PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

Transkrypt

1 PRZETWARZAIE SYGAŁÓW SEMESTR V Człowie- ajlepza iwetycja Projet wpółfiaoway przez Uię Europeją w ramach Europejiego Fuduzu Społeczego Dotoowaie arzędzi matematyczych do potrzeb pratyczej aalizy ygałów

2 Podtawowe operacje a ygale, poprzedzające przetwarzaie cyfrowe Filtracja doloprzeputowa wyia z tw. o próbowaiu Próbowaie Kowerja A/C arzędzia aalitycze a uwaruowaia pratyczej aalizy ygałów I Rozważaia aalitycze przeztałceie Fouriera - w przedziale ieończoym. Sygały ą ciągłe (a ogół) i mogą itieć dla wzytich t (taże dla ujemych). W pratyce rejetrowae ygały ą przyczyowe (itieją dla t> rozumiaego jao począte pomiaru/oberwacji/próbowaia), zebrae próbi reprezetują ończoy (ograiczoy w czaie) fragmet ygału, (tóry w ogólości może itieć dłużej zarówo przed rozpoczęciem ja i po zaończeiu proceu próbowaia). Ozacza to że ymetrycze oo protoąte z rozważań aalityczych zotaje przeuięte do początu uładu f(t-t ) exp(-jωt )F(ω) Ograiczoy ygał - wprowadzeie ograiczeń czaowych pod całę Fouriera widmo chwilowe : t+ τ F( ω,t ) t f(t) exp(-jωt)dt

3 arzędzia aalitycze a uwaruowaia pratyczej aalizy ygałów II Widmo chwilowe Wprowadzeie ograiczeń czaowych pod całę Fouriera jet rówozacze z przemożeiem poddawaej aalizie fucji f(t) przez fucję g(t), różą od zera w przedziale <t,t +τ> i rówą zeru poza tym przedziałem, p. oo protoąte: F( ω,t ) - f(t)g(t) exp(-jωt)dt ozacza to, że wyzaczamy TF ie fucji f(t), ale iloczyu f(t)g(t) F(ω)*G(ω). Wyzaczoe w te poób widmo będzie mieć właściwości oreśloe przez operacje plotu i właściwości obu widm, a więc taże przez właściwości fucji g(t), zwaej częto oem lub fucją graic. arzędzia aalitycze a uwaruowaia pratyczej aalizy ygałów III Przetwarzaie cyfrowe reprezetacja dyreta zarówo w dziedziie czau, ja i czętotliwości Sygały przetwarzae ą po operacji próbowaia ich widma ą oreowe! Widma ygałów ą wyzaczae dla ograiczoego zbioru putów a oi czętotliwości, a ygały mają ograiczoy cza trwaia SF czy TF?? Modyfiacje obu metod. (ie problemy p. wpływ watyzacji i ończoa długość łowa) 3

4 Przeztałceie Fouriera ygału próbowaego i zereg Fouriera dla ygałów dyretych Przeztałceie Fouriera ygału próbowaego Sygał próboway ( t ore próbowaia): + F{ f ( t)} f ( t)exp( jωt) dt t f ( t)exp( jω t) + + f ( t) f ( t) δ ( t t) f ( t t) Przeztałceie (met. protoątów): + F{ f ( t)} t + f ( t)exp( jω t) Ja wyia z twierdzeia o próbowaiu, TF ygału próbowaego jet oreowa 4

5 Przeztałceie Fouriera ygału próbowaego Przeztałceie: F{ f ( t)} t + f ( t)exp( jω t) Stooway jet taże zapi + jω F( e ) t f ( t)exp( jω) t f ( )exp( jω) + gdzie:ωω tω/f πf/f f / t czętotliwość próbowaia, f() oleje próbi ygału Zapi te uwypula oreowość traformaty ze względu a Ω z oreem π!!! Kowecje zapiu: F(ω) TF ygału ciągłego, F(e jω ), F(e jω ) TF ygału próbowaego Odwrote przeztałceie Fouriera ygału próbowaego Przeztałceie odwrote: f ( m t) π π π F( e jω ) exp( jmω) dω gdzie:ωω tω/f πf/f f / t czętotliwość próbowaia, t ore próbowaia. 5

