Magdalena Osińska, Marcin Fałdziński Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Modele GARCH i SV z zastosowaniem teorii wartości ekstremalnych

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarim Nakowe 4 6 września 2007 w Torni Kaedra Ekonomerii i Saysyki Uniwersye Mikołaja Kopernika w Torni Magdalena Osińska Marcin Fałdziński Uniwersye Mikołaja Kopernika w Torni Modele GARCH i SV z zasosowaniem eorii warości eksremalnych 1. Wsęp W badaniach nakowych oraz w życi codziennym można zaobserwować endencję do średniania wszyskich obserwowanych warości. Można jednak wskazać wiele przypadków kiedy miary średnie nie są odpowiednie. W przypadk wydarzeń o niespoykanej wielkości właściwa jes eoria warości eksremalnych (Exreme Vale Theory EVT). Meody esymacji w EVT można podzielić ogólnie na dwie grpy: meody nieparameryczne i parameryczne. Przedmioem analizy jes meoda Peaks over Threshold (POT) należąca do grpy meod paramerycznych. 2. Meoda Peaks over Threshold w eorii warości eksremalnych Meoda Peaks over Threshold zakłada że dany jes szereg obserwacji X 1 K Xn (i.i.d.) pochodzących z nieznanej dysrybany F przy czym ineresjące są przekroczenia powyżej zadanej wysokiej warości progowej. Warnkowy rozkład przekroczeń F ma posać F ( y ) = P( X y X > ) 0 y xf gdzie X jes zmienną losową jes daną warością progową a y= x są przekroczeniami (McNeil Frey 2000). Dysrybana F może być zapisana za pomocą: F( + y) F( ) F( x) F( ) F ( y) = =. (1) 1 F( ) 1 F( )

2 28 Magdalena Osińska Marcin Fałdziński Realizacje zmiennej losowej X mieszczą się w przedziale od 0 do sąd esymacja F w ym przedziale nie sprawia problem. Posać rozkład F można znaleźć dzięki poniższem wierdzeni. Twierdzenie 1 Pickandsa-Balkemy-de Haana (Pickands 1975 Balkema de Haan 1974). Dla rozkładów danych rzeczywisą dysrybaną F warnkowy rozkład przekroczeń F ( y ) dla dżej warości jes dobrze aproksymowany za pomocą F ( ) ( ) y Gγσ y gdzie G γσ 1/ γ γ y jeżeli γ 0 ( y) = σ γ = y / σ 1 e jeżeli 0 dla y 0 ( xf ) jeżeli 0 y 0 σ / γ jeżeli γ < 0 gdzie G γ σ jes ogólnionym rozkładem Pareo. Schema meody POT przedsawia się jak nasępje: Wybór warości progowej dla danego szereg zmiennych X 1 K Xn. Niech będzie liczbą obserwacji przekraczających ( X K X ) czyli N γ i [ ] i1 i N Yj = Xi j 0. Dopasowanie G γ σ do przekroczeń Y... 1 Y N aby orzymać oszacowanie paramerów γ i σ. (Beirlan Mays 2001). Zgodnie z wierdzeniem Pickandsa-Balkemy-de Haana dla x można F ˆ ( x ) = 1 F ( ) G ( x ) + F ( ) do aproksymacji żyć esymację ogona ( n ) fnkcji dysrybany F( x ). Można pokazać że F ˆ ( x ) jes również ogólnionym rozkładem Pareo z ym samym paramerem kszał γ ale z paramerem skali % σ = σ(1 F ( ) γ i z paramerem położenia n ) γ (( Fn ) ) % µ = µ % σ 1 ( ) 1 / γ. Dlaego eż esymaor POT kwanyla x p orzymany jes przez odwrócenie formły F ˆ ( x ). Nasępnie zamieniając nieznane paramery rozkład GPD przez oszacowane paramery ( ˆ γ ˆ σ ) orzymjemy: γ µ σ ˆ γ ˆ 1 p Fn ( ) ˆ σ 1 p xˆ p = F ( p) = Gˆ γ ˆ σ = F ( ) ˆ n γ 1 Fn( ) Jeśli N jes liczbą przekroczeń powyżej warości progowej i n jes liczbą wszyskich obserwacji w szereg o esymaor kwanyla wygląda nasępjąco: n (2) (3)

