Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elementy ekonometrii stosowanej cz. II Istotność zmiennych modelu, autokorelacja i modele multiplikatywne

Transkrypt

1 Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Ekonomeria-ćw.cz-SSW dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Kaedra Nauk Ekonomicznych Wydział Zarządzania i Ekonomii Poliechniki Gdańskiej EKONOMETRIA - ELEMENTY EKONOMETRII STOSOWANEJ CZĘŚĆ II MATERIAŁY DO PRACY WŁASNEJ - CZĘŚĆ II BADANIE ISTOTNOŚCI ZMIENNYCH, AUTOKORELACJA, MODELE MULTIPLIKATYWNE 8. Badanie isoności zmiennych w modelu regresji liniowej Rozparywany model [por. (16) i (36.a) i (61)]: (79) y = + 1x1 + x + Pełny zapis oszacowanej posaci modelu (79) uwzględniający błędy szacunku paramerów [por.: (77)]: (8) yˆ ˆ ˆ ˆ = + 1 x1 + 1 x [ S( ˆ )] [ S( ˆ 1 )] [ S( ˆ )] Dowodzi się, że jeżeli zmienna losowa ma rozkład normalny o średniej warości równej zero (E =) i sałej wariancji (E = σ =cons.), o zmienna losowa: ˆ i i (81) i = S( ˆ i ) ma rozkład -Sudena o [n-(k+1)] sopniach swobody. Wykorzysując powyższą prawidłowość dokonać możemy weryfikacji hipoezy zerowej (H ) zakładającej zerową warość parameru i na rzecz hipoezy alernaywnej (H 1 ) uznającej dodanią lub ujemną warość egoż parameru, co zapiszemy nasępująco: H : = i H1 : i W warunkach hipoezy zerowej saysyka (81) przyjmie nasępującą posać: ˆ i (8) i =, ( = ) ( ˆ i S i ) Obliczoną na podsawie (8) warość empiryczną i konfronujemy z warością kryyczną α odczyaną z ablic rozkładu -Sudena dla liczby swobody [n-(k+1)] oraz arbiralnie usalonego poziomu isoności α (alfa). Konfronacja a prowadzić może do jednej z dwu nasępujących syuacji decyzyjnych: A: i > α B: i α Obecnie powiemy, że: W przypadku A odrzucamy hipoezę zerową (H ) na rzecz hipoezy alernaywnej (H 1 ). Oznacza o, że paramer i saysycznie isonie różni się od zera. Możemy ym samym uznać, że zmienna x i wysępująca przy paramerze i saysycznie isonie oddziałuje na zmienną objaśnianą y. W przypadku B nie mamy podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej (H ). Oznacza o, że paramer i nie różni się w sensie saysycznym isonie od zera. Powinniśmy ym samym uznać, że zmienna x i wysępująca przy paramerze i w sensie saysycznym nieisonie oddziałuje na zmienną objaśnianą y. Przykład 4. (konynuacja przykładu 1, i 3 z części I) Rozważ nasępujący model i jego oszacowaną posać dla n=8 obserwacji: y = + 1x +, gdzie: y : kwaralne koszy produkcji w milionach złoych x : kwaralna produkcja elewizorów w yś. szuk yˆ = 1, +,8 x, (pod ocenami zamieszczono średnie błędy szacunku paramerów) (,3) (,1) 1