6 Szereg Fouriera dla ygałów dyretych (czyli Dyreta Traformacja Fouriera DTF) Dypoujemy próbami ygału f(),,,...-, ore próbowaia t, cza trwaia ygału wyoi T t. graice umowaia w rówaiu TF tają ię ończoe: j jω ( ) F e t f ( )exp( jω) Ω ( ) + F e t f ( )exp( jω) Ωω tω/f πf/f Zazwyczaj wyzacza ię ończoą liczbę wartości F, dla Ω π/,,,...- j π / F F( e ) t f ( )exp( jπ / ) Częto wpółczyii zapiuje ię ormalizując je do t: F / t f ( )exp( jπ / ) Szereg Fouriera dla ygałów dyretych (czyli Dyreta Traformacja Fouriera DTF) Dypoujemy próbami ygału f(),,,...-, ore próbowaia t, cza trwaia ygału wyoi T t. Zazwyczaj wyzacza ię ończoą liczbę wartości F, dlaω π/: F t f ( )exp( jπ / ) Częto wpółczyii zapiuje ię ormalizując je do t: F / t Przeztałceie odwrote f ( )exp( jπ / ) f ( ) π F exp( j ) 6

7 Szereg Fouriera dla ygałów dyretych (czyli Dyreta Traformacja Fouriera DTF) ajczęściej toowaa jet otacja: x π exp( j ) x π exp( j ) gdzie x - ciąg próbe ygału, ciąg wartości DTF (wpółczyiów SF),,,,..., -, wprowadza ię taże ozaczeie czyia exp(jπ/) przez W oi o azwę czyia rotującego W π exp( j ) π x exp( j ) x W Szereg Fouriera dla ygałów dyretych argumet fucji wyładiczej z TF czau ciągłego T F T T / / f ( t)exp( jω t dt ) przyjmuje w wyrażeiu opiującym wpółczyii rozwiięcia atępującą potać: π π jω t j t j t T t π j gdzie: liczba próbe x(), ore ygału T, ore próbowaia t/f, T/ t, ω π/tπ/( t), f /T, momety położeń próbe t t. W powyżzej formule zia zarówo wartość czętotliwości próbowaia, ja i czau, pozotają tylo idey próbe ygału i wartości DTF. Wyi aalizy widmowej ygałów dyretych oreśla relację czętotliwości daej ładowej ygału do czętotliwości próbowaia. W celu oreśleia fizyczej wartości tej czętoltiwości iezbęda jet zajomość wartości czętotliwości próbowaia. 7

8 Właściwości DTF I.Liiowość π x exp( j ).Oreowość z oreem 3. Symetria dla rzeczywitych wartości x * - 4.DTF iloczyu dwóch ciągów próbe plot DFT tych ciągów Splot dwóch ciągów z x *y 5.DTF plotu ciągów iloczy DTF tych ciągów z x * y x y Właściwości DTF II 6.Przeuięcie ciągu o próbe: x(- ) exp(-jπ /) π x exp( j ) 7.Rozdzielczość czętotliwościowa (odległość między wartościami DTF): wartości DTF wyzaczae ą w putach f f odpowiadającym rzeczywitym wartościom f odtęp między olejymi wartościami wyoi / odpowiada pewej różicy czętotliwości f f f + f Odtęp czaowy między olejymi próbami wyoi /f (f - czętotliwość próbowaia), ciąg próbe poddaway DTF odpowiada czaowi T/f, a więc rozdzielczość czętotliwościowa jet odwrotie proporcjoala do T: ff//t; iloczy rozdzielczości czętotliwościowej i czau trwaia ygału jet tały T f! 8

9 Szeregi i przeztałceia Fouriera - podumowaie Sygał ciągły ończoy TF - ciągła, ieoreowa Sygał ciągły oreowy SF - dyrety, ieoreowy Sygał dyrety (próboway) ieończoy traformata - ciągła, oreowa Sygał dyrety (próboway) ończoy (oreowy) dyrety zereg Fouriera DFT - dyrety, oreowy Widmowa gętość mocy ygałów dyretych ajczęściej wyorzytywaa w aalizie widmowej wielość - widmowa gętość mocy WGM Sygały czau ciągłego Uwaruowaia pratycze: (ograiczoy reord daych) F T ( ω ) Φ( ω ) limt T Φ(ω) F(ω) /T Sygały próbowae/dyrete x,,,...- G wartości G f f oreśloe dla T / f,,... - gdzie to wartości traformaty Fouriera dla czętotliwości f 9

