Wnioskowanie statystyczne dr Alicja Szuman

Transkrypt

1 Wiokowaie tatytycze dr Alicja Szuma Literatura: J. Jóźwiak, J. Podgórki Statytyka od podtaw PWE Warzawa 006 J. Kudelki, I. Roeke Slomka Statytyka AE Pozań 995 J. Greń Statytyka matematycza. Modele i zadaia PWN Warzawa 984 J. Paradyz (red.) Statytyka AE Pozań 005 Kalkulatory Na egzami uche wzory a jedej kartce A4 może być dwutroie zapiaa

2 Wiokowaie tatytycze a tatytyka opiowa Statytyka opiowa oparta jet a idukcji zupełej, ukazuje metody gromadzeia, opracowaia, prezetacji daych wraz z umaryczym ich opiem przy wykorzytaiu właściwych arzędzi tatytyczych. Statytyka matematycza (wiokowaie tatytycze) oparta jet a idukcji iezupełej. teoria etymacji metoda etymacji umożliwia zacuek iezaych parametrów w populacje a podtawie próby. teoria weryfikacji hipotez tatytyczych pozwala a prawdzeie hipotez o parametrach lub kztałcie rozkładu populacji a podtawie wyików z próby. Wiokowaie tatytycze to procedura podejmowaia decyzji o parametrach i rozkładach w zbiorowości geeralej a podtawie wyików z próby. Podtawowymi kategoriami toowaymi w procedurze wiokowaia tatytyczego ą zmiee loowe i ich rozkłady teoretycze. Zdarzeia loowe to takie wyiki uzykae przez relację daego proceu, które mogą w określoym zepole waruków wytąpić lub ie wytąpić. Jeżeli każdorazowa realizacja określoego doświadczeia daje to amo zdarzeie A, to zdarzeie to azywamy zdarzeiem pewym. Natomiat jeśli każdorazowa realizacja doświadczeia ie daje zdarzeia A, to realizację zdarzeia A uważamy za iemożliwe. Jeżeli realizacja przypadkowego zdarzeia iekiedy prowadzi do zdarzeia A, a iekiedy ie, azywamy to zdarzeiem przypadkowym. Zmiea loowa w wyiku doświadczeia przyjmuje określoą wartość o zrealizowaiu tego doświadczeia, a ie dającą ię przewidzieć przed tym doświadczeiem. Zmiea loowa może przybierać wartości z przedziału liczb rzeczywitych i to z określoym prawdopodobieńtwem. P(x xi) pi <- prawdopodobieńtwo pi moża traktować jako wartość przyjmowaą przez zmieą loową. Suma prawdopodobieńtwa pi Pi f(xi) Zmiee loowe ozaczamy dużymi literami alfabetu p. X, Y, Z. Małymi literami alfabetu ozaczają realizację czyli wartości przybierae przez zmiee loowe zwae realizacjami x, y, z. Pojęciem związaym ze zmieą loową i jej rozkładu jet pojęcie dytrybuaty. Dytrybuata zmieej loowej to fukcja zmieej rzeczywitej określoa wzorem:

3 Właściwości dytrybuaty: przyjmuje wartości od 0 do fukcja malejąca, tz. dla x<x zawze F(x) F(x) fukcja lewotroa ciągła F(- ) 0; F(+ ) Rozkłady empirycze i teoretycze zmieej loowej warukują przeprowadzeie wikliwego opiu zbiorowości tatytyczej. Rozkłady empirycze pochodzą z oberwacji utalae ą a podtawie kokretych wielkości. Rozkłady teoretycze aprokymowae ą za pomocą rozkładów probabilityczych. Rozkład zmieej loowej może być przedtawioy za pomocą fukcji matematyczej( ) Najważiejzymi parametrami zmieej loowej X ą: wartość oczekiwaa (adzieja matematycza) średiej arytmetyczej rozkładu zmieej X w zbiorowości geeralej wariacja oraz odchyleie tadardowe Zmiea loowa kokowa to taka zmiea, która ma przeliczoy i kończoy zbiór wartości. Zmiea loowa ciągła przybiera dowole wartości z określoego przedziału. Rozkłady: dla zmieej loowej kokowej: - zerojedykowy - dwumiaowy (Beroulliego) - Pojoa dla zmieej loowej ciągłej: - ormaly Gaua Laplace a Rozkład zerojedykowy - jet o rezultatem takiego doświadczeia, którego określoe zdarzeie wytąpi lub ie. Zdarzeiem elemetarym realizującym zadaie A jet liczba, a ie realizującym zdarzeia A jet liczba 0. Rozkład dwumiaowy korzytamy z iego, gdy określamy prawdopodobieńtwo wytąpieia k razy określoego zdarzeia w iezależych doświadczeiach, przy daym prawdopodobieńtwie p Jeśli: p q rozkład ymetryczy p q rozkład aymetryczy - aymetria dodatia, gdy p < q - aymetria ujema, gdy p > q Jeśli p, q i dążą jedocześie do iekończoości, to rozkład te przekztałca ię w rozkład ormaly.

