Komputerowa analiza danych doświadczalnych
|
|
- Dominika Sadowska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 07/08
2 Zamiana zmiennych Transformacje liniowe Propagacja niepewności Metody Monte Carlo
3 Zamiana zmiennych
4 Zamiana zmiennych Na poprzednich wykładach zauważyliśmy, że dowolna funkcja zmiennej losowej X jest także zmienną losową: y dy Y =H ( X ) g(y) Pytanie: jaka jest gęstość prawdopodobieństwa g(y), jeżeli znana jest gęstość prawdopodobieństwa f(x) i oczywiście funkcja Y=H(X)? y=h(x),0cm x f(x) dx,59 dla infinitezymalnie małego przedziału zmienności prawdopodobieństwa są równe: f ( x)dx=g( y) dy pochodna funkcji Y =H ( X ) z tego wynika: dy = dy dx dx dx= dx dy dy (Y ) zatem rozkłady są powiązane: g ( y)= pochodna funkcji X=H x dx f ( x) dy 4 / 3
5 Zamiana zmiennych Warunki: funkcja Y=H(X) musi być wzajemnie jednoznaczna (musi istnieć funkcja odwrotna) funkcje wieloznaczne (np. y= ( x) ) rozpatrujemy oddzielnie tylko te części, które są dodatnie y=+ ( x) y rozkłady są unormowane: y=h(x),0cm dy g( y )dy= f ( x)dx= x g(y) f(x) dx,59 x 5 / 3
6 Zamiana zmiennych przykład szczególny Pytanie: mamy zmienną losową X opisaną rozkładem jednorodnym f(x)= na przedziale od 0 do. Jaka będzie postać funkcji Y=H(X), aby otrzymać zadany (znany) rozkład g(y)? metoda odwracania dystrybuanty y f ( x)dx=g ( y)dy gdy f ( x) dx=g ( y )dy=dg ( y ) y=h(x)=?,0cm g( y)=g ' ( y ) dx= dg ( y) x=g( y) dy g(y) x y=g ( x) H ( x ) y min=g (0), y max =G (),59 Czyli: liczymy dystrybuantę x=g(y) a następnie funkcję odwrotną y=g-(x) 0 musi istnieć x min=g( y min ), x max =G( y max ) dx f(x) dystrybuanta x Zmienna losowa X po transformacji Y=G-(X) ma rozkład g(y) 6 / 3
7 Zamiana zmiennych przypadek wielowym. Mamy dwie zmienne losowe X i Y, dokonujemy zamiany zmiennych na U i V: ( X, Y ) (U,V ) U =U ( X,Y ) V =V ( X,Y ) Szukamy funkcji J (jakobian): ( ) g (u, v )=f ( x, y ) J x, y u,v Rysunek przedstawia płaszczyznę (x,y), z układem krzywych dla u=const i v=const Mamy więc mały element powierzchni o polu da=dxdy w zmiennych x,y zatem jego pole możemy policzyć jako pole równoległoboku o wierzchołkach a,b,c,d: współrzędne pierwszych 3 wierzchołków: x a=x (u, v ) x b= x u, v dv x c =x u du, v y a=y u, v y b=y u, v dv y c= y u du, v 7 / 3
8 Zamiana zmiennych przypadek wielowym. Rozwijamy w szereg Taylora: x x b =x (u, v)+ dv v x x c =x (u, v)+ du u Z dokładnością do znaku pole powierzchni: xa da= x b xc y y b = y (u, v)+ dv v y y c = y (u, v)+ du u W ogólnym Y =Y ( X ) Y =Y ( X ) Y n=y n ( X ) x ya u = yb x yc v jakobian przejścia (transformacji) y x, y u du dv J du dv y u,v v ( ) x przypadku, dla n zmiennych: y x x J = y x g ( y)= J f (x) y y... x yn ( ) () x y x y x yn xn y xn y xn yn 8 / 3
9 Zamiana zmiennych przypadek wielowym. f ( x, y )=/( a ), x + y <a Dokonujemy zamiany zmiennych: u( x, y)= x+ y v( x, y)= x y x (u, v)= (u+ v ) y (u, v)= (u v) Obliczamy jakobian: x y = = u u x y = = v v x,y J = = u,v ( ) g (u, v )=f ( x, y ) J Otrzymujemy g(u,v): x, y = f ( x, y )=/ ( 4 a ), u < a ; v <a u, v ( ) 9 / 3
10 Zamiana zmiennych przypadek wielowym. f ( x, y )=, x + y <R πr Dokonujemy zamiany zmiennych (do wsp. bieg.): x (r, f)=r cos f r ( x, y )= x + y x f ( x, y )=arctg y (r, f)=r sin f y Obliczamy jakobian: x =cos f r x = r sin f f y =sin f r y =r cos f f x, y J =r cos f+ r sin f=r r,f ( ) Otrzymujemy g(r,f): ( ) g (r, f)=f ( x, y ) J x, y r = r,f π R 0 / 3
11 Transformacje liniowe Propagacja niepewności
