MODELOWANIE PROBABILISTYCZNE PROCESU PRZESYŁANIA KOMUNIKATÓW W SYSTEMACH ROZPROSZONYCH

Transkrypt

1 Zbigiew WESOŁOWSKI MODELOWANIE PROBABILISYCZNE PROCESU PRZESYŁANIA KOMUNIKAÓW W SYSEMACH ROZPROSZONYCH SRESZCZENIE W artykule omówioo zagadieia modelowaia probabilityczego oraz aalizy tatytyczej proceu przeyłaia komuikatów w ytemach rozprozoych Przyjęto że modelami probabilityczymi przepływości lików ieciowych ą ietacjoare ze względu a wartość oczekiwaą procey tochatycze Aalizy tatytycze prowadzi ię a podtawie daych geerowaych przez ymulator tochatyczy proceu przepływów daych w ieciach komputerowych Dae geerowae przez ymulator ą iterpretowae jako realizacje ietacjoarych proceów tochatyczych Przytoczoo przykład wykorzytaia propoowaego podejścia do badaia proceu przeyłaia daych w protym ytemie rozprozoym Słowa kluczowe: modelowaie probabilitycze ytemy rozprozoe aaliza tatytycza ietacjoarych zeregów czaowych 1 WSĘP Jedym z otwartych problemów wpółczeej matematyki i iformatyki jet zagadieie modelowaia matematyczego ytemów złożoych z wielu wzajemie oddziałujących a iebie elemetów [1 2] Przykładami takich ytemów ą: koloie mrówek orgaizmy żywe portale połeczościowe oraz ieci komputerowe W ytemach tych wzajema iterakcja elemetów prawia że proce wymiay iformacji taje ię tak komplikoway i ieprzewidywaly że iezwykle trudo jet go zrozumieć a zatem i opiać w potaci zależości matematyczych Do modelowaia matematyczego takich ytemów touje ię róże podejścia [3-8] w tym łańcuchy Markowa [3] oraz układy chaotycze [4] W pracach [6 8] przeprowadzoo aalizy krytycze dotyczące możliwości wykorzytaia różych podejść formalych do modelowaia Iteretu W pracy zapropoowao podejście probabilitycze [9 10] którego itotą jet wykorzytaie ietacjoarych ze względu a wartość oczekiwaą proceów tochatyczych dr iż Zbigiew WESOŁOWSKI zweolowki@watedupl Wojkowa Akademia echicza Warzawa 49 ul Ge Sylwetra Kalikiego 2 PRACE INSYUU ELEKROECHNIKI zezyt

2 106 Z Weołowki Podejście to uwzględia fakt że procey tramiji daych w ieciach komputerowych podlegają gwałtowym i ieprzewidywalym zmiaom Aalizy tatytycze proceów przeyłaia daych w likach oraz ścieżkach ieciowych ytemów rozprozoych prowadzi ię a podtawie wyików ymulacji komputerowej Krótki opi ymulatora zamiezczoo w pukcie 3 Do badaia rozważaych proceów zatoowao metody aalizy ietacjoarych zeregów czaowych [9 11] 0 Wprowadźmy ozaczeia: zbiór liczb rzeczywitych 0 0 zbiór liczb całkowitych zbiór liczb aturalych 0 2 zbiór parametrów czaowych 0 WN zum biały o zerowej wartości oczekiwaej i wariacji 2 ( 0 ) zbiór wzytkich fukcji określoych a zbiorze i o wartościach w Niech P będzie przetrzeią probabilityczą a której będą zdefiiowae wzytkie zmiee loowe 2 MODEL SYSEMU ROZPROSZONEGO Model matematyczy ytemu rozprozoego określa dwójka: (N D) gdzie: N jet modelem truktury D jet modelem proceu przeyłaia komuikatów (1) 21 Model truktury ytemu rozprozoego Model N (1) określa ieć: gdzie: N=(V E c) (2) V H R v1 v2 v mv jet zbiorem wierzchołków H h1 h2 h mh jet zbiorem wierzchołków reprezetujących komputery R r1 r2 r mr jet zbiorem wierzchołków reprezetujących routery oraz mv mh mr; E e1 e2 e me jet zbiorem krawędzi kierowaych reprezetujących jedokierukowe liki łączące wzytkie elemety ze zbioru V; c me 1 c1 c2 c m E jet wektorem przeputowości lików Niech K 1 mh L m będzie zbiorem umerów komputerów ze zbioru H Niech 1 E będzie zbiorem umerów krawędzi ze zbioru E Niech