2 Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Wiedząc, że warośćkryyczna saysyki -Sudena dla 6-ciu sopni swobody i założonego poziomu isoności α=,5 wynosi: α=,5 = 1,943: 1. Posawić hipoezę zerową i alernaywną doyczącą parameru 1 i wyjaśnić sens posawionych hipoez,. Wyznaczyć warość empiryczną saysyki 1 w warunkach posawionej hipoezy zerowej. 3. Zbadać isoność oddziaływania zmiennej x na zmienną y w założonych warunkach 4. Przedyskuować problem wysąpienia rozwiązania przeciwnego wobec rozwiązania orzymanego w punkcie 3. Ad 1 Hipoeza zerowa i alernaywna: H : 1 = H : 1 W warunkach, gdy nie ma podsaw do odrzucenia H powiemy, że paramer 1 saysycznie nieisonie różni się od zera. Tym samym musielibyśmy uznać, że wzros zmiennej x (produkcji elewizorów) nie wywoła żadnych isonych zmian zmiennej y (w zakresie koszów produkcji). Oznaczałoby o, że zmienna x w sensie saysycznym nieisonie oddziałuje na zmienną y. Innymi słowy właściwości maeriału saysycznego nie pozwalają na wiarygodną, nie obdarzoną dużymi błędami ocenę parameru srukuralnego. W przypadku odrzucenia hipoezy zerowej na rzecz hipoezy alernaywnej powiedzielibyśmy, że paramer 1 saysycznie isonie różni się od zera. Tym samym moglibyśmy uznać, że wzros zmiennej x (produkcji elewizorów) wywołuje saysycznie isony wpływ na zmienną y (koszy produkcji). Ad Warość empiryczna saysyki 1 w warunkach posawionej hipoezy zerowej: ˆ ˆ 1 [ 1 = ] 1,8 1 = = = = 38,1 S( ˆ ) ( ˆ ),1 1 S 1 Ad 3 Na podsawie dokonanych obliczeń swierdzamy, że: = 38,1 38,1 1 = Oznacza o, że: 38,1 > 1,943, 1 = α = ym samym hipoezę zerową odrzucamy na rzecz hipoezy alernaywnej. Powiemy więc, że w rozważanym przypadku paramer 1 saysycznie isonie różni się od zera. Mamy ym samym prawo uznać, że zmienna x (poziom produkcji elewizorów) wywołuje saysycznie isony wpływ na zmienną y (koszy produkcji). Należy zaznaczyć, iż w rozważanym przypadku prawdopodobieńswo uznania hipoezy fałszywej za prawdziwą jes równe α=,5. Ad 4 Gdybyśmy swierdzili, że: 1 α = 1,943 musielibyśmy przychylić się w kierunku hipoezy zerowej. W ych warunkach powiedzielibyśmy, że nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej. Wskazywałoby o, że paramer 1 saysycznie nieisonie różni się od zera. Tym samym musielibyśmy uznać, że wzros zmiennej x (produkcji elewizorów) nie wywoła żadnych isonych zmian zmiennej y (w zakresie koszów produkcji). (parz punk 1). 9. Auokorelacja składników losowych pojęcie, przyczyny i pomiar 9.1. Pojecie auokorelacji składników losowych Rozparywany model [por. (16) i (36.a), (61) (79)]: (83) y = + 1x1 + x + Auokorelacja składników losowych wysąpi wedy, gdy składniki zakłócające z kolejnych okresów oddziaływają na siebie. Siłę ego związku określa współczynnik auokorelacji składników losowych. Podsawę auokorelacji wyznacza współczynnik auokorelacji pierwszego rzędu: cov(, 1) E( 1) (84) ρ 1 = = ; ( E E 1 cons.) = = δ = var( ) E 9.. Podsawowe przyczyny auokorelacji składników losowych: a) niewłaściwa posać analiyczna modelu ( np. posać liniowa modelu zamias nieliniowej), b) nieuwzględnienie w modelu isonych w sensie ekonomicznym zmiennych objaśniających, kóre w okresie próby saysycznej wykazywały nielosową zmienność ( wyraźne endencje zmian), c) niewłaściwe określenie w modelu opóźnień czasowych w zbiorze zmiennych objaśniających lub ich nieuwzględnienie w przypadku, gdy isnieją ku emu przesłanki, d) powolne wygasanie efeków działania składnika zakłócającego (losowego),

3 Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne e) w przypadku posługiwania się danymi miesięcznymi, kwaralnymi lub półrocznymi - nieuwzględnienie w modelu funkcji określającej efeky sezonowe lub niewyeliminowanie sezonowości w danych saysycznych (np. zasosowanie przyrosów rocznych zmiennych) Pomiar auokorelacji składników losowych: Z uwagi na fak, iż składniki losowe nie są obserwowalne, przy pomiarze auokorelacji składników losowych posługujemy się reszami modelu, uznając je za ocenę ich realizacji. W rezulacie ocenę współczynnika auokorelacji definiuje się nasępująco: n = ( ˆ ˆ 1) (85) ˆ ρ 1 = n ˆ = 1 W prakyce, przy weryfikacji auokorelacji składników losowych nie korzysa się z powyższego wyrażenia, gdyż saysyki opare na nim nie uwzględniałyby liczby zmiennych objaśniających w modelu. Tych mankamenów pozbawiona jes saysyka Durbina-Wasona: (86) DW = n = ( ˆ ˆ 1) n ˆ = 1 Waro zauważyć, że isnieje pewien przybliżony związek pomiędzy wyrażeniem (85) a (86), kóry zapisać możemy nasępująco: (87) DW (1 ˆ ρ1) Z powyższego wynika, że: A. ρ = 1 DW ˆ1 B. ρ = DW ˆ1 C. ˆ1 ρ = 1 DW 4 Oznacza o, że jeżeli saysyka empiryczna DW przyjmuje warość bliską, o może wsępnie uznać, iż auokorelacja jes nieisona. Szacując model w syuacji, gdy 1,5<DW<,5, wsępnie możemy uznać go za saysfakcjonujący z punku widzenia auokorelacji. Jak wykazali Durbin i Wason, rozkład saysyki DW dla liczby obserwacji n i liczby zmiennych k zawiera się miedzy dwiema innymi saysykami d L i d U, gdzie pierwsza jes kresem dolnym a druga kresem górnym w ej saysyc. Aby wykorzysać właściwości esu formułujemy nasępująco zapisane hipoezy konkurencyjne względem siebie: H : ρ 1 = H 1 : ρ 1 > Rozważyć możemy rzy nasępujące syuacje: I. DW < d L II. d L DW d U III. DW > d U W przypadku I hipoezę zerową odrzucamy na rzecz hipoezy alernaywnej, co wskazuje na silną dodanią auokorelację W przypadku II es nie daje odpowiedzi, w kierunku kórej z hipoez należy się przychylić (es jes niekonkluzywny). W przypadku III przychylamy się w kierunku hipoezy zerowej, uznając brak dodaniej auokorelacji między składnikami zakłócającymi. Tabela II.1 Przykład warości kryycznych rozkładu DW k 1 3 n d L d U d L d U d L d U 6,61 1, ,7 1,356,467 1, ,763 1,33,559 1,777,368,87 9,84 1,3,69 1,699,455, Przykład 5 (konynuacja przykładu 1 i ) Wykorzysując informacje saysyczne i oszacowania z przykładu 1 i oszacować i zinerpreować: 1. Empiryczną warość saysyki DW. Zweryfikować hipoezy doyczące auokorelacji składników losowych rozparywanego w przykładzie 1 modelu, 3. Przedyskuować problem wysąpienia rozwiązania przeciwnego wobec rozwiązania orzymanego w punkcie. 3