12 Transformacje liniowe Najczęściej, ze względu na prostotę, posługujemy się transformacjami liniowymi (inne transformacje najczęściej aproksymujemy liniowymi, rozwijając na szereg Taylora) funkcje Y =(Y, Y,..., Y r ) są liniowymi funkcjami zmiennych Y =a + t X + t X t n X n Y =a + t X + t X t n X n Y r =a r + t r X + t r X t rn X n W zapisie macierzowym: Y =T X + a Wartość oczekiwana Y: E ( Y ) =^y =T ^x + a X=( X, X,..., X n ) Jest to przypadek ogólny zmienne X nie są niezależne (istnieją kowariancje) Mierzymy pośrednio wielkość (wielkości) fizyczną Y, która zależy od wielkości fizycznych X mierzonych bezpośrednio, które nie są niezależne od siebie. Macierz korawiancji Y: C Y =E ((Y ^y )(Y ^y )T ) T =E ( (T X + a T x^ a)(t X + a T ^x a) ) T T =E ( T ( X ^x )( X x^ ) T ) T T =TE ( ( X ^x )( X x^ ) ) T C Y =T C X T T / 3
13 Propagacja niepewności Załóżmy, że znamy pewne wartości oczekiwane (wyniki pomiarów) x^ i oraz ich niepewności σ(xi) i kowariancje cov(xi,xj). Szukamy niepewności funkcji: Y ( X) Jeśli niepewności są małe, to możemy dokonać rozwinięcia na szereg Taylora wokół wartości oczekiwanych: yi Y i =Y i ( x^ )+ x ( ) yi ( X ^x )+...+ xn x= ^x ( ) x= ^x ( X n ^x n )+ wyrazy wyższego rzędu w notacji macierzowej: Y =Y ( x^ )+T ( X x^ )+ wyrazy wyższego rzędu y y y gdzie: ( ) x x y y T= x x yn yn x x xn y xn yn xn X = ^x 3 / 3
14 Propagacja niepewności Niepewności Y to elementy diagonalne macierzy kowariancji: C Y =T C X T T jak widać, zależą one nie tylko od elementów diagonalnych macierzy CX, ale również od jej elementów pozadiagonalnych tylko i wyłącznie jeżeli wszystkie zmienne X są niezależne, tj. cij=0, dla i j możemy zapisać: n σ (Y i )= j= yi xj ( ) σ ( X j) co daje nam prawo propagacji niepewności znane z Wykładu : σ ( y i )= n j= yi xj ( ) σ ( x j) 4 / 3
15 Znaczenie macierzy kowariancji - przykład Mierzymy w układzie kartezjańskim współrzędne punktu (x,y). Pomiary x i y są niezależne. Z jakiejś przyczyny (np. w celu porównania z przewidywaniami teoretycznymi) potrzebujemy jednak wynik we współrzędnych biegunowych. Z powodu np. innego przyrządu pomiariowego pomiar daje trzykrotnie większą niepewność współrzędnej y niż x. (0 9 ) Wtedy macierz kowariancji może wyglądać np. tak: C xy = 0 Dokonujemy tranformacji na współrzędne biegunowe: r ( x, y )= x + y f ( x, y )=arctg x y x (r, f)=r cos f y (r, f)=r sin f Policzmy macierz transformacji (dla prostoty w punkcie (,)) x r y = r f y y r y r = x r ( )( )( ) r T= x f x T T = ( ) 5 / 3
16 Znaczenie macierzy kowariancji - przykład Macierz kowariancji dla zmiennych biegunowych: T C r f =T C xy T = 4 ( ) ( )( ) ( ) = 4 5 Widzimy, że nie są one niezależne Licząc w drugą stronę: ( ) Cr f = Pozadiagonalne elementy macierzy kowariancji są T '= BARDZO WAŻNE x r y r x y cos r sin = = sin r cos T T Cxy=T ' Cr T ' = ŹLE! gdyby uwzględniać tylko diagonalne niepewności są zupełnie inne Cxy=T ' Cr T ' = = = / 3
17 Generacja liczb (pseudo)losowych za pomocą komputera
18 Liczby (pseudo)losowe Do tej pory zajmowaliśmy się jedynie opisem zmiennych losowych (ich właściwości) nie zajmowaliśmy się tym, jak je otrzymać Bardzo często potrzebujemy jednak posłużyć się ciągiem (losowych) wartości jakiejś zmiennej losowej, która opisana jest danym rozkładem prawdopodobieństwa Metoda otrzymywania takich liczb może pochodzić z badania zjawiska fizycznego (np. rozpad promieniotwórczy, szumy fal elektromagnetycznych) Liczby takie możemy wygenerować również w komputerze trzeba jednak pamiętać, że taki ciąg będzie ciągiem pseudolowym, gdyż komputer cechuje się zachowaniem deterministycznym (można więc te liczby przewidzieć ) Metody analizy danych z wykorzystaniem liczb (pseudo)losowych nazywamy metodami Monte Carlo 8 / 3
19 Generatory liniowe kongruentne Komputer, urządzenie determinisityczne, może generować tylko liczby pseudolosowe kolejna generowana liczba jest funkcją liczb wcześniej wygenerowanych Generator liniowy kongruenty (LCG Linear Congruential Generator): x j+ =(a x j +c)mod m LCG generuje okresowy ciąg liczb (po jakimś czasie powtarza się) m maksymalna długość okresu generatora (szczegóły Brandt) Multiplikatywny generator liniowy kongruenty (MLCG multiplicative linear congruential generator), c=0: x j + =(a x j )mod m szybsze od LCG, ale nigdy nie dają wartości 0 i mają krótkie okresy 9 / 3
