DYNAMICZNA STATECZNOŚĆ SŁABYCH RÓWNAŃ UKŁADÓW CIĄGŁYCH DYNAMIC STABILITY OF CONTINUOUS SYSTEMS IN WEAK FORMULATION

Transkrypt

1 ANDRZEJ TYLIKOWSKI DYNAMICZNA STATECZNOŚĆ SŁABYCH RÓWNAŃ UKŁADÓW CIĄGŁYCH DYNAMIC STABILITY OF CONTINUOUS SYSTEMS IN WEAK FORMULATION Sreszczeie Absrac Niiejszy arykuł poświęcoy jes aalizie dyamiki układów ciągłych w słabym sformułowaiu. Wyprowadzoo słabą posać rówaia dyamiki belki poddaej działaiu osiowej losowo zależej od czasu siły. Posługując się bezpośredią meodą Lapuowa zbadao prawie pewą sabilość sochasyczą prosoliiowej posaci belki bez uprzediej dyskreyzacji zadaia. Wyzaczoo waruki dosaecze sabilości belki swobodie podparej i szywo uwierdzoej a obu końcach. Słowa kluczowe: słabe sformułowaie drgaia paramerycze waruki dosaecze sabilości meoda Lapuowa Dyamics of coiuous sysems have bee cosidered i a weak (variaioal) form. Dyamics equaio of beam subjeced o he aial sochasic force i he weak formulaio has bee derived. The almos sure sochasic sabiliy of beam equilibrium wihou he previous discreizaio has bee aalysed by meas of direc Lyapuov mehod. Sufficie sabiliy codiios have bee esablished for he simply suppored beam ad he clamped beam. Keywords: weak formulaio parameric vibraio sufficie sabiliy codiios Lyapuov mehod Prof. dr hab. Adrzej Tylikowski Isyu Podsaw Budowy Maszy Wydział Samochodów i Maszy Roboczych Poliechika Warszawska.

2 4 Ozaczeia W przemieszczeie belki w bezwymiarowe przemieszczeie belki u macierz kolumowa przemieszczeia uogólioego X współrzęda X bezwymiarowa współrzęda T czas T czas bezwymiarowy H współczyik łumieia wiskoyczego Β bezwymiarowy współczyik arcia wiskoyczego β warości włase belki szywo uwierdzoej oboma końcami f o sała składowa siły osiowej f zmiea składowa osiowej V fukcjoał Laguowa U pomociczy fukcjoał Λ fukcja wysępująca w górym oszacowaiu fukcjoału U ξ -a posać drgań swobodych κ sała (.) pochoda cząskowa względem (.) pochoda cząskowa względem czasu miara odległości rozwiązaia zaburzoego od sau rówowagi E P k warość oczekiwaa prawdopodobieńswo współczyik skali czasu. Wsęp Układy akywego łumieia drgań ciekościeych elemeów płyowych czy powłokowych mogą zawierać elemey piezoelekrycze oddziaływujące a kosrukcję. W uproszczoym modelu wpływ e sprowadza się do działaia momeów gących lub sił rozłożoych a krawędziach elemeu piezoelekryczego. Zasosowaie dysrybucji δ Diraca i jej pochodej skukuje aaliyczym zapisem obciążeia i wprowadza ieregularości do rozwiązaia zadaia drgań wymuszoych układu ciągłego. Jeżeli rozważać p. płyę prosokąą o długości a i szerokości b z parą akuaorów piezoelekryczych idealie przyklejoych do obu powierzchi przeciwie spolaryzowaych w kszałcie rombu o wierzchołkach w środkach krawędzi płyy o momey pochodzeia elekryczego mają asępującą posać M el = el M y = C() [ H ( y b / + b / a) H ( y 3b / + b / a) ] [ H ( y + b / b / a) H ( y b / b / a) ] gdzie ( ) H jes fukcją Heaviside a a sała C jes zaą fukcją czasu zależą od przyłożoego apięcia do powierzchi akuaorów geomerii i sałych mechaiczych płyy i akuaorów. Jeżeli apięcie jes geerowae w pęli sprzężeia zwroego o C jes ()

