EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-RAP-06 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 0 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy zawiera 4 stro (zadaia ). Ewetualy brak zgłoś przewodiczącemu zespołu adzorującego egzami.. Rozwiązaia zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu a to przezaczoym.. W rozwiązaiach zadań przedstaw tok rozumowaia prowadzący do ostateczego wyiku. 4. Pisz czytelie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarym tuszem/atrametem.. Nie używaj korektora, a błęde zapisy przekreśl. 6. Pamiętaj, że zapisy w brudopisie ie podlegają oceie. 7. Obok każdego zadaia podaa jest maksymala liczba puktów, którą możesz uzyskać za jego poprawe rozwiązaie. 8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematyczych, cyrkla i liijki oraz kalkulatora. 9. Wypełij tę część karty odpowiedzi, którą koduje zdający. Nie wpisuj żadych zaków w części przezaczoej dla egzamiatora. 0. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzeia i PESEL. Zamaluj pola odpowiadające cyfrom umeru PESEL. Błęde zazaczeie otocz kółkiem i zazacz właściwe. Życzymy powodzeia! ARKUSZ II MAJ ROK 006 Za rozwiązaie wszystkich zadań moża otrzymać łączie 0 puktów Wypełia zdający przed rozpoczęciem pracy PESEL ZDAJĄCEGO KOD ZDAJĄCEGO

2 Egzami maturaly z matematyki Zadaie. ( pkt) Korzystając z zasady idukcji matematyczej wykaż, że dla każdej liczby aturalej prawdziwy jest wzór: (!) + 4 (! ) + + ( + )(! ) = ( +! ). Sprawdzam, czy wzór jest prawdziwy dla = : L =! P = (! ) L = P Założeie idukcyje: ( ) ( ) (!) + 4! ( + )(!) = +! Teza: dla. ( ) [ ] [ ] (!) + 4! ( + )(!) + ( + )( + ) ( + )! = ( + )! Dowód: Korzystam z założeia idukcyjego i otrzymuję [( )! ] ( )( ) [( )! ] L= = [ ] [ ] = ( + )! + ( + )( + ) ( + )!. Wyłączam z pierwszych dwóch składików wyrażeia wspóly czyik [( + )! ] przed awias: [ ] [ ] [ ] ( ) L= ( + )! + ( + )( + ) = ( + )! = [ ] ( ) = ( + )! +. Korzystam z rówości : ( + )!( + ) = ( + )! i otrzymuję [ ] [ ] L = ( + )!( + ) = ( + )! = P. wiosek: Z zasady idukcji matematyczej wyika, że wzór jest prawdziwy dla każdej liczby aturalej. Wypełia egzamiator! Nr czyości Maks. liczba pkt Uzyskaa liczba pkt

3 Egzami maturaly z matematyki Zadaie. ( pkt) + 6 dla każdej liczby aturalej. 0( ) a. b) Oblicz lim a. c) Podaj ajwiększą liczbę a i ajmiejszą liczbę b takie, że dla każdego spełioy jest waruek a a b. Day jest ciąg ( a ), gdzie a = + a) Zbadaj mootoiczość ciągu ( ) a) Aby określić mootoiczość ciągu obliczam różicę a+ a. a a = = + 0( + ) 0( + ) ( + )( + ) ( + 6)( + ) 0( + )( + ) = = = = 0( + )( + ) = 0 ( + )( + ) 0 ( + )( + ) < 0 dla każdej liczby aturalej, zatem ciąg jest malejący. b) lim = lim = lim = 0( + ) c) Ciąg jest malejący, więc ajmiejszą liczbą, która spełia ierówość a jest pierwszy wyraz tego ciągu, czyli spełiającą ierówość b =, atomiast ajwiększą liczbą 0 a a jest graica tego ciągu, czyli a =. b Nr czyości Wypełia Maks. liczba pkt

4 4 Egzami maturaly z matematyki Zadaie 4. (4 pkt) a) Naszkicuj wykres fukcji y = si x w przedziale < π, π >. si x b) Naszkicuj wykres fukcji y = w przedziale < π, π > si x si x i zapisz, dla których liczb z tego przedziału spełioa jest ierówość < 0. si x a) y 6 4 -π -π π π - x b) Wyzaczam dziedzię fukcji six 0 dla k x π. Przekształcam wzór fukcji: six dla six > 0 y = = six dla six < 0 six y = : six