3 Modelowaie probabilitycze proceu przeyłaia komuikatów 107 P p1 p2 p mp będzie zbiorem ścieżek łączących wzytkie pary różych 1 2 komputerów ze zbioru H gdzie: p p r r r jet ścieżką i łączącą parę różych komputerów H H r R dla: i1 1 mp Załóżmy że komputery ze zbioru H ą połączoe pojedyczymi 1 P będzie zbiorem umerów ścieżek ze zbioru P Zaady przeyłaia komuikatów w ieci N (2) określa biara macierz routigu: acykliczymi i tatyczymi ścieżkami Niech S m rl m EmP R (3) 1 dla el p rl 0 dla el p gdzie: el E dla l L; p P dla S Elemet r l macierzy R przyjmuje wartość jede jeśli lik e l ależy do ścieżki p oraz przyjmuje wartość zero w przeciwym przypadku Niech L ll: rl 1 będzie zbiorem umerów lików ależących do ścieżki S Niech Sl S: rl 1 będzie zbiorem umerów ścieżek zawierających lik l l L 22 Model proceu przeyłaia komuikatów Przyjmijmy że a każdym komputerze ze zbioru H ą wykoywae procey obliczeiowe zwae agetami które wymieiają komuikaty z iym agetami Załóżmy że każdy aget może wymieiać komuikaty z pojedyczym agetem A a a a będzie zbiorem wykoywaym a iym komputerze Niech k k1 k2 km Ak agetów wykoywaych a komputerze h k H gdzie 1 ma m 1 k H dla k K Niech A Ak a1 a2 am A będzie zbiorem agetów wykoywaych a kk wzytkich komputerach ze zbioru H gdzie: ma m kk A k mh ma mh mh 1 Komuikaty ą przeyłae między parami różych agetów a b A A a b wzdłuż ścieżek p p P dla S Z tego założeia wyika że ma mp W parze a b aget a jet azyway adawcą (lub źródłem) atomiat aget b jet azyway odbiorcą (lub ujściem) komuikatów przeyłaych wzdłuż ścieżki p Niech 1 2 m M M m m m będzie komuikatem geerowaym przez ageta a gdzie: mi B B={01} jet zbiorem liczb biarych dla i1 m M Niech

4 108 Z Weołowki M M1 M2 M ma będzie zbiorem komuikatów geerowaych przez wzytkich agetów ze zbioru A Źródło a geeruje komuikaty z zybkością Y gdzie Y 0 Po wyłaiu każdego pakietu daych źródło oczekuje a pakiet ACK potwierdzający odebraie przez ujście b uprzedio wyłaego pakietu Model proceu geerowaia komuikatów przez ageta a A określa trójka: G Y S (4) y gdzie: : Y jet zmieą loową będącą modelem probabilityczym zybkości geerowaia komuikatów przez ageta a Model proceu przeyłaia komuikatów przez lik l l L ależący do ścieżki S określa trójka: D l l l L S (5) gdzie: l : jet proceem tochatyczym z czaem dykretym będącym modelem probabilityczym przepływości liku l l L Model proceu przeyłaia komuikatów wzdłuż ścieżki określa trójka: D S (6) gdzie: : jet proceem tochatyczym z czaem dykretym będącym modelem probabilityczym przepływości ścieżki Model D (1) określa atępująca zótka: D Y ; S ; ll S ; S l 3 SYMULACJA PROCESU PRZESYŁANIA KOMUNIKAÓW W SYSEMACH ROZPROSZONYCH Symulacją komputerową proceu przeyłaia komuikatów w ytemach rozprozoych azywamy umeryczą metodę wiokowaia o długościach przedziałów czau przeyłaia komuikatów przez wzytkie liki ze zbioru L oraz przez wzytkie ścieżki ze zbioru S a podtawie oberwacji działaia programu komputerowego ymulującego te proce Symulację prowadzi ię metodą kolejych zdarzeń [12] Zdarzeia polegają a zakończeiu przeyłaia pakietów przez liki ze zbioru L Zachodzą oe w chwilach loowych ze zbioru