4 Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Tabela II. Ad 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 1 ( ˆ ˆ 1 ) ˆ 1, ,1 -,1,1 -,,4,1 3,1 -,1,,4,1 4,1,1,,,1 5 -,,1 -,3,9,4 6 -,1 -,,1,1,1 7 -,3 -,1 -,,4,9 8,4 -,3,7,49,16, - -,71,34 Empiryczna warość saysyki DW (Durbina-Wasona): n= 8 ˆ ˆ = ( 1),71 DW = = =,88 n= 8ˆ,34 = 1 Zauważ, że: DW DW (1 ˆ ρ ) ˆ 1 ρ1 1 Oznacza o, że w analizowanym przypadku współczynnik auokorelacji resz pierwszego rzędu w przybliżeniu wynosi: DW,88 ˆ1 ρ 1 = 1 = 1 1,44 =,44 Ad Weryfikujemy nasępująco zdefiniowaną hipoezę zerową względem jej alernaywy: H : ρ 1 = H : ρ 1 > Z ablic rozkładu DW odczyujemy warości kryyczne d L i d U dla liczby obserwacji n=8 oraz liczby zmiennych objaśniających k=1 przy poziomie isoności α=,5. Warości e wynoszą odpowiednio: d L =, 763, d U = 1,33 Z uwagi na fak, iż: DW =,88 > d U = 1,33 Przychylamy się w kierunku H uznając, iż dodania auokorelacja składników losowych jes nieisona (wykluczamy wysąpienie dodaniej auokorelacji). Ad.3 Przypadek 3.a: Gdybyśmy swierdzili, że: DW < d L =,763 wówczas odrzucilibyśmy hipoezę zerową na rzecz hipoezy alernaywnej, Świadczyłoby o, iż w rozparywanym przypadku należałoby uznać isone dodanie skorelowanie składników losowych (jes o zw. dodania auokorelacja składników losowych). Przypadek 3.b: Gdybyśmy swierdzili, że: d L =,763 < DW < d U = 1,33 wówczas oznaczałoby o, iż es jes niekonkluzywny, a ym samym nie pozwala na przychylenie się w kierunku kórejś z posawionych hipoez. 1. Modele muliplikaywne podsawy 1.1 Muliplikaywne modele poęgowe Przykład poęgowego modelu muliplikaywnego: 1 1 (88) y = B x x e Posać zlinearyzowana modelu (88): (89) ln y = + 1 ln x1 + ln x + ; ( = ln B ) 4

5 Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Właściwości inerpreacyjne modeli poęgowych: I.A. Uwagi doycząca pomiaru elasyczności w modelu o ogólnej posaci: y = y(x) Pojęcie elasyczności przedziałowej zmiennej y ze względu na x: E y(x) =[ y/y(x)]/( x/x), gdzie: x=x 1 -x ; y=y(x 1 )- y(x ) Powiemy, że jeżeli zmienna x wzrośnie o 1% o zmienna y zmieni się o około E y(x) %. Zauważ, że funkcję elasyczności przekszałcić możemy do nasępującej posaci: E y(x) =[ y/ x] [x/ y(x)] Oznacza o, że w granicy elasyczność punkowa będzie równa: E y(x) =lim x [ y/ x] [x/ y(x)]= [dy/ dx] [x/ y(x)] I.B. Przypadek funkcji poęgowej z jedną zmienną objaśniającą: y = A x a, gdzie: dy/dx = (a/x) A x a Oznacza o, że E y(x) = [dy/dx] [x/y(x)]= (a/x) A x a [x/ A x a ] = a Oznacza o, że w przypadku funkcji poęgowej elasyczność jes sała i ponado równa wykładnikowi poęgi. Powiemy więc, że jeżeli zmienna x wzrośnie o 1% o, zmienna y zmieni się (wzrośnie lub zmaleje) o a%. II. Uwagi doyczące pomiaru elasyczności w modelach poęgowych o ogólnej posaci: y = A x a z b Wykorzysując właściwości różniczki zupełnej, na podsawie powyższego modelu w nasępujący sposób określamy związek pomiędzy względną zmianą zmiennej y a względnymi zmianami zmiennych x i z: dy/y = a (dx/x) + b (dz/z) Oznacza o, że: 1. w warunkach sałości zmiennej z (zn. dz=) wzros x o 1% prowadzi do zmiany zmiennej y o a%, ym samym paramer a jes elasycznością cząskową y ze względu na x : E y(x) =(dy/y)/(dx/x), w warunkach gdy dz=,. w warunkach sałości zmiennej x (zn. dx=) wzros z o 1% prowadzi do zmiany zmiennej y o b%, ym samym paramer b jes elasycznością cząskową y ze względu na z : E y(z) =(dy/y)/(dz/z), w warunkach gdy dx=. Przykład 6 [modyfikacja modelu z przykładów 1, i 3 przypadek modelu poęgowego(muliplikaywnego)] Rozważ nasępującą zmodyfikowaną posać modelu z przykładu 1 (cz.1): y = B x 1 e Celem oszacowania paramerów srukuralnych powyższego modelu dokonano jego linearyzacji poprzez jego obusronne zlogarymowanie: ln y = + 1 ln x +, ( = ln B ) Powyższą posać modelu oszacowano za pomocą esymaora MNK i orzymano nasępujące wyniki: ln yˆ =,76 +,848 ln (pod ocena parameru 1 zamieszczony jes średni błąd szacunku) x (,7) R =,996 DW = 1,875 Odpowiednie warości kryyczne saysyk - Sudena i Durbina-Wasona wynoszą odpowiednio: [ α=,5 = 1,943 ], [d L =, 763, d U = 1,33] Na podsawie powyższych informacji: 1. Zinerpreować współczynnik deerminacji,. Zbadać isoność oddziaływania zmiennej x na zmienną y, 3. Zweryfikować hipoezy doyczące auokorelacji składników losowych, 4. Oszacowaną posać modelu sprowadzić do posaci pierwonej i zinerpreować wpływ zmiennej x na zmienną y. (zinerpreować oszacowaną elasyczność) Ad 1 Na podsawie współczynnika deerminacji R =,996 powiemy, że 99,6 % zmienności zmiennej objaśnianej (logarymu koszów produkcji) zosało wyjaśnione przez zmienną objaśniającą modelu (logarym poziomu produkcji elewizorów). 5

