P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

Transkrypt

1 Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P (A), to mówimy, że zdarzenia A i B są niezależne. Przekształćmy równość P (A B) = P (A) do postaci P (A B) P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A)P (B). Definicja niezależności Zdarzenia A i B są niezależne, gdy P (A B) = P (A) P (B). Przykład Dwukrotny rzut monetą: Ω = {OO, OR, RO, RR} A=w pierwszym rzucie orzeł B=w drugim rzucie orzeł P (B) = 1 2, P (B A) = P (B A) P (A) = 1/4 1/2 = 1 2. Zdarzenia A i B są niezależne. Zadanie Założenie: prawdopodobieństwo urodzenia chłopca = prawdopodobieństwo urodzenia dziewczynki = 1 2. Spośród rodzin mających n dzieci, n 2, wybieramy losowo jedną rodzinę. A=w tej rodzinie jest co najwyżej jedna dziewczynka B=w tej rodzinie są i dziewczynki i chłopcy Czy zdarzenia A i B są niezależne? Spróbujmy odgadnąć odpowiedź! 1

2 Rozwiązanie Ω = {x 1, x 2,..., x n }, gdzie x i = d lub c Ω = 2 n, wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. A =(sami chłopcy lub jedna dziewczynka)= n + 1. B = 2 n 2, A B =(dokładnie jedna dziewczynka)=n. niezależność A i B: czyli tylko wtedy, gdy n = 3. P (A B) = P (A) P (B) n 2 n = n n 2n 2 2 n, Niezależnośc trzech zdarzeń Zdarzenia A, B oraz C są niezależne, gdy P (A B) = P (A)P (B), P (A C) = P (A)P (C), P (B C) = P (B)P (C), P (A B C) = P (A)P (B)P (C). Zadanie W urnie są cztery kule: biała, czerwona, niebieska i taka, na której są wszystkie trzy powyższe kolory. Losujemy jedną kulę. Czy zdarzenia: na wylosowanej kuli jest kolor B, C, N są niezależne? Czy są parami niezależne? Rozwiązanie P (B) = P (wylosujemy kulę, na której jest kolor biały)= 1 2, Podobnie P (C) = P (N) = 1 2. Oczywiście P (B C) = P (wylosujemy kulę, na której są kolory biały i czerwony)= 1 4. P (B C) = P (B)P (C) = 1 4 te zdarzenia są niezależne! Tak samo pary B i N oraz C i N są niezależne. Ale P (B C N) = 1 4, natomiast P (B)P (C)P (N) = 1 8 i te zdarzenia NIE SĄ niezależne! 2

3 Ogólna definicja zdarzeń niezależnych Zdarzenia A 1, A 2,..., A n są niezależne, gdy dla każdego ich podzbioru A i1, A i2,... A ik zachodzi równość P (A i1 A i2... A ik ) = P (A i1 )P (A i2 )... P (A ik ). To jest łącznie aż 2 n n 1 równości do sprawdzenia! Na szczęscie zwykle nie musimy ich sprawdzać. Schemat Bernoulliego Powtarzamy n razy doświadczenie, którego wynikami mogą być sukces lub porażka, przy czym: kolejne doświadczenia są niezależne; w każdym doświadczeniu prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p, a porażki 1 p. Niech S n oznacza liczbę sukcesów w n powtórzeniach. Wówczas P (S n = k) = ( ) n p k (1 p) n k, k = 0, 1, 2,..., n. k Ilustracja: deska Galtona Kulka opada, napotykając na kilka rzędów przeszkód, przy czym na każdej przeszkodzie może skręcić w prawo z prawdopodobieństwem p lub w lewo z prawdopodobienstwem q = 1 p. Gdy rzucimy tak kilkaset kulek, to ile ich zbierze się w kolejnych przegródkach na dole? Odpowiedź dla n = 10 i p = 1 2 Ponieważ tutaj p = 1 2, więc pk (1 p) 10 k = ( 1 2 ) 10, zatem liczby kulek w poszczególnych przegródkach są niemal proporcjonalne do współczynników newtonowskich ( ) 10 k dla k = 0, 1, 2,..., 10 czyli do liczb 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 Zmienna losowa Załóżmy, że znamy wszystkie mozliwe wyniki (czyli zdarzenia elemantarne) Ω pewnego doświadczenia losowego. Funkcję nazywamy zmienną losową. X : Ω R 3