3 fukcjoałem pola odkszałceń i pola prędkości odkszałceń płyy [3 4]. W rówaiu dyamiki płyy pojawiają się zaem ieregulare składiki a rówaie o ma posać 43 el el ρaw TT + EJW XXXX + M + M y yy = () W odpowiadającym rówaiu () słabym (wariacyjym) sformułowaiu rówaia dyamiki płyy ie wysępują wyższe pochode przemieszczeń i ie pojawiają się składiki ieregulare []. Celem iiejszego arykułu jes zbadaie sabilości sochasyczej rówań dyamiki belki w słabym sformułowaiu i wyprowadzeie dosaeczych waruków prawie pewej saeczości sochasyczej.. Sile i słabe sformułowaie rówań drgań poprzeczych belki Rozparujemy belkę jedorodą o długości L poddaą działaiu osiowej siły o składowych sałej i zależej od czasu. Belka może wykoywać ruch w jedej płaszczyźie łumioy arciem wiskoyczym a przemieszczeie poprzecze W spełia asępujące rówaie ρ AW + hw + EJW + F + F T W = X L (3) [ ( )] ( ) TT T XXXX XX Przechodząc do współrzędych bezwymiarowych = X/L w = W/L = T/k rówaie drgań poprzeczych belki ma posać w + βw + w + [ f + f ( ) ] w = ( ) (4) gdzie β = 4 ( ) = F( k ) L EJ 4 4 hk / ρ A k = ρ AL / EJ f = F L / EJ f / Rówaia () (4) są rówaiami silymi gdyż wymagae jes isieie czwarej pochodej cząskowej przemieszczeia belki. Poado ależy je uzupełić warukami brzegowymi. Rozwiązaie rówaia belki o końcach swobodie podparych i końcach szywo uwierdzoych mają odpowiedio posać w( ) = w( ) = (5) w = w = ( ) ( ) ( ) = w( ) = ( ) = w ( ) = w w Celem rozważań jes aaliza saeczości rozwiązaia rywialego (sau rówowagi) belki. Badaa będzie możliwość uray saeczości wyikającej z drgań parameryczych o arasającej ampliudzie. Rezulaem pracy jes wyzaczeie waruków dosaeczych sabilości prosoliiowej posaci belki. W celu wyprowadzeia słabej posaci rówaia dyamiki belki ależy skorzysać z zasady Hamiloa. Fukcjoał działaia belki poddaej działaiu osiowej siły f z pomiięciem łumieia ma posać A( w) = ( ) w w + f w dd (7) (6)

4 44 Waruek zerowaia się wariacji fukcjoału działaia d d [ A( w + εφ )] = ε= ε prowadzi do asępującej rówości spełioej dla dowolej fukcji Φ spełiającej podsawowe waruki brzegowe w w fw d Φ Φ+ Φ Φ = (9) Uwzględiając arcie wiskoycze oraz zmieą składową obciążeia jako siły zewęrze słaba posać rówaia dyamiki belki ma posać Φ ( ) ( w w ) w f f () w d () +β Φ+ Φ + Φ = W rówaiu () ie wysępuje czwara pochoda cząskowa ugięcia. Zaem rozwiązaie rówaia słabego (wariacyjego) jes miej gładkie. Jeżeli dodakowo założy się że isieje czwara pochoda cząskowa o dwukroe całkowaie przez części prowadzi do silego sformułowaia (4). (8) 3. Defiicja i aaliza saeczości drgań poprzeczych belki Przed przysąpieiem do badaia saeczości rozwiązaia rywialego w ( ) = = w = ależy wprowadzić miarę odległości (ormę merykę) rozwiązaia ( ) rówaia () od rozwiązaia rywialego ozaczoą przez.. W iiejszym arykule miara a będzie związaa z dodaio określoym fukcjoałem. Należy rówież sprecyzować pojęcie saeczości dyamiczej. Jeżeli składowa zmiea siły osiowej jes losową fukcją czasu wprowadzamy pojęcie prawie pewej saeczości [] kóra zachodzi gdy P lim u(. ) = () gdzie u = col {w w } jes macierzą kolumową zależą od przemieszczeia i prędkości belki. Pojęcie prawie pewej saeczości dyamiczej adaje się do zasosowaia w rówaiach sochasyczych ze współczyikami będącymi procesami realizowalymi fizyczie j. procesami o skończoej wariacji. Zaem siła osiowa ie może być przyjęa w posaci zw. białego szumu kiedy o dyamika belki powia być opisaa rówaiem ewolucyjym Iô. W układach liiowych zachodzi rówoważość przyjęej defiicji z defiicją klasyczą sabilości ruchu w sesie Lapuowa. W celu zbadaia saeczości przyjmujemy za Koziem [] eergopodoby fukcjoał jako fukcjoał Lapuowa V() = ( w +β w) +β w + w f w d o () Jeżeli = β fukcjoał () jes pełą eergią układu. Przy sałej składowej siły osiowej f miejszej od siły kryyczej Eulera fukcjoał jes dodaio określoy a miarę odległości