4 Wartość oczekiwaa: E(x) p σ² (x) pq σ (x) Rozkład Pojoa zczególy przypadek rozkładu dwumiaowego. Wykorzytujemy go, gdy liczba erii doświadczeia jet iekończoa ( ), prawdopodobieńtwo p maleje do zera (p 0), a iloczy p jet wartością tałą (λ > 0). gdzie e,78 (podtawa logarytmu aturalego) k liczba realizacji elemetów wyróżioych w doświadczeiu Rozkład ormaly Zmiea loowa ciągła X ma rozkład ormaly, jeśli jej fukcja gętości prawdopodobieńtwa wyraża ię wzorem: gdzie: M (x) wartość oczekiwaa f(x) fukcja gętości rozkładu ormalego Właściwości krzywej fukcji ormalej: krzywa w kztałcie dzwou fukcja ta poiada jedo makimum i jet oo mediaą, średią arytmetyczą, domiatą rozkłady oraz wartością oczekiwaą pole fukcji f(x) obejmuje zbiór liczb rzeczywitych wewątrz przedziału od M-σ do M+σ krzywa jet wypukła, a a zewątrz jet wklęła krzywa ma dwa pukty przegięcia, a wpółrzędych M-σ oraz M+σ lewe i prawe ramię zbliża ię aymptotyczie do oi odciętych, ale jej ie przeciają. Reguła trzech igm przyjmuje oa jako blikie prawdopodobieńtwo, że realizacja zmieej loowej ciągłej ie będzie różiła ię od wartości oczekiwaej więcej aiżeli o trzy odchyleia tadardowe. Zmiea tadaryzowaa to duża litera U, a realizacja to mała litera u. Etymacja (zacowaie) polega a tym, że a podtawie iekompletych daych ze zbioru pochodzących z próby, wiokuje ię o wartościach liczbowych zbioru, a otrzymae w te poób wioki łużą do podejmowaia decyzji. Metody etymacji: etymacja puktowa etymacja przedziałowa

5 Etymacja puktowa oblicza pojedyczą liczbę dla każdego iezaego parametru, p.: - etymatorem średiej arytmetyczej jet średia arytmetycza z próby, - etymatorem wariacji populacji geeralej jet wariacja z próby. Etymacja przedziałowa polega a zacuku parametru w potaci takiego przedziału zwaego przedziałem ufości, który z dużym prawdopodobieńtwem obejmuje prawdziwą wartość parametru. Właściwości dobrego etymatora: ieobciążoy etymator jet ie obciążoy, gdy wartość etymatora jet rówa parametrowi z próby. zgodość z prawem wielkich liczb prawdopodobieńtwo, że etymator jet zgody z prawem wielkich liczb, z wielkością liczebości próby. Wówcza etymator będzie przyjmował wartości blikie parametru. Ryzyko popełieia błędu jet iewielkie. efektywy - poiadać powiie możliwie małą wariację. Każdy etymator jet zmieą loową mającą określoy rozkład prawdopodobieńtwa. Przedział ufości dla średiej arytmetyczej: Model Jeśli populacja geerala ma rozkład ormaly N(m, σ), ze zaym odchyleiem tadardowym σ, z populacji pobrao próbę N elemetową i przy takich założeiach dla średiej m przy wpółczyiku ufości ά ma potać: x średia arytmetycza obliczaa a podtawie próby uά wartość zmieej loowej mającej rozkład ormaly tadaryzoway σ zae odchyleia tadardowe populacji geeralej liczebość próby m średia populacji geeralej - ά prawdopodobieńtwo przyjęte z góry, azwae wpółczyikiem ufości. Wpółczyik te przyjmuje ię ubiektywie jako dowolie duże, bliko jedości prawdopodobieńtwo. Jet miarą zaufaia dla przeprowadzoego zacuku. Najczęściej toowae wpółczyiki ufości: 0,90 uά,64 Przykładowo wpółczyik ufości 0,95 ozacza, że pragiemy 0,95 uά,96 by w 95 przypadkach a 00 etymoway parametr mieścił ię 0,99 uά,58 w ozacowaym przez a przedziale. Długość przedziału ufości przy daej liczebości zależy od przyjętego wpółczyika ufości -ά. Wraz ze wzrotem wpółczyika -ά, długość przedziału rośie. Im więkzy jet przedział, tym więkzą mamy pewość że średia mieści ię w podaych graicach, a to z kolei ozacza, że przeprowadzoy zacuek jet miej dokłady. Przyjmując wąki przedział miejza jet realość, że zajdzie ię w przedziale, ale zacuek jet bardziej dokłady.

6 Oceę precyzji zacowaego parametru m moża utalić za pomocą zależości: Jeśli: B(x) 5% - duża precyzja zacuku 5% < B(x) 0% - dotatecza precyzja zacuku B(x) > 0% - iedotatecza precyzja zacuku, ie ależy wiokować o parametrze Model Populacja geerala ma rozkład ormaly, gdzie ie zamy ai średiej arytmetyczej, ai odchyleie tadardowego populacji. Z populacji tej pobrao małą próbę ( 30). W oparciu o wyiki tej próby, przedział ufości dla średiej budujemy: tά - wartość tatytyki z rozkładu t-studeta dla - topia wobody, przy poziomie itotości ά. Liczba topi wobody to liczba iezależych oberwacji iezbędych do ozacowaia iezaego parametru populacji geeralej. Ocea względej precyzji ozacowaia modelu: Model 3 Populacja geerala ma rozkład ormaly, lub dowolie iy. Nie zamy ai średiej arytmetyczej ai odchyleia tadardowego populacji. Z populacji tej pobieramy dużą próbę. (x) odchyleie tadardowe z próby Ocea względej precyzji ozacowaia modelu: m średia populacji geeralej `x średia populacji geeralej z próby σ odchyleie tadardowe w populacji geeralej (x) odchyleie tadardowe obliczae a podtawie próby.