6 Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Ad Weryfikujemy hipoezę zerową względem jej nasępująco zdefiniowanej alernaywy: H : 1 = H : 1 Warość empiryczna saysyki 1 w warunkach posawionej hipoezy zerowej wynosi: ˆ, = = = 37,36 ˆ( σ ˆ 1),7 Na podsawie dokonanych obliczeń swierdzamy, że: 1 = 37,36 = 37,36 Oznacza o, że: 1 = 37,36 > α = 1,943, ym samym hipoezę zerową odrzucamy na rzecz hipoezy alernaywnej. Powiemy więc, że w rozważanym przypadku paramer 1 saysycznie isonie różni się od zera. Mamy ym samym prawo uznać, że zmienna x (wielkość produkcji elewizorów) wywołuje saysycznie isony wpływ na zmienną y (koszy produkcji). Jednocześnie możemy powiedzieć, iż w rozważanym przypadku prawdopodobieńswo uznania hipoezy fałszywej za prawdziwą jes równe α=,5. Ad 3. Weryfikujemy nasępująco zdefiniowaną hipoezę zerową względem jej alernaywy: H : ρ 1 = H : ρ 1 > Z uwagi na fak, iż: DW = 1,875 > d U = 1,33 Przychylamy się w kierunku H uznając, iż dodania auokorelacja składników losowych jes nieisona (wykluczamy możliwość wysąpienia dodaniej auokorelacji składników losowych). Ad.4 Sprowadzenie posaci zlogarymowanej modelu do jego posaci pierwonej,76,848 ln y ˆ =,76 +,848 ln x yˆ = e x (,7) Elasyczność koszów ze względu na poziom produkcji: dyˆ / yˆ dyˆ yˆ E yˆ ( x) = = : =,848 dx / x dx x Powiemy, że jeżeli produkcja elewizorów wzrośnie o 1% o koszy produkcji wzrosną o około,848% z przecięnym błędem,3%. Zauważ, że elasyczność możemy wyrazić alernaywnie w posaci: a) pochodnej logarymicznej w punkcie funkcji: d ln yˆ E yˆ ( x) = =,848 d ln x b) lub relacji przyrosów logarymów zmiennych w przedziale funkcji: ln yˆ E yˆ ( x) = =,848 ln x Problem 9. (konynuacja problemu 8 z cz. I maeriałów) Zinerpreuj muliplikaywny model całkowiej konsumpcji globalnej oraz jego zlinearyzowanej posaci oszacowanej na podsawie informacji zawarych w abeli 3 z części I. Posać srukuralna modelu: CON B PKBN e = 1 Posać zlinearyzowana modelu: ln CON = + 1 ln PKBN +, ( = ln B ) Oszacowana posać zlinearyzowanego modelu: ln CON ˆ =,596+,884 PKBN (,151) (,) Podsawowe miary dopasowania modelu do rzeczywisości: R =,996 DW=1,951 6