10 f f Sygały próbowae/dyrete wartości G oreśloe dla Widmowa gętość mocy ygałów dyretych ) / )exp( ( j x t π gdzie jet oreśloe atępująco Zatoowaie powyżzej formuły wyzaczaia jet itote z putu widzeia pomiarów fizyczych, prawidłowego alowaia i poprawości jedote WGM f T G / f j x t j x t f G ) / ) exp( ( ) / )exp( ( / π π Jedoti mocy i WGM wywodzą ię z eletrotechii, ygał x(t) jet tratoway jao apięcie (atężeie prądu), aalizujemy moc wydzielaą w jedotowym oporze, czyli wielość proporcjoalą do x (t). Jedotą mocy jet wat (W), jedotą widmowej gętości mocy W/Hz, czyli moc przypadająca a jedotowe pamo czętotliwościowe. Wyzaczeie mocy ygału w pewym pamie prowadza ię do wyzaczeia całi z przebiegu WGM w tym pamie. Widmowa gętość mocy ygałów dyretych ) / ) exp( ( / j x f f G π

11 Widmowa gętość mocy ygałów dyretych G / f f x( ) exp( jπ / ) WGM jet wielością rzeczywitą. Ze względu a ymetrię wartości dla rzeczywitych wartości x mamy ymetrię G względem /: G G - Z tego względu wytarcza przedtawieie G w zareie,,.../-, tóry odpowiada zareowi -.5f. Oprogramowaie/aalizatory widma prezetują widmową gętość mocy w taim przedziale, pomożoą x (zapewia to zachowaie właściwości eergetyczych). Jet to tzw. jedotroa widmowa gętość mocy: G / f Widmowa gętość mocy ygałów dyretych G x( ) exp( jπ / ) / f f Widmowa gętość mocy jet wielością parzytą i wytarczy przedtawić ją w przedziale w zareie,,.../-, tóry odpowiada przedziałowi -.5f (-ω o /). Sytemy (programy) auowe/omercyje do aalizy ygałów przedtawiają w tai właśie poób WGM, częto podając przedział jao -/ lub -π. Wyia to ze wpomiaej parzytości i oreowości przeztałceń fourierowich dla ygałów czau dyretego (próbowaych). Ryue poiżej przedtawia wadrat modułu TF próbowaego z pulacją ω o ygału coiuoidalego o pulacji Ω. ω o odpowiada π. WGM przedtawioa jet wyłączie w zareie zazaczoym czerwoym protoątem (-ω o /, -π). G / f

12 Widmowa gętość mocy procedura obliczaia. Zebrać ciąg próbe ygału x,,,...-. Ew. zatoować fucję graic w : x w,,,...- (ew. uzupełić ciąg zerami FFT próbe) 3. Wyzaczyć DTF ciągu x w,,,...-,,,... - (ew. ciągu uzupełioego zerami FFT próbe) 4. Wyzaczyć wadraty modułów DTF dla,,.. /- 5. Wyzaczyć WGM G f π w x exp( j ) Dyreta aaliza widmowa przecie widma fucje graic zero paddig

13 Aaliza widmowa przecie widma *co(*pi**(t-)/64)+* co(*pi*(t-)/4); *co(*pi*.5*(t-)/64)+*co(*pi*(t-)/4); t:8; DTF dla 64 (a ryuu - pierwiate wadratowy modułu DTF) iewiela zmiaa relacji f/f w poób dratyczy zmieiła wyi aalizy widmowej widmo ygału iuoidalego o łabzej amplitudzie przetało być widocze, pojawiło ię wiele prążów ie poiadających iterpretacji fizyczej. Aaliza widmowa przecie widma f(t)*co(*pi*.5*(t-)/64)+*co(*pi*(t-)/64); t:8; DTF dla 64 (a ryuu przedtawioy jet pierwiate wadratowy modułu DTF) Mimo że w ygale wytępują tylo dwie ładowe widmo ygału iuoidalego o łabzej amplitudzie ie jet widocze, wytępuje atomiat wiele prążów ie poiadających iterpretacji fizyczej. Ze względu a iheretą obecość oa protoątego wyi przeztałceia jet plotem traformaty ieograiczoego w czaie ygału x oraz traformaty tego oa. Efet tzw. przecie widma i jego oewecje w potaci maowaia ładowych o iich amplitudach. 3