5 Egzami maturaly z matematyki π π π π dla x π, π, 0, π, y = π π π π dla x, π, 0, π, π y 4 -π -π/ -π -π/ π/ π π/ π x Odp.: Rozwiązaiem ierówości si x 0 six < π π π π jest zbiór:, π,0, π,π. Nr czyości Wypełia Maks. liczba pkt

6 6 Egzami maturaly z matematyki Zadaie. (4 pkt) Ucziowie dojeżdżający do szkoły zaobserwowali, że spóźieie autobusu zależy od tego, który z trzech kierowców prowadzi autobus. Przeprowadzili badaia statystycze i obliczyli, że w przypadku, gdy autobus prowadzi kierowca A, spóźieie zdarza się w % jego kursów, gdy prowadzi kierowca B w 0% jego kursów, a gdy prowadzi kierowca C w 0% jego kursów. W ciągu -diowego tygodia auki dwa razy prowadzi autobus kierowca A, dwa razy kierowca B i jede raz kierowca C. Oblicz prawdopodobieństwo spóźieia się szkolego autobusu w losowo wybray dzień auki. Wprowadzam astępujące ozaczeia zdarzeń: A - autobus prowadzi kierowca A, B - autobus prowadzi kierowca B, C - autobus prowadzi kierowca C, S - autobus szkoly spóźia się, M - autobus przyjeżdża puktualie. Zdarzeia A, B, C spełiają założeia twierdzeia o prawdopodobieństwie całkowitym, więc: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P S = P S A P A + P S B P B + P S C P C. A B C S M S M S M Obliczam prawdopodobieństwo: PS ( ) = + + =. 0 Nr czyości Wypełia Maks. liczba pkt

7 Egzami maturaly z matematyki 7 Zadaie 6. ( pkt) Obiekty A i B leżą po dwóch stroach jeziora. W tereie dokoao pomiarów odpowiedich kątów i ich wyiki przedstawioo a rysuku. Odległość między obiektami B i C jest rówa 400 m. Oblicz odległość w liii prostej między obiektami A i B i podaj wyik, zaokrąglając go do jedego metra. CAB = 0, poieważ suma kątów w trójkącie jest rówa 80. Do wyzaczeia szukaej odległości stosuję twierdzeie siusów: AB 400 = si0 si 0. Obliczam odległość obiektu A od obiektu B: AB = ,8 si 0 0,4 Odp.: Odległość obiektów w liii prostej jest rówa 8 metrów. Nr czyości Wypełia Maks. liczba pkt

8 8 Egzami maturaly z matematyki Zadaie 7. (6 pkt) Na okręgu o promieiu r opisao trapez róworamiey ABCD o dłuższej podstawie AB CS i krótszej CD. Pukt styczości S dzieli ramię BC tak, że SB =. a) Wyzacz długość ramieia tego trapezu. b) Oblicz cosius CBD. D E C S O A G F B Przyjmuję ozaczeia jak a rysuku. a) Wykorzystując proporcję CS SB = wprowadzam ozaczeia: CS = x, SB = x, stąd BC = x+ x= 7x. ΔOSC Δ OEC więc EC = CS = x. DC = 4x - z własości trapezu róworamieego. Korzystając z własości czworokąta opisaego a okręgu otrzymuję: AB + CD = BC = 4x, stąd AB = 0x. Z własości trapezu róworamieego wyika, że FB = x. Z twierdzeia Pitagorasa dla ΔFBC otrzymuję: CF FB CB + =, czyli ( r) ( x) ( 7x) + =, r = 0x, stąd 0 x = r, 0 więc BC 7 0 = r, 0 DC 4 0 = r. 0

9 Egzami maturaly z matematyki 9 b) Wyzaczam długość przekątej BD z trójkąta prostokątego BDG, w którym GB 7 0 = r : 0 GB + GD = DB, 490 r 490 r r 890 DB = + 4r =, stąd BD = r Stosując twierdzeie cosiusów w trójkącie BCD otrzymuję: DC = BC + DB BC DB cos CBD, r = r + r r r cos CBD Odp.: 6 89 cos CBD =. 6 Nr czyości Wypełia Maks. liczba pkt

