Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykªadnicza

Transkrypt

1 Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykªadnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym ukªadzie wspóªrz dnych wykresy funkcji pot gowej y = x α dla: α =,, 3, 4; b) α =,, ; c) α =,, / oraz / 3 Zapisz w postaci pojedynczej pot gi dwójki: /64; b ; c) ( )/; d) ( ) 3 ( 3 ) ; e) ( 3 ) 4 ; f) 34 ; g) ( ) 4 Podaj warto±ci logarytmów: log 4; b) log 4 ; c) log ; d) log4 8; e) log 8 4; f) log Kalkulatory naukowe pozwalaj bez trudu oblicza logarytmy dziesi tne i naturalne Wyra¹ poni»sze wyra»enia za pomoc pojedynczego logarytmu dziesi tnego b d¹ naturalnego: log ; b) log log 5; c) log 3 ; d) log 3; e) log ln 6 Czasem trudno odkry zale»no± pomi dzy zmiennymi wielko±ciami x, y, ale ªatwo pomi dzy ich logarytmami Wyra¹ y jako funkcj zmiennej x, je»eli log y = 3 log x 7 Naszkicuj wykresy funkcji: y = x ; b) y = log(x + ); c) y = log x ; d) y = x ; e) y = x 8 Znajd¹ funkcj odwrotn do funkcji: y = x ; b) y = x ; c) y = x, x ; d)* y = x + x, x 9 Badania pokazuj,»e w du»ych zbiorach danych zªo»onych z przypadkowych liczb, liczby zaczynaj ce si cyfr k stanowi okoªo log ( + k ) wszystkich danych Oszacuj, jaka cz ± danych zaczyna si cyfr, jaka cyfr b) Sprawd¹,»e ( log + ) ( + log + ) ( + + log + ) = 9 Wyka»,»e log jest liczb niewymiern Za pomoc odpowiedniego logarytmu podaj wzór na liczb cyfr liczby n Ile cyfr ma w zapisie dziesi tnym liczba?

2 Lista - Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne Podaj warto±ci funkcji trygonometrycznych: tg π 3 ; b) sin π 3 ; c) cos 5 3 π; d) sin 5 4 π; e) cos 4 3 π; f) ctg π 3 Naszkicuj wykres funkcji: y = sin x; b) y = cos(x + π/4); c) y = sin x + sin x; d) y = sin x + 3 cos x 3 Okre±l typ parzysto±ci (parzysta, nieparzysta, ani taka ani tak funkcji: y = sin x + sin 3x; b) y = sin x cos x; c) y = cos x + cos x + cos 3 x; d) y = sin x + sin x; e) y = x k cos x; f) y = sin(x + π/4) + cos(x + π/4) 4 Korzystaj c z okresowo±ci, parzysto±ci b d¹ nieparzysto±ci i wzorów redukcyjnych oblicz: sin 5 3 π; b) cos 4 π; c) tg 3 π; d) sin ( 7 4 π) ; e) cos 7 6 π; f) sin π 5 + sin 8π 5 5 Wyka» to»samo±ci: + tg x = cos x ; b) (cos x + sin x) = + sin x; c) cos + cos x x = ; d) sin cos x x = ; e) sin x cos x = sin 3x + sin x ; f) cos 3 x = 3 cos x + cos 3x 4 6 Oblicz warto±ci czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych k ta sin 5 7 Wyra¹ sin 3α za pomoc sin α Udowodnij,»e sin jest liczb niewymiern 8 Oblicz warto±ci funkcji cyklometrycznych: arctg ; b) arcsin( /); c) arctg( 3); d) arcsin( /) 9 Krzyw, któr mo»na otrzyma przesuwaj c wykres funkcji y = a sin(bx + c) dla ustalonych parametrów a, b, c, nazywamy sinusoid Wyka»,»e ka»da z poni»szych krzywych jest sinusoid : y = cos x; b) y = sin x; c) y = sin x cos x; d) y = sin x + cos x; e) y = (sin x + cos x) ; f) sin 4 x + cos 4 x Ile ró»nych warto±ci przyjmuje wyra»enie sin + sin + sin sin k, gdy k przyjmuje warto±ci,,,? Poka»,»e je±li t = tg(x/), to Oblicz: cos x = t t, sin x = + t + t sin π 7 + sin 4π 7 + sin 6π 7 + sin 8π 7 + sin π 7 + sin π 7 3 Udowodnij,»e dla dodatnich x zachodzi równo± arctg x+arctg(/x) = π Jak wygl da analogiczna równo± dla ujemnych x? 4 Naszkicuj wykresy funkcji: y = tg(arctg x); b) y = arctg(tg x) c)* y = cos(arcsin x) 5 * Jednym z pierwiastków równania 4x 3 3x = jest cos Znajd¹ dwa pozostaªe

