PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.

Transkrypt

1 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 06/07 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Zasady oceiaia rozwiązań zadań Copyright by Nowa Era Sp z oo

2 Próby egzami maturaly z Nową Erą Uwaga: Akceptowae są wszystkie odpowiedzi merytoryczie poprawe i spełiające waruki zadaia Zadaie (0 ) Wymagaia ogóle Wymagaia szczegółowe Poprawa odp ( p) II Wykorzystaie i iterpretowaie reprezetacji Liczby rzeczywiste Zdający stosuje w obliczeiach wzór a logarytm potęgi oraz wzór a zamiaę podstawy logarytmu A Zadaie (0 ) II Wykorzystaie i iterpretowaie reprezetacji 5 Ciągi Zdający wyzacza wyrazy ciągu określoego wzorem rekurecyjym C Zadaie (0 ) II Wykorzystaie i iterpretowaie reprezetacji 6 Rówaia i ierówości Zdający rozwiązuje rówaia wielomiaowe dające się łatwo sprowadzić do rówań kwadratowych B Zadaie 4 (0 ) II Wykorzystaie i iterpretowaie reprezetacji 65 Trygoometria Zdający stosuje wzory a sius i cosius sumy i różicy kątów, sumę i różicę siusów i cosiusów kątów D Zadaie 5 (0 ) II Wykorzystaie i iterpretowaie reprezetacji 84 Geometria a płaszczyźie kartezjańskiej Zdający oblicza odległość puktu od prostej B Zadaie 6 (0 ) II Wykorzystaie i iterpretowaie reprezetacji Wyrażeia algebraicze Zdający używa wzorów skrócoego możeia a ^a! bh oraz a! b 80 z 8

3 Próby egzami maturaly z Nową Erą Zadaie 7 (0 ) II Wykorzystaie i iterpretowaie reprezetacji 5 Ciągi Zdający oblicza graice ciągów korzystając z graic ciągów typu, oraz z twierdzeń o działaiach a graicach ciągów Przykładowe rozwiązaia ^ - h ` - lim lim j " ^- h ^6 h " ` - j `6 j , 05 lub ^ - h - - lim lim lim " ^- h ^6 h " " lim , 05 " 40 Schemat puktowaia Zdający otrzymuje ^ - h gdy zapisze lim ^- h ^6 h - lim 8 40 " " " ` - lim j ` - j `6 j Zdający otrzymuje gdy obliczy graicę lim ^ - h, " ^ - h ^ h pkt pkt Zadaie 8 (0 ) II Wykorzystaie i iterpretowaie reprezetacji 4 Fukcje Zdający a podstawie wykresu fukcji y f^xh szkicuje wykresy fukcji y f^xh, y c$ fx ^ h, y f^cxh POZIOM PODSTAWOWY 40 Fukcje Zdający iterpretuje współczyiki występujące we wzorze fukcji kwadratowej w postaci kaoiczej Przykładowe rozwiązaia I sposób Fukcja kwadratowa f^xh x -0 przyjmuje ajmiejszą wartość rówą - 0 dla x 0 Przesuięcie wykresu fukcji f wzdłuż osi Ox o 4 jedostki w lewo ie zmieia zbioru wartości fukcji Największa wartość fukcji y - $ f^x 4h jest rówa 40 Następie przesuwamy wykres o 6 jedostek w dół, więc ajwiększa wartość fukcji gx () - $ fx ( 4) - 6 to 4 z 8

4 Próby egzami maturaly z Nową Erą Schemat puktowaia I sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje gdy zapisze, że ajwiększa wartość fukcji y - $ f^x 4h jest rówa 40 gdy zapisze, że ajmiejsza wartość fukcji y $ f^x 4h jest rówa -40 Zdający otrzymuje gdy zapisze, że ajwiększa wartość fukcji g(x) - f(x4)-6 to 4 pkt pkt II sposób Wyzaczamy wzór fukcji g i korzystamy ze wzoru a ajwiększą wartość trójmiau kwadratowego Mamy zatem: g(x)-x -6x0 oraz y max D 6^- 6h 8 $ 0@ - 4a - 64$ ^-h@ Schemat puktowaia II sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze wzór fukcji g w postaci g(x)-x -6x0 i obliczy wyróżik trójmiau kwadratowego 87 Zdający otrzymuje gdy zapisze, że ajwiększa wartość fukcji g(x) - f(x4)-6 to 4 pkt Zadaie (0 ) II Wykorzystaie i iterpretowaie reprezetacji 5 Ciągi Zdający rozpozaje szeregi geometrycze zbieże i oblicza ich sumy Przykładowe rozwiązaie a k Iloraz q ciągu geometryczego (a ) jest rówy q a - k - k Poieważ k, co wyika z założeia, więc q To zaczy, że istieje skończoa suma wszystkich k wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego (a ) i jest rówa S k - a - k k Otrzymujemy rówaie k 5, którego jedyym rozwiązaiem większym od jest liczba 5 4 z 8

