Niech dany będzie układ równań postaci. Powyższy układ równań liniowych z n niewiadomymi można zapisać w postaci macierzowej

Transkrypt

1 Rozwiązywie ułdów rówń liiowych Metod elimicji Guss

2 2 Postwieie zgdiei Niech dy będzie ułd rówń postci b x x x b x x x b x x x Powyższy ułd rówń liiowych z iewidomymi moż zpisć w postci mcierzowej b x A.

3 3 Mcierz A zywmy mcierzą ułdu wetor x rozwiąziem tomist wetor b wetorem wyrzów wolych. Mcierz b b b A ] [ zyw się mcierzą uzupełioą ułdu rówń.

4 Twierdzeie. Metod elimicji Guss jest stosow dl ułdów rówń tórych wszystie miory główe są róże od zer: det[ ] det det Jest to wrue oieczy i dostteczy istiei rozwiązi.

5 Podstwow metod elimicji Gus słd się z dwóch etpów:. przesztłcei mcierzy pierwotej [ A b] do postci trójątej górej jest to tzw. postępowie proste Guss 2. rozwiązi trójątego ułdu rówń stosując tzw. postępowie odwrote Guss. Przyłd

6 i 2 ij jo Ozczmy elemety mcierzy j 2 A 6 elemety wetor b jo i i ) ij ij b i j 2. Ides ) ozcz zerowy próg elimicji Guss. Elemety mcierzy dl olejych roów ozcze będą idesem górym ) tomist mcierz po -tym rou ozcz będzie ) A.

7 7 [ A b] A ) ) ) 2 ) ) 2 ) 22 ) 2 ) ) 2 ) ) 2 ). Postępowie proste Guss Niech ). W pierwszym rou elimicji Guss od ) i-tego wiersz i 2 3 mcierzy A odejmujemy ) pierwszy wiersz tej mcierzy pomożoy przez i : )

8 ) ) ) ) ) j i j i ij ij. Stąd w szczególości dl j i i i i i i 3 2 ) ) ) ) ) ) ) tz. mcierz ) A zostł przesztłco do postci ) ) ) 2 ) 2 ) 2 ) 22 ) ) ) 2 ) ) A.

9 9 Dl powstłej w -)-szym rou mcierzy ) ) ) ) ) ) ) ) 2 ) 2 ) 2 ) ) ) ) ) A

10 ) przy złożeiu że w -tym rou od i-tego wiersz tej mcierzy odejmujemy wiersz -ty pomożoy ) i przez i 2 ) ) ) ) i ) ij ij ) j W szczególości dl ) i Mcierz j ) ) i ) i ) ) A zostie więc przesztłco do postci

11 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) A. Resumując powyższe postępowie proste Guss moż zpisć w postci ) ) ) ) ) j i ij ij dl 2 ) ] [ A b A.

12 for it =; <; ++) { for it i=+; i<=; i++) { r=[i][]/[][]; // [][]<> [i][]=; //ie obliczć wystrczy wyzerowć for it j=+; j<=+; j++) [i][j]=[i][j]-r*[][j]; } } 2 ) ) ) i ) ij ij ) j 2

13 Postępowie odwrote Guss W drugim etpie leży rozwiązć górie trójąty ułd rówń: ) ) ) ) x x x ) ) x Sprowdz się to do rozwiązi stępujących rówń: x ) ) ) ) i ij x j ) / ji x i 2 i ) ii 3

14 x[] = A[][+] / A[][]; // [][]<> for it i = -; i>; i--) { double sum=.; for it j=i+; j<=; j++) sum += A[i][j] * x[j]; x[i]=a[i][+]-sum)/a[i][i]; // [i][i]<> } Przyłd

15 clss TMcierz { privte: cost it wiersz olum; double **A; //mcierz uzupełio double *x; //wyii public: TMcierzit w it ); ~TMcierz); bool Guss_proste); bool Guss_odwrote); }; 5

16 Zstosowie elimicji Guss. Obliczie wyzcziów det A ) ) 22 ) 6 Przesztłcie elemetre dopuszczle w postępowiu prostym Guss ie zmieiją wrtości wyzczi. Jeżeli przestwilibyśmy wiersze lub olumy to leży jedocześie zmieić z wyzczi: det A ) ) ) l. p. wierszyl. p. olum 22 )

17 2. Odwrcie mcierzy Jeśli mcierz A [ ij ] jest ieosobliw det A to istieje mcierz X [ ] t że AX XA I. x x ij x Mcierz X ozczmy A i zywmy mcierzą odwrotą. Bezpośredio z defiicji wyi że mcierz odwrot jest rozwiąziem mcierzowego ułdu rówń AX I. Jej wyzczeie moż przeprowdzić przy pomocy metody elimicji Guss zstosowej do mcierzy uzupełioej postci [ A I] [ I A ]. 7

18 Ćwiczeie. Wyzcz mcierz odwrotą do mcierzy A 3 2 A

19 9 Częściowy wybór elemetów podstwowych W -tym rou elimicji Guss może się zdrzyć że elemet podstwowy ). Wtedy otrzymmy dzieleie przez zero ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) A.