7 Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Odpowiednie warości kryyczne saysyk: [ α=,5 = 1,895 ], [d L =,84 d U = 1,3] 1. Muliplikaywne modele poęgowo-wykładnicze Przykład poęgowo-wykładniczego modelu muliplikaywnego: 1 (9) y = B x e e Posać zlinearyzowana modelu (88): (91) ln y = + 1 ln x + + Właściwości inerpreacyjne poęgowo-wykładniczego modelu muliplikaywnego. III. Uwagi doyczące właściwości inerpreacyjnych modeli poęgowo-wykładniczych o posaci: (1) y = A x a e b (=1,,3,...) A) Zauważmy, że w dowolnym okresie wzros x o 1% prowadzi do zmiany zmiennej y o a%, ym samym paramer a jes elasycznością cząskową y ze względu na x w okresie : E y(x) =(dy/y)/(dx/x)=a. B) Zauważmy, że w warunkach sałości zmiennej x funkcję (1), dla kolejnych okresów: -1 i, zapisać możemy nasępująco: (.1) y -1 = A e b (-1) (.) y = A e b gdzie: A = A x a -1 = A x a jako, że: x -1 =x =cons. dla = 1,,3... Wiedząc, że: y =y -y -1 oraz dzieląc (.) przez (.1) orzymujemy kolejno: (3.1) [y /y -1 ] = e b, (3.) [(y -1 + y )/y -1 ] = e b (3.3) [1+( y /y -1 )]= e b Osaecznie orzymujemy miernik empa zmian y w posaci okresowej sopy wzrosu zmiennej y (ry ): (4) ry : y /y -1 = e b -1 b Na podsawie (4) powiemy, że w warunkach sałości zmiennej x, z okresu na okres zmienna y wzrasa (lub maleje) o (e b -1) 1%, czyli w przybliżeniu o b 1%. Przykład 7 [modyfikacja modelu z przykładów 1,,3 i 6 przypadek modelu muliplikaywnego poęgowo-wykładniczego Rozważ nasępującą zmodyfikowaną posać modelu z przykładu 1 i 6 (cz.1): 1 y = B x e e Celem oszacowania paramerów srukuralnych powyższego modelu dokonano jego linearyzacji poprzez jego obusronne zlogarymowanie: ln y = + 1 ln x + +, ( = ln B ) Powyższą posać modelu na podsawie danych saysycznych z przykładu 1 oszacowano za pomocą esymaora MNK i orzymano nasępujące wyniki: ln yˆ =,638 +,593 ln x +,45 (pod ocena parameru 1 i zamieszczono ich średnie błędy szacunku) (,195) (,345) R =,997 DW =,166 Odpowiednie warości kryyczne saysyk - Sudena i Durbina-Wasona wynoszą odpowiednio: [ α=,5 =,15 ], [d L =,559, d U = 1,77] Na podsawie powyższych informacji: 1. Zinerpreować współczynnik deerminacji,. Zbadać isoność oddziaływania zmiennej x i na zmienną y, 3. Zweryfikować hipoezy doyczące auokorelacji składników losowych, 4. Oszacowaną posać modelu sprowadzić do posaci pierwonej i zinerpreować wpływ zmiennej x oraz na zmienną y. (zinerpreować oszacowaną elasyczność i warunkową sopę wzrosu) Ad 1 Na podsawie współczynnika deerminacji R =,997 powiemy, że 99,7 % zmienności zmiennej objaśnianej (logarymu koszów produkcji) zosało wyjaśnione przez zmienną objaśniającą modelu (logarym ilości elewizorów). Ad Weryfikujemy hipoezę zerową względem jej nasępująco zdefiniowanej alernaywy: H : 1 = H : 1 Warość empiryczna saysyki 1 w warunkach posawionej hipoezy zerowej wynosi: ˆ 1,593 1 = = = 3,4 ˆ( σ ˆ ),

8 Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Na podsawie dokonanych obliczeń swierdzamy, że: = 3,4 3,4 1 = Oznacza o, że: 3,4 >,15, 1 = α = ym samym hipoezę zerową odrzucamy na rzecz hipoezy alernaywnej. Powiemy więc, że w rozważanym przypadku paramer 1 saysycznie isonie różni się od zera. Mamy ym samym prawo uznać, że zmienna x (wielkość produkcji elewizorów) w dowolnym okresie wywołuje saysycznie isony wpływ na zmienną y (koszy produkcji). Jednocześnie możemy powiedzieć, iż w rozważanym przypadku prawdopodobieńswo uznania hipoezy fałszywej za prawdziwą jes równe α=,5. Weryfikujemy hipoezę zerową względem jej nasępująco zdefiniowanej alernaywy: H : = H : Warość empiryczna saysyki w warunkach posawionej hipoezy zerowej wynosi: ˆ,45 = = = 1,34 S( ˆ ),345 Na podsawie dokonanych obliczeń swierdzamy, że: = 1,34 1,34 = Oznacza o, że: 1,34 <,15, = α = ym samym przy przyjęym poziomie isoności nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej. Powiemy więc, że w rozważanym przypadku paramer nie wykazuje saysycznie isonej różnicy od zera. Mamy ym samym prawo uznać, że zmienna czasowa nie wpływa saysycznie isonie zmienną y (koszy produkcji). Ad 3. Weryfikujemy nasępująco zdefiniowaną hipoezę zerową względem jej alernaywy: H : ρ 1 = H : ρ 1 > Z uwagi na fak, iż: DW =,166 > d U = 1,77 przychylamy się w kierunku H uznając, iż dodania auokorelacja składników losowych jes nieisona (wykluczamy możliwość wysąpienia dodaniej auokorelacji składników losowych). Ad.4 Sprowadzenie posaci zlogarymowanej modelu do jego posaci pierwonej,76,848,45 ln yˆ =,638 +,593 ln x +,45 yˆ = e x e (,195) (,345) Elasyczność koszów produkcji ze względu na poziom produkcji: dyˆ / yˆ dyˆ yˆ E yˆ ( x) = = : =,593 dx / x dx x Powiemy, że w dowolnym okresie, jeżeli produkcja wzrośnie o 1% o koszy produkcji wzrosną o około,93% z przecięnym błędem,195%. Warunkowa sopa wzrosu koszów produkcji (zn., w warunkach sałości poziomu produkcji): yˆ ˆ, 45 r y = ( 1) =,46 ˆ = e ry % = 4,6% yˆ 1 Powiemy, że w warunkach sałości produkcji (x =cons.) przecięna roczna sopa wzrosu ich koszów produkcji wynosiła 4,6%. Można byłoby o łumaczyć między innymi wzrosem cen czynników produkcji (np. cen energii, paliw lub płac). 11. Przyczynowo-skukowy model płac realnych usuwanie przyczyn auokorelacji Problem 1 Zinerpreuj przyczynowo-skukowy muliplikaywny model poziomu przecięnej płacy realnej w Polsce oszacowany na podsawie danych rocznych z la Założenie do przyczynowo-skukowego modelu płac: Przecięny poziom realnej płacy (W) w danym okresie jes dodanio uzależniony od poziomu przecięnej wydajności pracy (APL) z danego okresu oraz ujemnie uzależniony od odpowiednio opóźnionej w czasie sopy bezrobocia (UR): W W ( APL, AUR ), = i ( + ) ( ) 8