5 Próby egzami maturaly z Nową Erą Schemat puktowaia Zdający otrzymuje pkt gdy sprawdzi, że q dla k i zapisze, że suma wszystkich wyrazów ciągu jest rówa k S -a - k k Zdający otrzymuje pkt gdy zdający poda rozwiązaie k 5 Zadaie 0 (0 4) IV Użycie i tworzeie strategii 6 Trygoometria Zdający: 5) stosuje wzory a sius i cosius sumy i różicy kątów, sumę i różicę siusów i cosiusów kątów; 6) rozwiązuje rówaia i ierówości trygoometrycze typu si x, si x cos x, six cos x, cos x Przykładowe rozwiązaia I sposób Zauważmy, że cosxcos 5x cos7x cos x Zatem rówaie możemy zapisać w postaci rówoważej cos7x cos x cos 7x, czyli cos x Stąd otrzymujemy r r x - kr lub x kr, gdzie k jest liczbą całkowitą, czyli x - r kr lub x r kr, gdzie k jest liczbą całkowitą r Zatem w przedziale 0, r mamy astępujące rozwiązaia tego rówaia: x, x 5r, x 7r Schemat puktowaia I sposobu rozwiązaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia pkt Zdający zapisze, że cosxcos 5x cos7x cos x i a tym poprzestaie lub dalej popełia błędy Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp pkt Zdający zapisze rówaie w postaci rówoważej cos x Pokoaie zasadiczych trudości zadaia Zdający zapisze wszystkie rozwiązaia rówaia cos x w zbiorze liczb rzeczywistych: r r x - kr lub x kr, gdzie k jest liczbą całkowitą Rozwiązaie pełe 4 pkt r 5r Zdający zapisze wszystkie rozwiązaia rówaia cos x w przedziale 0, r : x, x, 7r x 5 z 8

6 Próby egzami maturaly z Nową Erą II sposób Zauważmy, że cos7x cos^5x xh cos5xcos x-si 5xsi x Zatem rówaie możemy zapisać w postaci rówoważej cosxcos 5x cos5xcos x- si 5xsi x Stąd cos5xcos x si 5xsi x Ze wzoru a cosius różicy kątów otrzymujemy cos^5x- xh, czyli cos x Stąd otrzymujemy r r x - kr lub x kr, gdzie k jest liczbą całkowitą, czyli x - r kr lub x r kr, gdzie k jest liczbą całkowitą Zatem w przedziale 0, r mamy astępujące rozwiązaia tego rówaia: x r, x 5r, x 7r Schemat puktowaia II sposobu rozwiązaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia pkt Zdający zapisze rówaie w postaci cos5xcos x si 5xsi x i a tym poprzestaie lub dalej popełia błędy Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp pkt Zdający zapisze rówaie w postaci rówoważej cos x Pokoaie zasadiczych trudości zadaia Zdający zapisze wszystkie rozwiązaia rówaia cos x w zbiorze liczb rzeczywistych: x - r kr lub x r kr, gdzie k jest liczbą całkowitą Rozwiązaie pełe 4 pkt Zdający zapisze wszystkie rozwiązaia rówaia cos x 7r x w przedziale 0, r : x r, x 5r, Zadaie (0 4) IV Użycie i tworzeie strategii Rówaia i ierówości Zdający rozwiązuje rówaia i ierówości liiowe i kwadratowe z parametrem Przykładowe rozwiązaia I sposób Obliczamy wyróżik trójmiau kwadratowego: D (-( )) - 4$ $ ( - ) 6m 6m 4-6m - 6m 6 > 0 6 z 8