20 Aby tego uiąć leży wyzczyć ides p ti że 2 mx. ) p i ) i ) ) ) T tz. w wetorze [ ] zleźć współrzędą o jwięszym module. ) Nstępie leży w mcierzy A przestwić wiersze o umerch i p. Jest to rówowże z przestwieiem rówń stąd po tej opercji otrzymmy ułd rówń rówowży poprzediemu.

21 zlezieie idesu elemetu msymlego co do modułu ustloe: 2 MAKS=; MAKS=fbs[][]); p=; fori=+; i<=;i++) if fbs[i][]>maks) { MAKS=fbs[i][]); p=i; }

22 jeżeli MAKS to przestwimy wiersz -ty z p-tym w bieżącej mcierzy w elimicji Guss i otyuujemy elimicję Guss for it i=; j<=+;j++) { r=[][j]; [][j]=[p][j]; [p][j]=r; } jeżeli MAKS= to ułd wejściowy jest osobliwy ończymy metodę elimicji Gus z wyiiem ułd osobliwy. 22

23 Peły wybór elemetu podstwowego Wybór peły zpewi więszą stbilość metody elimicji Guss. W -tym rou postępowi prostego wyzczmy idesy p i q: mx ) pq i j ) ij 23

24 24 tz. szuy elemetu o jwięszym module w blou: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) A Po zlezieiu idesów p i q jeżeli ) pq przestwimy wiersz -ty z p-tym orz olumę q-tą z -tą.

25 Przestwieie olum o umerch i q ozcz T przestwieie w wetorze rozwiązń x [ x x ] współrzędej x z x q. Dltego dodtowo w wetorze Q [ 2 ] przestwimy współrzęde q i tz. r Q[ ] Q[ ] Q[ q] Q[ q] r. 25 Ostteczie więc po wyoiu podstwiei prostego i odwrotego otrzymuje się szue rozwiązie x x x. Q[ ] Q[2] Q[ ] ) Jeżeli postępowie ończymy. pq

26 Peły wybór elemetów podstwowych 26 MAKS=; // zlezieie idesu for it i=; i<=; i++) for j=; j<=; j++) if fbs[i][j]>maks) { p=i; q=j; } if MAKS==) cout << uld osobliwy ; else // przestwieie wierszy i olum

27 { forit j=; j<=; j++) { r=[][j]; [][j]=[p][j]; [p][j]=r; } for it i=; i<=+; i++) { r=[i][]; [i][]=[i][q]; [i][q]=r; } } 27

28 Koszt obliczeń liczb długich dziłń): Dl = dl żdego z wierszy obliczmy możi i odejmujemy wielorotość wiersz pierwszego od pozostłych wierszy. Zer w pierwszej olumie ie obliczmy. 28 Utworzeie jedego owego wiersz osztuje opercji owych wierszy ) opercji.

29 Łączie z obliczeiem slowego elemetu główego otrzymujemy 2 opercji. 29 Ztem: 2 + ) / ½ 2 długich dziłń Postępowie odwrote Guss to = ½ 2 + ½ długich dziłń

30 Uwruowie zdi obliczeiowego Uwruowie zdi jest to wrżliwość wyiu zdi młe względe zburzei dych początowych zdi. Mówimy że zdie jest źle uwruowe jeżeli iewielie w sesie błędu względego) zburzei dych początowych powodują duże w sesie błędu względego) zburzei wyiu. W przeciwym przypdu mówimy że zdie jest dobrze uwruowe. 3

31 Ćwiczeie Rozwiąż ułdy rówń: 3 2x 2x 6y 6.y x 6y 8 2x y 8.2 Jeżeli zdie jest źle uwruowe wyi jest brdzo wrżliwy zburzei dych początowych) to często

32 ie jesteśmy w stie wyzczyć rozwiązi z dużą dołdością względą w dej rytmetyce mszyowej. 32 Dl pewych typów zdń moż zdefiiowć wsźi uwruowi. Jeżeli jest o duży to zdie jest źle uwruowe. Wsźi uwruowi ułdu rówń Ax=b jest rówy A) A A

33 Przyłdem źle uwruowej mcierzy jest mcierz Hilbert H : h ij i j i j = 2 33 dl tórej 3.5 H ) ce gdzie orm H mx hij i j = 2. Ciewym testem jest test dl wetor b i j h ij. Dl dużych rzędu liczbie cyfr mtysy słdowe rozwiązi ie mją i jedej cyfry dołdej.

34 Źródł błędu w rozwiązywiu ułdów rówń liiowych:. Błędy dych wejściowych mcierz A i wetor b) p. dl dych empiryczych 2. Zorąglei wyoywe w czsie obliczeń wyijące ze stosowi sończoej rytmetyi mszyowej. Ich wpływ umuluje się w trcie obliczeń. Czsmi iewielie modyficje wzorów pozwlją poprwieie dołdości. Wzory Crmer 34

35 ze względu zbyt duży oszt i złą jość wyiu ie są stosowe. 3. Błąd metody dotyczący metod itercyjych tóre tylo w gricy są zbieże do rozwiązi dołdego. To źródło błędu ie dotyczy metod dołdych p. metody elimicji Guss i metody Crmer. 4. Metody dołde ie dją błędu metody lecz mogą dwć złe wyii ze względu błędy zorągleń. 35