9 Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne gdzie: AUR - uśredniona w roku sopa bezrobocia, i - sopień opóźnienia w czasie oddziaływaniu sopy bezrobocia na poziom płacy realnej Posać srukuralna modelu muliplikaywnego: W = B APL AUR 1 1 Zlinearyzowana osaeczna posać modelu: ln W = + 1 ln APL + ln AUR 1 + Oszacowana posać zlinearyzowanego modelu dla la : lnw ˆ 4,968+,661 ln APL,1 ln AUR e = 1 (,84) (,5) (,15) Podsawowe miary dopasowania modelu do rzeczywisości: R =,99 DW=1,691 Odpowiednie warości kryyczne saysyk dla n=14 obserwacji: [ α=,5 = 1,895 ], [d L =,95 d U = 1,551] Informacje o sopniu zmienności zmiennych wysępujących w modelu 1 Sopa bezrobocia (UR) oraz usredniona sopa bezrobocia w Polsce w laach UR AUR r 1996r 1997r 1998r 1999r r 1r r 3r 4r 5r 6r 7r 8r 9r 1,8 1,6 1,4 Indeksy płac realnych (IW), wydajnosci pracy (IAPL) oraz uśrednionej sopy bezrobocia (IAUR) w Polsce w laach IW IAPL IAUR 1, 1,8,6,4 1995r 1996r 1997r 1998r 1999r r 1r r 3r 4r 5r 6r 7r 8r 9r Problem 11 przyczyny auokorelacji Uwzględniając graficzne informacje o zmiennych wysępujących w przyczynowo-skukowym modelu płac, oceń przyczyny auokorelacji i sposoby usunięcia przyczyn, na podsawie nasępujących wersji modelu płac w konfronacji z osaeczna wersją modelu przedsawioną w problemie 1. 9

10 Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Wersja 1. Model płac uwzględniający w zbiorze zmiennych objaśniających jedynie wydajność pracy: lnwˆ = 4,54 +,689ln APL R =,945 (,163) (,46) DW=,5 Wersja. Model płac uwzględniający w zbiorze zmiennych objaśniających wydajność pracy oraz nieopóźnioną zmienną sopy bezrobocia. lnwˆ = 4,875+,67 ln APL,99 ln AUR R =,977 (,138) (,314) DW=,643 (,44) ZADANIA DO CZĘŚCI II Zadanie 4 (konynuacja zadania 1, i 3 z części I maeriałów ) (parz: przykład 4) Rozważ nasępujący model i jego oszacowaną posać dla n =6 obserwacji: y = + 1x +, gdzie: y : konsumpcja globalna (bez konsumpcji zbiorowej) gospodarsw domowych w [mld. zł.] x : warość PKB [mld.zł] yˆ =,1 +,5 x, (pod ocenami zamieszczono średnie błędy szacunku paramerów) (,8) (,74) Wiedząc, że warośćkryyczna saysyki -Sudena dla 4-ch sopni swobody i założonego poziomu isoności α=,5 wynosi: α=,5 =,13: a. Posawić hipoezę zerową i alernaywną doyczącą parameru 1 i wyjaśnić sens posawionych hipoez, b. Wyznaczyć warość empiryczną saysyki 1 w warunkach posawionej hipoezy zerowej. c. Zbadać isoność oddziaływania zmiennej x na zmienną y w założonych warunkach. d. Przedyskuować problem wysąpienia rozwiązania przeciwnego wobec rozwiązania z punku 3. Zadanie 5 (konynuacja zadania 1, i 3 z części I maeriałów ) (parz: przykład 5) Wykorzysując informacje saysyczne i oszacowania z zadania 1 i części I, oszacować i zinerpreować: 1. Empiryczną warość saysyki DW.. Zweryfikować hipoezy doyczące auokorelacji składników losowych rozparywanego w zadaniu 1 modelu wiedząc, że dla liczby obserwacji n=6 oraz liczby zmiennych objaśniających k=1 przy poziomie isoności α=,5. warości kryyczne wynoszą odpowiednio: d L =,61 i d U = 1,4 3. Przedyskuować problem wysąpienia rozwiązania przeciwnego wobec rozwiązania z punku Tabela II.4 1 -,1,5 3,1 4 -,5 5,5 6 -,5 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 1 ( ˆ ˆ 1 ), Zadanie 6 (konynuacja zadania 1, i 3 z części I maeriałów ) (parz: przykład 6) Rozważ nasępującą zmodyfikowaną posać modelu z zadania 1 (cz.1): y = B x 1 e Celem oszacowania paramerów srukuralnych powyższego modelu dokonano jego linearyzacji poprzez jego obusronne zlogarymowanie: ln y = + 1 ln x +, ( = ln B ) Powyższą posać modelu oszacowano za pomocą esymaora MNK i orzymano nasępujące wyniki: ln yˆ =,56 +,96 ln x (pod ocena parameru 1 zamieszczony jes średni błąd szacunku) (,159) R =,91 DW = 1,937 Odpowiednie warości kryyczne saysyk - Sudena i Durbina-Wasona wynoszą odpowiednio: [ α=,5 =,13 ], [d L =,61 d U = 1,4] ˆ 1

