REPREZENTACJA SYGNAŁÓW

Transkrypt

1 REPREZENTACJA SYGNAŁÓW Spi reści:. Bzy ygłów.. Procedur oroormlizcyj. 3. Wielomiy, fukcje Hr i Wlh, fukcje gięe, rygoomerycze. 4. Sygły dwurgumeowe

2 Reprezecj ygłmi elemerymi.5 N = 8 = N.5 N = 6 =.8 Ciąg je reprezecją ygłu. N N = 64 =

3 Liiow iezleżość Defiicj. Elemey ą liiowo iezleże, gdy z wruku zerowi ich kombicji liiowej wyikją zerowe wrości wpółczyików, z. N,..., N 3

4 Wymir przerzei Defiicj. Jeżeli przerzeń S zwier co jwyżej N elemeów liiowo iezleżych, o S zywmy przerzeią N-wymirową jej wymir ozczmy. dim S N N L (, Torz C(,T ą iekończeie wymirowe 4

5 Bz przerzei ygłów Defiicj 3. Bzą przerzei S zywmy dowoly zbiór : S;,..., N; dims N elemeów liiowo iezleżych. Defiicj 4. Bzę { } N N-wymirowej przerzei uirej S zywmy orogolą, jeżeli kżde dw jej elemey ą do iebie proopdłe, z., dl m m 5

6 Bz oroorml Defiicj 5. Jeżeli orm kżdego elemeu bzy je jedokow, z. o bzę zywmy uormową. Defiicj 6. Jeżeli elemey bzowe ą zrówo orogole jk i uormowe, o bzę zywmy oroormlą. 6

7 Reprezecj ygłów w przerzeich kończeie wymirowych N S N N reprezeuje S L (, T N N,, m m dl m=,...,n gdzie, m ( m( d T 7

8 8 Reprezecj ygłów w przerzeich kończeie wymirowych A b gdzie b N,, N N N N N N A,,,,,, = A b - gdy de A m m N,, Ukłd rówń moż zpić mcierzowo

9 Procedur oroormlizcyj Grm-Schmid dowole { } N oroormle { } N v,,,,, v v v,, , 3, 3,, 3,, 3, 3, 3,, 3,, v, m m m 9

10 Algorym Grm-Schmid. De :,,..., N - dowol bz, N -ilość elemeów bzy.. Obliczyć pierwzy eleme oroormlej bzy i podwić :=. :

11 C.d lgorymu Grm-Schmid 3. Powiękzyć umer wkźik :=+ i ępie obliczyć kolejy eleme v :, m m m 4. Dokoć ormlizcji elemeu orzymego w poprzedim kroku : v v 5. Jeżeli <N leży przejść do puku 3. Przeciwy przypdek ozcz zkończeie procedury oroormlizcyjej.

12 Aprokymcj ygłów w przerzeich iekończeie wymirowych S S S N p N p, ( mi, ( N p, (, ( * p dl kżdego S N

13 Ryuek rzuu orogolego p S N. p p, 3

14 Twierdzeie o rzucie orogolym Niech S będzie przerzeią uirą, S N będzie N-wymirową podprzerzeią (z. S S rozpięą oroormlej bzie N N. p Dl kżdego iieje jedyy eleme S określoy wzorem p ki, że: dl kżdego p S N pełio je ierówość (, ( p eleme je orogoly do podprzerzei, z., N, dl kżdego S N p. N S N, *, 4

15 Rówość Prevl orogolość bzy bz uormow L L Rówość Prevl L L l L l gdzie ( d L T l 5

16 Począek przykłdu W przerzei L (, zleźć jlepzą prokymcję ygłu ( dl dl przy pomocy fukcji: (, (, 3(. Fukcje prokymujące Sygł 4 6

17 7 Koyucj przykłdu Tkie,, 3 by fukcjoł Q oiągł wrość miimlą. d d ( (, ~ ( 3 3 d d ( (, ~ ( 3 3 d d ( (, ~ ( Kwdr odległości 3 3 ( (, ~ ( d d Q

