Estymacja punktowa i przedziałowa

Transkrypt

1 Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1

2 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora 3. Idea i pojęcia estymacji przedziałowej przedział ufności, poziom ufności 4. Wzory na przedziały ufności dla wybranych parametrów

3 Przykład Cel badania: określić średnią masę jednego owocu wybranej odmiany. Wylosowano 160 owoców. Zważono każdą sztukę. Otrzymane wyniki (w gramach) zestawiono w tabeli. 191, 193,5 190,0 195,3 197,1 199,5 189,8 197,1 193,0 194,5 197,7 193,1 194, 00,5 193,5 185,3 195,1 196, 195,8 196,9 00,6 189,0 191,6 01,5 184,3 186,9 195,1 198,0 0, 03,5 195,3 00,1 197,6 191,5 188,6 19, 194,6 188,8 193,3 196,8 00,8 19,1 195,6 199,8 193,8 189,9 197,0 187,0 194, 190,8 193,9 196,3 198,1 194, 199,6 196,5 198,7 05,8 198,9 190,8 193,8 193,0 194,3 195,4 189,5 198,4 199,5 197,7 189,3 197,8 19,5 194,7 00, 197,0 199,9 191,0 189,8 188,3 193,7 193,3 196,7 196,9 00, 197,3 01,8 189,4 06,3 191,6 0,7 193, 193, 191,6 189,7 194, 188,1 193, 189,6 193, 199,5 193, 194,7 193,7 193,6 197, 197,1 196,0 196,7 194,6 198,1 198,0 199,9 189, 00, 191,3 191,0 191,9 191,1 193,1 195,4 19,3 194,6 197,0 193,4 199,4 198,3 01,4 198,5 01,7 195,5 199,4 190,1 00,7 01,6 190,0 196, 194,1 196,7 197,3 194,6 195,6 198,6 197,8 197,3 193,4 194,8 197, 196,1 19,6 0,4 19,7 00,7 189,1 194,3 190,7 196,5 194,6 197,6 19,1 190,9 198,8 3

4 Terminologia przypomnienie Populacja wybrana odmiana Badana cecha X masa jednego owocu tej odmiany Próba: x 1, x,..., x 160 Liczebność pobranej próby n = 160 4

5 Opis statystyczny próby opis parametryczny wyznaczenie parametrów próby, np.: średniej arytmetycznej, mediany, wariancji, odchylenia standardowego, itd. empiryczny rozkład wartości prezentacja rozkładu wartości w próbie przy użyciu np.: szeregu rozdzielczego, histogramu, wieloboku częstości, dystrybuanty empirycznej 5

6 6 Parametry próby Średnia arytmetyczna: = = = n i i n x n n x x x x Wariancja (nieobciążona): ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = = = n x n x n x x n x x x x x x s n i i n i i n i i n

7 W przykładzie: Parametry próby cd. x = 195, 15 g s = 16,63 g 7

8 Rozkład empiryczny w próbie Granice przedziału Liczebność n i Częstość w i =n i /n <184,05; 186,55) 0,013 <186,55;189,05) 7 0,044 <189,05;191,55) 3 0,144 <191,55;194,05) 3 0,00 <194,05;196,55) 33 0,06 <196,55;199,05) 34 0,13 <199,05;01,55) 0 0,15 <01,55;04,05) 7 0,044 <04,05;06,55> 0, ,000 8

9 Histogram liczebności dla próby Empiryczny rozkład wartości w próbie Rozkład masy owocu w próbie Liczebność ni ,3 187,8 190,3 19,8 195,3 197,8 00,3 0,8 05,3 masa owocu 9

10 Histogramy inne warianty częstość (%) 0,10 0,05 vi=wi/dł klasy 0,00 0, ,3 187,8 190,3 19,8 195,3 197,8 00,3 0,8 05,3 0,060 0,040 masa owocu 0,00 0, ,3 187,8 190,3 19,8 195,3 197,8 00,3 0,8 05,3 masa owocu Komentarz 10

11 Problem Jaka jest średnia masa jednego owocu tej odmiany? Na podstawie wyników pomiaru cechy otrzymanych dla próby będziemy charakteryzować odmianę. 11

12 Średnia masa owocu odmiany vi 185,3 187,8 190,3 19,8 195,3 197,8 00,3 0,8 05,3 masa owocu Komentarz 1