7 Zadaie W pewym mieście potaowioo zbadać mieięcze zużycie wody (w m³) przez miezkańców. W celu tym z populacji tej wyloowao 8 miezkań i otrzymao średie mieięcze zużycie wody,5m³. Dotychczaowe badaia wykazują, że rozkład zużycia wody przez miezkańców jet ormaly z odchyleiem tadardowym (σ) wyozącym 3,0m³. Przyjmując wpółczyik ufości 0,90 ozacować metodą przedziałową średie zużycie wody przez miezkańców tego miata oraz oceić precyzję dokoaego zacuku (wartość odpowiediej tatytyki,64). P {,5,64 3,0 < m <,5 +,64 3,0 } 8 8 0,69 < m <,8 Przedział liczbowy o końcach 0,69 i.8 obejmuje z prawdopodobieńtwem 0,90 iezae średie zużycie wody w m³, przez miezkańców badaego miata.,64 * 3, B(`x),5 * 8 * 00 B(`x) 5% Błąd względy zacuku wyoi 5%, co ozacza dobrą precyzję ozacowaia i dopuzcza do wiokowaia a podtawie próby. Zadaie Aby utalić średie tygodiowe wydatki a praę tudetów UEPu, wyloowao iezależie od próby dzieięciu tudetów i otrzymao wyiki (w zł): 4,6 5, 6, 5,8 4,9 5,7 5,5 6, 5,5 6,0 Na podtawie uzykaych wyików ozacować metodą przedziałową średie wydatki a praę wzytkich tudetów UEPu, przyjmując wpółczyik ufości 0,95 oraz oceić precyzję dokoaego zacuku. Doświadczeie wkazuje a to, że rozkład wydatków a praę jet w przybliżeiu ormaly (wartość odpowiediej tatytyki,6). xi xi - `x (xi - `x)² 4,6-5, - 0,4 0,6 6, 0,6 0,36 5,8 0, 0,04 4,9-0,7 0,49 5,7 0, 0,0 5,5 0,3 0,09 6, 0,6 0,36 5,5-0, 0,0 6,0 0,4 0,6 `x 56/0 5,6 (x) (,68/0) 0,5 5,6,6 0,5 < m < 5,6 +,6 0, , < m < 5,99,6 * 0,5 B(`x) 5,6 * 9 * 00 B(`x) 7, 0% 56,68

8 Przedział liczbowy o końcach 5, i 5,99 zł obejmuje z prawdopodobieńtwem 0,95 średie wydatki a praę przez tudetów UEPu. Błąd względy zacuku wyoi 7%, co ozacza dotateczą precyzję ozacowaia i dopuzcza do wiokowaia a podtawie podaej próby. Zadaie 3 W celu ozacowaia średiej wagi bagażu oób udających ię amolotem a dwutygodiowy urlop do Hizpaii wyloowao iezależie od próby 64 podróżych uzykując dla tej próby średią wagę bagażu wyozącą 4,8kg i odchyleie tadardowe 4,8kg. Przyjmując wpółczyik ufości 0,95 zbudować przedział ufości dla średiej wagi bagażu oraz oceić precyzję dokoaego zacuku ( wartość tatytyki,96). 4,8 4,8,96 < m < 4,8 +, ,63 < m < 5,99,96 * 4,8 B(`x) 4,76% 4,8 * 64 4,8 64 Przedział liczbowy o końcach 3,63kg i 5,99kg z prawdopodobieńtwem 0,95, obejmuje średią wagę bagażu podróżych udających ię amolotem a urlop. Błąd względy zacuku wyoi 5%, co ozacza dobrą precyzję ozacowaia i dopuzcza do wiokowaia a podtawie próby o średiej wadze bagażu. Przedział ufości dla wkaźika truktury W przypadku aalizy tatytyczej prowadzoej ze względu a cechę jakościową podtawowym parametrem populacji geeralej jet wkaźik truktury zway frakcją lub prawdopodobieńtwem zacuku, po przemożeiu przez 00% elemetów poiadających wyróżioą cechę w zbiorowości. Wkaźik truktury w populacji określający udział wyróżioej części w całej populacji ozaczać będziemy ymbolem p, zaś jego etymatorem jet wkaźik truktury z próby loowej m/. m to liczba jedotek w próbie mających wyróżioą cechę, atomiat to liczebość próby uά - odczytujemy z tablicy dytrybuaty rozkładu ormalego tadaryzowaego. N(0,) w poób, aby pełioa była relacja: Względe precyzje zacowaia: B(p) względa precyzja zacowaia wkaźika truktury

9 Zadaie 4 W roku 006 wśród loowo wybraych 450 miezkańców Pozaia przeprowadzoo badaia akietowe, w których pytao między iymi o ulubioe miejce pędzaia urlopu. Z badaia wyika, że 88 oób preferuje urlop ad morzem. Przyjmując wpółczyik ufości 0,95 ozacować metodą przedziałową procet miezkańców Pozaia, którzy lubią pędzać urlop ad morzem oraz oceić precyzję dokoaego zacuku (wartość tatytyki,96). 450 m 88 m/ 0,64 0,64 ( 0,64) 0,64, < p<,96 0,595 < p < 0,685 59,5% < p < 68,5% B(p) (,96 : 0,64) * B(p) 7,04% 0,64 ( 0,64) 450 0,64 ( 0,64) 450 Przy wpółczyiku ufości 0,95 odetek miezkańców Pozaia preferujących urlop ad morzem mieści ię w przedziale od 59,5 do 68,5%. Błąd względy miezkańców wyoi 7,04%, co ozacza dotateczą precyzję ozacowaia i dopuzcza do wiokowaia a podtawie próby.