14 Aaliza widmowa przecie widma Sygał protoąty o czaie trwaia T rect(t): ωt F( ω ) AT i c( ) Moduł TF oa protoątego poiada liti bocze! Stoue modułów lita pierwzego i główego /3π. Liti bocze - przyczya przecieu widma! Aaliza widmowa przecie widma Załadamy, że DTF podday zotała pewa liczba próbe ygału coiuoidalego. A. Czętotliwość ygału wyoi ff / i maimum DTF (tóra ma obwiedię ic(ωt/) wypada w tym pucie. Dla pozotałych f (oreśloych powyżej), wartości DTF ą rówe zeru, poieważ oleje miejca zerowe fucji ic ą odległe od maimum właśie o f /, czyli trafiają doładie w puty a oi czętotliwości, dla tórych wyzaczamy wartości DTF. f f ωt F( ω ) AT ic( ) T/f, /Tf/ B. Czętotliwość ygału jet róża od ff / i maimum DTF (tóra ma obwiedię ic(ωt/) wypada w między putami, dla tórych obliczae ą wartości DTF. W oewecji dla pozotałych f wartości DTF przybierają ię róże od zera. 4

15 Aaliza widmowa fucje graic Oo Haa: πt w( t) co ( ) T t (-T/, T/) Kotrucja oa Haa: πt πt w( t) co ( ) + co( ) T T Aaliza widmowa fucje graic πt πt Traformata Fouriera oa Haa w( t) co ( ) + co( ) T T TF oa Haa jet umą traformat oa protoątego o amplitudzie ½ oraz taiego amego oa pomożoego przez fucję co(ω t), ω π/t wyorzytujemy tw. o modulacji lub tw. o traformacie iloczyu fucji: πt T T T F{ w( t)} F{ + co( )} i c( ωt / ) + i c(( ω ω ) T / ) + i c(( ω + ω ) T / ) T 4 4 ω π/ T olor graatowy TF oa protoątego o amplitudzie 5

16 Aaliza widmowa fucje graic t:8; f(t)*co(*pi*.5*(t-)/64)+*i(*pi*(t-)/64); 64, (a ryuu przedtawioy jet pierwiate wadratowy modułu DTF) oo protoąte oo Haa Aaliza widmowa uzupełiaie ciągu próbe ygału zerami ( zero paddig ) Przyład t[::]; xco(*pi*5*(t-)/8)+ co(*pi*5*(t-)/8); czętotliwości 5Hz i 5Hz, próbowaie 8Hz Liczba próbe ygału 3 długość ciągu poddawaego DTF 56 <> 3 próbi +4 zera Liczba próbe ygału 3 długość ciągu poddawaego DTF 3 próbi

17 Aaliza widmowa uzupełiaie ciągu próbe ygału zerami ( zero paddig ) Przyład t[::]; xco(*pi*55*(t-)/8)+ co(*pi*5*(t-)/8); czętotliwości 5 i 55, próbowaie 8Hz Liczba próbe ygału 3 długość ciągu poddawaego DTF 56 <> 3 próbi +4 zera Liczba próbe ygału 3 długość ciągu poddawaego DTF 3 próbi Wyi zatoowaia oa Haa Odtwarzaie ygału z próbe Sygał wyjściowy przetworia C/A jet umą (ewecją) chodów wyiających z podtrzymaia przez ore próbowaia wyiów owerji C/A. 7

18 Odtwarzaie ygału z próbe Sygał chodowy a wyjściu owertera C/A - plot próbe ygału dyretego (delty w putach T!!) z impulem protoątym o czaie trwaia T, przeuiętym o T/: x t) x ( T )* rect( t T / ) ( widmo ygału chodowego iloczy odp. widm ω) ( ω) T i c( ωt / ) exp( jωt / ) ( widmo ygału próbowaego (dyretego) ( ω) a ( ω ω ) T widmo ygału chodowego: a ( ω) i c( ωt / ) exp( jωt / ) ( ω ω ) 8