Szacowanie składki w ubezpieczeniu od ryzyka niesamodzielności

Transkrypt

1 Skłaki w ubezpieczeiu o ryzyka iesamozielości EDYTA SIDOR-BANASZEK Szacowaie skłaki w ubezpieczeiu o ryzyka iesamozielości Kalkulacja skłaki w ubezpieczeiach jes barzo ważym zagaieiem związaym z maemayką akuarialą, jak rówież z samą ziałalością ubezpieczeiową. Celem pracy jes oszacowaie roczej skłaki eo w ubezpieczeiu o ryzyka iesamozielości. W arykule opisaa zosała meoa Reea i Merrell o wyzaczeia prawopoobieńswa przejść w rozważaym moelu ubezpieczeia. Kolejym krokiem było obliczeie prawopoobieńsw przejść la rzysaowego moelu z wykorzysaiem aych empiryczych z baaia PolSeior. Nasępie okoao przykłaowych kalkulacji roczych skłaek eo w powyższym ubezpieczeiu. Słowa kluczowe: ubezpieczeie o ryzyka iesamozielości, posawowe czyości życia cozieego (ADL), meoa Reea i Merrell, prawopoobieńswo przejść mięzy saami. Wprowazeie W coraz szybszym empie rośie liczba osób w poeszłym wieku. Wzrasa oseek osób powyżej 65. roku życia. Obserwujemy rówież zw. powóje sarzeie się luości. Wyłuża się przecięe alsze rwaie życia, w kosekwecji wzrasa liczba osób w wieku 8 i więcej la mających ruości w wykoywaiu czyości życia cozieego (ADL, Aciviy of Daily Livig). Kosekwecją ych zmia jes i bęzie coraz większe zaporzebowaie a opiekę ługoermiową la osób w poeszłym wieku. W Polsce ajwiększą rolę w opiece a osobą iesamozielą ogrywa rozia, a w iewielkim sopiu isyucje publicze. W związku ze spakiem zieości i zmiaą srukury roziy jej rola w opiece a osobą iesamozielą bęzie sopiowo maleć. Zaem iezbęe saje się szukaie aleraywych rozwiązań, p. w posaci spójego i kompleksowego sysemu opieki a osobami iesamozielymi, ale rówież ależy zasaowić się a rozważeiem obrowolego ubezpieczeia o ryzyka iesamozielości. Celem pracy jes przesawieie meoy Reea i Merrell o wyzaczaia prawopoobieńswa przejść w moelu ubezpieczeia o ryzyka iesamozielości. Nasępie wyzaczeie ych prawopoobieńsw la rzysaowego moelu z wykorzysaiem aych empiryczych z projeku PolSeior. Kolejym krokiem jes oszacowaie roczej skłaki eo w rozważaym ubezpieczeiu. 29

2 Wiaomości Ubezpieczeiowe 2/ Charakerysyka meoy Reea i Merrell Meoa Reea i Merrell o jea z posawowych meo obliczaia skrócoych ablic wymieralości. Zosała oa zapropoowaa przez amerykańskich emografów: Lowella J. Reea oraz Margare Merrell w 1939 roku. Auorzy zaobserwowali wysokie skorelowaie mięzy ceralym współczyikiem zgoów weług wieku i prawopoobieńswem zgou w przeziale wieku a + oraz wykazali, że q a się wyrazić w zależości o m. Jeśli przesawimy współczyik zgou weług wieku oraz prawopoobieńswo zgou jako fukcję liczby ożywających l 1 : l l l m = = (1) + + L l l l + q = (2) l oraz założymy, że rówaie la l jes zae, o możemy sprecyzować fukcję określającą zależość mięzy wiema wielkościami. Załóżmy, że l jes fukcją liiową w przeziale wieku o o +. Są orzymamy asępującą relację 2 : 2 m q =. (3) 2 + m Jeśli aomias założymy, że l jes fukcją wykłaiczą w aym przeziale wieku, o zależość mięzy prawopoobieńswem zgou a ceralym współczyikiem zgou wyraża rówaie 3 : ( ) q = 1 ep m. (4) Fukcje (3) i (4) mają pooby przebieg. Jeak Ree i Merrell zaobserwowali pewe ich ieopasowaie o aych empiryczych la wyższych przeziałów wieku i zapropoowali fukcję, kóra lepiej pasuje o zaobserwowaej zależości w całym zakresie wieku 4 : 3 2 q 1 ep( m a m) =. (5) gzie a jes sałą obieraą arbiralie. Zauważyli rówież, że la warości sałej a =,8 orzymujemy akcepowale wyiki la każego wieku powyżej ziecięcego 5. Zaem orzymujemy 6 : 1. A. Balicki, Aaliza przeżycia i ablice wymieralości, Polskie Wyawicwo Ekoomicze, Warszawa 26, s Ibiem, s Ibiem, s H.S. Shryock, J.S. Siegel i i., The Mehos a Maerials of Demography, U.S. Bureau of he Cesus, Washigo 198, s A. Balicki, Aaliza, op. ci., s Ibiem, s