3 Oblicz granice ci gów: Lista 3 - Granica ci gu a n = (n + 3)(n + ); b) b n = n + n 3 + n + ; c) c n = 3n + 4 n 5 n ; d) d n = n ; n e) e n = n + n; f) f n = n + n n; g) g n = sin n n ; h)* h n = n n + 3 n Znajd¹ granice niewªa±ciwe, o ile istniej a n = (n + )/(n + ); b) b n = n n 3 ; c) c n = 3 n n ; d) d n = 3 n ( ) n 3 Je»eli dla dodatnich funkcji f, g f(n) lim n g(n) = a, gdzie < a <, to mówimy,»e f, g s tego samego rz du; je»eli a = mówimy,»e s asymptotycznie równe Poka»,»e n jest rz du n b) Dla jakiego a ( n k) jest asymptotycznie równe an k? 4 Oblicz granice ci gów: a n = ( ( ) + n) n; b) bn = n n; n+ c) cn = ( ) n+ n; n d) dn = ( ) n n 5 Wyja±nij, wskazuj c odpowiednie przykªady, dlaczego nast puj ce wyra»enia sa nieoznaczone: ; b) / ; c) 6 Naszkicuj wykres funkcji f(x) = lim n xn ; Uwa»aj na dziedzin! ( b) f(x) = lim + x + x + x n) n 7 Wiadomo,»e ci g ograniczony i monotoniczny jest zbie»ny Czy wynika st d,»e: ci g rozbie»ny nie jest ani ograniczony, ani monotoniczny; b) ci g rozbie»ny nie jest ograniczony lub nie jest monotoniczny; c) ci g ograniczony niemonotoniczny nie jest zbie»ny; d) ci g zbie»ny jest ograniczony i monotoniczny? 8 Niech P n oznacza pole n-k ta foremnego wpisanego w okr g o promieniu, L n obwód tego wielok ta Znajd¹ granice obu ci gów, b) Wywnioskuj st d granic ci gu a n = n sin(π/n) 9 Rozwa»my ci g a =, a n+ = a n + a n Wiedz c,»e ci g ten jest zbie»ny, znajd¹ jego granic Oblicz kilka pocz tkowych wyrazów i porównaj z wynikiem dokªadnym b) Podaj analogiczny ci g o granicy: 3; b) 3 Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e po±ród 83 osób przynajmniej jedna obchodzi urodziny w tym samym dniu, co Ty? Rachunki mo»esz wykona w pami ci Udowodnij,»e lim n n n =