4 Przykłady zmiennych losowych Liczba oczek przy jednokrotnym rzucie kostki. Suma oczek w dwóch rzutach kostką. Liczba sukcesów S n w schemacie Bernoulliego. Numer próby, w której pojawi się pierwszy sukces w schemacie Bernoulliego. Liczba wypadków drogowych, które zdarzą się w Polsce w przyszłym tygodniu. Wzrost losowo wybranego studenta WPPT. Błąd pomiaru pewnej wielkości. Suma wypłacona przez firmę ubezpieczeniową. Cena akcji spółki X jutro o 12:00 (za tydzień, za miesiac). Pierwszy moment, w którym cena akcji spółki Y przekroczy 100 zł. Dwa typy zmiennych loswych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna o rozkładzie dyskretnym. Które wymienione uprzednio zmienne mają rozkłady dyskretne? Jeśli wszystkich wartości zmiennej NIE MOŻNA wypisać w postaci ciągu, to mówimy, że jest to zmienna o rozkładzie ciągłym. Tak jest zawsze, gdy zbiór wartości zawiera jakiś przedział (a, b). Które z wymienionych zmiennych mają rozkłady ciągłe? Rozkład zmiennej losowej dyskretnej Rozkład takiej zmiennej to opis jej możliwych wartości i prawdopodobieństw, z jakimi te wartości zmienna przyjmuje. X = wynik rzutu symetryczną kostką Wartości, jakie może przyjąć X to 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Prawdopodobieństwo każdej z tych wartości jest równe 1 6. Y = suma oczek przy dwóch rzutach = 2, 3,..., 10, 11, 12. Jakie są prawdopodobieństwa tych wyników? Zmienne związane z próbami Bernoulliego Liczba sukcesów S n w n próbach. P (S n = k) = ( n k) p k (1 p) n k, k = 0, 1, 2,..., n. Numer próby X, w której pojawi się pierwszy sukces. 4

5 P (X = k) =?, k = 1, 2, 3,... X = k, gdy próby: pierwsza, druga,...,(k 1)-sza dały porażki, a k-ta sukces. Stąd P (X = k) = (1 p) k 1 p, k = 1, 2, 3,... Rozkład Poissona Zmienna X przyjmująca wartości 0, 1, 2,... ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, gdy Rozkład Poissona mają: P (X = k) = λk k! e λ, k = 0, 1, 2,... liczba wypadków w ustalonym dniu (tygodniu, roku, kraju); liczba sygnałów (np. rozpadów atomów radioaktywnych w czasie 1 minuty); liczba gwiazd w losowo wybranym fragmencie nieba, itp. Wartość średnia zmiennej losowej Jeżeli P (X = x k ) = p k, k = 0, 1, 2, 3,..., to wartość średnia (wartość oczekwiana) zmiennej X E(X) = k x k p k. Intuicja: na prostej rozmieszczamy masy p i w punktach x i, i = 0, 1, 2... Wartość średnia to środek ciężkości tego układu (może nie istnieć!) Wariancja zmiennej losowej Jeżeli P (X = x k ) = p k, wariancja zmiennej X k = 0, 1, 2, 3,..., to V ar(x) = k (x k E(X)) 2 p k. Wariancję oznacza się też symbolem D 2 (X). Wariancja mierzy rozrzut wyników średnie odchylenie od wartości średniej. Wariancję można też obliczyć ze wzoru V ar(x) = k x 2 k p k (E(X)) 2. Rozkłady ciągłe (z gęstością) Jeśli dana jest taka funkcja f : R [0, ), że f(x) dx = 1, to f nazywamy gęstością rozkładu zmiennej X i obliczamy 5

6 prawdopodobieństwa P (a < X < b) = b a f(x) dx. Przykłady gęstości Rozkład jednostajny na odcinku [a, b] f(x) = 1 b a, gdy x [a, b], 0, gdy x / [a, b]. Przykłady gęstości Rozkład normalny z parametrami m R i σ > 0 f(x) = 1 2π σ e (x m)2 2σ 2, x R 6