13 Średnia masa owocu odmiany cd. vi 185,3 187,8 190,3 19,8 195,3 197,8 00,3 0,8 05,3 masa owocu Rozkład empiryczny wartości cechy (masa jednego owocu) jest dobrze opisany przez teoretyczny rozkład normalny. Zmienna losowa o rozkładzie normalnym jest modelem cechy (masa jednego owocu) w populacji. 13

14 Średnia masa owocu odmiany cd. vi 185,3 187,8 190,3 19,8 195,3 197,8 00,3 0,8 05,3 masa owocu Zmienna losowa o rozkładzie normalnym jest modelem cechy X w populacji. Mówimy: Cecha X ma rozkład normalny. Masa jednego owocu ma rozkład normalny. 14

15 Średnia masa owocu odmiany cd. vi 185,3 187,8 190,3 19,8 195,3 197,8 00,3 0,8 05,3 masa owocu Zmienna losowa o rozkładzie normalnym jest modelem cechy masa jednego owocu w populacji. N(μ ; σ ) - parametry nie muszą być znane μ, σ - nazywane są parametrami populacyjnymi (teoretycznymi) 15

16 Średnia masa owocu odmiany cd. vi masa owocu x średnia arytmetyczna dla próby μ średnia populacyjna, parametr rozkładu teoretycznego 16

17 Idea estymacji przyjmujemy, że: średnia masa jednego owocu dla odmiany wynosi μ; wartość μ jest nieznana, ale można ją szacować (estymować, oceniać) na podstawie danych z próby wariancja masy jednego owocu tej odmiany wynosi σ ; wartość σ jest nieznana, ale można ją estymować na podstawie danych z próby odchylenie standardowe masy jednego owocu tej odmiany wynosi σ; wartość σ jest nieznana, ale można ją estymować na podstawie danych z próby 17

18 Rodzaje estymacji punktowa przedziałowa Wzory podające oszacowania (oceny) parametrów rozkładów teoretycznych (μ, σ, σ i innych) nazywamy estymatorami punktowymi. Oceną przedziałową nazywamy przedział liczbowy, w którym z dużym p-stwem zawarty jest parametr rozkładu teoretycznego (μ, σ, σ i inne). 18

19 Oznaczenie estymatora punktowego Parametr μ Estymator parametru μˆ σ σˆ σ p σˆ pˆ 19

20 Wzory estymatorów punktowych Cecha X~N(μ, σ ), μ, σ nieznane Próba: x 1, x,..., x n μˆ = x, σˆ = s, σˆ = s *Cecha Y ma rozkład 0-1 z nieznanym parametrem p Próba: y 1, y,...,y n k liczba elementów wyróżnionych p ˆ = k n 0

21 * Uwagi Metody otrzymywania estymatorów punktowych: metoda największej wiarogodności (Fisher) metoda najmniejszych kwadratów (Gauss) metoda momentów Własności estymatorów punktowych: nieobciążoność zgodność efektywność dostateczność 1

22 *Objaśnienie własności estymatorów nieobciążoność - wartość średnia estymatora jest równa wartości parametru populacyjnego ( x oraz s są nieobciążone, s jest obciążony, ale asympotycznie nieobciążony, p jest nieobciążony), zgodność - wraz ze wzrostem liczebności próby wartość estymatora zbliża się do wartości parametru ( x, s, s, p są zgodne), efektywność - miarą efektywności estymatora jest rozrzut otrzymywanych wartości, czyli wariancja; najefektywniejszy estymator ma najmniejszą wariancję ( x,p efektywne), dostateczność - estymator jest dostateczny, jeśli wykorzystuje całą informację o parametrze, jaka zawarta jest w próbie (tę własność posiada x ).

23 Estymacja punktowa 3

24 Estymacja punktowa Cecha X, np. masa owocu wybranej odmiany; założenie: X~N(μ, σ ), gdzie μ, σ nieznane Pytanie: Ile wynosi średnia wartość cechy X w populacji? Odpowiedź: wynosi μ; wartość nieznana, ale można ją estymować na podstawie danych z próby. Losujemy próbę: x1, x,..., xn. Obliczamy średnią arytmetyczną x dla próby. Przyjmujemy, że oceną średniej populacyjnej μ jest średnia dla próby x. 4

25 Estymacja punktowa - komentarz x = 195,15g oś liczbowa y x = 195,15g z oś liczbowa 5

26 Przykład 1. Smakowitość produktu Badano smakowitość pewnego produktu przygotowanego według ustalonej receptury. Dziesięciu konsumentów oceniło organoleptyczne w skali 1-5 cztery próbki produktu. Wyliczono średnie z 10 ocen: x i : 4, 4,5 4,0 4,5 6