10 Wyzaczaie iezbędej liczebości próby Model Miimala liczebość próby iezbęda do ozacowaia wartości średiej a poziomie ufości -ά z makymalym błędem zacuku ie przekraczającym d obliczaym ze wzoru: u * α σ odchyleie tadardowe populacji uά wartość zmieej loowej w tadaryzowaym rozkładzie ormalym odczytaa z tablicy rozkładu ormalego, dla przyjętego z góry wpółczyika ufości -ά d dopuzczaly utaloy z góry makymaly błąd zacuku średiej Model Miimala liczebość próby przy etymacji średiej z iezaym odchyleiem tadardowym: d σ t α * ( x) o - próba wtępa o liczebość próby wtępej jet wytarczająca, gdy o, to trzeba dotoować do właściwej próby -o elemetów Model 3 W przypadku, gdy możliwe jet przeprowadzeie badaia wtępego, to miimala liczebość próby, która gwaratuje żądaą precyzję przy zacowaiu wkaźika truktury p przy założoym makymalym błędzie zacuku d ze wzoru: d u α * p * q d p podzieway rząd wielkości zacowaych wkaźików truktury d makymaly dopuzczaly błąd zacuku Model 4 Gdy ie zamy rządu wielkości zacowaego wkaźika truktury, to wzór a miimalą liczebość przyjmuje potać: u 4d α Zadaie Ile rodzi ależących do określoej grupy zamożości ależy wyloować iezależie do próby by ozacować średią mieięczą kwotę wydatków a cele kulturale tych rodzi z dopuzczalym makymalym błędem zacuku wyozącym 0 zł. Wiadomo, że

11 odchyleie tadardowe populacji wyoi 80 zł., a przyjmoway wpółczyik ufości 0,90 (wartość tatytycza,64) (,64) *80 0 7,3 73 Aby ozacować mieięcze wydatki a cele kulturale z dopuzczalym błędem 0 zł. do próby ależy wyloować 73 rodziy. Zadaie W celu uzykaia przeciętego dzieego czau poświęcaego przez emerytów a oglądaie TV wyloowao do próby 0 oób i otrzymao dla ich średią 3,75 godziy oraz odchyleie tadardowe,0 godziy. Wyzaczyć iezbędą liczebość próby, dla utaleia średiego czau poświęcaego a oglądaie TV z dokładością do 0,5 godziy, przy wpółczyiku ufości 0,95 (wartość tatytycza,6). (,6) * (,) (0,05) 4,76 5 Aby ozacować średi dziey cza poświecoy przez emerytów a oglądaie TV ależy wyloować 5 oób, czyli oprócz 0 już wyloowaych ależy jezcze wyloować 5 emerytów. Zadaie 3 Jak licza powia być próba, by z makymalym dopuzczalym błędem 3% przy wpółczyiku ufości 0,95 ozacować odetek oób, które wezmą udział w ajbliżzych wyborach. Wyiki otatiego odażu przeprowadzoego przez OBOP wkazują, że udział w wyborach deklaruje 38% uczetików badaia (wartość tatytycza,96). (,96) *0,38*0,6 005, (0,03) Chcąc zagwaratować potulowaą dokładość ależy do próby wyloować 006 oób. Zadaie 4 Wśród rodzi pewego oiedla zamierza przeprowadzić ię akietę w celu ozacowaia odetka rodzi chcących mieć tałe połączeie z Iteretem. Ile rodzi ależy wyloować do próby, aby z makymalym błędem próby 5% przy wpółczyiku ufości 0,90 ozacować odetek rodzi zaitereowaych tałym połączeiem z Iteretem (wartość tatytycza,64). (,64) 4*(0,05) 69 Do próby ależy wyloować 69 rodzi.

12 Przedział ufości dla wariacji Etymacji przedziałowej wariacji dokoujemy i dla dużej i dla małej próby. Model Zakładamy ze populacja geerala ma rozkład ormaly o iezaej średiej i odchyleiu tadardowym. Z populacji tej wyloowao dużą próbę >30, to przedział ufości dla -ά wyzaczamy według wzoru: ( x) P uα + ( x) < σ < α uα Względą precyzję zacowaego parametru wyzaczamy według wzoru: B ( σ ) uα *00 Model Populacja geerala ma rozkład ormaly, ie zamy ai średiej ai odchyleia tadardowego. Pobieramy próbę <30 wówcza przedział ufości dla wariacji wyzaczamy według wzoru: ( )* P c ( x) ( )* ( x) < σ < α c c, c wartości zmieych wyzaczae z tablic CHI² dla - topia wobody oraz wpółczyik ufości -ά Dla określoego wpółczyika ufości -ά wartość c zajdujemy z tablic rozkładu dla prawdopodobieńtwa -½ά, atomiat c dla ½ά. Zadaie W pewym mieście w loowo wybraych 00 gopodartwach domowych badao mieięcze wydatki a uługi telekomuikacyje. Okazało ię, że odchyleie tadardowe mieięczych opłat wyioło 8 zł. Zakładając, ze badaa cecha ma rozkład ormaly ozacować metodą przedziałową iezae odchyleie tadardowe mieięczych wydatków a uługi telekomuikacyje w tym mieście, przyjmując wpółczyik ufości 0,90 i oceić precyzję dokoaego zacuku (wartość tatytycza,64) + 8,64 *00 < σ < 8,64 *00 5,88 < σ < 30,50