11 Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Na podsawie powyższych informacji: 1. Zinerpreować współczynnik deerminacji,. Zbadać isoność oddziaływania zmiennej x na zmienną y, 3. Zweryfikować hipoezy doyczące auokorelacji składników losowych, 4. Oszacowaną posać modelu sprowadzić do posaci pierwonej i zinerpreować wpływ zmiennej x na zmienną y. (zinerpreować oszacowaną elasyczność) Model wyjściowy: DODATEK I Przyczynowo-skukowy model zaporzebowania na pracę, 1 (1) L = B e K 1 Y ( α <, <, > ) α α ( 1) 1 () L 1 = Be K 1Y 1, gdzie: L zarudnienie, K kapiał rzeczowy, Y PKB Model sopy wzrosu zaporzebowania na pracę: (3) rl = α + 1 rk + ry gdzie sopy wzrosu zarudnienia, kapiału rzeczowego i produku krajowego: (3.1) rl = ( L / L 1) ln L = ln L ln L 1 (3.) rk = ( K / K 1) ln K = ln K ln K 1 (3.3) rpkb Y / Y ) lny = lny lny, ( PKB Y ) = ( Roczne sopy wzrosu PKB (rpkb), zarudnienia (ral) i kapiału rzeczowego (rak) rpkb ral rak r 1997r 1996r 1r r 1999r 4r 3r r 7r 6r 5r 1r 9r 8r Wniosek: Mała zmienność sopy wzrosu kapiału sprowadza model 3 do uproszczonej posaci: (4) rl = α + α X 5 + rpkb + 1 gdzie X5 jes zmienna zero-jedynkową przyjmującą nasępujące warości: - X5 = w laach , - X5 =1 w laach 5-1, Oszacowana posać modelu (4) dla okresu od 1996 r. do 1 (n=15): (5) rl = 3,81+ 1,69 X 5 +,8 rpkb R (,58) (,43) (,1) =,843; ˆ σ =,81; DW = 1,78 11

12 Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne A) Model dla la (X5=): (6.1) rl = 3,81 +,8 rpkb B) Model dla la 5-1 (X5=): (6.) rl =,1 +,8 rpkb Wnioski: 1). W laach 1996 do 1 wzros rocznej sopy wzrosu PKB o 1 punk % prowadził do przyrosu rocznej sopy wzrosu zarudnienia o o,8 p-ku procenowego,.1) W laach w warunkach zerowego wzrosu PKB (rpkb=) sopa wzrosu zarudnienia malała średniorocznie o 3,81%..) W laach 5-1 w warunkach zerowego wzrosu PKB (rpkb=) sopa wzrosu zarudnienia malała średniorocznie o,1%. Wyznaczanie granicznej sopy wzrosu PKB: A) dla la : (7.1) rl = 3,81 =,8 rpkb rpkb = 3,81/,8 = 4,65% B) dla la 5-1: (7.) rl =,1 =,8 rpkb rpkb =,1 /,8 =,6% I II Powiemy, że: A) w laach , aby nasąpił wzros zarudnienia, PKB powinien wzrasać w rocznym empie przekraczającym 4,65%, B) w laach 5-1, aby nasąpił wzros zarudnienia, PKB powinien wzrasać w rocznym empie przekraczającym,6%. I DODATEK II Globalny popy konsumpcyjny analiza przyczynowo skukowa Tabela1.1. Nominalne i realne globalne wydaki konsumpcyjne na le realnego Produku Krajowego Bruo w Polsce w laach (w mld złoych) ROK CON ICK RCON PKB IPKB URCON% 1995r 66,8 1, 66,8 337, 1, 79,1 1996r 34,3 1, , ,164 1,6 79,5 1997r 414,8 1, , ,3964 1,137 78, r 479,3 1, ,1776 4,6168 1,194 77, r 536,9 1,657 34,855 4,856 1,48 77,1947 r 67, 1, , ,344 1,3 76,55 1r 646, 1, ,68 444,496 1,318 75,7394 r 686, 1,956 35, ,499 1,336 77,845 3r 77,8 1, , ,336 1,388 76,6716 4r 76,7,414 37,635 49,9864 1,46 75,5864 5r 81,1, ,387 51,858 1,515 75,81 6r 856,,154 46,575 54,5548 1,69 74,9363 7r 9,9,158 47, ,396 1,718 73,819 8r 11,, , ,983 1,86 74,573 9r 168,8, ,98 619,4364 1,837 74,1367 1r 1136,, , ,5799 1,99 73,936 11r 17,6, , ,64 1,991 7,314 II 1