4 Oblicz granice funkcji: lim x x 3 x ; Oblicz granice funkcji: x b) lim ; x x sin x sin x lim ; b) lim x x x sin x ; ln( x) sin x e) lim ; f) lim x x x π x π ; Lista 4 - Granica funkcji c) lim x + x x x sin x ; d) lim x x cos x e x c) lim x x ; d) lim x e x ; g) lim x cos x ; h) lim x sin x x π/ 3 Korzystaj c z twierdzenia o trzech funkcjach znajd¹ granice: lim x sin x x ; b) lim x[x]; cos x x + sin x c) lim ; d) lim x x x x x + cos x cos x π x 4 Znajd¹ obie granice jednostronne (wªa±ciwe b d¹ niewªa±ciwe) we wskazanym punkcie: y = x x 5 Znajd¹ asymptoty funkcji: w punkcie ; b) y = sgn x x w punkcie ; c) y = x x x y = x3 x ; b) y = x3 + 8 (x 4) ; c) y = x (x + x 6) ; d) y = w punkcie + x x 6 Niech S(h) oznacza powierzchni caªkowit sto»ka o ustalonej podstawie r i wysoko±ci h Znajd¹ granic S(h) przy h d» cym so zera za pomoc : rozumowania geometrycznego; b) oblicze«7 Niech S(h) oznacza pole powierzchni tej cz ±ci Ziemi, jaka widoczna jest z wysoko±ci h Znajd¹ lim S(h), przyjmuj c,»e Ziemia jest kul o promieniu R h 8 Obliczaj c odpowiedni granic poka»,»e dla a > a + r a + r a Korzystaj c z tego wzoru poka»,»e: 9/6; b) 5 3/8; c) 99/7 9 Przy staªym tempie wzrostu p% przez okres podwojenia rozumiemy czas, po jakim dana wielko± si podwaja Znajd¹ okres podwojenia odpowiadaj cy przyrostowi p% b) Uzasadnij,»e dla maªych p okres ten wyra»a si przybli»onym wzorem 7/p c) Czy ±redni przyrost naturalny w ci gu ostatnich lat byª wy»szy od promila czy ni»szy?

5 Lista 5 - Ci gªo± Wska» punkty nieci gªo±ci i okre±l ich rodzaj:, gdy x, y = x w pp; cos gdy x >, b) y = x x < ; c) y = x, gdy x, x w pp; Korzystaj c z twierdzenie Bolzana o warto±ciach po±rednich dla funkcji ci gªych uzasadnij,»e równanie: x 5 + x + = ma dokªadnie jeden pierwiastek; b) e x = + x + x ma dodatni pierwiastek; c) ln x + ln( + x) = ma dokªadnie jeden pierwiastek 3 Za pomoc poªowienia przedziaªu znajd¹ przybli»on warto± jedynego pierwiastka równania: x 3 + x = 3 4 Znajd¹ zbiór warto±ci funkcji f(x) = e x + x Wska», gdzie w uzasadnieniu odpowiedzi korzystasz z twierdzenia Bolzana 5 Gdzie w poni»szych rachunkach korzystamy z ci gªo±ci? Jakiej funkcji i w jakim punkcie? ( lim n ln + ) ( = lim n n ln + n ( = ln lim + n n) n = ln e = n n) 6 Czy funkcj y = sin(/x) mo»na dookre±li w punkcie zero tak, aby byªa ci gªa na caªej prostej? A funkcj y = x sin(/x)? 7 Korzystaj c z twierdzenia Bolzana wyka»,»e ka»dy wielomian nieparzystego stopnia ma przynajmniej jeden pierwiastek 8 Za pomoc funkcji sut lub podªoga okre±l funkcj, która b dzie ci gªa we wszystkich punktach z wyj tkiem punktów o wspóªrz dnych b d cych: liczbami caªkowitymi parzystymi; b) liczbami caªkowitymi nieparzystymi 9 Zbadaj, w jakich punktach jest ci gªa funkcja { x, gdy x wymierna; y = w pp

