Metody probabilistyczne

Transkrypt

1 Metody probabilistyczne Teoria estymacji Jędrzej Potoniec

2 Bibliografia

3 Bibliografia

4 Próba losowa (x 1, x 2,..., x n )

5 Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) (X 1, X 2,..., X n )

6 Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) (X 1, X 2,..., X n ) wszystkie zmienne niezależne i o identycznym rozkładzie

7 Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) (X 1, X 2,..., X n ) wszystkie zmienne niezależne i o identycznym rozkładzie EX 1 = EX 2 =... = EX n = µ DX 1 = DX 2 =... = DX n = σ

8 Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) (X 1, X 2,..., X n ) wszystkie zmienne niezależne i o identycznym rozkładzie EX 1 = EX 2 =... = EX n = µ DX 1 = DX 2 =... = DX n = σ Słabe prawo wielkich liczb Chinczyna Y n = 1 n X i jest stochastycznie zbieżny do µ n i=1

9 Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) (X 1, X 2,..., X n ) wszystkie zmienne niezależne i o identycznym rozkładzie EX 1 = EX 2 =... = EX n = µ DX 1 = DX 2 =... = DX n = σ Słabe prawo wielkich liczb Chinczyna Y n = 1 n n X i jest stochastycznie zbieżny do µ i=1 ε > 0: lim P ( Y n µ < ε) = 1 n

10 Estymacja punktowa Estymator (parametru q) To zmienna losowa Q n, która dla dużej próby trafia dostatecznie blisko tego parametru: c > 0: lim P ( Q n q < c) = 1 n

11 Estymacja punktowa Estymator (parametru q) To zmienna losowa Q n, która dla dużej próby trafia dostatecznie blisko tego parametru: c > 0: lim P ( Q n q < c) = 1 n zgodny stochastycznie zbieżny do estymowanej wartości ε > 0: lim P ( Q n q < ε) = 1 n

12 Estymacja punktowa Estymator (parametru q) To zmienna losowa Q n, która dla dużej próby trafia dostatecznie blisko tego parametru: c > 0: lim P ( Q n q < c) = 1 n zgodny stochastycznie zbieżny do estymowanej wartości ε > 0: lim P ( Q n q < ε) = 1 n nieobciążony wartość średnia równa esymowanej wartości n = 1, 2,... : E(Q n ) = q

13 Estymacja punktowa Estymator (parametru q) To zmienna losowa Q n, która dla dużej próby trafia dostatecznie blisko tego parametru: c > 0: lim P ( Q n q < c) = 1 n zgodny stochastycznie zbieżny do estymowanej wartości ε > 0: lim P ( Q n q < ε) = 1 n nieobciążony wartość średnia równa esymowanej wartości najefektywniejszy wariancja możliwie mała [ 1 ] d log f (Qn,q) = D 2 ne dq (Q n ) ( [ 1 ] d log pi = (q) ne n = 1, 2,... : E(Q n ) = q dq ( n d log f (x,q) dq n i=1 d log p i (q) dq ) 1 f (x, q) dx p i (q) ) 1

14 Przykładowe estymatory wartości średniej (zgodność, wariancja, obciążenie, efektywność) M n = 1 n X i n i=1

15 Przykładowe estymatory wartości średniej (zgodność, wariancja, obciążenie, efektywność) M n = 1 n X i n i=1 wariancji gdy wartość średnia jest znana (zgodność, obciążenie) Sn 2 = 1 n (X i µ) 2 n i=1

16 Przykładowe estymatory wartości średniej (zgodność, wariancja, obciążenie, efektywność) M n = 1 n X i n i=1 wariancji gdy wartość średnia jest znana (zgodność, obciążenie) S 2 n = 1 n n (X i µ) 2 i=1 nieobciążony wariancji gdy wartość średnia nie jest znana Ŝ 2 n = 1 n 1 n (X i M n ) 2 i=1

17 Zróbmy przykład! Wzrost hobbitów W Shire żyje bliżej niesprecyzowana liczba hobbitów o wzroście o bliżej nieznanej wartości średniej i odchyleniu standardowym. Pobrano próbę prostą wzrostu 10 hobbitów i uzyskano następujące pomiary (w stopach): 4.52, 3.96, 4.49, 2.97, 2.66, 2.47, 2.62, 2.89, 2.78, 2.77

18 Zróbmy przykład! Wzrost hobbitów W Shire żyje bliżej niesprecyzowana liczba hobbitów o wzroście o bliżej nieznanej wartości średniej i odchyleniu standardowym. Pobrano próbę prostą wzrostu 10 hobbitów i uzyskano następujące pomiary (w stopach): 4.52, 3.96, 4.49, 2.97, 2.66, 2.47, 2.62, 2.89, 2.78, 2.77 estymacja wartości średniej m 10 = 3,21 estymacja wariancji ŝ 2 10 = 0,62