3 Skłaki w ubezpieczeiu o ryzyka iesamozielości 3 2 ( ) q = 1 ep m,8 m. (6) Jeśli = 5, mamy: ( ) q = 1 ep m (5 + m ). (7) Sosując formułę Reea i Merrell prawopoobieńswo oblicza się o wieku 85 la. Dla grup w wieku oraz 9 94 przyjmuje się asępujące zależości 7 : m = m, (8) m = m 1 ( m m ). (9) Liczbę ożywających oraz liczbę zgoów w przeziale wieku a + obliczamy, korzysając ze saarowych wzorów: oraz ( 1 ) l+ = q l (1) = l l +. (11) Wyzaczeie alszych fukcji wymaga zasosowaia specjalych wzorów. Wielkość T czyli łączy fuusz alszego rwaia życia la okresów 5-leich, oblicza się ze wzoru 8 : T =,2833l + 2,5l +,2833l + 5 l α, (12) α= 1 aomias la 1-leich ablic rwaia życia T przyjmuje posać 9 : T = 4,16667l +,83333l + 1 l. (13) α α= 1 Łączy fuusz alszego rwaia życia służy o określeia przecięego alszego rwaia życia osób e, kóre osiągęły wiek la. Zaem: T e =. (14) l 7. J. Beekma, Acive life epecacies a heir acuarial uses, Acuarial Research Clearig Houses, 1988, s H.S. Shryock, J.S. Siegel i i., The Mehos, op. ci., s Ibiem, s

4 Wiaomości Ubezpieczeiowe 2/ Moel ubezpieczeia o ryzyka iesamozielości Rozparzmy rzysaowy moel i ozaczmy: 1 ubezpieczoy jes zrowy i samoziely, 2 ubezpieczoy umarł, 3 ubezpieczoy jes iesamoziely. Rysuek 1. Trzysaowy moel ubezpieczeia o ryzyka iesamozielości Źróło: opracowaie a posawie: S. Haberma, E. Piacco, Acuarial moels for isabiliy isurace, Chapma & Hall/CRC, New York Przyjmijmy asępujące ozaczeia 1 : q prawopoobieńswo zgou lub uray pełej zolości wykoywaia cozieych czyości w przeziale wieku [, + ], q prawopoobieńswo zgou w przeziale wieku [, + ], q prawopoobieńswo uray pełej zolości wykoywaia czyości życia cozieego w przeziale wieku [, + ]. Są zachozi relacja: l q = q q. (15) Niech: liczba osób ożywających i w pełej zolości wykoywaia cozieych czyości w wieku la, liczba osób, kóre uraciły pełą zolość wykoywaia czyości życia cozieego lub zmarły w przeziale wieku [, + ]: = l l +, (16) L śreia liczba ożywających i w pełej zolości wykoywaia cozieych czyości w przeziale wieku [, + ]: L = ( l + l + ). (17) 2 1. J. Beekma, Acive, op. ci. 32

