ESTYMACJA POZIOMU ZAKŁÓCENIA W SZEREGACH CZASOWYCH PRZY POMOCY FILTRU MEDIANOWEGO

Transkrypt

1 POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 80 Electrical Egieerig 04 Grzegorz MIKOŁAJCZAK* Jaub PĘKSIŃSKI* ESTYMACJA POZIOMU ZAKŁÓCENIA W SZEREGACH CZASOWYCH PRZY POMOCY FILTRU MEDIANOWEGO W pracy przedtawioo metodę etymacji poziomu załóceia wyorzytującą filtrację mediaową oraz zajomość wpółczyia reducji zumu. Załada ię, że w proceie wygładzaia tłumioy jet tylo zum, bez zmiay ygału użyteczego. Poziom tłumieia zumu dla filtracji mediaowej, zay jet a priori, co pozwala a doładiejzą etymację poziomu wariacji ładia loowego zeregu czaowego. SŁOWA KLUCZOWE: filtr mediaowy, etymacja wariacji załóceia, zeregi czaowe. WSTĘP Aaliza zeregów czaowych ma dwa główe cele: wyrywaie atury zjawia reprezetowaego przez ewecję oberwacji i progozowaie (przewidywaie) przyzłych wartości zeregu czaowego. Oba te cele wymagają zidetyfiowaia i opiaia, w poób miej lub bardziej formaly, elemetów zeregu czaowego. Wśród ładiów zeregu czaowego możemy wyróżić: tedecja rozwojowa (tred), wahaia ezoowe, wahaia cylicze (oiuturale), wahaia przypadowe (ładi loowy, zum) []. Jedym z problemów w aalizie zeregów czaowych jet reducja iepożądaych załóceń. Z uwagi a wielość metod i algorytmów charateryzujących ię różą złożoością i efetywością uuwaia zumu, tóre zależą od charateru i poziomu załóceia, trudo jet wybrać ajbardziej efetywą metodę. O ile tylo dypoujemy oreśloą wiedzą lub mamy podtawy do poczyieia pewych założeń co do atury i potaci załóceń, możemy dobrać odpowiedią metodę, tóra zapewi optymalą jaość aalizy zeregu czaowego []. Zagadieie etymacji zumu polega ajczęściej a wyzaczeiu odchyleia tadardowego załóceia σ, lub wariacji σ, z zeregu czaowego, przy założeiu, że ładi loowy jet proceem addytywym (), tacjoarym, ieorelowaym z ygałem, o wartości przeciętej zero i rozładzie ormalym [3, 4]: * Zachodiopomori Uiwerytet Techologiczy.

2 06 Grzegorz Miołajcza, Jaub Pęińi x () gdzie: ygał użyteczy, x ygał zazumioy, addytywe załóceie o rozładzie ormalym, wartości przeciętej zero E() = 0 i wariacji V() =. Metody etymacji poziomu załóceia moża podzielić, zaadiczo a dwie grupy. Pierwza bazująca a filtracji ygału zazumioego, polegająca a założeiu, że odfiltroway ygał jet orygiałem, co prowadzi do wyzaczeia odchyleia tadardowego zumu σ a podtawie różicy między ygałem zazumioym a odfiltrowaym. Drugi poób etymacji załóceia polega a zalezieiu w zeregu czaowym miejca gdzie ie wytępuje ygał użyteczy i a tej podtawie wyzaczeiu poziomu załóceia.. IDEA METODY ESTYMACJI Do ozacowaia załóceia propouje ię wyorzytać filtrację mediaową, tórej działaie opiae jet w atępujący poób. Stadardowy filtr mediaowy otrzymyway jet w wyiu uporządowaia próbe wejściowych x i w olejości roącej i wybór jao wyjściowej, środowej wartości pośród ich, jeżeli ilość pobraych próbe jet ieparzyta. W przeciwym razie próbą wyjściowa filtru mediaowego jet dowola wartość zajdująca ię pomiędzy wartościami dwóch środowych (ajczęściej średia arytmetycza). Ozaczając x = (x, x,..., x N ) jao zbiór oberwacji, a ich mediaę jao med(x) to powyżzą zależość moża zapiać wzorem [4]: xv, gdy N v med( x) x x () v v, gdy N v W proceie wygładzaia atępuje reducja wariacji załóceia do wartości opiaych zależościami przedtawioymi w Tabeli [7]. Zajomość tych zależości jet podtawą do opracowaia metody etymacji poziomu załóceia. Załada ię, że w proceie wygładzaia atępuje tylo reducja wariacji zumu według zależości przedtawioej w tabeli, atomiat wariacja ygału użyteczego V() = σ pozotaje bez zmia. Przyjmując, że oberwoway zereg czaowy jet potaci (), oraz uwzględiając, że zum i ygał użyteczy ie ą orelowae, wariacja ygału wejściowego wyoi: V ( x) (3) Załadając, że wygładzaie reduuje tylo wariację załóceia, możemy apiać zależość a wariację ygału wyjściowego jao: V ( y) (4)