5 Modelowaie probabilitycze proceu przeyłaia komuikatów 109 Niech M M ozacza pakiet wygeeroway przez źródło a w chwili Niech t 1 t 2 t m pakietów t będzie zbiorem loowych chwil geerowaia M przez źródło a Niech N 1 m będzie zbiorem umerów M N M chwil ze zbioru Jak moża zauważyć zachodzi rówość Każdy pakiet jet przekazyway wzdłuż wzytkich ścieżek ze zbioru L Niech M 1 0 x l tl tl będzie długością przedziału czau przeyłaia pakietu M przez lik l l L gdzie: 0 t l 1 tl chwilą zakończeia przeyłaia pakietu M x x będzie długością przedziału czau ll przeyłaia pakietu rozpoczęcia a gdzie t l M przez ścieżkę S 1 t chwilą zakończeia przeyłaia pakietu M Ekperymet ymulacyjy polega a oberwacji długości l 0 1 l tl tl jet chwilą rozpoczęcia a przez te lik Niech 0 1 t t 0 t t jet chwilą gdzie: xl przez tę ścieżkę przedziałów czau dla: N l L S x l L S azywamy wyikami ekperymetu ymulacyjego Załóżmy że ekperymet ymulacyjy będzie powtarzay m m razy Liczbę m wyzacza ię tak aby zapewić 100(1-α)% przedział ufości dla wartości 1 m oczekiwaych ˆ l x 1 l z prób x l l L S [10 11] Niech m Próby l xl 1 xl 2 xl m I 1 m będzie zbiorem umerów ekperymetów ymulacyjych Próbę i x i1 x i2 x i m xl l l l azywamy wyikiem i i I ekperymetu ymulacyjego polegającego a oberwacji długości przedziałów czau przeyłaia wzytkich pakietów wygeerowaych przez źródło a wzdłuż liku l l L Macierze: X l x x x m x l l l l l xl xl xl m x (7) l m x xl m1 xl m2 xl m m dla: l L S azywamy wyikami ymulacyjego badaia proceu przeyłaia komuikatów w ytemach rozprozoych

6 110 Z Weołowki 4 ESYMACJA PARAMERÓW MODELI PROBABILISYCZNYCH PROCESÓW PRZESYŁANIA KOMUNIKAÓW W LINKACH SIECIOWYCH SYSEMÓW ROZPROSZONYCH Macierz X l (7) zapizmy w potaci: 1 2 m Xl x l xl xl m1 1 2 l l l l gdzie x x x x m jet -tą kolumą macierzy X l dla N Jak moża zauważyć kładowe xl i i I próby x l ą zaoberwowaymi w toku wykoywaia ekperymetów ymulacyjych długościami przedziałów czau przeyłaia pakietu M wzdłuż liku l l L dla N Składowe próby x l iterpretuje ię jako realizacje proceu tochatyczego l (5) tj l xl i gdzie i jet zdarzeiem elemetarym dla i I Niech i 1 m ˆ l x i 1 l i będzie średią z próby x l którą iterpretuje ię jako m ozacowaie oczekiwaej długości przedziału czau przeyłaia pakietu M przez lik l l L Załóżmy że ciąg zmieych loowych ˆ pełia rówaie o potaci: l N gdzie: l : ˆ l l l l l l β z N (8) jet tredem ciągu ˆ m 4 jet wektorem parametrów tredu l 2 ~ WN0 l l N l l l m β ˆ ˆ 2 ˆ 3 l l l l z l Pozukujemy modelu trukturalie zgodego z układem (8) o potaci: oraz ˆ l l blzl N (9) gdzie: ˆ l : jet modelem tredu b l l bl bl bl m jet wektorem iezaych parametrów modelu ˆl