13 ,64 *00 *00 B( σ ) 8,% Przedział liczbowy o końcach 5,88 i 30,50 złotych z prawdopodobieńtwem 0,90 obejmuje iezae odchyleie tadardowe wydatków a uługi telekomuikacyje. Błąd względy wyoi 8,% co wkazuje a dotateczą precyzję ozacowaia i dopuzcza do wiokowaia a podtawie próby. Zadaie W celu zbadaia zróżicowaia wielu kadydatów a tudia ietacjoare II topia w UEP wyloowao 0 oób i otrzymao średi wiek 4,3 lata i odchyleie tadardowe wyozące 4,7 lat. Zakładając, że badaa cecha ma rozkład ormaly ozacować metodą przedziałową iezae odchyleie tadardowe wieku kadydatów a tudia ietacjoare II topia, przyjmując wpółczyik ufości 0,90 (wartość tatytycza c 3,35 i c 6,99) UWAGA!!! - c zawze jet więkzą wartością!!! (0 )*(4,7) 6,99 < σ (0 )*(4,7) < 3,35,75 < σ < 3,43 < σ < 59,79 7,73 Przedział liczbowy o końcach,75 i 59,79 z prawdopodobieńtwem 0,90 pokrywa iezaą wariację wieku wzytkich kadydatów a tudia ietacjoare II topia w UEP. Natomiat przedział liczbowy o końcach 3,43 i 7,73 z prawdopodobieńtwem 0,90 pokrywa iezae odchyleie tadardowe wieku kadydatów. Przedział ufości dla wpółczyika korelacji (Pearoa) Model Dwuwymiarowy rozkład dwóch cech miezaych X, Y, jet ormaly lub zbliżoy do ormalego. Loujemy dużą próbę i dla tej próby wyzaczamy wpółczyik korelacji p ρ r( x, y) r ( x, y) r( x, y) uα * < ρ < r( x, y) + uα * α Zadaie Na podtawie 500 oberwacji utaloo wpółzależości między poziomem dochodów a ozczędości. Uzykao wpółczyik korelacji N(x,y) 0,8. Przyjmując wpółczyik ufości -ά 0,95 zbudować przedział ufości dla wpółczyika korelacji w populacji geeralej (wartość tatytycza,96). UWAGA!!! Wpółczyik Pearoa ie może przekroczyć.!!! (0,8) 0,8,96* 500 (0,8) < ρ < 0,8,96* 500

14 0,79 < ρ < 0,849 Przedział liczbowy o końcach 0,79 i 0,849 z prawdopodobieńtwem 0,95 pokrywa iezaą wartość wpółczyika korelacji Pearoa. Weryfikacja hipotez tatytyczych Weryfikacja to prawdzeie hipotez rozkładów lub założeń populacji geeralej. Hipoteza tatytycza to ąd dotyczący rozkładu lub wartości pewych parametrów określoej zmieej wyday bez przeprowadzeia badaia wyczerpującego. Hipoteza parametrycza to przypuzczeia dotyczące parametrów populacji. Hipoteza ieparametrycza to przypuzczeia dotyczące rozkładu populacji. Hipoteza zerowa (H0) jet bezpośredio prawdzaa Hipoteza alteratywa (H) jet kokurecyja względem hipotezy zerowej (jet jej zaprzeczeiem). Hipoteza zerowa zakłada, że pomiędzy etymatorem i parametrem ie ma tatytyczie itotej różicy (zawze ma zak rówości). Hipoteza alteratywa dopuzcza różice między etymatorem i parametrem. Tetem tatytyczym azywamy regułę potępowaia, która każdej możliwej próbie loowej przyporządkowuje decyzje przyjęcia bądź odrzuceia potawioej hipotezy. Wyróżia ię: Tety parametrycze łużą do weryfikacji hipotez parametryczych. Tety ieparametrycze łużą do weryfikacji hipotez ieparametryczych. Błąd pierwzego rodzaju polega a odrzuceiu hipotezy zerowej gdy jet oa prawdziwa. Błąd drugiego rodzaju polega a przyjęciu hipotezy zerowej gdy jet oa fałzywa. Poziom itotości to prawdopodobieńtwo popełieia błędu pierwzego rodzaju. Jet o utalay z góry jako dowolie małe, blikie zeru prawdopodobieńtwo. Do ajczętzych ależą 0,; 0,05; 0,0; 0,00. Im wyżzy poziom, tym więkze prawdopodobieńtwo odrzuceia hipotezy. Tety itotości, to tety w których a podtawie wyików próby możemy podjąć decyzję o odrzuceiu hipotezy zerowej lub twierdzamy, że ie ma podtaw do jej odrzuceia. W tetach ie podejmuje ię decyzji o przyjęciu hipotez. Obzar krytyczy to obzar odrzuceia hipotezy zerowej przy założeiu jej prawdziwości. W zależości od hipotezy alteratywej, wyróżia ię obzar krytyczy: - dwutroy - lewotroy - prawotroy