27 Smakowitość produktu, cd. Cecha X smakowitość produktu; założenie: X ~ N(μ, σ ), gdzie μ, σ są nieznane. Polecenie 1. Wyznacz ocenę średniej smakowitości produktu przygotowanego według badanej receptury. Średnia dla receptury wynosi μ (wartość nieznana, można ją estymować na podstawie danych z próby). Próba: x1, x, x3, x4 Obliczamy średnią arytmetyczną dla próby: x = 4,30. Odp.: Średnia dla receptury wynosi 4,30. 7

28 Smakowitość produktu, cd. Polecenie. Wyznacz ocenę odchylenia standardowego dla produktu przygotowanego według badanej receptury. Odchylenie stand. dla receptury wynosi σ (wartość nieznana, można ją estymować na podstawie danych z próby). Próba: x1, x, x3, x4 Obliczamy odchylenie stand. dla próby: s = 0,06 s = 0, 4. Odp.: Odchylenie stand. dla receptury wynosi 0,4. 8

29 Przykład. Transport owoców Oceną sposobu transportu owoców jest procent owoców uszkodzonych podczas takiego transportu. W doświadczeniu wylosowano 150 owoców spośród transportowanych i w tej próbie stwierdzono 10 dobrych. 9

30 Transport owoców, cd. Cecha Y stan owocu po transporcie; założenie: Y ~ B(n, p), gdzie p jest nieznane. Polecenie. Wyznacz frakcję owoców uszkodzonych podczas transportu. Frakcja owoców uszkodzonych wynosi p (wartość nieznana, można ją estymować na podstawie danych z próby). Próba: y1, y,..., y150 Obliczamy frakcję owoców uszkodzonych dla próby: 30 p = = 0,0 = 0% 150 Odp.: Frakcja owoców uszkodzonych podczas transportu badaną metodą wynosi 0%. 30

31 Estymacja przedziałowa 31

32 Idea estymacji przedziałowej K L??? K P oś liczbowa μ μ ( K ) L ; K P 3

33 Estymacja przedziałowa Szukamy takiego przedziału: μ ( K ) L ; K P który będzie spełniał warunek: ( ) P K L ; K P μ - duże Np.: albo P P μ ( K ; ) = 0, 95 L K μ ( K ; ) = 0, 99 L K P P 33

34 Estymacja przedziałowa cd. Ogólnie: gdzie: P μ( K ; ) = 1 α L K P 1 α duże (np. równe 0,95 albo 0,99) α małe (np. równe 0,05 albo 0,01) 34

35 Estymacja przedziałowa - terminologia P μ( K ; ) = 1 α L K P α poziom istotności 1 α poziom ufności ( K ; K ) L P przedział ufności dla estymowanego parametru przy poziomie ufności 1 α 35

36 Estymacja przedziałowa terminologia P μ( K ; ) = 1 α L K Np. dla α = 0,05 mówimy: przedział ufności dla średniej μ przy poziomie ufności 95% albo 95% przedział ufności dla średniej μ. Np. dla α = 0,01 mówimy: przedział ufności dla średniej μ przy poziomie ufności 99% albo 99% przedział ufności dla średniej μ. P 36

37 Estymacja polecenia Wyznacz ocenę punktową oraz przedziałową średniej, wariancji, odchylenia standardowego, gdy cecha X ma w populacji rozkład normalny z nieznanymi parametrami; poziom ufności - dany Wyznacz ocenę punktową oraz przedziałową frakcji, gdy cecha X ma w populacji rozkład dwupunktowy z nieznanym parametrem; poziom ufności - dany 37

38 Przedział ufności dla średniej μ Cecha X ma w populacji rozkład normalny, X ~ N(μ, σ ), μ, σ nieznane; Losujemy próbę: x 1, x,..., x n ; np.: n=10 191, 193,0 195,1 184,3 197,6 00,8 194, 198,7 189,5 00, Obliczamy parametry próby: x = 194, 46 g, s = 6,89 g, s = 5,19 g, Wyznaczamy końce przedziału ufności ze wzoru: 38

39 Przedział ufności dla średniej μ cd. Przedział ufności dla μ przy poziomie ufności P=1-α: s μ ( x t ; x + t α, v α, n v s n ) x t, v s n x x + t, v s n wartość krytyczna t α, v, v liczba stopni swobody, v = n-1 39