13 Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne r Wykres 1.1 Wydaki konsumpcyjne (RCON) oraz Produk Krajowy Bruo (PKB) w mld złoych w cenach sałych z roku 1995 w Polsce w laach r RCON PKB 1997r 1998r 1999r r 1r r 3r 4r 5r 6r 7r 8r 9r 1r 11r Wykres 1. Udział wydaków konsumpcyjnych (RCON) w Produkcie Krajowym Bruo (PKB) w cenach sałych: URCON=RCON/PKB URCON 1995r 1996r 1997r 1998r 1999r r 1r r 3r 4r 5r 6r 7r 8r 9r 1r 11r Podsawowe pojęcia z zakresu globalnego popyu konsumpcyjnego: I. Krańcowa skłonność do konsumpcji KSK (MPC): RCON C (1.1) KSK = PKB Y Na podsawie KSK powiemy, jaką część z każdej dodakowej jednoski PKB (Y) społeczeńswo przeznacza na konsumpcję (RCON=C). II. Przecięna skłonność do konsumpcji PSK (APC): RCON C (1.1) PSK = ; ( PSK1% = URCON %) PKB Y Na podsawie PSK powiemy, jaki jes udział wydaków konsumpcyjnych (RCON) w produkcie Krajowym Bruo (PKB). Liniowy model popyu konsumpcyjnego: () C = + 1Y + Ordinary Leas Squares Esimaion Dependen variable is RCON 17 observaions used for esimaion from 1995 o 11 Regressor Coefficien Sandard Error T-Raio[Prob] C [.] PKB [.] R-Squared R-Bar-Squared S.E. of Regression 3.74 F-sa. F( 1, 15) 73.6[.] Mean of Dependen Variable S.D. of Dependen Variable Residual Sum of Squares Equaion Log-likelihood Akaike Info. Crierion Schwarz Bayesian Crierion DW-saisic

14 Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne Oszacowana posać liniowego modelu popyu konsumpcyjnego: (3) Cˆ = 43,17+, 67 Y R (4,) (,8) =,998; ˆ σ = 3,7; DW = 1,876 Krańcowa skłonność do konsumpcji (KSK): Cˆ (4) KSK = =,67 (,8) Y Inerpreacja: Z każdego dodakowego miliarda zł PKB społeczeńswo przeznacza na konsumpcję przecięnie,67 mld złoych z przecięnym błędem,8 mld złoych. Funkcja przecięnej skłonności do konsumpcji (PSK): (5) P SK ˆ = 43,17 (1 / ) Y, 67 Oszacowana posać modelu PSK: Ordinary Leas Squares Esimaion Dependen variable is PSK 17 observaions used for esimaion from 1995 o 11 Regressor Coefficien Sandard Error T-Raio[Prob] OPKB [.] C [.] R-Squared.9459 R-Bar-Squared.8983 S.E. of Regression F-sa. F( 1, 15) 14.[.] Mean of Dependen Variable.766 S.D. of Dependen Variable.56 Residual Sum of Squares.614E-3 Equaion Log-likelihood Akaike Info. Crierion Schwarz Bayesian Crierion DW-saisic Inerpreacja: W warunkach, gdy PKB zmierzać będzie do nieskończoności, o udział wydaków konsumpcyjnych w produkcie krajowym zmierzać będzie do,67 (czyli 67%). Przekszałcenie modelu liniowego do modelu w posaci indeksowej (zależności względne na podsawie modelu liniowego) (6.1) C C = / C + ( / C ) Y + C (6.) (6.3) Gdzie: / 1 / / C = / C + ( 1 Y / C ) ( Y / Y ) + = + 1 Y + C C (6.4.a) C = C / C = C / 37, 5 (6.4.b) Y = Y / Y = Y / 49, 5 (6.4.c) ˆ = 44,41 / 37,5 =, 1 (6.4.d) ˆ = (,667 49,5) / 37,5 =, 89 1 Przekszałcona posać modelu liniowego do posaci indeksowej: (7) Cˆ =,1 +,89 Y Inerpreacja: Wzros produku krajowego o jeden punk procenowy (1 pk%) prowadzi do wzrosu konsumpcji globalnej przecięnie o około,89 punku procenowego (,89 pk%). 14

15 Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski Wybrane elemeny ekonomerii sosowanej cz. II Isoność zmiennych modelu, auokorelacja i modele muliplikaywne (8) C = B Y e 1 Model poęgowy konsumpcji: Posać zlinearyzowana modelu poęgowego konsumpcji: (9) ln C = + 1 lny + Ordinary Leas Squares Esimaion Dependen variable is LRCON 17 observaions used for esimaion from 1995 o 11 Regressor Coefficien Sandard Error T-Raio[Prob] C [.] LPKB [.] R-Squared.9981 R-Bar-Squared S.E. of Regression.8677 F-sa. F( 1, 15) [.] Mean of Dependen Variable S.D. of Dependen Variable Residual Sum of Squares.153 Equaion Log-likelihood Akaike Info. Crierion Schwarz Bayesian Crierion DW-saisic Oszacowana posać zlinearyzowanego modelu popyu konsumpcyjnego: (1) ln Cˆ =,467+, 88 lny R (,61) (,1) =,998; ˆ σ =,83; DW = 1,9517 (11) Posać zdelogarymowana modelu: ˆ,467,88 C = e Y Inerpreacja: Wzros produku krajowego bruo o 1% prowadził do przecięnego przyrosu konsumpcji o,88% z błędem,1%. Oszacowana posać modelu PSK:,467,1 (1) ˆ P SK = e Y Inerpreacja: Wzros produku krajowego bruo o 1% prowadził do przecięnego spadku udziału wydaków konsumpcyjnych w produkcie krajowym o około,1%. Ordinary Leas Squares Esimaion Dependen variable is LPSK 17 observaions used for esimaion from 1995 o 11 Regressor Coefficien Sandard Error T-Raio[Prob] C [.] LPKB [.] R-Squared.9795 R-Bar-Squared.9181 S.E. of Regression.8677 F-sa. F( 1, 15) [.] Mean of Dependen Variable S.D. of Dependen Variable.6385 Residual Sum of Squares.153 Equaion Log-likelihood Akaike Info. Crierion Schwarz Bayesian Crierion DW-saisic