15 Etapy tetowaia hipotez: formułowaie hipotezy zerowej i hipotezy alteratywej utalaie poziomu itotości wybór odpowiediej tatytyki tetowej związaej z hipotezą zerową określeie obzaru krytyczego obliczeie wartości wybraej tatytyki a podtawie wyików z próby porówaie dwóch wartości: obliczoej z próby i odczytaej z tablic podjęcie decyzji weryfikującej Tet itotości dla wartości średiej populacji geeralej Model Populacja geerala ma rozkład ormaly ze zaym odchyleiem tadardowym. Z populacji tej wybieramy - elemetową próbę. Na podtawie wyików tej próby weryfikujemy hipotezę zerową, że średia populacji geeralej jet rówa wartości hipotetyczej, według hipotezy alteratywej jet róża. H0::m mo H::m mo x m0 u * δ Jeżeli: u uά ą podtawy do odrzuceia hipotezy zerowej u uά ie ma podtaw do odrzuceia hipotezy zerowej W tych tetach ie podejmuje ię decyzji przyjęcia. Model Populacja geerala ma rozkład ormaly o iezaej średiej o odchyleiu tadardowym. Z populacji tej pobieramy małą próbę, w oparciu o wyiki tej próby weryfikujemy hipotezę zerową: x m0 t * mo wartość hipotetycza t tά odrzucamy hipotezę zerową a korzyść hipotezy alteratywej t tά ie ma podtaw do odrzuceia hipotezy zerowej ( x ) Model 3 Zakładamy, że populacja geerala ma rozkład ormaly lub iy, ale ie zamy ai średiej, ai odchyleia tadardowego. Z populacji pobieramy dużą próbę (>30). Do weryfikacji hipotezy zerowej wykorzytuje ię u: u x m ( x) 0 * Kotrukcja przebiega idetyczie jak w modelu.

16 Zadaie Wiadomo, że rozkład tażu pracy pracowików pewego zakładu jet ormaly z odchyleiem tadardowym wyozącym,3 lata. Na podtawie próby liczącej 6 pracowików twierdzoo, że średi taż pracy wyoi 7,4 lata. Czy a poziomie itotości 0,05 moża twierdzić, że średi taż pracy pracowików w tym zakładzie jet więkzy od 7 lat (wartość krytycza,64). H0::m 7 H::m > 7 7,4 7 u *,3 6 0,7 u<uά Nie ma podtaw do odrzuceia hipotezy zerowej. Zadaie Czy prawdą jet, że średi cza realizacji zamówieia a dotarczeie pizzy do domu koumeta wyoi 8 miut i jeżeli w 7 elemetowej próbie takich zamówień średi cza realizacji to 4 miuty i odchyleie tadardowe to 0 miut. Przyjąć poziom itotości 0,05 (wartość krytycza,). H0::m 8 H::m t * 0 7,6 t <tά Nie ma podtaw do odrzuceia hipotezy zerowej. Zadaie 3 Wyuięto przypuzczeie, że przecięty cza dokoaia zakupów przez klietów w pewym upermarkecie w Pozaiu wyoi 65 miut. W celu prawdzeia tego przypuzczeia wyloowao iezależie próbę liczącą 00 klietów i otrzymao dla iej średi cza 6 miuty i odchyleie tadardowe,96 miut. Zakładając, że rozkład czau zakupu jet ormaly oraz, że poziom itotości jet rówy 0,05 zweryfikować to przypuzczeie (wartość krytycza,96). H0::m 65 H::m u *,96 00,3 u<uά Nie ma podtaw do odrzuceia hipotezy zerowej.

17 Tet itotości dla dwóch wartości średich Model Zakładamy, że dwie badae populacje geerale mają rozkłady ormale, ze zaymi wariacjami. Z populacji tych pobieramy dwie próby o liczebości i u x x σ σ + H0::m m H::m m H::m > m H::m < m Model Badamy dwie populacje geerale mające rozkłady ormale o iezaych odchyleiach tadardowych. Z populacji pobieramy dwie małe próby o liczebości i < 30. Na podtawie prób wyzaczamy średią i odchyleie tadardowe. t x x Porówujemy wyik ze tatytyką rozkładu tudeta o + topia wobody. Model 3 Badamy dwie populacje geerale, gdy obu rozkłady ą iezae. Pobieramy dwie duże próby i weryfikujemy hipotezę: u x x + Model 4 Poziom wartości pewej cechy dokouje ię przed lub po poddaiu badaych jedotek określoemu zabiegowi. W tej ytuacji przedmiotem aalizy ą różice oberwowaych wartości. Sprawdzamy H0 jet tu H0::mR 0 mr średia w populacji różic gdzie: r t * ( r ) r x i x i i

18 r ri i r i ( r r) i lub r i i r (r) Przy założeiu, że hipoteza zerowa jet prawdziwa, tatytyka t ma rozkład T-tudeta z - topia wobody. Zadaie Zbadao w loowo wybraych idywidualych gopodartwach rolych województwa pomorkiego i wielkopolkiego. Średie zużycie awozu w kilogramach a hektar użytków rolych. Wiadomo, że w obu województwach zużycie awozów ma rozkład ormaly z jedakowym odchyleiem tadardowym 43kg/ha. Średia z próby o liczebości 8 wyloowaej z województwa pomorkiego wyioła, kg/ha atomiat liczebości wyloowaej z województwa wielkopolkiego wyioła 90,7 kg/ha. Przyjmując poziom itotości 0,05 prawdzić hipotezę, że średie zużycie awozu w obu województwach jet jedakowa (wartość krytycza,96)., 90,7 u ,54 u<uά Nie ma podtaw do odrzuceia hipotezy zerowej. Zadaie Czy prawdą jet, że średie ocey z przedmiotów ściłych uzykaych przez tudetów wydziału ekoomii i zarządzaia ie różią ię itotie, przy itotości 0,05. Jeśli a podtawie prób otrzymamy: Wydział Ekoomii Wydział Zarządzaia 5 0 0,35 0,54 x 3,93 x 3,68 Rozkład a obu wydziałach średich oce jet ormaly (wartość krytycza,069) t 3,93 3,68 5*(0,35) + 0*(0,54) 5 + 0,34 t <tά Nie ma podtaw do odrzuceia hipotezy zerowej.