20 Jakość generatorów losowych Najdłuższy okres nie jest jedyną porządaną cechą generatora Ważniejsze jest, aby liczby następujące po sobie występowały w sposób jak najbardziej przypadkowy - w tym celu wykonujemy tzw. test widmowy: wykonujemy dwuwymiarowy wykres (sieć) par: ( x i, x i + ) obsadzamy m z m węzłow szukamy prostych łączących obsadzone węzły sieci, a następnie wybieramy największą z odległości dt między nimi jeśli odległości między sąsiednimi prostymi są podobne jednostajny rozkład węzłów sieci (tego oczekujemy!) oczekujemy, że: d t m / jeśli parametry a i m są źle dobrane, to: d t m / 0 / 3
21 Jakość generatorów losowych Najdłuższy okres nie jest jedyną porządaną cechą generatora Ważniejsze jest, aby liczby następujące po sobie występowały w sposób jak najbardziej przypadkowy - w tym celu wykonujemy tzw. test widmowy: prawy poprawny (dobre parametry), lewy - niepoprawny 0.04 ( x i, x i + ) m-/ 0.09 / 3
22 Jakość generatorów losowych Najlepsze wyniki (długie okresy) można otrzymać łącząc ze sobą kilka (np. l) generatorów liniowych (o różnych parametrach) l (m j ) (l ) Ich maksymalny okres wynosi wtedy: p= j= oddzielnie l naprzemiennie (m j ) (l ) p= j= / 3
23 Generacja liczb (pseudo)losowych metodą transformay rozkładu jednorodnego
24 Transformacja rozkładu jednorodnego To już wiemy :) Metoda z odwrotnością dystrybuanty Transformację rozkładu jednostajnego możemy wykorzystać do generowania liczb losowych o skomplikowanych gęstościach prawdopodobieństwa f ( x) dx=g ( y) dy y gdy f ( x) dx=g ( y )dy=dg ( y ) y=h(x)=?,0cm g( y)=g ' ( y ) dx= dg ( y) x=g( y) dy g(y) x y=g ( x) H ( x ) y min=g (0), y max =G (),59 Czyli: liczymy dystrybuantę G(y) a następnie funkcję odwrotną G-(y) 0 musi istnieć x min=g( y min ), x max =G( y max ) dx f(x) dystrybuanta x Zmienna losowa X po transformacji y=g-(x) ma rozkład g(y) 4 / 3
25 Przykład rozkład Breita-Wignera Rozkład Breita-Wignera ma następującą postać: Γ g ( y)= π Γ 4( y a) + Γ Liczymy dystrybuantę: y ( y a) Γ x=g ( y)= π Γ dz= π arctg + Γ 4(z a) +Γ Odwrotna dystrybuanta: ( ( )) y ( x)=g ( x)=a+ Γ tg π x ( ) y (0)= y ()= 5 / 3
26 Metoda akceptacji-odrzuceń von Neumanna
27 Metoda (akceptacji) von Neumanna Metoda generacji liczb metodą odwrotnej dystrybuanty ma swoje ograniczenia dystrybuanta musi być znana (I być funkcją wzajemnie jednoznaczną), czyli musi istnieć funkcja odwrotna Metoda (akceptcji-odrzuceń) von Neumanna wymaga znajomości jedynie gęstości prawdopodobieństwa i pozwala na otrzymanie liczb z praktycznie dowolnego rozkładu odrzucamy Jak to działa? generujemy parę liczb z rozkładu jednorodnego: ( y i, ui ) sprawdzamy, czy ui < g( y i ) jeśli warunek jest spełniony, akceptujemy liczbę yi, jeśli nie - odrzucamy akceptujemy 7 / 3
28 Metoda von Neumanna - definicje Geometryczny opis metody von Neumanna: chcemy wygenerować liczby losowe opisane gęstością g(y) w przedziale: a y b rozważamy krzywą: u=g( y ) oraz funkcję stałą: u=d, d g max losujemy z rozkładu jednorodnego liczby ( y i, ui ), które spełniają warunki: a y i b, 0 ui d jak łatwo zauważyć, nasze punkty układają się w prostokącie na płaszczyźnie ( y,u) odrzucamy wszystkie punkty spełniające nierówność: ui g ( y i ) pozostają jedynie punkty położone pod krzywą: u=g( y ) zaakceptowane wartości yi podlegają rozkładowi g(y) Wada metody: w zależności od kształtu funkcji g(y), znaczna część liczb yi jest odrzucana b Wydajność metody: E= g( y ) dy a (b a) d 8 / 3