7 Modelowaie probabilitycze proceu przeyłaia komuikatów 111 Załóżmy że pozukiway model ˆl ma miimalizować błąd średiokwadratowy E 2 l gdzie ˆ l l l dla N Rówaia (8) zapizmy w potaci macierzowej: ˆ l l l l μ Z β δ gdzie: μ 1 2 Zl zl zl zl m 1 2 m m 1 ˆ ˆ ˆ ˆ l l l l Rówaia (9) przybierają atępującą potać macierzową: μ Zb l l l m m 1 2 m m 1 gdzie μ l l l l 1 Zadaie polega a zalezieiu wektora ˆ m b takiego że: l ˆ b 1 ˆ ˆ l b m l εε l l μl Zb l l μl Zb l l f mi f bl (10) 1 2 gdzie: ε ˆ ˆ l l l l l l l l l μ μ μ Zb Zadaie (10) jet liiowym zadaiem ajmiejzych kwadratów [9-11] Miimalizowaą umę błędów średiokwadratowych zapizmy w potaci: f m b μˆ Zb μˆ Zb l l l l l l l μμ ˆ ˆ μzb ˆ bzμˆ b Z Z b μμ ˆ ˆ 2 b Z μˆ b Z Z b l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l Różiczkując powyżzą fukcję względem wektora b l mamy: f b b 2Z μˆ 2Z Z b l l l l l l l Przyrówując powyżzą różiczkę do zera otrzymujemy waruek optymalości z którego wyika układ rówań ormalych o potaci: Z μˆ Z Z b l l l l l

8 112 Z Weołowki Jeżeli macierz Z lz l jet ieoobliwa to rozwiązaiem zadaia (10) jet etymator o potaci: 1 ˆ b Z Z Z μ ˆ l l l l l 5 ESYMACJA PARAMERÓW MODELI PROBABILISYCZNYCH PROCESÓW PRZESYŁANIA KOMUNIKAÓW W ŚCIEŻKACH SIECIOWYCH SYSEMÓW ROZPROSZONYCH m1 Niech l x1 x2 xm ll kładowymi x i x i i I x x będzie próbą której ll l ą zaoberwowae w toku wykoywaia ekperymetów ymulacyjych długości przedziałów czau przeyłaia pakietu M wzdłuż ścieżki S Składowe próby x iterpretuje ię jako realizacje proceu tochatyczego (6) tj xi gdzie i jet zdarzeiem i 1 m elemetarym dla i I Niech ˆ x i 1 i będzie średią z próby x którą m iterpretuje ię jako ozacowaie oczekiwaej długości przedziału czau przeyłaia pakietu M przez ścieżkę S Załóżmy że ciąg zmieych loowych ˆ N pełia rówaie o potaci: gdzie: : ˆ β z N (11) jet tredem ˆ N wektorem iezaych parametrów tredu 2 ~ WN0 m β 0 1 m 4 jet 1 ˆ ˆ 2 ˆ 3 z Pozukujemy modelu trukturalie zgodego z układem (11) o potaci: oraz ˆ bz N (12) gdzie: ˆ : jet modelem tredu b b b b m jet wektorem iezaych parametrów modelu ˆ (11)