19 Zadaie 3 Powzechie pauje pogląd, że średia liczba di opuzczoych w pracy przez kobiety z powodu choroby jet wyżza od abecji chorobowej mężczyz. Na podtawie badaia abecji w pracy uzykao dla loowo wybraych prób 80 i 60. Natępujące dae dotyczące czau przebywaia a zwolieiu lekarkim: x 3 4,3 x 4 9,6 Przyjmując poziom itotości 0,05 prawdzić hipotezę, że abecja kobiet w pracy z powodu choroby jet wyżza aiżeli mężczyz (wartość krytycza,64). u u>uά Hipotezę zerową odrzucamy. (4,3) (9,6) ,46 Zadaie 4 Pewej grupie 0 pacjetów, którzy poddali ię kuracji odchudzającej podao odpowiedi lek. Wyiki wagi w tej grupie przed kuracją i po kuracji umiezczoo w tabeli poiżej: Kg przed (x) Kg po (x) rx x r² SUMA Czy dae te dowodzą, że średia waga przed i po kuracji jet jedakowa. Poziom itotości 0, (wartość krytycza,8830 H 0 H 0 0 : m R : m R r 83 :0 8, ( x) (8,3), 45 t 8,3 *,45 0 0,6 t > t α Hipotezę zerową odrzucamy.

20 Tet itotości dla wkaźika truktury Do weryfikacji hipotezy dotyczącej wkaźika truktury p w populacji geeralej, gdy dypoujemy odpowiedio liczą próbą (>00) moża wykorzytać tatytykę u dla weryfikacji hipotezy. H 0: p p0 : p0 H p H : p > p0 H : p < p0 u m p 0 p ( p ) 0 0 u u α u < u α hipotezę zerową odrzucamy ie ma podtaw do odrzuceia hipotezy zerowej Zadaie Wyuięto hipotezę, iż 65% ekoomitów podejmuje ytematycze dodatkową pracę. Czy jet to przypuzczeie łuze, jeśli w wyloowaej próbie 00 ekoomitów dodatkową pracę podejmuje 00 oób? Na poziomie ά 0,05 zweryfikuj tę hipotezę (wartość krytycza,96) H 0,65 H 0, 65 0 : p u,67 : p u,96 u α Nie ma podtaw do odrzuceia hipotezy zerowej , ,65 ( 0,65),67 * * * Przy badaiu i porówaiu dwóch populacji ze względu a wyróżioą cechę częto formułujemy przypuzczeie, że wkaźiki truktury, czyli frakcje elemetów wyróżioych w obu tych populacjach ą idetycze. H 0: p p : p H p H : p > p H : p < p Procedurę weryfikacji realizujemy w odieieiu o próby i przy czym każda z ich liczy poad 00 elemetów. W obu tych próbach otrzymujemy liczbę m i m elemetów z cechą wyróżioą.

21 Tet itotości dla potawioej hipotezy ) Obliczamy wartość średiego wkaźika truktury z obu prób: m + m p + ) Wartość peudoliczebości próby : + * 3) Sformułowaą hipotezę zerową prawdzamy tetem: u m m p * q q p u u α u < u α hipotezę zerową odrzucamy ie ma podtaw do odrzuceia hipotezy zerowej Zadaie W dwóch biurach podróży Neckerma i TUI przeprowadzoo badaia akietowe, w których pytao między iymi o preferoway środek traportu w przypadku wykupieia w tym biurze wczaów. Z pośród 300 wyloowaych klietów Neckerma 54 ooby oświadczyły, że wolą amolot, atomiat z pośród 00 klietów TUI, te am środek traportu preferowało 46 oób. Czy a poziomie itotości 0,05 moża twierdzić, że odetek klietów preferujących amolot jako środek traportu w obu biurach podróży jet jedakowy (wartość krytycza,96)? H 0: p p H : p p p 0, * u ,*0,8 0 Nie ma podtaw do odrzuceia hipotezy zerowej.,5