6 Lista 6 - Poj cie pochodnej i równanie stycznej Korzystaj c z denicji oblicz pochodne: y = x + ; b) y = x; c) y = e x Korzystaj c ze wzoru na pochodn funkcji pot gowej oblicz pochodne funkcji: y = x(x ) ; b) y = x ; c) y = x; d) y = x x; e) y = ( x + x) ( x x) 3 Oblicz: f () dla funkcji y = (x + x) 3 ; b) f () dla funkcji y = x + x x 4 Znajd¹ równanie stycznej do wykresu funkcji: y = e x w punkcie (, f()); b) y = ln x w punkcie (e, f(e)) 5 Znajd¹ k t pomi dzy styczn do wykresu funkcji y = x poprowadzonej w punkcie (, ) a dodatni póªosi osi Ox Analogicznie dla stycznej w punkcie (, ) 6 Jaki zwi zek zachodzi pomi dzy f () a f ( ) dla funkcji: parzystej; b) nieparzystej? 7 Które z poni»szych zda«s prawdziwe: A Ka»da funkcja ci gªa jest ró»niczkowalna B Ka»da funkcja ró»niczkowalna jest ci gªa C Je»eli funkcja nie jest ci gªa, to nie jest ró»niczkowalna D Je»eli funkcja nie jest ró»niczkowalna, to nie jest ci gªa 8 Oblicz pochodne niewªa±ciwe w punkcie x funkcji: y = x, x = : b) y = x, x = ; c) y = arcsin x, x = Jak informacj o wykresie odpowiedniej funkcji mo»esz st d wywnioskowa? 9 Wska» punkty, w których funkcja nie jest ró»niczkowalna (o ile takie istniej ) W punktach nieró»niczkowalno±ci oblicz warto±ci obu pochodnych jednostronnych y = x + ; b) y = x + x y = x 3 + x ; d) y = x x Poka»,»e funkcja f(x) = x sin(/x) dla x, f() = nie jest ró»niczkowalna w punkcie zero Czy ma w tym punkcie pochodne jednostronne? A niewªa±ciwe? Wyra» za pomoc pochodnej zwi zek pomi dzy polem koªa a obwodem okr gu oraz pomi dzy powierzchni kuli a jej obj to±ci Zakªadaj c, ze podobny zwi zek zachodzi tak»e w wy»szych wymiarach znajd¹ powierzchni kuli czterowymiarowej, wiedz c,»e jej obj to± wynosi π / Wyka»,»e je±li funkcja ró»niczkowalna f speªnia warunki f(a + b) = f(f(b) oraz f () =, to f = f W przyszªo±ci poka»emy,»e jedyn tak funkcj jest y = e x 3 Poka»,»e styczna poprowadzona do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie P = (a, f() przecina o± Ox w punkcie o wspóªrz dnej x-owej Zapisz ten wzór dla funkcji y = x a = a f( f ( b) Rozwa»my ci g okre±lony warunkami x =, x n+ = x n Oblicz kilka pocz tkowych jego wyrazów i odgadnij jego granic c) Znajd¹ w podobny sposób przybli»on warto± pierwiastka równania x 3 + x = 3

7 Lista 7 - Obliczanie pochodnych Oblicz pochodn korzystaj c z podstawowych wzorów: y = x 4 x + ; b) y = x x; c) y = xe x ; d) y = x ln x e) y = sin x cos x; f) y = x3 + x + ; ln x g) y = x ; sin x h) y = x ; i) y = sin x ; x + sin x j) y = x + cos x Korzystaj c ze wzorów na pochodne eksponenty e x oraz logarytmu naturalnego oraz wzoru na pochodn funkcji zªo»onej wyprowad¹ wzory na pochodn : y = a x ; b) y = log a x, gdzie a dodatnie, ró»ne od 3 Oblicz pochodn korzystaj c ze wzoru na pochodn funkcji zªo»onej: y = e x ; b) y = sin 4x; c) y = ln(x + ); d) y = (sin x + cos x) 3 ; e) y = sin(cos x); f) y = + x ; g) y = ln sin x; h) y = sin( sin(3x)) 4 Znajd¹ równanie stycznej do wykresu funkcji y = + x + x w punkcie (, f( )); b) y = ex e x w punkcie (, f()); + c) y = ln(x + ) w punkcie (, f()); d) y = tg x w punkcie (π/4, f(π/4)) 5 Sprawd¹,»e (sin x) = sin x Wywnioskuj st d wzór napochodn cos x 6 Oblicz pochodn korzystaj c ze wzoru na pochodn funkcji odwrotnej: y = x; b) y = arctg x; c) y = arcsin x 7 Znajd¹ równanie stycznej do wykresu funkcji y = x w punkcie ( /, /) dwiema metodami: geometrycznie; b) algebraicznie 8 Znajd¹ równanie stycznej do wykresu y = tg x w punkcie (π/4, ) Wywnioskuj z niego równanie stycznej do wykresu y = arctg x w punkcie: (, π/4); b) (, π/4) 9 Oblicz cztery pierwsze pochodne w punkcie zero: funkcji y = sin x; b) funkcji y = ln( + x) W obu przypadkach podaj ogólne wzory na n-t pochodn w zerze W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji y = x x jest równolegªa do: osi Ox; b) prostej y = x; c) osi Oy? Wyprowad¹ wzór na pochodn y = + x nie korzystaj c ze wzoru na pochodn funkcji zªo»onej Korzystaj c ze wzoru na pochodn y = x n dla wykªadników naturalnych oraz wzoru na pochodn funkcji odwrotnej znajd¹ pochodn y = n x Wywnioskuj st d wzór na pochodn y = x α dla wymiernych wykªadników 3 Zaªó»my,»e f jest ró»niczkowalna Korzystaj c z denicji wyprowad¹ wzór na pochodn funkcji: y = f(x ); b) y = f(e x )