5 Skłaki w ubezpieczeiu o ryzyka iesamozielości Weług meoy Reea i Merrell prawopoobieńswo zgou lub uray pełej zolości wykoywaia cozieych czyości w przeziale wieku [, + 5] wyosi: ( (5 ) q = 1 ep m + m ), (18) gzie 5 m ozacza ceraly współczyik zgou lub uray pełej zolości wykoywaia cozieych czyości w przeziale wieku [, + 5]. Są prawopoobieńswo zachowaia pełej zolości wykoywaia cozieych czyości przyjmują posać 11 : p = 1 q, (19) 5 5 p = p p +, (2) p = p p p, la k = 3, 4, 5 (21) 5k k q = q q. (22) Szacowaie roczej skłaki eo w ubezpieczeiu o ryzyka iesamozielości 3.1. Aaliza aych z baaia PolSeior Do ocey sau fukcjoalego zasosowao skalę Kaza jes o skala sosowaa o ocey ADL posawowych czyości życia cozieego (mycie, jezeie, poruszaie się, korolowaie porzeb fizjologiczych, samozielość korzysaia z oaley). Do obliczeń wyorębioo wie grupy: samozieli (6 5 pk); iesamozieli (4 pk). Tabela 1. Ocea posawowych czyości życia cozieego weług skali Kaza (ADL) ogółem w % Grupa wiekowa samozieli iesamozieli Ogółem 65 i więcej 93,1 6, la 99,9, laa 98,9 1, la 97,2 2, laa 94,1 5, la 88,3 11,7 9 la 79,1 2,9 Źróło: opracowaie a posawie baaia PolSeior J. Beekma, A aleraive premium calculaio meho for cerai log-erm care coverages, Acuarial Research Clearig Houses, 199, s Projek PolSeior, Aspeky meycze, psychologicze, socjologicze i ekoomicze sarzeia się luości Polski, re. Mossakowska M., Więcek A., Błęowski P., Pozań

6 Wiaomości Ubezpieczeiowe 2/214 Rysuek 2. Oseek osób iesamozielych ogółem weług wieku iesamozieli [%] wiek Źróło: opracowaie włase a posawie aych z baaia PolSeior. Tabela 2. Ocea posawowych czyości życia cozieego weług skali Kaza (ADL) w grupie kobie w % Grupa wiekowa samozielie iesamozielie Ogółem 65 i więcej 92,3 7, la laa 99,5, la 98,5 1, laa 93,4 6, la 86,5 13,3 9 la 74,4 25,6 Źróło: opracowaie a posawie baaia PolSeior. Tabela 3. ocea posawowych czyości życia cozieego weług skali Kaza (ADL) w grupie mężczyz w % Grupa wiekowa samozieli iesamozieli Ogółem 65 i więcej 93,9 6, la 99,7, laa 98,3 1, la 96,1 3, laa 94,7 5, la 89,7 1,3 9 la 84, 16, Źróło: opracowaie a posawie baaia PolSeior. Rysuek 3. Oseek osób iesamozielych weług wieku i płci 3 iesamozieli [%] mężczyźi kobiey Źróło: opracowaie włase a posawie aych z projeku PolSeior. 34

7 Skłaki w ubezpieczeiu o ryzyka iesamozielości Oseek osób iesamozielych ogółem rósł wraz z wiekiem o,1 proc. w grupie la o 2,9 proc. w ajsarszej grupie wiekowej. Poobą eecję ooowao w grupie kobie i mężczyz, przy czym pogorszeie sau było barziej asiloe wśró kobie iż mężczyz, co ilusruje rysuek Prawopoobieńswa przejść Wyzaczając prawopoobieńswa przejść mięzy saami, wykorzysao ae z baaia PolSeior 13 oraz ae oyczące prawopoobieńswa zgou weług skrócoych ablic rwaia życia la kobie i mężczyz w 212. Wyiki przesawioo w abelach o 4 o 7. Tabela 4. Prawopoobieńswo zgou lub uray pełej zolości wykoywaia cozieych czyości Przeział wieku [, + 5] 65 69, , , , ,82 9 1, Źróło: opracowaie włase. Tabela 5. Prawopoobieńswo zgou w przeziale wieku [, + 5] Przeział wieku [, + 5] 65 69,9 7 74, , , ,46 9 1, Źróło: opracowaie włase. Korzysając ze wzoru q = q q, orzymujemy prawopoobieńswa uray pełej zolości wykoywaia cozieych czyości weług skali Kaza. Wyiki przesawioe zosały w abeli 6. Tabela 6. Prawopoobieńswo uray pełej zolości wykoywaia cozieych czyości Przeział wieku [, + 5] 65 69,1 7 74, , , ,16 9, Źróło: opracowaie włase. 13. Ibiem, s

