MODELOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Z WARUNKOWĄ WARIANCJĄ. 1. Wstęp

Transkrypt

1 WERSJA ROBOCZA - PRZED POPRAWKAMI RECENZENTA Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Z WARUNKOWĄ WARIANCJĄ. Wsęp Spośród wielu rodzajów ryzyka, szczególną uwagę zwrócono na ryzyko rynkowe (związane ze zmianami kursów akcji, indeksów, owarów, walu, insrumenów pochodnych i sóp procenowych) oraz ryzyko kredyowe (związane z możliwością niewywiązania się jednej ze sron z konraku). Jedną z grup pomiaru ryzyka rynkowego miary sanowią miary zmienności cen insrumenów finansowych (volailiy measures). U podsaw rozważań o zmienności insrumenów finansowych znajduje się dyskusja o dynamicznych modelach opisujących zmianę ceny insrumenu finansowego. Ceny lub sopy zwrou opisuje się jako procesy sochasyczne o czasie dyskrenym lub ciągłym. Sandardowe modele zakładają, że procesem kszałującym zmiany cen insrumenów bazowych jes geomeryczny proces Browna ze sałymi paramerami dryfu oraz zmienności. Model en zakłada że rozkład sop zwrou jes rozkładem normalnym. Jednak badania empiryczne sóp zwrou wykazały wysępowanie na rynkach finansowych: efeku skupiania danych, grubych ogonów rozkładów, skośności rozkładu, długoerminowej zależności danych, niesałości wariancji sóp zwrou w czasie. Niezbędne sało się więc poszukiwanie modeli lepiej opisujących rynek. W niniejszej pracy przedsawione zosały podsawowe modele klasy (G)ARCH zapocząkowane przez Engla (98) oraz Bollersleva (986) oraz ich właściwości. Procesy K. Jajuga, Nowe endencje w zarządzaniu ryzykiem finansowym K. Jajuga, Miary ryzyka rynkowego - cz., Rynek Terminowy, lisopad 999

2 e uwzględniają zmienną wariancję sóp zwrou. Zaprezenowane zosały meody szacowania paramerów modeli. W dalszej części pracy przedsawione zosało oszacowanie podsawowego dla rynków finansowych modelu GARCH(,) dla danych polskich oraz omówienie jego właściwości. Przedsawione zagadnienia mogą zosać wykorzysane w zarządzaniu: - ryzykiem kursu waluowego (exchange rae risk); - ryzykiem cen akcji (sock price risk); - ryzykiem cen owarów (commodiy price risk). Z opracowania wyłączone zosało ryzyko sopy procenowej (ineres rae risk), co związane jes z odmiennymi narzędziami sosowanymi w analizie zmienności oraz srukury sóp procenowych (obiekem badania jes wówczas cała krzywa dochodowości papierów dłużnych).. Empiryczne własności rozkładów sóp zwroów Badania empiryczne sóp zwrou 345 w dłuższym okresie wykazały, wysępowanie na rynkach finansowych: efeku skupiania danych (po okresie dużej zmienności, nasępują okresy charakeryzujące się mniejszą zmiennością), grubych ogonów rozkładów (prawdopodobieńswo pojawienia się bardzo dużych lub bardzo małych warości jes większe niż w przypadku rozkładu normalnego), skośności rozkładu (rozkład sóp zwrou nie jes symeryczny względem średniej, co łumaczy się odmiennym zachowanie inwesorów w czasie bessy i hossy), długoerminowej zależności danych (po znacznych wzrosach nasępują dalsze wzrosy, po kórych nadchodzą nagłe spadki a po nich kolejne), efeku dźwigni (wariancja procesu zależy od wcześniejszych sóp zwrou, wraz ze spadkiem ceny insrumenu wysępuje endencja do wzrosu wariancji sóp zwrou). Rys.. przedsawia wykres dziennych sóp zwrou z indeksu WIG od począku noowań w kwieniu 99 do października 000 roku. Wyraźnie można zaobserwować efek skupiania danych oraz zmienność wariancji w czasie. 3 E. Fama, The behaviour of sock marke prices, Journal of Business, 38, Meody ekonomeryczne i saysyczne w analizie rynku kapialowego, pod red. K. Jajugi, Wydawnicwo AE we Wrocławiu, Wrocław, 000, 5 Weron A., Weron R. (998). Inżynieria finansowa. WNT. Warszawa