8 Lista 8 - Monotoniczno±, ekstrema i wypukªo± Uzasadnij,»e funkcja y = x 3 + x + x + jest rosn ca Naszkicuj wykres wielomianu: y = x 3 3x + ; b) y = x 4 4x 4x 3 Znajd¹ ekstrema podanych funkcji i okre±l ich rodzaj: x(x + ) 3 ; b) y = x 4 + x + ; c) y = x x ; d) y = x ln x; e) y = x e x 4 Znajd¹ ekstrema i przedziaªy monotoniczno±ci: y = x + x ; b) y = x 4 x ; c) y = + ln x ; d)y = x 4 4x + 3 x 5 Naszkicuj wykres funkcji: y = x + x ; b) y = x + x ; c) y = xe x ; d) y = 6 Znajd¹ najwi ksz i najmniejsz warto± funkcji: y = x 3 + 3x x + na przedziale [, 3]; b) y = x + x na przedziale [, 4] x x + 7 Wyka»,»e równanie x + cos x = ma tylko jeden pierwiastek Jaki? 8 Znajd¹ zbiór warto±ci i liczb rozwi za«równania f(x) = m dla funkcji: y = x + x + x x + ; b) y = x + x + x 3 9 Niech V (r) oznacza obj to± walca o podstawie r wpisanego w kul jednostkow Naszkicuj wykres funkcji V (r) b) Znajd¹ najwi ksz warto± i zbiór jej warto±ci Podaj przykªad funkcji wsz dzie dodatniej: rosn cej i wypukªej; b) rosn cej i wkl sªej; c) malej cej i wypukªej; d) malej cej i wkl sªej Znajd¹ przedziaªy wypukªo±ci i punkty przegi cia funkcji: y = x ln x; b) y = xe x Korzystaj c z wypukªo±ci odpowiednich funkcji uzasadnij nierówno± : e x + x; b) ln( + x) x: c) sin x < x dla dodatnich x Zilustruj nierówno± szkicuj c fragmenty wykresów obu porównywanych funkcji 3 Nie korzystaj c z kalkulatora rozstrzygnij, która z liczb jest wi ksza: e π czy π e? 4 Poka»,»e dla funkcji ró»niczkowalnej f zachodzi równo± f (x) = [ln f(x)] f(x) Naszkicuj wykres funkcji y = x x 5 Znajd¹ wszystkie mo»liwe odlegªo±ci punktu paraboli y = x od pocz tku ukªadu wspóªrz dnych 6 * Wyka»,»e funkcja x x + x + jest rosn ca