8 Wiaomości Ubezpieczeiowe 2/214 Naomias obliczając prawopoobieńswa zachowaia pełej zolości wykoywaia cozieych czyości życia cozieego ADL, korzysamy z asępujących formuł: p = 1 q, 5 5 p = p p +, p = p p p, la k = 3, 4. 5k k Wyzaczoe prawopoobieńswa zosały umieszczoe w abeli 7, la k = 1, 2, 3, 4. Tabela 7. Prawopoobieńswo zachowaia pełej zolości wykoywaia cozieych czyości 5k p k\ ,81,72,69,51 2,58,5,33,14 3,4,25,1, 4,19,7,, Źróło: opracowaie włase Szacowaie roczej skłaki eo w ubezpieczeiu o ryzyka iesamozielości przykłay Rozważmy ubezpieczeie o ryzyka iesamozielości la osoby w wieku la, z kórego orzymamy miesięczą reę o momeu przejścia ze sau zrowy i samoziely o sau iesamoziely oraz oakowe jeorazowe świaczeie płae a koiec roku, w kórym asąpiła śmierć, jeżeli ubezpieczoy zmarł w ciągu roku w wiek [+, ++1]. Niech 1 q = q + q = ( ), (24) gzie: q prawopoobieńswo uray pełej zolości wykoywaia czyości życia cozieego w przeziale wieku [+, ++1], q prawopoobieńswo zgou w przeziale wieku [+, ++1]. Wówczas warość obeca przyszłych skłaek i świaczeń wyraża się wzorem: zaem skłaka eo ma posać: + 1 (12) + 1 = = = =, (24) P v p v p q B a v q P + 1 (12) + 1 v 1 1 pq + B+ + a v q = = + p = = 36. (25) W związku z ograiczoym osępem o aych saysyczych rozważae poiżej przykłay oyczą oszacowaia skłaki eo la ubezpieczeia o ryzyka iesamozielości la osób powyżej 65. roku życia. Maksymaly okres ubezpieczeia o 3 la.

9 Skłaki w ubezpieczeiu o ryzyka iesamozielości Przykła 1. Rozważmy ubezpieczeie o ryzyka iesamozielości la osoby 65-leiej. Przyjmijmy miesięczą reę w wysokości 8 zł orzymywaą w momecie uray pełej zolości wykoywaia cozieych czyości, oakowe jeorazowe świaczeie płae a koiec roku, w kórym asąpiła śmierć ubezpieczoego, w kwocie 2 zł, oraz sopę proceową rówą i =,5. Uwzglęiając wyzaczoe prawopoobieńswa w abelach 4 7 oraz okoując ierpolacji.. liiowej q l i, orzymujemy: (12) p65q65 + a = 1,5625, = 29 p65 = 6,23317, = q65 =, = Wówczas rocza skłaka eo la osoby 65-leiej wyosi: P , ,51472 = = 3278,33zł. 6,23317 Tabela 8. Warość roczej skłaki eo la różych warości miesięczych re w ubezpieczeiu o ryzyka iesamozielości la 65-leiej osoby z przykłau 1 Miesięcza rea Źróło: opracowaie włase. Rocza skłaka eo 5 zł 2614,14 zł 1 zł 3576,74 zł 12 zł 3961,77 zł Przykła 2. Rozważmy ubezpieczeie o ryzyka iesamozielości la osoby 7-leiej, kóra bęzie orzymywała miesięczą kwoę w wysokości 1 zł, oraz przyjmijmy sopę proceową rówą i =,5. Zaem wówczas skłaka eo wyosi: P (12) p7q 7+ a = 1,2375, = 7 24 p7 = 6,1453, = 12 1,2375 = = 2387,61 zł. 5,14532 Aalizując powyższe przykłay, moża zauważyć, iż oszacowae rocze skłaki eo są relaywie wysokie w sosuku p. o przecięej emeryury poecjalego ubezpieczoego wypłacaej przez ZUS, kóra w marcu 213 r. wyosiła 197,99 zł, la populacji mężczyz 2329,89 zł, 37