3 Modele GARCH i SV z zasosowaniem eorii warości eksremalnych 29 ˆ γ ˆ σ n xˆ p = + (1 p) 1 ˆ γ N gdzie p jes bliskie 1. Ważnym zagadnieniem jes wybór warości progowej od kórej zależnione są warości oszacowanych paramerów. W eorii sgerje się aby wybór był opary na kompromisie pomiędzy obciążeniem i wariancją. W przypadk większej warości progowej powinno orzymać się mniejsze obciążenie. Z drgiej srony dosaje się mniej przekroczeń co skkje większą wariancją. (4) 3. Vale-a-Risk i Expeced Shorfall w eorii warości eksremalnych Warość zagrożona w eorii warości eksremalnych dla meody Peaks over Threshold jes równa: ˆ γ ˆ σ n VaR( α) = + α 1 (5) ˆ γ N gdzie α jes poziomem olerancji. Z powod wad warości zagrożonej powsała alernaywna miara ryzyka kóra nazywana jes oczekiwanym niedoborem (Expeced Shorfall ES). Aby móc skonsrować oczekiwany niedobór Arzner i in. (1998) zdefiniowali na począk miarę ryzyka za pomocą czerech aksjomaów. Miara ryzyka kóra spełnia aksjomay monooniczności sbaddyywności dodaniej jednorodności i niezmienniczości ze względ na ranslację nazywana jes koherenną miarą ryzyka. Z pnk widzenia koherenności VaR ogólnie nie jes miarą ryzyka ponieważ nie spełnia aksjoma sbaddyywności Dzięki wierdzeni 1 wiemy że warnkowy rozkład przekroczeń dla warości progowej jes równy F ( ) ( ) y Gγσ y. Jeśli warością progową będzie VaR( α ) o warnkowy rozkład przekroczeń z aką warością progową jes również ogólnionym rozkładem Pareo (GPD) z ym samym paramerem kszał ale innym paramerem skaljącym. Konsekwencją ego równania F ( ) ( ) y Gγσ y jes nasępjąca formła: F ( y) G ( y). (6) VaR( α) γ σ+ γ( VaR ( α ) ) Zaważając że dla γ < 1 średnia z rozkład jes równa ( σ + γ( VaR( α) ))/(1 γ) możemy orzymać Expeced Shorfall dla meody Peaks over Threshold: VaR( α) σ γ ES( α) = +. (7) 1 γ 1 γ

4 30 Magdalena Osińska Marcin Fałdziński Oczekiwany niedobór porfela określany jes jako ES( α) = E[ X X > VaR ( α) ] zn. że jes średnią sraą pod warnkiem że VaR zosanie przekroczony. Dowd (2002) przedsawił sposób szacowania ES jako średnią ważoną z warości zagrożonych ogona rozkład. Do esowania wsecznego żyo rzech esów: es liczby przekroczeń LR c es niezależności przekroczeń LR ind (Haas 2001) es niezależności przekroczeń LR ind (Chrisoffersen 1998). Powyższe meody nie dają możliwości sworzenia ranking modeli dlaego eż Lopez (1999) zaproponował przyjęcie jako kryerim fnkcji sray. Angelidis i Degiannakis (2006) wskazją na dwa braki podejścia Lopeza. Po pierwsze model kóry nie generje żadnego przekroczenia znawany jes za najlepszy. Po drgie zwro y + 1 powinien być porównany z oczekiwanym niedoborem (ES) ponieważ warość zagrożona (VaR) nic nie mówi na ema wielkości oczekiwanych sra. Dlaego eż zaproponowali nasępjące fnkcje sray: Ψ Ψ y+ 1 ES+ 1 jeżeli nasąpi przekroczenie = 0 w przeciwnym przypadk ( y ) ES+ 1 jeżeli nasąpi przekroczenie = 0 w przeciwnym przypadk (8) (9) T % = 1 Aby ocenić kóry model jes najlepszy dla każdego oblicza się średni błąd absolny (MAE) MAE = Ψ1 / T% oraz średni błąd kwadraowy (MSE) T % = 1 MSE = Ψ (LF) 2 / T% gdzie T % jes liczbą wykonanych prognoz a fnkcja sray jes smą ych błędów (Angelidis Degiannakis 2006). 4. Meoda POT z zasosowaniem modeli zmienności Isniejące podejścia do modelowania rozkład zysków/sra porfela insrmenów finansowych można schemaycznie podzielić na rzy grpy: nieparameryczne meody symlacji hisorycznej parameryczne meody opare na modelach zmienności oraz meody opare na eorii warości eksremalnych. McNeil i Frey (2000) połączyli wszyskie rzy meody aby snąć ich wady i wydobyć najlepsze cechy. Przyjmijmy że jes szeregiem czasowym dziennych obserwacji sóp zwroów insrmen finansowego posaci X Z jes białym szmem z zerową średnią jednoskową = µ + σ Z gdzie wariancją i dysrybaną rozkład brzegowego FZ ( z ). Zakładamy że µ jes X