7 Próby egzami maturaly z Nową Erą Zatem dla każdej wartości parametru m fukcja f ma dwa róże miejsca zerowe: 4 x -- ^ ^ hh $ m -, x -- ^ ^ hh $ m Waruek x x x -x możemy więc zapisać w astępujący sposób: (m-)(m) (m-)-(m), przy czym x x H 0, czyli m H- m--m-, -4, 4, m Uwaga Miejsca zerowe fukcji kwadratowej f(x)x -() x - możemy też wyzaczyć, przekształcając ją do postaci iloczyowej: f(x)x -(m )x(m) -4, f(x)(x-(m)) -4, f(x)(x-m--)(x-m-), f(x)(x-m-)(x-m), więc x m, x m- Schemat puktowaia I sposobu rozwiązaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia pkt Zdający obliczy wyróżik trójmiau kwadratowego i stwierdzi, że dla każdej wartości parametru m istieją dwa róże miejsca zerowe fukcji f Rozwiązaie, w którym jest istotym postęp pkt Zdający wyzaczy miejsca zerowe w zależości od parametru m: xm, xm- Pokoaie zasadiczych trudości Zdający zapisze waruek mm- m-(m-) lub mm- m--(m) Rozwiązaie pełe 4 pkt Zdający rozwiąże rówaie i zapisze wyik m II sposób Fukcja kwadratowa f ma dwa róże miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżik trójmiau x -()x - jest dodati Sprawdzamy, dla jakich wartości parametru m spełioa jest ierówość D > 0: (-( )) - 4$ $ ( - ) > 0, 6m 6m 4-6m -6m > 0, 6 > 0, co jest prawdą dla każdej rzeczywistej wartości parametru m Zapiszemy teraz waruek x x x -x, korzystając z wzorów Viète a: - - ^ h x-x 7 z 8

8 Próby egzami maturaly z Nową Erą Poieważ x - x H 0, więc aby zachodziła rówość, musi być spełioy waruek: - - ^ h H 0, czyli H 0 Zatem m H- Poieważ dla m H- prawdziwa jest ierówość x x H 0, więc moża bez utraty rówoważości podieść obie stroy rówaia x x x -x do kwadratu: Ze wzorów Viète a otrzymujemy: ^x x h ^x - x h, x x x x x - x x x, 4xx 0, xx 0-0, -0, -40, (m) -40, (m- )(m)0, (m -)(m )0, m-0 lub m0, m lub m - Tylko pierwsza z tych liczb spełia waruek m H- Zatem tylko dla m spełioe są waruki zadaia Schemat puktowaia II sposobu rozwiązaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia pkt Zdający obliczy wyróżik trójmiau kwadratowego i stwierdzi, że dla każdej wartości parametru m istieją dwa róże miejsca zerowe fukcji f Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp pkt Zdający zapisze waruek x x x- x w postaci rówoważej: x x H 0 i ^x xh ^x- xh Pokoaie zasadiczych trudości Zdający skorzysta dwukrotie ze wzorów Viète a, zapisze ierówość - - ^ h H 0 oraz rówaie - 0, a astępie każde z ich rozwiąże (ierówość: m H-, rówaie: m lub m - ) skorzysta dwukrotie ze wzorów Viète a, zapisze ierówość - - ^ h H 0 oraz rówaie - 0, a astępie apisze, że rozwiązaiem jest część wspóla rozwiązaia ierówości i rozwiązaia rówaia 8 z 8