3 Rys.. Dzienne sopy zwrou indeksu WIG. Efek grubych ogonów oraz dużo większej kurozy niż dla rozkładu normalnego przedsawiają odpowiednio rysunki oraz 3. lepokuroza rozkład normalny grube ogony Rys.. Hisogram sop zwrou Rys. 3. QQ-plo dziennych sóp zwrou Zaobserwowane efeky zmiennej wariancji w czasie oraz grubych ogonow rozkładow legły u podsaw wprowadzenia modeli z warunkową wariancją. 3. Modele zmienności insrumenów finansowych Dokonanie podziału modeli zmienności insrumenów finansowych nie jes ławe. Ogólnie można podzielić modele szeregów czasowych na 6 : modele ze sałym paramerem zmienności, modele ze zmiennym paramerem zmienności. 6 P. Abken, S. Nandi, Opions and Volailiy, Economic Review, grudzień 996 3

4 Do pierwszej grupy modeli zaliczymy przede wszyskim najbardziej popularny model zmian cen insrumenów finansowych - model geomerycznego ruchu Browna. 7 Innymi modelami ze sałym paramerem zmienności są np. 8 : model Ornseina-Uhlenbecka, model skoku i dyfuzji (jump-diffusion process), model Coxa-Rossa-Rubinseina 9 Ponieważ modele e w sposób niewysarczający modelowały rzeczywise szeregi sóp zwrou, zaproponowano szereg klas modeli ze zmiennym współczynnikiem zmienności. Ogólnie modele e dzieli się na: modele deerminisyczne, w kórych zakłada się, że możliwe jes jednoznaczne oszacowanie parameru zmienności dla poszczególnych okresów na podsawie informacji dosępnych w przeszłych okresach. Zbiór niezbędnych informacji może zawierać zarówno informacje o cenach insrumenów bazowych, jak i pochodnych. Najbardziej znanymi modelami ej klasy są 0 : a) consan elasiciy of variance model (CEV), b) implied binominal rees model, c) auoregressive condiional heeroskedasiciy models (ARCH), d) exponenially weighed momens models, modele sochasyczne, w kórych zakłada się, że przyszły poziom zmienności nie może być dokładnie oszacowany na podsawie informacji dosępnych w dniu dzisiejszym. W modelach ych zmienność zmienia się w sposób losowy, a źródło ej losowości jes inne niż źródło zmian poziomu cen, choć e dwa procesy zakłóceń mogą być skorelowane. W niniejszej pracy rozważane są jedynie modele klasy ARCH wraz z późniejszymi modyfikacjami. 4. Modele procesów klasy (G)ARCH Od wprowadzenia w 98 roku przez R. Engla podsawowego modelu klasy ARCH, powsalo wiele kolejnych modyfikacji mających na celu jeszcze lepsze modelowanie własności finansowych szeregów finansowych. 7 P. Wilmo, Derivaives. The Theory and Pracice of Financial Engineering, Wiley, 999, 8 K. Jajuga, Modele dynamiczne w analizie insrumenów finansowych, Dynamiczne Modele Ekonomeryczne, Toruń, wrzesień J. Cox, S. Ross, M. Rubinsein, Opion pricing: A simplified approach, Journal of Financial Economics, 7, 979, 0 P. Abken, S. Nandi, Opions and Volailiy, Economic Review, grudzień 996 R. Engle, Auoregressive condiional heeroskedasiciy wih esimaes of he variance of UK inflaion, Economerica, 50, 98 4

5 Hisorycznie pierwszym modelem uwzględniającym zależność warunkowej wariancji procesu od jego poprzednich warości jes model ARCH(q) dany nasępującymi równaniami: r = ε () h q i= i i h = ω + α r ε N(0,), (3) gdzie: r - sopy zwrou z danego insrumenu finansowego, h - warunkowa chwilowa wariancja szeregu finansowego, ε - szum o jednoskowym rozkładzie normalnym. Okazało się jednak, że do poprawnego modelowania rzeczywisych szeregow fianansowych niezbędne jes rozparywanie modeli ARCH wysokiego rzędu, co oznacza porzebę esymacji dużej liczby paramerów modelu. Rozwiązaniem okazał się uogólniony model ARCH (GARCH) zaproponowany przez T. Bollersleva w 986r., w kórym warunkowa wariancja h zależy nie ylko od poprzednich sóp zwrou, lecz również od poprzednich wariancji warunkowych. Warunkowa wariancja procesu GARCH(p,q) dana jes nasępującym wzorem: h q p = + ω αir i + i= i= β h i i W powyższych modelach nie mam możliwosci modelowania efeku dźwigni, gdyż warunkowa wariancja zależy jedynie od warości bezwzględnych wcześniejszych realizacji, a nie uwzględnia znaków. Odpowiedznie modyfikacje zaproponowane zosały przez Nelsona 3 (99), jako model EGARCH (exponenial GARCH): q p r r ln h = ω + α ϕ γ i i i + + i= h i h π j= β ln h i j () (4) (5) T. Bollerslev, Generalized auoregressive condiional heeroskedasiciy, Journal of Economerics, 3, D. Nelson, Condiional heeroskedasiciy in asse reurns: a new approach, Economerica, 59, 99 5