18 8 Zkończeie przykłdu Po obliczeiu cłek, przyrówujemy do zer powyżze pochode i orzymujemy ukłd rówń, kóry m rozwiązie:,4375.,5,5 3 Ozcz o, że prokymcj zdego ygłu m poć ( ~

19 Ilurcj rozwiązi 9

20 Wielomiy orogole Wielomiy orogole odciku [,] geerowe ą wzorem d (! d,,,... i pełiją wzór rekurecyjy ( ( ( 3( ( ( (.

21 Przykłd wielomiów orogolych Siedem pierwzych wielomiów orogolych odciku [,] ( ( ( ( ( ( (

22

23 Wykrey fukcji Hr h ( h, ( h ( h, ( h, ( h,3 ( h, ( h,4 (

24 Fukcje Hr Fukcje oroormle w L (, r=,,,... umer grupy m umer kolejym fukcji w rmch dej grupy m r dl h ( [, ] Hr 9 rok 4

25 Defiicj fukcji Hr h( hr, m( r r dl dl m m r r m m r r dl pozolych [, ]. r m,, 3,, 3, 4 4, 5, 6, 7 3,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 8, 9,,,, 3, 4, 5 gdzie = r +m- 5

26 Wykrey fukcji Wlh w ( w 3, ( w ( w 3, ( w, ( w 3,3 ( w, ( w 3,4 (

27 Fukcje Wlh Tworzą bzę oroormlą w L (, dl w ( w ( w ( dl w ( dl dl dl r =,,... umer grupy m =,... r- kolejość w rmch m-ej grupy 7

28 8 Iercyj geercj fukcji Wlh dl ( ( dl ( (,,, w w w m k k m k k m dl ( ( dl ( (,,, w w w m k k m k k m

29 Numercj fukcji Wlh w ( w ( r, m gdzie = r- +m- r m,, 3 3,, 3, 4 4, 5, 6, 7 4,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 8, 9,,,, 3, 4, 5 9

30 Wykrey fukcji gięych Przykłd jedeu fukcji gięych pierwzego opi 3

31 Fukcje gięe pierwzego opi j ( j ( gdy gdy j j ( (, gdzie 3 je złożoą ilości fukcji dl odcik [,] 3

32 Iloczyy klre fukcji gięych pierwzego opi i, j ( ( d i j h / 3 h / 3 h / 6 gdy gdy gdy dl i j i i i, j j lub i j j lub i j pozolych Gdzie h /( o umerch je długością ośików fukcji gięych j,...,. 3

33 33 Mcierzow prezecj iloczyów klrych h A

34 Szybk geercj elemeów mcierzy odwroej do rójprzekąiowej Mcierz A je rójprzekąiow, le mcierz do iej odwro je mcierzą pełą z elememi o wrościch gdzie i j odw i, j i 3 3 i j i 3 3 j j 34

35 35 Mcierz odwro do mcierzy iloczyów klrych,8,34,9,3,3,56,69,9,5,3,897,4,65,9,9,3333,893,4,69,34,436,3333,897,56,8 4,64,44,3349,957,478 7,3 4,647,5,357,786 4,647 7,369 4,6649,338,6664,5 4,6649 7,498 4,974,487,357,338 4,974 8,564 9,8,786,6664,487 9,8 34,64 34,64 9,8,487,6664,786,478 9,8 8,564 4,974,338,357,957,487 4,974 7,498 4,6649,5,3349,6664,338 4,6649 7,369 4,647,44,786,357,5 4,647 7,3 4,64,478,957,3349,44 4,64 7,36,8,56,897,3333,436 4,64,34,69,4,8935,333,44,9,9,65,4,897,3349,3,5,9,69,56,957,,3,9,34,8,478 A

36 Fukcje rygoomerycze Orogol bz w w C(-, L (, T orz bz dl fukcji okreowych ( co( / T b i( / T T T ( d d T d T ( 36

37 Wpółczyiki zeregu rygoomeryczego T ( co( / T d co ( / T d T T co ( / T d T co( 4 / T T d i( 4 / T 8 T orzymujemy T d T zem podobie b T T (co( / T T (co( / T d ( i( / T d T T 37