3 Etymacja poziomu załóceia w zeregach czaowych przy pomocy filtru Tabela. Graicze wartości wariacji załóceia a wyjściu filtrów średiej ruchomej i mediay, przy różych modelach załóceia oraz przy zachowaiu zgodości tłumieia, N-ilość elemetów w oie Model załóceia Rozład jedotajy:, 3 x 3 f ( x) 3 0, w przeciwym razie Rozład Gaua (ormaly): f ( x) e Rozład Laplace a: f ( x) e x / x / Średia ruchoma N N N Mediaa 3 N Ozaczając: V(y) = V med wariacja po filtracji mediaowej, V(x) = V 0 wariacja ygału bez wygładzaia, otrzymujemy: Vmed (5) V0 V0 (6) Podtawiając (6) do (5), po przeztałceiach otrzymujemy zależość a wariację załóceia (7), wyzaczoą a podtawie zajomości wariacji ygału załócoego oraz wariacji ygału po filtracji mediaowej: ( V0 V med ) (7) Przedtawioy powyżej poób wyzaczeia wariacji załóceń (7) charateryzuje ię potrzebą zajomości tylo wariacji ygału wejściowego i wyjściowego, tórych wartość możemy obliczyć [0]. Pozwala to w poób proty wyzaczyć poziom załóceń. 3. WYNIKI TESTÓW Propoowaą metodę etymacji wariacji załóceia, przedtawioą w rozdziale, poddao tetom, polegającym a wygładzaiu ciągu próbe {x }, wygeerowaych a podtawie tłumioego ygału harmoiczego { } (8), przedtawioym a ryuu, załócoych zumem { }, o rozładzie ormalym (Gaua), wartości przeciętej zero E() = 0 i wariacji V() =, gdzie wartość odchyleia tadardowego zmieiao w zareie od 0 do 0.

4 08 Grzegorz Miołajcza, Jaub Pęińi e K 4 i K (0; K ) (8) Ry.. Przebieg ygału orygialego { } oraz załócoego zumem o rozładzie ormalym {x } Dla ażdej wartości geerowao M = 0 iezależych załóceń dla tórych otrzymywao wyetymowae wartości,m, tórych wyzaczao średią będącą etymatorem próby:, for m M (9) M m m Natępie dla ażdej wartości wyzaczao obciążeie etymatora μ oraz odchyleie tadardowe SD etymatora (9): ; SD, m (0) M m Do porówaia wyiów etymacji załóceia zatoowao miarę błędu średiowadratowego: MSE, m () M m Etymacji załóceia wyoao dla różej ilości elemetów zeregu: K = 00, K = 500, K = 000, ja i zmieej ilości elemetów w oie (N) filtru mediaowego (). 4. PODSUMOWANIE Aalizując otrzymae rezultaty etymacji załóceia przedtawioe w tabeli, moża twierdzić, że we wzytich przypadach uzyao zadowalające wyii, a w zczególości dla wartości załóceia <0 w przypadu zeregu liczącego K = 00 próbe. Natomiat z ry. moża zaoberwować, że wartość błędu średiowaratowego () MSE<0.75 dla zeregów o liczbie próbe K = 500 i K = 000.

5 Etymacja poziomu załóceia w zeregach czaowych przy pomocy filtru Ry.. Wyre wartości błędu średiowadratowego MSE dla pozczególych tetów w fucji wartości odchyleia tadardowego załóceia Tabela. Wartości pozczególych waźiów: μ, SD MSE uzyaych w obliczeiach dla K = 00 próbe zeregu czaowego N=3 N=5 N=7 μ SD MSE μ SD MSE μ SD MSE

6 0 Grzegorz Miołajcza, Jaub Pęińi Reaumując moża przyjąć poprawość poczyioych założeń, dotyczących brau wpływu filtracji mediaowej a ygał użyteczy oraz zajomości wpółczyia tłumieia tego filtru a załóceie o rozładzie ormalym. LITERATURA [] L. Ljug, Sytem idetificatio theory for Uer. Pretice-Hall, Eglewood CliP, NJ, 987. [] H. Poor, A Itroductio to Sigal Detectio ad Etimatio. New Yor: Spriger- Verlag, 985. [3] P.G. Ferrario, Local Variace Etimatio for Uceored ad Ceored Obervatio, Spriger Vieweg, 03. [4] S.K. Mitra, J.F.Kaier, Hadboo Digital Sigal Proceig, Joh Willey 993. [5] A. Joe, New tool i o-liear modellig ad predictio, Computatioal Maagemet Sciece, vol., o., pp , Jul [6] M. Neuma, Fully data-drive oparametric variace etimator Statitic, vol. 5, pp. 89-, 994. [7] J. Kowali,J. Peii, G. Miolajcza, Detectio of oie i digital image by uig the averagig filter ame COV Itelliget Iformatio ad Databae Sytem 5th Aia Coferece, ACIIDS 03, Proceedig, Pt. ed.: Ali Selamat, Ngoc Thah Nguye, Habibollah Haro Berli [i i.] : Spriger, pp [8] H. Pi ad C. Petero, Fidig the embeddig dimeio ad variable depedecie i time erie, Neural Computatio, vol. 6, o. 3, pp , 994. [9] E. Eirola, E. Liiti aie, A. Ledae, F. Coroa, ad M. Verleye, Uig the delta tet for variable electio, i ESANN 008, Europea Sympoium o Artificial Neural Networ, Bruge (Belgium), pp [0] J. Peii, M. Stefaowi, G. Miolajcza, Etimatig the level of oie i digital image. Itelliget multimedia techologie for etworig applicatio: techique ad tool ed. Dimitri N. Kaellopoulo Iformatio Sciece Referece, pp , 03. ESTIMATION OF THE LEVEL OF DISTURBANCE IN TIME SERIES USING A MEDIAN FILTER Thi paper preet a method of etimatig the level of diturbace, baed o media filtratio ad the aumptio that the moothig proce applie to oie, excluively. The owledge of a oie reductio coefficiet eable the determiig of a etimated quatity.