22 Tet itotości dla wariacji Badaa populacja ma rozkład ormaly przy czym żade z parametrów populacji ie jet zay. Z populacji tej pobieramy próbę <30 tawiamy hipotezę zerową, że wariacja populacji geeralej jet rówa wartości hipotetyczej. W przypadku wariacji hipoteza alteratywa zawze będzie więkza od hipotezy hipotetyczej. H σ 0: σ 0 H σ > : σ 0 Weryfikujemy tę hipotezę za pomocą tatytyki χ² (chi kwadrat): χ * ( x) σ 0 χ wartośa _ krytycza χ < wartośa _ krytycza hipotezę zerową odrzucamy ie ma podtaw do odrzuceia hipotezy zerowej Dla dużej próby (>30) rozkład χ² zmierza do potaci rozkładu ormalego: u * χ 3 Zadaie Czy jet możliwe, że średie zróżicowaie ce m² miezkań oferowaych przez firmy budowlae w Pozaiu w III kwartale 006 roku wyoi ± 0,4 ty. zł. jeśli dla 0 elemetowej próby ofert uzykao przecięte zróżicowaie ce rówe 0,38 ty. zł. Przyjmując ά 0,05 (wartość krytycza 6,99). H σ 0,6 H σ 0, 6 0 : χ < χ0 : > 0*(0,38) χ (0,4) Nie ma podtaw do odrzuceia hipotezy zerowej. 9,05 Zadaie Dokoao 50 pomiarów opóźień pociągów przybyłych a tację Pozań Główy w touku do czau zgodego z rozkładem jazdy. Otrzymao średią wielkość opóźieia wyozącego 0 miut. Zakładając, że rozkład czaów opóźień pociągów ma rozkład ormaly, zweryfikuj hipotezę, iż dyperja opóźień przekracza 8 miut przyjmując poziom itotości 0,05 (wartość krytycza,64). H σ 64 H σ 64 0 : : > χ 50*(0) (8) 78,5

23 u * 78,5 *50 3,65 Hipotezę zerową odrzucamy. Tet itotości dla dwóch wariacji Pobieramy dwie próby i, i weryfikujemy hipotezę zerową, że wariacje w obu populacjach ą jedakowe wobec przeciwtawego przypuzczeia H σ 0: σ H σ > : σ Duża wariacja w populacji jet ie korzyta. Przy kotrukcji tetu weryfikującego powyżzą hipotezę zerową korzytamy z rozkładu F- Sedecora: F Ze względu a potać hipotezy alteratywej iezbęde jet poumerowaie prób w taki poób by pełioa była relacja:... idekem umerujemy. > Zadaie W celu porówaia dwóch miejcowości admorkich ze względu a liczbę miejc w pejoatach z każdej z tych miejcowości wyloowao po 0 takich obiektów zbiorowego zakwaterowaia. Dla pierwzej miejcowości otrzymao wariację 39,4 dla drugiej 4,. poziom itotości 0,05. Sprawdzić wariację liczby miejc w pejoacie w obu miejcowościach ą jedakowe (wartość krytycza 3,8) H σ 0: σ H σ > : σ 39,4 F,63 4, Nie ma podtaw do odrzuceia hipotezy zerowej. Tet itotości dla korelacji liiowej Pearoa. Badae cechy (X,Y) populacji geeralej mają dwumiaowy rozkład ormaly o iezaym wpółczyiku korelacji ρ. Z populacji tej pobrao - elemetową próbę, a podtawie której obliczoo wpółczyik korelacji z próby. Wyuięto hipotezę, że badae cechy ą ie korelowae w populacji geeralej. H 0 H 0 H 0 H 0 0 : ρ : ρ : ρ > : ρ <

24 Dla < Dla rxy t * r xy u r xy r xy * Zadaie Z loowej próby o liczebości partii gotowych wyrobów otrzymao wpółczyik korelacji r0,4 między wielkością partii, a wadliwością. Na poziomie itotości ά 0,0 zweryfikować hipotezę o braku korelacji między wielkością produkowaych partii wyrobów, a ich wadliwością (wartość krytycza,833). H 0 H 0 0 : ρ : ρ t 0,4 (0,4) *,3 Nie ma podtaw do odrzuceia hipotezy zerowej. Zadaie W wyloowaej próbie 34 pracowików zakładu X badao tygodiowy cza przezaczoy a podozeie poziomu kulturalego i zawodowego oraz cza woly. Wpółczyik korelacji między tymi zmieymi wyoi 0,94 a poziomie itotości ά 0,05. zweryfikuj hipotezę, że badae cechy ą liiowo ie korelowae (wartość krytycza,96). H 0 H 0 0 : ρ : ρ u 0,94 (0,94) * 34 49,76 Hipotezę zerowa odrzucamy. Tet itotości dla wpółczyika korelacji rag H ρ 0 H ρ 0 H ρ : : : > H : ρ < Dla <0 Dla 0 t u r r r *

25 Zadaie W celu prawdzeia czy itieje zależości między liczbą reklam pewego środka czytości w TVN w ciągu daego mieiąca, a wielkość przedaży tego środka w ciągu atępego mieiąca przeprowadzoo w pewej miejcowości badaie. L. reklam (x) Sprzedaż (y) Ragi r(x) r(y) d' Rx - Ry d² ,5,5, , ,5 -, ,5 0,5 0, ,5,5, Σ 3 Na poziomie itotości ά 0,05 prawdzić itotość wpółczyika korelacji rag wiedząc, iż wartość krytycza odpowiediego tetu wyoi,365 H 0 H 0 0 : ρ : ρ r 6*3 0, r 6* r i 3 d i t 0,897 (0,897) 9 5, Hipotezę zerową odrzucamy. Zadaie W pewej zkole zaięgięto opiii auczycieli i kolegów o ucziach. Wpółczyik korelacji rag wyoi 0,89. a poziomie itotości ά 0,05 prawdzić hipotezę, czy opiie auczycieli i kolegów ą zbieże (wartość krytycza,96). H 0 H 0 0 : ρ : ρ u 0,89* 0,63 Nie ma podtaw do odrzuceia hipotezy zerowej.