40 Tablica wartości krytycznych rozkładu t-studenta X ~ tν - X zmienna losowa o rozkładzie t-studenta z liczbą stopni swobody v, α - poziom istotności, t α, ν - wartość krytyczna - liczba taka, że P( X > t α, ν ) = α ν \ α 0,400 0,300 0,00 0,100 0,050 0,05 0,05 0,010 0,005 0, ,3764 1,966 3,0777 6,3137 1,706 5,4519 5, , , ,5776 1,0607 1,386 1,8856,900 4,307 6,054 6,054 9,950 14,089 31, ,9785 1,498 1,6377,3534 3,184 4,1765 4,1765 5,8408 7,453 1,944 : 8 0,8889 1,1081 1,3968 1,8595,3060,7515,7515 3,3554 3,835 5, ,8834 1,0997 1,3830 1,8331,6,6850,6850 3,498 3,6896 4, ,8791 1,0931 1,37 1,815,81,6338,6338 3,1693 3,5814 4, ,8755 1,0877 1,3634 1,7959,010,5931,5931 3,1058 3,4966 4,4369 : 85 0,8459 1,048 1,916 1,6630 1,9883,818,818,6349,88 3, ,8456 1,044 1,910 1,660 1,9867,795,795,6316,8779 3, ,8454 1,041 1,905 1,6611 1,985,775,775,686,8741 3, ,845 1,0418 1,901 1,660 1,9840,757,757,659,8707 3,

41 Przykład Wyznaczymy 95% przedział ufności dla średniej μ na podstawie wylosowanej próby (poziom ufności P = 95% = 0,95). Z tablic wartości krytycznych rozkładu t-studenta odczytujemy t α, v dla α = 0,05, v = 9; t 0,05, 9 =,6. Podstawiamy do wzoru: x x s 5,19 tα, v = 194,46,6 = n 10 s 5,19 + tα, v = 194,46 +,6 = n ,75 198,17 41

42 Przykład cd. Odp.: 95% przedziałem ufności dla średniej μ jest (,75 ; 198,17) 190. Średnia μ przy poziomie ufności P=0,95 (z pstwem 0,95) należy do tego przedziału. 4

43 *Interpretacja poziomu ufności Druga próba wylosowana z tej samej populacji: 198,7; 189,5; 00,; 196,7; 0,7; 189,6; 197,1; 00,; 194,6; 195,5 95% przedział ufności dla średniej μ: ( 193,35 ; 199,61) μ? oś liczbowa 43

44 *Precyzja oceny parametru Wyniki pomiarów masy: 191,; 193,0; 195,1; 184,3; 197,6; 00,8; 194,; 198,7; 189,5; 00, Parametry próby: n = 10, x = 194, 46 g, s = 6,89 g, s = 5,19 g. t 0,05, 9 =,6. 95% przedziałem ufności dla średniej μ ( ) jest,75 ; 198, t 0,01, 9 = 3,498; 99% przedziałem ufności dla średniej μ ( ) jest,13 ; 199,

45 Przedział ufności dla wariancji σ Cecha X ma w populacji rozkład normalny, X ~ N(μ, σ ), μ, σ nieznane; Losujemy próbę: x 1, x,..., x n ; np.: 191,; 193,0; 195,1; 184,3; 197,6; 00,8; 194,; 198,7; 189,5; 00, Obliczamy parametry próby: s = 6,89 g, Podstawiamy do wzoru: 45

46 Przedział ufności dla wariancji σ Przedział ufności dla σ przy poziomie ufności P=1-α σ s χ ( n 1) s ( n 1) ; α /, v χ 1 α /, v χ -wartość krytyczna rozkładu chi-kwadrat, v liczba stopni swobody, v = n 1 46

47 Tablica wartości krytycznych rozkładu chi-kwadrat X ~ χ ν - X zmienna losowa o rozkładzie chi-kwadrat z liczbą stopni swobody v, α - poziom istotności, χ α, ν - wartość krytyczna - liczba taka, że P(X > χ α, ν ) = α ν \ α 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,100 0,050 0,05 0,010 0, , ,000 0,0010 0,0039 0,0158,7055 3,8415 5,039 6,6349 7,8794 0,0100 0,001 0,0506 0,106 0,107 4,605 5,9915 7,3778 9,104 10, ,0717 0,1148 0,158 0,3518 0,5844 6,514 7,8147 9, ,3449 1,8381 : 8 1,3444 1,6465,1797,736 3, , , ,5345 0,090 1, ,7349,0879,7004 3,351 4,168 14, , ,08 1,6660 3, ,1558,558 3,470 3,9403 4,865 15,987 18,3070 0,483 3,093 5, ,603 3,0535 3,8157 4,5748 5, ,750 19,675 1,900 4,750 6,7569 : 85 55, , , , , , ,517 11, ,356 1, , , , ,160 73, , , , ,116 18, ,495 65, ,949 73, , , , , , , ,375 70, ,19 77,994 8, , ,341 19, , ,