29 Metoda von Neumanna przypadek wielowym. Metodę von Neumanna można uogólnić na wiele wymiarów: mamy funkjcę gęstości wielu zmiennych: g ( y, y,..., y n ) i i i i generujemy zbiór liczb z rozkładu jednorodnego: ( y, y,..., y n,u ) dla każdego i sprawdzamy warunek akceptacji: ui <g max ( y i, y i,..., y in ) akceptujemy lub odrzucamy cały zestaw wygenerowanych liczb dla danego i Kilka uwag do metody von Neumanna: za jej generować możemy liczby z dowolnego, nawet bardzo skomplikowanego rozkładu rozkład (czy w ogólności funkcja) g(y) nie musi być nawet unormowany b metodę tę można stosować do obliczania całek oznaczonych: g( y ) dy N zaakceptowane E= N wszystkie ( b a ) d a b N zaakceptowane I = g( y ) dy ( b a ) d N wszystkie a 9 / 3
30 Metoda von Neumanna z funkcją pomocniczą Wydajność metody von Neumanna można poprawić, jeśli odpowiednio zawęzimy obszar losowania: wprowadzamy funkcję pomocniczą s(y), z ktorej łatwo wygenerować zmienne losowe (np. metodą odwrotnej dystrybuanty), i która spełnia warunek: g ( y ) c s( y ), a< y <b generujemy liczbę losową yi z rozkładu s(y) na przedziale a< y i <b oraz liczbę ui z rozkładu jednorodnego na przedziale 0<ui < g( y i ) odrzucamy liczbę yi, jeżeli: ui c s( y i ) wydajność metody: b a g( y )dy E= b c a s( y )dy 30 / 3
31 KONIEC
32 Zapis liczb w komputerze Najmniejsza jednostka informacji bit (0 lub ), system dwójkowy) Przykład: 3=*8+*64+0*3+*6+0*8+*4+0*+*=>0000 Ogólnie k- bitów wartość bezwzględna kodowanej liczby, bit znak. Wartość bezwzględna: (k ) a=a k (k 3) +a k 3 () (0) +...+a +a 0 W komputerze zapisujemy liczby za pomocą bajtów składających się z 8 bitów (najmniejsza adresowalna jednostka pamięci) Współcześnie komputery pracują na (6), 3 i 64-bitowych liczbach Liczby bez znaku przyjmują wartości od 0 do k-, zaś liczby ze znakiem od -k- do k-- 3 / 3
33 Zapis liczb w komputerze Liczbę zmiennoprzecinkową zapisujemy jako: s x=( ) m b c Gdzie: m mantysa (część ułamkowa liczby), b podstawa, c wykładnik (albo cecha, część całkowita liczby), s bit znaku Komputery zapisują liczbę z b=, notacja naukowa to b=0 Do zapisu liczby zmiennoprzecinkowej wystarczy zatem znajomość dwóch liczb całkowitych Przykłady: 33 / 3
34 Zapis liczb w komputerze Zakres zmienności liczb zmiennoprzecinkowych: c min < x < c max Dwie liczby zmiennoprzecinkowe są różne, jeżeli ich mantysy różnią się o minimalną wartość a: 0 Δx a n x =m, x =( m+a ), Δ x=x x =a, = = n = x m e e e Przykład typy danych w języku C++: 34 / 3
Komputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 4 8.03.06 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 05/06 Zamiana zmiennych Transformacje liniowe Propagacja niepewności Metody Monte
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek: 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Bardziej szczegółowoGeneracja liczb pseudolosowych
Generacja liczb pseudolosowych Zapis liczb w komputerze Generatory liczb pseudolosowych Liniowe kongruentne Liniowe mutiplikatywne kongruentne Jakość generatorów Test widmowy Generowanie liczb losowych
Bardziej szczegółowoRozkłady wielu zmiennych
Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 3 11.03.2016 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Wykłady z poprzednich lat (dr inż. H. Zbroszczyk): http://www.if.pw.edu.pl/~gos/student
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoWynik pomiaru jako zmienna losowa
Wynik pomiaru jako zmienna losowa Wynik pomiaru jako zmienna losowa Zmienne ciągłe i dyskretne Funkcja gęstości i dystrybuanta Wartość oczekiwana Momenty rozkładów Odchylenie standardowe Estymator zmiennej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =
Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak
Metody numeryczne Wykład nr 1 Dr Piotr Fronczak Generowanie liczb losowych Metody Monte Carlo są oparte na probabilistyce działają dzięki generowaniu liczb losowych. W komputerach te liczby generowane
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe
Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoAlgorytmy zrandomizowane
Algorytmy zrandomizowane http://zajecia.jakubw.pl/nai ALGORYTMY ZRANDOMIZOWANE Algorytmy, których działanie uzależnione jest od czynników losowych. Algorytmy typu Monte Carlo: dają (po pewnym czasie) wynik