5 Modele GARCH i SV z zasosowaniem eorii warości eksremalnych 31 oczekiwanym zwroem a σ jes zmiennością sóp zwroów. Aby zasosować procedrę esymacji dla proces X należy wybrać dynamiczny model warnkowej średniej i warnkowej wariancji. McNeil i Frey zdefiniowali prose jednodniowe formy miar ryzyka w sosnk do proces jako: VaR ES = µ σ + 1 VaR( Z) q q X (10) = µ σ + 1 ES( Z ) q (11) q gdzie VaRq ( Z) jes warością zagrożoną proces Z a ESq ( Z ) jes odpowiadającym oczekiwanym niedoborem. Podejście polega na dopasowani model zmienności do sóp zwroów. Szacje się µ + 1 oraz σ + 1 i oblicza się sandaryzowane reszy model. Nasępnie sosje się eorię warości eksremalnych aby orzymać warości VaR ( Z ) i ES ( Z ) za pomocą meody POT na podsawie q q sandaryzowanych resz model. Problem przed jakim sajemy w przypadk ej meody doyczy wybor liczby eksremów k branych do esymacji. Wiele aorów sgerowało różne rozwiązania ale żadne z nich nie zosało znane za niwersalne. 5. Wyniki symlacji Przedmioem symlacji było porównanie oszacowań warości zagrożonej i oczekiwanego niedobor dla wybranych modeli zmienności z modelami gdzie zasosowano EVT. Porównanie polegało na wybrani najlepszego model na podsawie fnkcji sray zaproponowanej przez Angelidisa i Degiannakisa (2006). Do symlacji wykorzysano model SV z rozkładem normalnym oraz model GARCH z rozkładami: normalnym i -Sdena. Paramery szacowane były za pomocą meody największej wiarygodności w przypadk modeli GARCH i meody qasi-największej wiarygodności w przypadk model SV. W abelach 1 i 2 pokazane zosały wyniki symlacji przeprowadzonych na danych dziennych. W symlacjach żyo szeregów złożonych z 3000 obserwacji (dane dzienne: ) dla kórych szacowano 1000 warości zagrożonych i oczekiwanych niedoborów dla k [20;350]. Do wyznaczenia ES dla modeli zmienności żyo podejścia Dowda (2002) sąd eż szacowano 1000 warości zagrożonych do określenia jednego oczekiwanego niedobor. Najniższe warości fnkcji sray wysąpiły dla modeli z zasosowaniem eorii warości eksremalnych. Ponado model SV-POT jes zazwyczaj lepszy dla indeksów giełdowych a model GARCH-POT dla krsów wal. Należy zwrócić wagę na fak że liczba przekroczeń w przypadk modeli z EVT jes zazwyczaj mniejsza niż oczekiwana liczba przekroczeń naomias dla sandardowych modeli zmienności liczba przekroczeń jes większa. W przypadk modeli zmienności z EVT można odnaleźć akie warości k (liczba eksremów) gdzie say-

