Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne.

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne Centralne Twierdzenie Graniczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016

2 Słabe prawo wielkich liczb przypomnienie Słabe prawo wielkich liczb Niech X 1, X 2, X 3,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, EX i = µ i skończonej wariancji, wtedy ( X 1 + X 2 + X X n P n ) µ > ε n 0

3 rozkład dwumianowy z parametrami n = 5 oraz p = 1 2 ostrzeżenie: dziś histogramy rysujemy tak, aby pole prostokąta było równe prawdopodobieństwu

4 rozkład X /n, gdzie X ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 5 oraz p = 1 2 ostrzeżenie: dziś histogramy rysujemy tak, aby pole prostokąta było równe prawdopodobieństwu

5 rozkład X /n, gdzie X ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 100 oraz p = 1 2 ostrzeżenie: dziś histogramy rysujemy tak, aby pole prostokąta było równe prawdopodobieństwu

6 rozkład X /n, gdzie X ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 1000 oraz p = 1 2 ostrzeżenie: dziś histogramy rysujemy tak, aby pole prostokąta było równe prawdopodobieństwu

7 Przypomnienie VarX = E((X EX ) 2 ) Nierówność Czebyszewa (bis) Jeśli X jest zmienną losową o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji, to dla dowolnego t > 0 ( P X EX t ) VarX 1 t 2 Czy jest coś szczególnego w wartości X EX VarX?

8 rozkład (X EX )/ VarX, gdzie X ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 5 oraz p = 1 2

9 rozkład (X EX )/ VarX, gdzie X ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 100 oraz p = 1 2

10 rozkład (X EX )/ VarX, gdzie X ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 1000 oraz p = 1 2

11 dystrybuanta (X EX )/ VarX, gdzie X ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 5 oraz p = 1 2

12 dystrybuanta (X EX )/ VarX, gdzie X ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 100 oraz p = 1 2

13 dystrybuanta (X EX )/ VarX, gdzie X ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 1000 oraz p = 1 2

14 Obserwacja Jeśli X ma zmienną losową o rozkładzie dwumianowym z parametrami n oraz p, to (q = 1 p) X EX = X np VarX npq zachowuje się prawie jak standardowy rozkład normalny

15 Centralne Twierdzenie Graniczne Niech X, X 1, X 2,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, niech EX = m i VarX = σ 2 > 0; wtedy dla każdego t zachodzi ( P X X n nm σ n ) t n Φ(t) = t 1 2 π e s 2 2 ds, gdzie Φ jest dystrybuantą rozkładu normalnego N(0, 1). S n ES n VarSn D X, X N(0, 1)

16 Centralne Twierdzenie Graniczne Niech X, X 1, X 2,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, niech EX = m i VarX = σ 2 > 0; wtedy dla każdych a < b zachodzi ( P a X ) X n nm σ b n n Φ(b) Φ(a) = b gdzie Φ jest dystrybuantą rozkładu normalnego N(0, 1). a 1 2 π e s 2 2 ds, S n ES n VarSn D X, X N(0, 1)

17 Twierdzenie de Moivre a Laplace a Jeśli S n ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, to ( P a S ) n np b Φ (b) Φ (a), np(1 p) n

18 Błąd przybliżenia w ( Sn ES n P VarSn ) t = Φ(t) + err Φ(t). Przykładowe oszacowania na błąd przybliżenia w : ) 3 err n 1 w dowolnym przypadku ( 2 max Xi σ err p2 +q 2 npq n i p. dla S n o rozkładzie dwumianowym z parametrami Przykład (Dla chętnych do domu) Niech Y ma rozkład dwumianowy z n = 100 i p = 1/2. Spróbuj oszacować z P (Y = 50). Wynik porównaj z obliczeniami dokładnymi. Wsk.: P (Y = 50) = P (49, 5 Y 50, 5)

19 Na jakie pytanie mieliśmy odpowiedzieć? A teraz spójrzmy z punktu widzenia kasyna. Jakie reguły gry ma zaproponować kasyno, aby dobrze zarobić i jednocześnie nie zniechęcić klientów? Dlaczego przy odpowiednich regułach gry i odpowiedniej liczbie klientów kasyno nie musi się obawiać, że zbankrutuje?

20 Przykład Jeśli gracz obstawi w ruletce jeden żeton na czerwone, to wartość oczekiwana jego wygranej wynosi 1 37 a wariancja 1 1 = Czyli wartość oczekiwana zysku kasyna w pojedynczej grze wynosi a wariancja Ile wynosi prawdopodobieństwo, że kasyno po 1600 grach (obstawieniach po jednym żetonie) zyska co najwyżej równowartość 3 żetonów? Ile musi nastąpić gier, aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0,95 kasyno zyskało a) więcej niż średnio 1/70 żetonu w każdej grze? b) więcej niż równowartość 100 żetonów? wsk: 1600/37 43; 1, /33 129, 5, (129, 5) 2 = 16770, 25; 37 1, 65 = 61, 05; ( 61, , 05)/2 98, 582; 98, , 41.

21 Dystrybuanta rozkładu normalnego N(0, 1)

22 Dowód Dowód Niebawem: gdy poznamy własności i zalety funkcji tworzących i charakterystycznych