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarygodności
Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoPodstawy symulacji komputerowej
Podstawy symulacji komputerowej Wykład 3 Generatory liczb losowych Wojciech Kordecki wojciech.kordecki@pwsz-legnica.eu Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy Wydział Nauk Technicznych
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych. Wykład dr inż. Łukasz Graczykowski
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 3 9.03.2018 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 2017/2018 Dwuwymiarowe rozkłady zmiennych losowych Jednoczesne pomiary
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 4.03.06 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 05/06 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako zdarzenie
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoBŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH błędy zaokrągleń skończona liczba cyfr (bitów) w reprezentacji numerycznej błędy obcięcia rozwinięcia w szeregi i procesy iteracyjne - w praktyce muszą być skończone błędy metody
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoDefinicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:
Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie
Bardziej szczegółowo1 Warunkowe wartości oczekiwane
Warunkowe wartości oczekiwane W tej serii zadań rozwiążemy różne zadania związane z problemem warunkowania.. (Eg 48/) Załóżmy, że X, X, X 3, X 4 są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
Bardziej szczegółowoRozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoRozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych
Rozdział 3 Tensory 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty P są scharakteryzowane przez współrzędne kartezjańskie wektora wodzącego r = x 1 i 1 + x 2 i 2 +
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoIlustracja metody MONTE CARLO. obliczania całek podwójnych
Ilustracja metody MONTE CARLO obliczania całek podwójnych Często jest tak, iż wiemy, że istnieje całka oznaczona z funkcji f jednak nie potrafimy jej analitycznie policzyć. Konieczne jest wtedy zastosowanie
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoPochodne. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Pochodne Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 MOTYWACJA Rozpatrzmy gładką funkcję np. y x = x 2 w okolicach punktu (1,1) x 0 = 1, y 0 = f x 0 = 1 powiększmy wykres wokół (x 0, f(x 0
Bardziej szczegółowoe E Z = P = 1 Z e E Kanoniczna suma stanów Prawdopodobieństwo wystąpienia mikrostanu U E = =Z 1 Wartość średnia energii
Metoda Metropolisa Z = e E P = 1 Z e E Kanoniczna suma stanów Prawdopodobieństwo wystąpienia mikrostanu U E = P E =Z 1 E e E Wartość średnia energii Średnia wartość A = d r N A r N exp[ U r N ] d r N exp[
Bardziej szczegółowo6. Całka nieoznaczona
6. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 1 / 35 Całka nieoznaczona - motywacja Wiemy
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoWykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowo3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoKrzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata
Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni
Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne
Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne 1. Bit Pozycja rejestru lub komórki pamięci służąca do przedstawiania (pamiętania) cyfry w systemie (liczbowym)
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 8.1 : 0 dla x 1, c x 4/3 dla x > 1. (b) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = była gęstością pewnego
Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 8: Zmienne losowe typu ciągłego. Gęstość prawdopodobieństwa. Rozkład