19 Zróbmy przykład! Wzrost hobbitów W Shire żyje bliżej niesprecyzowana liczba hobbitów o wzroście o bliżej nieznanej wartości średniej i odchyleniu standardowym. Pobrano próbę prostą wzrostu 10 hobbitów i uzyskano następujące pomiary (w stopach): 4.52, 3.96, 4.49, 2.97, 2.66, 2.47, 2.62, 2.89, 2.78, 2.77 estymacja wartości średniej m 10 = 3,21 estymacja wariancji ŝ 2 10 = 0,62 Następnie pobrano kolejną próbę: 3.02, 3.93, 3.30, 3.16, 1.56, 3.34, 4.96, 2.47, 1.36, 2.71 estymacja wartości średniej m 10 = 2,98 estymacja wariancji ŝ 2 10 = 1,11

20 Zróbmy przykład! Wzrost hobbitów W Shire żyje bliżej niesprecyzowana liczba hobbitów o wzroście o bliżej nieznanej wartości średniej i odchyleniu standardowym. Pobrano próbę prostą wzrostu 10 hobbitów i uzyskano następujące pomiary (w stopach): 4.52, 3.96, 4.49, 2.97, 2.66, 2.47, 2.62, 2.89, 2.78, 2.77 estymacja wartości średniej m 10 = 3,21 estymacja wariancji ŝ 2 10 = 0,62 Następnie pobrano kolejną próbę: 3.02, 3.93, 3.30, 3.16, 1.56, 3.34, 4.96, 2.47, 1.36, 2.71 estymacja wartości średniej m 10 = 2,98 estymacja wariancji ŝ 2 10 = 1,11 A w rzeczywistości... µ = 3 σ = 0,75 σ 2 = 0,5625

21 Estymacja przedziałowa Estymator przedziałowy (parametru q) To taki przedział losowy, do którego z zadanym prawdopodobieństwem należy estymowany parametr: P(q A, B ) = 1 α

22 Estymator przedziałowy wartości średniej Założenia X i N(µ, σ)

23 Estymator przedziałowy wartości średniej Założenia X i N(µ, σ) σ znane

24 Estymator przedziałowy wartości średniej Założenia X i N(µ, σ) σ znane przedział równej długości w obie strony od estymatora punktowego

25 Estymator przedziałowy wartości średniej Założenia X i N(µ, σ) σ znane przedział równej długości w obie strony od estymatora punktowego P(µ M n δ, M n + δ ) = 1 α

26 Wróćmy do hobbitów parametry σ = 0,75, α = 0,05

27 Wróćmy do hobbitów parametry σ = 0,75, α = 0,05 próba I m 10 = 3,21

28 Wróćmy do hobbitów parametry σ = 0,75, α = 0,05 próba I m 10 = 3,21 próba II m 10 = 2,98

29 Wróćmy do hobbitów parametry σ = 0,75, α = 0,05 próba I m 10 = 3,21 próba II m 10 = 2,98 Uwaga na interpretację!

30 Estymator przedziałowy wartości średniej Założenia X i N(µ, σ) σ znane przedział równej długości w obie strony od estymatora punktowego

31 Estymator przedziałowy wartości średniej Założenia X i N(µ, σ) σ znane przedział równej długości w obie strony od estymatora punktowego Twierdzenie Lindenberga-Levy ego Dla X i będących próbą losową ciąg zmiennych losowych Z 1, Z 2,... jest zbieżny wg dystrybuant do zmiennej losowej Z N(0, 1) Z n = M n µ σ n = 1 n ni=1 X i µ σ n

32 Estymator przedziałowy wartości średniej Założenia X i N(µ, σ) σ znane przedział równej długości w obie strony od estymatora punktowego

33 Estymator przedziałowy wartości średniej Założenia X i N(µ, σ) σ znane przedział równej długości w obie strony od estymatora punktowego Z n = M n µ = Ŝn 2 n 1 ni=1 n X i µ t(n 1) Ŝn 2 n

34 Rozkład t-studenta

35 Hobbici raz jeszcze C5%82adu_t-Studenta&oldid= parametry α = 0,05

36 Hobbici raz jeszcze C5%82adu_t-Studenta&oldid= parametry α = 0,05 próba I m 10 = 3,21, ŝ 2 10 = 0,62

37 Hobbici raz jeszcze C5%82adu_t-Studenta&oldid= parametry α = 0,05 próba I m 10 = 3,21, ŝ 2 10 = 0,62 próba II m 10 = 2,98, ŝ 2 10 = 1,11

38 Hobbici raz jeszcze C5%82adu_t-Studenta&oldid= parametry α = 0,05 próba I m 10 = 3,21, ŝ 2 10 = 0,62 próba II m 10 = 2,98, ŝ 2 10 = 1,11 Uwaga na interpretację!

39