9 Próby egzami maturaly z Nową Erą Rozwiązaie pełe Zdający poda wyik m 4 pkt III sposób Przypuśćmy, że istieje taka wartość parametru m, dla której fukcja f(x)x -() x - ma dwa róże miejsca zerowe x, x spełiające waruek x x x -x Po podiesieiu obu stro tej rówości do kwadratu otrzymujemy: (x x ) (x -x ), x xx x x - xx x, 4x x 0, x x 0 Ze wzorów Viète a otrzymujemy: - 0, -0, -40, (m) -40, (m- )(m )0, (m -)(m )0, m-0 lub m0, m lub m - Pozostaje teraz tylko sprawdzić, czy dla wyzaczoych wartości parametru m spełioe są waruki zadaia Gdy m, to: f() x x - `4 $ jx 4$ ` j 4 $ -, więc f(x)x(x-4) Zatem istieją dwa róże miejsca zerowe: x 0, x 4 Spełiają oe waruek x x x - x, gdyż Gdy m -, to: f() x x -`4 $ `- j jx 4$ `- j 4 $ `- j -, więc f^xh x^x 4h Zatem fukcja f ma dwa róże miejsca zerowe: x 0, x -4 Nie spełiają oe jedak waruku x x x - x, gdyż 0 ^- 4h-4! 0-^- 4h 4 Zatem jest tylko jeda wartość parametru, m, dla której spełioe są waruki zadaia Schemat puktowaia III sposobu rozwiązaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia Zdający stwierdzi, że jedym z miejsc zerowych fukcji f jest 0 pkt z 8

10 Próby egzami maturaly z Nową Erą Rozwiązaie, w którym jest istotym postęp pkt - Zdający zapisze rówaie wyikające ze wzoru Viète a a x x : 0 Pokoaie zasadiczych trudości zadaia - Zdający rozwiąże rówaie 0 (m lub m - ) Rozwiązaie pełe 4 pkt Zdający sprawdzi oba przypadki rozwiązaia rówaia i wyciągie poprawe wioski, że m spełia waruek poday w zadaiu, a m - ie spełia tego waruku Zadaie (0 ) V Rozumowaie i argumetacja POZIOM PODSTAWOWY Wyrażeia algebraicze Zdający używa wzorów skrócoego możeia a (a ± b) oraz a - b (przeprowadza dowód algebraiczy) Przykładowe rozwiązaia I sposób Przekształcając ierówość w sposób rówoważy, otrzymujemy: x xy y x xz z y zy z x y z xy xz yz H 0, ^x yh ^x zh ^y zh ^x yh ^x yh z z H 0, ^x yh ^x zh ^y zh ^x y zh H 0 Ta ierówość jest prawdziwa, poieważ jej lewa stroa jest sumą czterech liczb ieujemych, więc jest ieujema Schemat puktowaia I sposobu rozwiązaia Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp Zdający zapisze ierówość w postaci x xy y x xz z y zy z x y z xy xz yz H 0 ^x yh ^x zh ^y zh x y z xy xz yz H 0 H ^x yh ^x zh ^y zh ^x yh ^x yh z z 0 Pokoaie zasadiczych trudości zadaia Zdający zapisze ierówość w postaci H ^x yh ^x zh ^y zh ^x y zh 0 Rozwiązaie pełe Zdający przeprowadzi pełe rozumowaie pkt pkt II sposób Nierówość możemy zapisać w postaci rówoważej x 4( y zx ) y z 4yz H 0 Możemy ją potraktować jak ierówość kwadratową z jedą iewiadomą x 0 z 8