5 45 rozwiązaia zaburzoego od prosoliiowego sau rówowagi określimy w asępujący sposób w. = (3) ( ) V Z racji przyjęych założeń o właściwościach współczyików rówaia ruchu pochodą fukcjoału () względem czasu obliczamy w klasyczy sposób = ( w w) w w ww w w fow w d d +β +β + β + (4) Słabe rówaie () dyamiki belki zachodzi dla każdej fukcji Φ spełiającej podsawowe waruki brzegowe. Zaem jes rówież spełioe dla Φ = βw i prawdziwa jes pierwsza ożsamość w w ww w fo w f () w β + β +β β β d = (5) Podobie podsawieie Φ = w prowadzi do drugiej ożsamości w w w w w fow w f () w w +β + d = (6) W celu przekszałceia pochodej (4) odejmujemy lewe sroy ożsamości (5) i (6) orzymując po przekszałceiach algebraiczych = β β +β + +β d w w fow f ()( w w ) w d (7) Aby orzymać góre oszacowaie pochodej fukcjoału przekszałcamy ją do posaci = βv + U (8) d gdzie pomociczy fukcjoał U ma posać 3 U = w ww fow f ()( w w ) w d β + β +β + +β (9) Poszukujemy losowej fukcji czasu λ ( ) spełiającej ierówość lub w posaci jawej λ V U () 3 λ ( w +β w) +β w + w fow β w + ()( ) β β +β ww fow f w w w d Podsawieie ierówości () do rówaia (8) daje ierówość różiczkową pierwszego rzędu względem fukcjoału V () ( β λ)v () d

6 46 Rozwiązaie ierówości różiczkowej () przedsawia wzór Zaem jeżeli o V () V ( ep ) β λ( τ) dτ β lim λ τ τ lim u. (3) ( ) d (4) ( ) = Tym samym zachodzi wówczas prawie pewa saeczość prosoliiowego sau belki. Uśrediaie po czasie w ierówości (4) moża zasąpić uśrediaiem po przesrzei probabilisyczej jeżeli siła osiowa jes procesem sacjoarym i ergodyczym. Podsawowa ierówość (4) może być zapisaa jako [ λ( τ) ] (5) β E (6) 4. Wyzaczeie fukcji λ Jeżeli belka jes swobodie podpara o rozwiązaie rówaia moża przedsawić w posaci ieskończoego szeregu ( ) w ( ) si π w = Podobie ugięcie belki obusroie uwierdzoej dae jes wzorem = ( ) w () ξ ( ) = w ()( [ si β si hβ ) ( cosβ cos hβ ) w = = = ( si β si hβ )( cosβ cos hβ)] (8) gdzie począkowe wyrazy ciągu { β } dae są w abeli. Poado graica moooiczie rosącego ciągu { κ } jes rówa. Tabela Warości włase i sałe wysępujące w związkach (8) i (9) β κ Ławo sprawdzić że posacie włase spełiają asępujący ciąg rówości + (7) ξ ( ) d = κβ ξ ( ) d (9)

7 β 47 ξ ( ) d = ξ( ) d (3) gdzie ciąg { κ } jes day w ab.. Podsawiając szereg (8) do ierówości () i korzysając z orogoalości posaci drgań ξ ( ) = { λ w + λβ β f ( ) + κ ( κ β ) w+ 3 [ λβ β + ( λβ / κ λf βf () ) κ β ] w } Nierówość (3) będzie spełioa jeżeli wszyskie składiki sumy są dodaie czyli gdy dla każdego współczyiki formy kwadraowej względem w i w spełiają ierówość β λ w ( λ β) f ( ) κ β ( λ β) f ( ) κ β / β ( λ β) λβ / κ λf βf ( ) β / ( ) κ β Zaem rozwiązując ierówość kwadraową względem fukcji λ mamy lub gdy belka jes swobodie podpara λ / () / [ β κ ( β / κ f ) + β ] > (3) (3) = β + κβ f (33) λ / () / [ π ( π f ) + β ] = β + π f (34) Zaem a podsawie ierówości (6) warukiem wysarczającym prawie pewej saeczości prosoliiowej belki w słabym sformułowaiu jes ierówość β E ma λ() Arykuł przygoowao w ramach Badań Własych Poliechiki Warszawskiej Nr 53/G/5/7. Lieraura [] B a k s H.T. F a g W. S i l c o R.J. S m i h R.C. Approimaio mehods for corol of srucural acousics models wih piezoelecric acuaors Joural of Iellige Maerial Sysems ad Srucures Vol [] K o z i F. Sabiliy of he liear sochasic sysem Lecure Noes i Mahemaics Vol [3] Tylikowski A. Hearski R.B. Thermally iduced isabiliy of lamiaed beams ad plaes ASME J. Appl. Mech. Vol [4] Tylikowski A. Sabilizaio of plae parameric vibraios via disribued corol J. Theor. Appl. Mech. Vol