10 Wiaomości Ubezpieczeiowe 2/214 zaś la populacji kobie 162,8 zł. Zaem ależy się zasaowić a rozparzeiem iego ypu ubezpieczeia, p. oakowego ubezpieczeia ołączoego o ubezpieczeia a życie, jak rówież skosruowaiem ubezpieczeia o ryzyka iesamozielości, oferowaego osobom w młoym wieku. Posumowaie Proces sarzeia się oraz progozy emograficze luości Polski jeozaczie wskazują a wzros osób w poeszłym wieku w populacji, przy jeoczesym ogólym spaku liczby luości. Wyłuża się oczekiwae alsze rwaie życia, ale rówocześie wzrasa liczba osób iesprawych w poeszłym wieku, mających ruości w wykoywaiu czyości życia cozieego. Zmieia się srukura i forma roziy: maleje liczba zieci, częściej roziy są iepełe. Zmiay w srukurze emograficzej ozaczają, że rozia w miejszym iż awiej sopiu jes w saie zorgaizować opiekę a osobą iesamozielą. Ryzyko iesamozielości jes większe i powszechiejsze, zwłaszcza w późym wieku. Jak sobie z ym porazić ie obciążając roziy i bliskich? Zasae saje się rozważeie obrowolego ubezpieczeia o ryzyka iesamozielości, kóre w jakiejś części pokryje porzeby osób sarszych w zakresie opieki ługoermiowej. Kosrukcja ubezpieczeia o ryzyka iesamozielości z wykorzysaiem meoy Reea i Merrell o szacowaia prawopoobieńsw przejść mięzy saami oraz buowa rzysaowego moelu akuarialego jes wsępem o alszej pracy i kosrukcji barziej złożoych moeli. Wykaz źróeł Balicki A., Aaliza przeżycia i ablice wymieralości, Polskie Wyawicwo Ekoomicze, Warszawa 26. Balzi D., Laureai F., Barchielli A., Ferrucci L., Baielli S., Buiai E., Milaeschi Y., Guralik J., Risk facor for isabiliy i oler persos over 3-year follow-up, Age a Ageig 21 r 39, s Beekma J., Acive life epecacies a heir acuarial uses, Acuarial Research Clearig House, Beekma J., A aleraive premium calculaio meho for cerai log-erm care coverages, Acuarial Research Clearig House, 199 Beekma J., Frye W., Projecios of acive life epecacies, Acuarial Research Clearig House, 1991 Vol. 2. Kaz S., Brach L., Braso M., Papsiero J., Beck J., Greer D., Acive life epecacy, The New Egla Joural of Meicie, 1983 r 17. Haberma S., Piacco E., Acuarial moels for isabiliy isurace, Chapma & Hall/CRC, New York Projek PolSeior, Aspeky meycze, psychologicze, socjologicze i ekoomicze sarzeia się luości Polski, re. Mossakowska M., Więcek A., Błęowski P., Pozań 212. Shryock H.S., Siegel J.S. i i., The Mehos a Maerials of Demography, U.S. Bureau of he Cesus, Washigo

11 Skłaki w ubezpieczeiu o ryzyka iesamozielości Ne premium calculaio i a sa-aloe policy The calculaio of e premium is he mai acuarial problem i isurace busiess. The aim of he aricle is o prese e aual premium calculaio i a sa-aloe policy. This paper shows a moel for sa-aloe policy i log erm care isurace. We cosier he Ree-Merrell meho o calculaio rasiio probabiliies bewee hree saes: acive, isable a ea a we use PolSeior s research. The research resuls eable performig he eample calculaios of e aual premium i a sa-aloe policy. Key wors: sa-aloe policy, Aciviy of Daily Livig, The Ree-Merrell meho, rasiio probabiliies. mgr iż. eya SIDor-BANASZEK Kaera Maemayki Sosowaej, Uiwersye Ekoomiczy w Pozaiu. 39