9 Lista 9 - Aproksymacje, wzór Taylora i reguªa de l'hospitala Korzystaj c z ró»niczki oblicz przybli»on warto± : 3, 9: b) ln, ; c) sin 3; d) tg Porównaj z warto±ciami dokªadnymi Z twierdzenia Lagrange'a wynika,»e przy odpowiednich zaªo»eniach f(x) = f( + f (c)(x Znajd¹ c o którym tu mowa w przypadku funkcji: f(x) = x, oraz a =, x = ; b) f(x) = ln x oraz a =, x = e 3 Zapisz cztery kolejne przybli»enia taylorowskie dla f(x) = x 3 + x + 3x + 4: wokóª a = ; b) wokóª a = 4 Oblicz przybli»on warto± e sumuj c pi pocz tkowych skªadników rozwini cia Maclaurina dla e x Oszacuj bª d przybli»enia 5 Korzystaj c ze wzoru Taylora uzasadnij przybli»enie sin x x x3 3! + x5 5! Oszacuj bª d przybli»enie przy zaªo»eniu,»e x < π/ 6 Znajd¹: trzy pierwsze wyrazy rozwini cia Maclaurina dla y = + x; b rozwini cie Maclaurina dla funkcji y = ln( + x) 7 Korzystaj c z reguªy de l'hospitala oblicz granice: ln x arctg x sin ln x lim b) lim ; c) lim x x x ( x x ln x e) lim x x ln x; f) lim + x sin x ) ; g) lim x x x/x ; 8 Naszkicuj wykres funkcji: y = ln x ; b) y = x ln x x x n ; d) lim x e x ; h) lim x ( + sin x) /x 9 Korzystaj c z twierdzenia Lagrange'a wyka»,»e je±li f = f, to f(x) = Ce x Uzasadnij,»e bª d aproksymacji f(x) f( + f ((x jest równy co najwy»ej iloczynowi poªowy maksimum drugiej pochodnej na przedziale [a, x] (b d¹ [x, a]) i kwadratu jego dªugo±ci Podaj analogiczne oszacowanie bª du aproksymacji f(x) f( + f ((x + f (/(x Odgadnij asymptoty funkcji y = ln( + e x ) i sprawd¹ swoje przypuszczenia za pomoc oblicze«czy wykres przecina któr kolwiek z asymptot?

10 Lista - Caªka oznaczona, wzór Newtona-Leibniza i techniki caªkowania Oblicz podan caªk przybli»aj c j za pomoc sumy prostok tów: x ; b) x ; c)* x Wsk: b) zachodzi równo± n = n(n + )(n + )/6; c) dobierz punkty podziaªu tak, aby tworzyªy ci g geometryczny Korzystaj c z geometrycznej interpretacji caªki oznaczonej oblicz caªki: 4 4 x ; b) ( + x ) ; c) x ; d) x x 3 Korzystaj c ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz: x n ; b) π sin x ; c) x ; d) e x 4 Oblicz przybli»on warto± caªki x, dziel c przedziaª na 4 równe odcinki i bior c warto±ci: w lewych ko«cach przedziaªu; b) w ±rodkach przedziaªu Porównaj z warto±ci dokªadn 5 Korzystaj c z caªkowania przez podstawienie znajd¹ caªki: (x + ) 7 ; b) e x + e x ; c) x 4 x ; d) e e) x ln x ; f) x e x ; g) ; h) x + ex 6 Korzystaj c z caªkowania przez cz ±ci znajd¹ caªki: x sin x ; b) xe x ; c) x ln x ; d) arctg x ; e) x e x ; f) e x sin x 7 Korzystaj c ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz: xe x ; b) x + x c) e 8 Nie korzystaj c ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz 9 Oblicz lim n ( n n + + n n ln x π sin x x sin x ; x + x ) ( n n + n ; b) lim n n + + n ) n Aproksymuj c pole pod wykresem y = /x za pomoc prostok tów wyka»,»e suma ró»ni si od ln n o mniej ni» Oblicz π n sin x bezpo±rednio z denicji, korzystaj c ze wzoru na sum sin α + sin α + + sin nα = sin nα sin α (n+)α sin