9 Modelowaie probabilitycze proceu przeyłaia komuikatów 113 Załóżmy że pozukiway model ˆ ma miimalizować błąd średiokwadratowy E 2 gdzie ˆ dla N Rówaia (11) zapizmy w potaci macierzowej: ˆ μ Z β δ μ 1 2 m m 1 gdzie: ˆ ˆ ˆ ˆ m 1 2 m Z m z z z Rówaia (12) przybierają atępującą potać macierzową: μ Zb 1 2 m m 1 gdzie μ Zadaie polega a zalezieiu wektora b ˆ takiego że: ˆ b 1 ˆ ˆ b m εε μ Zb μ Zb f mi f b (13) 1 2 gdzie: ε ˆ ˆ μ μ μ Zb Rozwiązując zadaie (13) w poób aalogiczy do poobu rozwiązywaia zadaia (10) otrzymujemy etymator parametrów fukcji ˆ (13) o potaci: m 1 ˆ b Z Z Z μ ˆ Przykład 1 Rozważmy zagadieie ymulacyjego badaia proceu przeyłaia komuikatów w protym ytemie rozprozoym którego trukturę reprezetuje ieć N=(VEc) przedtawioa a ryuku 1 gdzie: V H R H h 1 h m m 3 H H R r E e 1 e m 3 E E c 1 c m E p p gdzie: p h r h p h r h P potacie: K={123} S={12} L={123} m c Zbiór P przyjmuje potać Zbiory K S i L przybierają Ry 1 Wykre ieci N reprezetującej trukturę techiczą ytemu rozprozoego

10 114 Z Weołowki Macierz routigu R (3) przybiera potać: 1 0 R Załóżmy że wektor przeputowości c ma potać c Załóżmy dalej że komuikaty ze zbioru M mają długości mm 200 [Mb] dla S Przyjmijmy że zmiee loowe (4) S mają róże rozkłady Weibulla tj ~ W gdzie: Liczba powtórzeń ekperymetów ymulacyjych wyoi m=138 atomiat zbiory N S mają długości: m 31 m l xl xl xl m Niech x będzie próbą zawierającą zaoberwowae długości przedziałów czau przeyłaia pakietu M M N przez lik l l L ależący do ścieżki S Na ryuku 2 przedtawioo wyiki aalizy tatytyczej proceu przeyłaia komuikatów wzdłuż lików ze zbiorów L S l Niech x x będzie próbą zawierającą zaoberwowae długości przedziałów l L czau przeyłaia pakietu M M N przez ścieżkę S Na ryuku 3 przedtawioo wyiki aalizy tatytyczej proceu przeyłaia komuikatów wzdłuż ścieżek ze zbioru S 6 PODSUMOWANIE W pracy przedtawioo model probabilityczy proceu przeyłaia komuikatów w ytemach rozprozoych uwzględiający iepewość wytępującą w przepływach daych we wpółdzieloych likach ieci komputerowych Uwzględiając fakt że proce te podlega gwałtowym i ieprzewidywalym zmiaom przyjęto że modelami probabilityczymi przepływów daych zarówo we wpółdzieloych likach jak i ścieżkach ieciowych ą ietacjoare ze względu a wartość oczekiwaą procey tochatycze Do etymacji parametrów tych proceów zatoowao metodę ajmiejzych kwadratów Jedym z obiecujących kieruków dalzych prac jet zatoowaie do modelowaia matematyczego przepływów daych w ieciach komputerowych loowych układów dyamiczych [13] które umożliwiają wykorzytaie oiągięć zarówo proceów tochatyczych jak i układów chaotyczych

