 50 wyraźie widocze są zafalowaia. Rysuek 6 przedstawia już tylko zależości amplitudy A od dla trzech wartości parametru b.. Dla b = ie ma obszaru przejściowego, masy dla 0 mają wartość rówą, dla < 0 wartość rówą 0,5. Zgodie z tym, czego ależało oczekiwać, amplituda dla < 0 zmieia się w fukcji pomiędzy i (patrz wyżej, rozważaia dla ośrodków ciągłych). Ozacza to, że w omawiaym przypadku pojawiła się fala odbita.. Dla b = 50 zafalowaie jest słabsze, ale jeszcze wyraźie widocze. 3. Dla b = 00 zafalowaie jest już tylko ledwo widocze. Ozacza to, że dla tak szerokiego obszaru prawie ie pojawia się fala odbita, czyli osiągęliśmy sytuację (b) z rozważań wstępych. Sięgając do programu komputerowego łatwo stwierdzić, że w obszarze przejściowym mieści się około 5 zmieych długości fali.

10 4 FOTON 8, Jesień 0 Czytelik może problem prześledzić szczegółowo, zmieiając dowolie parametr b w programie komputerowym Zmiee. Rys. 6. Podsumowaie Zaleźliśmy umeryczie odpowiedź a pytaie postawioe a początku artykułu. Stwierdziliśmy, że odbicie fali zika, jeżeli grubość płyej warstwy przejściowej jest rzędu 0 długości fali. Ozacza to w języku zaym z mechaiki kwatowej przejście do sytuacji, w której moża stosować przybliżeie WKB. Jak zawsze w obliczeiach umeryczych wyik te zależy od zespołu wybraych parametrów. Rozszerzeie ich zakresu pozostawiamy iwecji Czytelika.