6 oraz przez Zakoiana 4, jako model TARCH (hreshold ARCH): p ω + αir i + ε ; r d T i= r = p' ' ' ω + + < αir i ε ; r d T i= (6) gdzie: d- paramer odroczenia, T - paramer progowy. Obydwa e modele umożliwiają modelowanie efeku asymerii informacji, czyli odmiennego wpływu dodanich i ujemnych sóp zwrou na warunkową wariancję, a co za ym idzie na możliwość modelowania skośności rozkładow. Dynamiczny rozwój modeli z warunkową wariancją doprowadzil do powsania kilkudziesięciu modeli w ramach ej klasy. Przykładowe modele o 5 : Nonlinear ARCH Model (Engle, Bollerslev, 986) Muliplicaive ARCH Model (Gewke, 986) log( h ) γ = ω + α ε h (7) ( ε ) ω α (8) = + i log Auoregressive Sandard Deviaion Model (Schwer, 990) Quadraic ARCH Model (Senana, 995) h h p = ω + αi ε i (9) i= + ω α ε α ε (0) = + ARCH-in-Mean Model (Engle, Lilien, r = λh + ε Robins, 987) h = ω + αε Najczęsrzymi echnikami esymacji paramerów procesów pozosają: meoda największej wiarygodności, meoda wnioskowania bayesowskiego, meoda momenów (generalised mehod of momens - GMM), QMLE (quasi maximum likelihood esimaion). () 4 J. Knigh, S. Sachell, Forecasing volailiy in he financial markes, Buerworh- Heinemann, R. Engle, V. Ng, Measuring and Tesing he Impac of News on Volailiy, The Journal of Finance, 5, 993 6

7 Różne echniki esymacji paramerów modeli oraz warunki na sacjonarność procesów opisane są szczegółowo w lieraurze przedmiou Przykład empiryczny Poniżej zaprezenowany zosał przykład esmacji najpopularniejszego modelu warunkowej wariancji dla szeregów finansowych - modelu GARCH(,) - dla indeksu WIG. Popularność modelu wynika przede wszyskim z jego prosoy (rzy paramery w równaniu wariancji), co jednak nie przeszkadza w osiąganiu zadowalających rezulaaów. Esymacja wyższych modeli jes częso niemożliwa ze względu na dysponowanie zby krókimi szeregami finansowymi, co powoduje że wyesymowane paramery obarczone są zby dużymi błędami. Z aką eż syuacją mamy do czynienia w warunkach polskich. Rozparywany model zdefiniowany jes poprzez nasępujące równania: r = µ + ε () h h = + αr + βh ε ω (3) ~ N(0,) (4) Zakłada się więc nasępujący rozkład warunkowy sóp zwrou: r Ψ ~ N( µ, h ) (5) gdzie: µ - średnia sop zawrou dla rozparywanego okresu, Ψ - - informacja dsosępna do chwili - włącznie. Sacjonarność procesu GARCH(,) w szerszym sensie zapewnia spełnienie warunku α + β <. Proces GARCH charakeryzuje się powracaniem do średniej. Średnia długoerminowa wariancja procesu dana jes równaniem: ω V = α β Esymację wekora paramerów θ ( ω, α, β ) = przeprowadzono meodą największej wiarygodności w procesie poszukiwania maksimum funkcji 7 : N ln L = ln N ln h ( θ ) N = = r h ( θ ) (6) π (7) 6 Volailiy. New Techniques for pricing derivaives. Pod redakcją Robera Jarrowa. (998). Risk books. 7 CH. Hafner, Nonlinear Time Series Analysis wih Applicaions o Foreign Exchange Rae Volailiy, Physica-Verlag, 998 7

8 Dla dziennych sop zwrou z indeksu WIG (dane od do ) uzyskano nasępujące oszacowanie modelu GARCH(,): r = 0, ε h = 0, ,4 + 0, 7464h h ε. Uzyskany model jes sacjonarny w szerszym sensie, gdyż: α + β = 0,9606 <. Długoerminowa dzienna wariancja procesu wynosi: 0,00006 V = = 0, , 0,4 + 0,7464 więc dzienne (chwilowe) odchylenie sandardowe sóp zwrou (średnia dzienna zmienność) dla okresu sześcioleniego wynosiła: V = 0,03956,4% Rys.. 4. przedsawia dzienna zmienność indeksu WIG wraz z naniesionym poziomem średniej.,4% Rys. 4. Dzienna zmiennośc indeksu WIG Jedną z najprosszych echnik sprawdzenia poprawności dopasowania modelu do danych empirycznych jes analiza szeregu: r ˆ µ ˆ ε = (8) hˆ gdzie: ˆµ, ĥ - wyesymowane charakerysyki procesu. W przypadku idealnego dopasowanie powinna zachodzić własność: ˆ ε ~ N(0,). (9) 8