11 Modelowaie probabilitycze proceu przeyłaia komuikatów 115 (a) (b) (c) (d) Ry 2 Wyiki aalizy tatytyczej proceu przeyłaia komuikatów w likach ieciowych ytemu rozprozoego: (a) średie ˆ 11 (pukty) z prób x 11 dla N1 oraz wykre tredu 11 ˆ (liia ciągła) ciągu zmieych loowych ˆ 11 ; (b) średie ˆ 13 N1 (pukty) z prób x 13 dla N1 oraz wykre tredu 13 ˆ (liia ciągła) ciągu zmieych loowych ˆ 13 ; (c) średie ˆ (pukty) z prób x dla N2 oraz wykre tredu ˆ 22 N1 (liia ciągła) ciągu zmieych loowych 22 ˆ 22 N2 22 ˆ 23 ; (d) średie (pukty) z prób x N 2 oraz wykre tredu ˆ 23 (liia ciągła) ciągu zmieych loowych ˆ 23 N2 23 dla (a) (b) Ry 3 Wyiki aalizy tatytyczej proceu przeyłaia komuikatów w ścieżkach ieciowych ytemu rozprozoego: (a) średie ˆ 1 (pukty) z prób x 1 dla N1 oraz wykre tredu 1 ˆ (liia ciągła) ciągu zmieych loowych ˆ 1 ; (b) średie ˆ 2 (pukty) z prób x 2 N1 N 2 oraz wykre tredu ˆ 2 (liia ciągła) ciągu zmieych loowych ˆ 2 N2

12 116 Z Weołowki LIERAURA 1 Committee o Network Sciece for Future Army Applicatio Network Sciece Natioal Academie Pre Lewi G: Network Sciece: heory ad Applicatio Joh Wiley & So Hoboke Dabrowki C Hut F: Uig Markov Chai Aalyi to Study Dyamic Behavior i Large-Scale Grid Sytem Proceedig of the 7th Autralaia Sympoium o Grid Computig ad e-reearch Welligto New Zealad Ja Deae JHB Jefferie DJ Smythe C: Chaotic raffic Flow i Local Area Network Proceedig of the 11th Europea Coferece o Circuit heory ad Deig Davo Switzerlad Mill K Dabrowki C Ivetigatig Global Behavior i Computig Grid I de Meer H Sterbez J P G (Ed): Self-Orgaizig Sytem Lecture Note i Computer Sciece Volume Paxo V Floyd S: Difficultie i Simulatig the Iteret IEEE/ACM raactio o Networkig Vol No Srikat R: he Mathematic of Iteret Cogetio Cotrol Birkhäuer Williger W: Paxo V Where Mathematic Meet the Iteret Notice of the AMS September 1998 Vol 45 No Box GEP Jeki GM Reiel GC: ime Serie Aalyi: Forecatig ad Cotrol Wiley Pacut A: Prawdopodobieńtwo: teoria modelowaie probabilitycze w techice WN Ljug L: Sytem Idetificatio: heory for the Uer Pretice Hall Fihma GS: Dicrete-Evet Simulatio Spriger Bhattacharya R Majumdar M: Radom Dyamical Sytem: heory ad Applicatio Cambridge Uiverity Pre 2007 Przyjęto do druku dia r PROBABILISIC MODELING OF HE MESSAGE PASSING PROCESS IN DISRIBUED SYSEMS Zbigiew WESOŁOWSKI ABSRAC he article dicue a iue of the probabilitic modelig of the meage paig proce i ditributed ytem It ha bee aumed that the probabilitic model of bitrate i etwork lik are otatioary due to the expected value of tochatic procee Statitical aalyi i carried out o the bai of data geerated by the tochatic imulator of the data flow proce i computer etwork he data geerated by the imulator have bee iterpreted a realizatio of tochatic procee he paper iclude a example of the applicatio of the preeted approach to reearch the meage paig proce i a imple ditributed ytem Keyword: probabilitic modelig ditributed ytem tatitical aalyi o-tatioary time erie

13 Modelowaie probabilitycze proceu przeyłaia komuikatów 117 Dr iż Zbigiew WESOŁOWSKI jet pracowikiem aukowo-dydaktyczym Wydziału Cyberetyki Wojkowej Akademii echiczej Aktualie zajmuje ię badaiem iezawodości ytemów oraz modelowaiem i ymulacyjym badaiem efektywości ytemów rozprozoych

14 118 Z Weołowki