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 9 27.04.2018 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 2017/2018 Metoda największej wiarygodności ierównosć informacyjna
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa- cd.
12.03.2017 Wydział Inżynierii Produkcji I Logistyki Statystyka opisowa- cd. Wykład 4 Dr inż. Adam Deptuła HISTOGRAM UNORMOWANY Pole słupka = wysokość słupka x długość przedziału Pole słupka = n i n h h,
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Bardziej szczegółowoUkłady równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.
Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne
POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK - KATEDRA AUTOMATYKI Technologie Informacyjne www.pk.edu.pl/~zk/ti_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład: Generacja liczb losowych Problem generacji
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoAKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje 0 oraz liczby naturalne
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoSYSTEMY LICZBOWE. SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M
SYSTEMY LICZBOWE SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski):,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M System pozycyjno wagowy: na przykład liczba 444 4 4 4 4 4 4 Wagi systemu dziesiętnego:,,,,...
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoInstytut Fizyki Politechniki Łódzkiej Laboratorium Metod Analizy Danych Doświadczalnych Ćwiczenie 3 Generator liczb losowych o rozkładzie Rayleigha.
Instytut Fizyki Politechniki Łódzkiej Laboratorium Metod Analizy Danych Doświadczalnych Generator liczb losowych o rozkładzie Rayleigha. Generator liczb losowych o rozkładzie Rayleigha. 1. Cel ćwiczenia
Bardziej szczegółowoMetody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawowe operatory genetyczne Plan wykładu Przypomnienie 1 Przypomnienie Metody generacji liczb
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoKwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.
Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym
Wstęp do programowania Reprezentacje liczb Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym System dwójkowy W komputerach stosuje się dwójkowy system pozycyjny do reprezentowania zarówno liczb
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje oraz liczby naturalne od do 255
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 3.03.07 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 06/07 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako zdarzenie
Bardziej szczegółowoModelowanie komputerowe
Modelowanie komputerowe wykład 1- Generatory liczb losowych i ich wykorzystanie dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 5,12 października 2016 r.
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoPojęcie funkcji. Funkcja liniowa
Pojęcie funkcji. Funkcja liniowa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Wykład 2; rok akademicki 2016/2017 Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.2. Momenty rozkładów łącznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska rozkładów wielowymiarowych Przypomnienie Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie
Bardziej szczegółowoGenerowanie liczb o zadanym rozkładzie. ln(1 F (y) λ
Wprowadzenie Generowanie liczb o zadanym rozkładzie Generowanie liczb o zadanym rozkładzie wejście X U(0, 1) wyjście Y z zadanego rozkładu F (y) = 1 e λy y = ln(1 F (y) λ = ln(1 0,1563 0, 5 0,34 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowo1 Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.
Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.. Metoda odwracania Niech X oznacza zmienna losowa o dystrybuancie F. Oznaczmy F (t) = inf (x : t F (x)). Uwaga Zauważmy, że t [0, ] : F ( F (t)
Bardziej szczegółowo