11 Oblicz poni»sze caªki nieoznaczone: x + : b) (x + ) 3 ; c) Lista - Techniki caªkowania - cd x + 4 ; d) x ( + x ) 3 Rozªó» na uªamki proste i znajd¹ caªk nieoznaczon : x(x ) ; b) x x 4 ; c) (x + ) x(x + )(x + ) ; d) x + x + x + x 3 ; x (x + 3) (x + ) e) x + 4 ; f) x ; g) + x + x + ; h) x 4x + ; i) x + x + ; j) x x + 6x + ; k) x 3 + 4x ; l) x x 4 3 Oblicz caªk : x 3 + x 4 + x ; b) + x + 4 Oblicz caªki z funkcji trygonometrycznych: tg x ; b) cos x ; c) sin 3 x ; d) e) sin 3x sin x ; f) sin x cos 5x ; g) cos x cos 4x ; h) 5 Pami taj c,»e (tg x) = + tg x oblicz tg x cos 4 x ; sin x 6 Znajd¹ caªk nieoznaczon x za pomoc podstawienia x = sin t Korzystaj c z tej caªki poka»,»e pole koªa x + y jest równe π 7 Wyprowad¹ zale»no± x n cos x = x n sin x n x n sin x 8 Funkcje hiperboliczne deniujemy wzorami cosh x = ex + e x, sinh x = ex e x Podaj przykªady analogii (to»samo±ci, pochodne, caªki) pomi dzy funkcjami hiperbolicznymi a trygonometrycznymi b) Czy funkcje hiperboliczne s ograniczone? okresowe? c) Sprawd¹,»e ka»dy punkt postaci (± cosh t, ± sinh t) le»y na hiperboli x y =, a tak»e (trudniejsza cz ± zadani, i» ka»dy punkt tej hiperboli ma tak posta 9 Korzystaj c z podstawienia x = cosh t oblicz caªk + x

12 Lista - Zastosowania caªek oznaczonych Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi: y = x x, x + y = ; b) y = x, y = x ; c) yx =, y = x, y =, x = ; d) x =, y = arcsin x, y = π/; e) y = x, x = y ; f) y = 4 x, y = x Znajd¹ ±redni warto± funkcji na wskazanym przedziale: x na [, a]; b) sin x na [, π]; c) cos x na [, π]; d) ln x na [, e] 3 Oblicz pole obszaru ograniczonego elips 4x + y = 4 Oblicz obj to± i powierzchni bryªy utworzonej przez obrót ªuku sinusoidy y = sin x, x π wokóª osi Ox 5 Korzystaj c ze wzorów na obj to± i pole powierzchni bryªy utworzonej przez obrót wokóª osi Oy oblicz obj to± i pole powierzchni bryªy powstaªej w wyniku obrotu wokóª tej osi: odcinka y = x, x a; b) odcinka paraboli y = x, x a Jak rozwi za b) korzystaj c z wzorów na obrót wokóª osi Ox? 6 Korzystaj c ze wzoru na dªugo± ªuku: oblicz dªugo± ªuku y = x x, x ; b) oblicz dªugo± ªuku krzywej ªa«cuchowej y = (e x + e x )/, x ; c) sprawd¹,»e obwód okr gu x + y = jest równy π Uwaga: W zadaniu c) pojawia si caªka niewªa±ciwa (wykraczaj ca na niektórych kierunkach poza program), ale nie ma to wpªywu na obliczenia 7 Wyprowad¹ znane wzory na obj to± i pole powierzchni kuli o promieniu R 8 Tr bk Torricellego nazywamy powierzchni powstaª przez obrót krzywej y = /x, x wokóª osi Ox Poka»,»e powierzchnia tr bki jest niesko«czona, a jej obj to± sko«czona b) Wypeªniaj c t tr bk farb pomalujemy niesko«czon wewn trzna powierzchni za pomoc sko«czonej ilo±ci farby Wyja±nij ten paradoks Uwaga: W zadaniu tym operujemy tzw caªk niewªa±ciw Do± ªatwo jest takiej caªce nada ±cisªy sens b d¹ znale¹ denicj w literaturze/internecie 9 Oblicz powierzchni torusa utworzonego przez obrót okr gu x + (y R) = r (R > r) wokóª osi Ox Sprawd¹,»e powierzchnia ta jest równa iloczynowi obwodu okr gu tego okr gu przez drog, jaka przebywa jego ±rodek Oblicz powierzchni czaszy wyci tej ze sfery x + y + z = pªaszczyzn z = a, gdzie < a < Sprawd¹,»e jest ona równa powierzchni jej rzutu prostok tnego na powierzchnie walca stycznego do tej sfery