9 Rys. 5 oraz Tabela. przedsawiaja informacje o rozkładzie εˆ. Tabela. Średnia 0, Mediana 0,07938 Odchylenie sd, Wariancja, Kuroza, Skośność -0, Rys. 5. Rozkład εˆ Źródło: obliczenia wlasne. Rozkład warunkowy εˆ posiada większą kurozę niż rozkład normalny oraz skośność różną od zera, co świadczy o braku idealnego dopasowania modelu do danych empirycznych. Z ego powodu zaproponowano zasosowanie rozkładów warunkowych odmiennych od rozkladu normalnego. Najczęściej rozparywaną modyfikacją sał się model -GARCH o warunkowym rozkładzie -Sudena 8 dany wzorami: r µ = ρ µ + ξ (0) ( ) r = + αξ + βh h ω () gdzie: ξ - - zmienna o warunkowym skośnym rozkładzie -Sudena o ν> sopniach swobody, zerowej modalnej, paramerze asymerii γ>0 oraz zmiennej precyzji h Podsumowanie Mimo braku idealnego dopasowanie klasycznego modelu GARCH(,) do danych empirycznych, i ak opisuje on lepiej rzeczywisość niż modele zakładające sałość wariancji procesu w czasie. Ławość szacowania modelu spowodowała, że znalazł on zasosowanie w pomiarze ryzyka meodą Value a Risk 9 0 oraz (w mniejszym już sopniu) w modelach wyceny opcji. 8 J. Osiewalski, M. Pipień, Bayesowskiewnioskowanie o sacjonarności procesów GARCH(,), Dynamiczne Modele Ekonomeryczne, Toruń, P. Bes, Warość narażona na ryzyko, Oficyna Ekonomiczna, Kraków, 000 9

10 Dalsze prace nad modelami z warunkową wariancją niewąpliwie doprowadzą do częsszego sosowania ych modeli w eorii finansów. Lieraura: [] P. Abken, S. Nandi, Opions and Volailiy, Economic Review, grudzień 996 [] P. Bes, Warość narażona na ryzyko, Oficyna Ekonomiczna, Kraków, 000 [3] T. Bollerslev, Generalized auoregressive condiional heeroskedasiciy, Journal of Economerics, 3, 986 [4] J. Cox, S. Ross, M. Rubinsein, Opion pricing: A simplified approach, Journal of Financial Economics, 7, 979, [5] R. Engle, Auoregressive condiional heeroskedasiciy wih esimaes of he variance of UK inflaion, Economerica, 50, 98 [6] R. Engle, V. Ng, Measuring and Tesing he Impac of News on Volailiy, The Journal of Finance, 5, 993 [7] E. Fama, The behaviour of sock marke prices, Journal of Business, 38, 965 [8] J. Hull (997). Fuures, opions, and oher derivaives. Prenive-Hall, New York. [9] K. Jajuga, Miary ryzyka rynkowego - cz., Rynek Terminowy, lisopad 999 [0] K. Jajuga, Modele dynamiczne w analizie insrumenów finansowych, Dynamiczne Modele Ekonomeryczne, Toruń, wrzesień 999 [] K. Jajuga, Nowe endencje w zarządzaniu ryzykiem finansowym [] Meody ekonomeryczne i saysyczne w analizie rynku kapialowego, pod red. K. Jajugi, Wydawnicwo AE we Wrocławiu, Wrocław, 000, [3] J. Knigh, S. Sachell, Forecasing volailiy in he financial markes, Buerworh- Heinemann, 998 [4] M. Łach, A. Weron, Skueczność wybranych meod obliczania VaR dla danych finansowych z polskiego rynku, Rynek Terminowy, lipiec 000 [5] D. Nelson, Condiional heeroskedasiciy in asse reurns: a new approach, Economerica, 59, 99 [6] J. Osiewalski, M. Pipień, Bayesowskiewnioskowanie o sacjonarności procesów GARCH(,), Dynamiczne Modele Ekonomeryczne, Toruń, 999 [7] Weron A., Weron R. (998). Inżynieria finansowa. WNT. Warszawa [8] P. Wilmo, Derivaives. The Theory and Pracice of Financial Engineering, Wiley, 999, 0 M. Łach, A. Weron, Skueczność wybranych meod obliczania VaR dla danych finansowych z polskiego rynku, Rynek Terminowy, lipiec 000 P. Wilmo, Derivaives. The Theory and Pracice of Financial Engineering, Wiley, 999, 0