10 0 Egzami maturaly z matematyki Zadaie 8. (7 pkt) Wśród wszystkich graiastosłupów prawidłowych trójkątych o objętości rówej m istieje taki, którego pole powierzchi całkowitej jest ajmiejsze. Wyzacz długości krawędzi tego graiastosłupa. Wprowadzam astępujące ozaczeia: a długość krawędzi podstawy, h wysokość graiastosłupa. Dla tak wprowadzoych ozaczeń wzory a objętość i pole powierzchi całkowitej graiastosłupa są astępujące: V a = h, 4 a P= + ah. a 8 Z rówaia h = wyzaczam iewiadomą h: h =. 4 a Po podstawieiu h do wzoru a pole powierzchi całkowitej graiastosłupa otrzymuję fukcję: a 8 a Pa ( ) = + a = = a + a a a, ( 0, ) 8 Obliczam pochodą fukcji: ( ) a P a =, a ( 0, ). a Dla a = pochoda fukcji przyjmuje wartość 0. a. P ( a) 0 dla a (0, i P ( a) 0 dla a, ), więc w pukcie a = fukcja P osiąga miimum i jedocześie wartość ajmiejszą, bo fukcja P w przedziale (0, jest malejąca i w przedziale, ) jest rosąca. Dla a = wysokość h =. Odp.: Wymiary graiastosłupa o objętości całkowitej jest ajmiejsze są astępujące: a= m, m, dla którego pole powierzchi h= m. Nr czyości Wypełia Maks. liczba pkt

11 Egzami maturaly z matematyki Zadaie 9. (7 pkt) Nieskończoy ciąg geometryczy ( a ) jest zdefiioway wzorem rekurecyjym: a =, a + = a log ( k ), dla każdej liczby aturalej. Wszystkie wyrazy tego ciągu są róże od zera. Wyzacz wszystkie wartości parametru k, dla których istieje suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu ( a ). Wyrażeie: log ( ) k jest określoe, gdy k > 0 k >. Z defiicji ciągu geometryczego wyika, że iloraz q log ( k ) ( k ) q 0 log 0 czyli k. =. Aby istiała suma wszystkich wyrazów daego ciągu geometryczego, iloraz ciągu musi spełiać waruek q ( k ) < log <. log k <, Rozwiązuję ierówość: ( ) log ( k ) > i ( ) log k < ( k ) > i ( ) log log k > i k < k > i k < 4 log k < log Rozwiązaiem ierówości są liczby rzeczywiste ależące do przedziału,4. Odp.: Suma wszystkich wyrazów daego ciągu o wszystkich wyrazach różych,,4 od zera istieje dla k ( ). Nr czyości Wypełia Maks. liczba pkt

12 Egzami maturaly z matematyki Zadaie 0. (4 pkt) + x x Dae są fukcje ( ) x f x = x i gx ( ) =. 9 Oblicz, dla których argumetów x wartości fukcji f są większe od wartości fukcji g. Waruki zadaia są rówoważe ierówości: x x 4x + 6x 4 >. Rozwiązuję ierówość: x > 9 x ( ) x x+ x x x x+ > x x 4 x + 6 x 4 > Korzystając z mootoiczości fukcji wykładiczej otrzymuję ierówość rówoważą: x x> 4x + 6x 4 x x + 4> 0 Δ= 69, x = = 6, x + = = 4. 6 Odp.: Rozwiązaiem ierówości jest przedział: 4,. Nr czyości Wypełia Maks. liczba pkt

13 Egzami maturaly z matematyki Zadaie. ( pkt) W trakcie badaia przebiegu zmieości fukcji ustaloo, że fukcja f ma astępujące własości: jej dziedzią jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, f jest fukcją ieparzystą, f jest fukcją ciągłą oraz: f ( x) < 0 dla x ( 8, ), f ( x) > 0 dla x (, ), f ( x) < 0 dla x (, 0), f ( ) = f ( ) = 0, f ( 8) = 0, f ( ) =, f ( ) = 0, f ( ) =. W prostokątym układzie współrzędych a płaszczyźie aszkicuj wykres fukcji f w przedziale 8,8, wykorzystując podae powyżej iformacje o jej własościach. y x Nr czyości Wypełia Maks. liczba pkt

14 4 Egzami maturaly z matematyki BRUDNOPIS