48 Przykład Wyznaczymy 95% przedział ufności dla wariancji σ na podstawie wylosowanej próby. Odczytujemy wartości krytyczne rozkładu chi-kwadrat z tablic: χ α/, ν - dla α=0,05, v=9; χ 0,05, 9=19,08, χ 1-α/, ν - dla α=0,05, v=9; χ 0,975, 9=,

49 Przykład wyniki cd. Podstawiamy do wzoru: s χ ( n 1) α /, v = 6,899 19,08 = 1,7 s χ ( n 1) 1 α /, v = 6,899,7004 = 89,6 Odp.: 95% przedziałem ufności dla wariancji σ ( ) jest,7 ; 89,6 1. Wariancja σ przy poziomie ufności P=0,95 (z p-stwem 0,95) należy do tego przedziału. 49

50 Przedział ufności dla odch. std. σ Cecha X~N(μ, σ ), μ, σ nieznane Próba: x 1, x,..., x n Przedział ufności dla σ przy poziomie ufności P=1-α σ s χ ( n 1) s ( n 1) α /, v ; χ 1 α /, v 50

51 Przedział ufności dla odch. std. σ Wyznaczamy pierwiastki: s χ ( n 1) α /, v = 0,0193 = 0,14 s χ ( n 1) 1 α /, v = 0,8341 = 0,91 Odp.: 95% przedziałem ufności dla odchylenia standardowego σ jest ( 0,14 ; 0,91) Odchylenie standardowe należy do niego z p-stwem 0,95. 51

52 Przedział ufności dla frakcji p Cecha X~B(n, p), p nieznane Próba: x 1, x,..., x n (duża, n > 100) Przedział ufności dla p przy poziomie ufności P=1-α p p u 1 α / p(1 n p) ; p + u 1 α / p(1 n p) u 1-α/ kwantyl rzędu 1-α/ 5

53 Kwantyl u1-α/ u 1- α / kwantyl rzędu 1- α/, to wartość z tablicy dystrybuanty rozkładu X~N(0,1) taka, że F(u1-α/) = 1- α/ α 1- α/ u1- α/ 0,01 0,995,5758 0,05 0,975 1,

54 Przykład. Transport owoców Oceną sposobu transportu owoców jest procent owoców uszkodzonych podczas takiego transportu. W doświadczeniu wylosowano 150 owoców spośród transportowanych i w tej próbie stwierdzono 10 dobrych. 54

55 Przykład estymacja parametru p Cecha Y stan owocu po transporcie Założenie: Y ~ B(n, p), gdzie p jest nieznane Polecenie. Wyznacz przedział ufności dla frakcji owoców uszkodzonych podczas transportu. Odp. Frakcja owoców uszkodzonych podczas transportu wynosi p (wartość nieznana, przedział ufności wyznaczamy na podstawie danych z próby). 55

56 Przykład estymacja parametru p Próba: y 1, y,..., y n n = 150, k = 30 Wyznaczamy przedział ufności dla p przy poziomie ufności P = 1 - α ze wzoru: p p u 1 α / p(1 n p) ; p + u 1 α / p(1 n p) 56

57 Przykład estymacja parametru p Obliczamy frakcję owoców uszkodzonych dla próby: p = 0,0 = 0% Odczytujemy kwantyl z tablicy dystrybuanty rozkładu N(0, 1): α = 1-0,95 = 0,05 α/ = 0, α/ = 0,975 u 0,975 = 1,96 Podstawiamy do wzoru: 57

58 Przykład estymacja parametru p p p p(1 p) 0,0(1 0,0) u1 α / = 0,0 1,96 = n 150 p(1 p) 0,0(1 0,0) + u1 α / = 0,0+ 1,96 = n 150 0,14 0,6 Odp.: Odp.: 95% przedziałem ufności dla frakcji owoców uszkodzonych jest ( 0,14 ; 0,6) Frakcja owoców uszkodzonych podczas transportu należy do niego z p-stwem 0,95. 58