38 Wruki Dirichle Jeżeli fukcj ( pełi wruki:. je bezwzlędie cłkowl, z. T ( d,. w przedzile jedego okreu m kończoą liczbę loklych mkimów i miimów, 3. w przedzile jedego okreu m kończoą liczbę puków ieciągłości pierwzego rodzju, z. kończoe ą grice leworo lim ( i prworo lim (, o m reprezecję w poci zeregu Fourier. ( 38

39 Wpółrzęde bieguowe Przeuięcie fzowe,5 ig( b,5,5 ig( ig( b rcg( b rcg( b gdy gdy gdy gdy i i i b b b mpliud c b rc g( b wedy c co( b c i( 39

40 Szereg rygoomeryczy w poci bieguowej ( c co( co( / T c i( i( / T Korzyjąc z ożmości co( co( / T i( i( / T co( / T orzymujemy ( c co / T 4

41 Fukcje rygoomerycze w poci ekpoelej co( / T gdzie j e j/ T j/ T e i( / T e j T e j T b e j T ( e j Ozczjąc jb orzymujemy ( e / / / j/ T j/ T jb dl dl dl j / T poiewż e co( / T j i( / T o T T j/ T ( e d e j/ T j/ T e j 4

42 Zleżości między wpółczyikmi dl różych reprezecji rygoomeryczych c b rc g( b ( co( / T b i( / T c co( ( c co / T b c i( ( e j/ T b j 4

43 Reprezecj ygłów dwuwymirowych czyli L [, X ] [, Y ], X Y ( x, y dydx xy (, ( xy, 43

44 Wpółczyiki oroormlej reprezecji ygłów dwuwymirowych X Y ( x, y ( x, y dy dx m dl dl m m.,, m m m gdzie, xy (, ( xy, dydx X Y, 44

45 45 Rozdzielie zmieych reprezecji ygłów dwuwymirowych xy x y m m m (, ( (, m X x x dx m m ( ( dl dl m Y y y dy m m ( (. dl dl X Y m Y m j X i m j i dy y y dx x x dydx y y x x, ( ( ( ( (, ( ( x x y y dydx m m Y X, ( (, (

46 Przykłd reprezecji obrzu przy pomocy fukcji Wlh y Obrz ( x, y xy Aprokymowć przy pomocy czerech pierwzych fukcji Wlh: x

47 Wybre obrzy elemere Szeście obrzów elemerych ( x, y ( x (, m m y,,, 3,, 3 3, 3 4,3 Kolor biły ozcz wrość Kolor czry o wrość!

48 Wybre obrzy elemere Szeście obrzów elemerych ( x, y ( x (, m m y,,,3,4,,,3,4 3, 3, 3,3 3,4 4, 4, 4,3 4,4

49 Ciąg dlzy przykłdu Aprokymcj obrzu xy x y 4 4 (, ( ( m m, m Wpółczyiki prokymcji x y, (xy dxdy x y,5, (xy dydx (xy dydx,5 4 dl dl Symeri obrzu, z. wpółczyików, z. ( x, y ( y, x m, m,,, 4 powoduje ymerię

50 C.d. przykłdu,3 3,,4 4,, 8 8,3,,3 3,,3,4 4, 3,3 6 4, 3,3 3,4 4,3 4,4 3 4,3

51 C.d. przykłdu Obliczoe wpółczyiki możemy zewić w poci ymeryczej mcierzy A

52 Ilurcj przykłdu ( x, y xy Obrz orygily (z lewej i jego prokymcj (z prwej uworzo przy pomocy fukcji Wlh, iby zeu le w prkyce ylko dziewięciu

53 Ilurcj przykłdu ( x, y xy Obrz orygily (z lewej i jego prokymcj (z prwej uworzo przy pomocy fukcji Wlh, iby zeu le w prkyce ylko dziewięciu