6 32 Magdalena Osińska Marcin Fałdziński LR c syka jes znacznie niższa ale z drgiej srony warość fnkcji sray jes nieznacznie większa. Należałoby zdecydować czy wybrać model kóry posiada lepsze właściwości w świele saysyk esowania wsecznego czy wybrać model kóry lepiej szacje VaR i ES (mniejsza warość fnkcji sray). Taj zdecydowano pokazywać akie modele kóre charakeryzowały się najmniejszymi warościami fnkcji sray. Na wykresach 1 i 2 przedsawione zosały warości VaR i ES na poziomieα = 0.05 dla indeks WIG wyznaczone wedłg model SV i SV-POT. Model SV-POT znacznie lepiej szacje oczekiwaną warość sóp zwroów w przypadkach zabrzeń na rynk. Drgą isoną własnością jaką można zaważyć w przypadk model SV-POT (ogólnie modele z EVT) jes o że oszacowania VaR są bardzo bliskie oszacowań ES czego nie można powiedzieć o modelach bez życia EVT. Wykres 1. Oszacowania VaR i ES model SV na poziomie α = 0.05 dla indeks WIG Źródło: opracowanie własne. Wykres 2. Oszacowania VaR i ES model SV-POT na poziomie 0.05 α = dla indeks WIG Źródło: opracowanie własne.

7 Modele GARCH i SV z zasosowaniem eorii warości eksremalnych 33 Tabela 1. Wyniki symlacji dla indeks WIG i EUR-USD (dane dzienne: liczba obserwacji = 3000 liczba powórzeń 1000) WIG α=0.05 Model k N LRc LRind K. LRind Ch. LF Ranking GARCH GARCH TS SV GARCH-POT GARCH-POT TS SV-POT WIG α=0.01 Model k N LRc LRind K. LRind Ch. LF Ranking GARCH GARCH TS SV GARCH-POT GARCH-POT TS SV-POT EUR USD α=0.05 Model k N LRc LRind K. LRind Ch. LF Ranking GARCH GARCH TS SV GARCH-POT GARCH-POT TS SV-POT EUR USD α=0.01 Model k N LRc LRind K. LRind Ch. LF Ranking GARCH GARCH TS SV GARCH-POT GARCH-POT TS SV-POT Oznaczenia: k - liczba eksremów wzięych do esymacji dla modeli z zasosowaniem EVT N - liczba przekroczeń sopy zwro ponad VaR LRc - saysyka liczby przekroczeń LRin dk - saysyka Kpca na niezależność przekroczeń LRind CH - saysyka Chrisoffersena na niezależność przekroczeń LF - warość fnkcji sray i α - poziom isoności. Źródło: obliczenia własne. Z przedsawionych rezlaów empirycznych wynika że modele zmienności z zasosowaniem eorii warości eksremalnych lepiej szacją oczekiwane warości przyszłych sóp zwroów co może być bardzo żyeczne w przypadk zjawisk o charakerze szokowych.

8 34 Magdalena Osińska Marcin Fałdziński Tabela 2. Wyniki symlacji (dane dzienne: liczba obserwacji = 3000 liczba powórzeń 1000) Ranking modeli wg fnkcji sray dla α=0.05 Szereg GARCH GARCH TS SV GARCH-POT GARCH-POT TS SV-POT WIG WIG NSDQ USD-PLN EUR-USD Ranking modeli wg fnkcji sray dla α=0.01 Szereg GARCH GARCH TS SV GARCH-POT GARCH-POT TS SV-POT WIG WIG NSDQ USD-PLN EUR-USD Źródło: obliczenia własne. Lierara Angelidis T. Degiannakis S. (2006) Backesing VaR Models: An Expeced Shorfall Approach Working Papers Universiy of Cree Ahens Universiy of Economics and Bsiness. Arzner P. Delbaen F. Eber J.M. Heah D. (1998) Coheren Measres of Risk Mahemaical Finance Balkema A.A. De Haan L. (1974) Residal Life Time a Grea Age Annals of Probabiliy vol.2 No Beirlan J. Mahys G. (2001) Exreme qanile esimaion for heavy-ailed disribions. Mimeo. Chrisoffersen P.F. (1998) Evalaing Inerval Forecass Inernaional Economic Review vol. 39 No. 4. Dowd K. (2002) Measring Marke Risk John Wiley & Sons Ld. New York Haas M. (2001) New Mehods in Backesing Financial Engineering Research Cener Bonn. McNeil J.A. Frey F. (2000) Esimaion of ail-relaed risk measres for heeroscedasic financial ime series: an exreme vale approach Jornal of Empirical Finance vol Pickands J. (1975) Saisical Inference Using Exreme Order Saisics Annals of Saisics vol. 3 No Tasche D. (2002) Expeced Shorfall and Beyond Jornal of Banking & Finance