11 Próby egzami maturaly z Nową Erą Poieważ współczyik przy x jest dodati, więc wystarczy wykazać, że wyróżik trójmiau stojącego po lewej stroie ierówości jest iedodati D x 6( y z) - ( y z 4yz) - 4( 5y 4yz 5z ) - 4 ( y y 4yz z z ) - 4 ( y ( y z) z ) G 0, gdyż y ( y z) z H 0dla dowolych liczb rzeczywistych y, z Uwaga Prawdziwość ierówości D x G 0, czyli 45 ( y 4yz 5z ) G - 0, a więc 5y 4yz 5z H 0, możemy wykazać też w iy sposób, p zapisując ją w postaci rówoważej ( y z) y 4z H 0, której prawdziwość jest oczywista Możemy też potraktować tę ierówość jak ierówość kwadratową z iewiadomą y Wówczas D y ( 4z) - 4$ 5$ 5z - 84z G 0 dla każdej liczby rzeczywistej z To, wraz z dodatim zakiem współczyika przy y, ozacza prawdziwość tej ierówości Schemat puktowaia II sposobu rozwiązaia Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp pkt Zdający uporządkuje wyrażeie jako trójmia kwadratowy p zmieej x: x 4( y zx ) y z 4yz H 0i obliczy wyróżik tego trójmiau: D x - 45 ( y 4yz 5z ) Pokoaie zasadiczych trudości zadaia pkt Zdający uzasadi, że ierówość - 45 ( y 4yz 5z ) G 0jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej y i każdej liczby rzeczywistej z poprzez zapisaie jej w postaci rówoważej ( y z) y 4z H 0 obliczeie wyróżika D y ( 4z) - 4$ 5$ 5z - 84z trójmiau 5y 4yz 5z i stwierdzeie, że jest o iedodati dla każdej liczby rzeczywistej z Rozwiązaie pełe Zdający przeprowadzi pełe rozumowaie Zadaie (0 4) III Modelowaie matematycze 0 Elemety statystyki opisowej Teoria prawdopodobieństwa i kombiatoryka Zdający oblicza prawdopodobieństwo warukowe Przykładowe rozwiązaie A zdarzeie polega a tym, że suma wyrzucoych oczek a wszystkich kostkach będzie parzysta B zdarzeie polega a tym, że dokładie a jedej kostce wypadie 6 oczek Z defiicji prawdopodobieństwa warukowego A B PA ^ Bh X A B PA ^ Bh PB ^ h B B X Wystarczy więc obliczyć tylko A B oraz B Obliczmy liczbę wszystkich zdarzeń elemetarych sprzyjających zdarzeiu B Sześć oczek mogło wypaść a pierwszej, drugiej a trzeciej kostce, a a pozostałych dowola liczba oczek oprócz sześciu Mamy zatem: B $ 5$ 5 75 możliwości z 8

12 Próby egzami maturaly z Nową Erą Obliczmy liczbę wszystkich zdarzeń elemetarych sprzyjających zdarzeiu A B Na dokładie jedej kostce wypadło sześć oczek, więc a dwóch pozostałych muszą wypaść dwie parzyste (róże od sześciu) dwie ieparzyste liczby oczek W pierwszym przypadku mamy możliwości, a w drugim 7 Więc A B 7 Zatem PAB ^ ) 75 5 Schemat puktowaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia pkt Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elemetarych: X 6 opisze obie sytuacje, w których a jedej kostce wypadie 6 oczek i suma oczek będzie parzysta Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzeia A Blub tylko A B prawdopodobieństwo zdarzeia B lub tylko B Pokoaie zasadiczych trudości zadaia Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzeia A B (lub tylko A B) oraz prawdopodobieństwo zdarzeia B (lub tylko B ) Rozwiązaie pełe 4 pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo warukowe PAB ^ ): PAB ^ ) 75 5 Zadaie 4 (0 4) V Rozumowaie i argumetacja Przykładowe rozwiązaie Przyjmijmy ozaczeia jak a rysuku 7 Plaimetria Zdający: ) stosuje twierdzeia charakteryzujące czworokąty wpisae w okrąg i czworokąty opisae a okręgu; 5) zajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaiem twierdzeia siusów i twierdzeia cosiusów C 5 D δ 7 A p 4 0 β B z 8

13 Próby egzami maturaly z Nową Erą Poieważ czworokąt ABCD jest wpisay w okrąg, to b 80 - d Z twierdzeia cosiusów dla trójkątów ACD i ABC otrzymujemy p $ 7 $ 5 $ cos d oraz p 4 0 -$ 4$ 0 $ cos( 80 - d) Drugą z tych rówości możemy zapisać, korzystając ze wzoru redukcyjego, w postaci p 4 0 $ 4 $ 0 $ cos d Po pomożeiu obu stro pierwszego rówaia przez, drugiego rówaia przez 7 i dodaiu stroami otrzymaych rówań, otrzymujemy rówaie p Stąd p 0 Schemat puktowaia Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp pkt Zdający wykorzysta twierdzeie o sumie przeciwległych kątów czworokąta wpisaego w okrąg Pokoaie zasadiczych trudości zadaia pkt Zdający zapisze dwa rówaia wyikające z twierdzeia cosiusów dla trójkątów ABC i ACD: p $ 7$ 5 $ cos d oraz p 4 0 -$ 4$ 0 $ cos( 80 - d) Rozwiązaie prawie pełe Zdający zapisze rówaie, w którym jedyą iewiadomą jest długość przekątej AC Rozwiązaie pełe 4 pkt Zdający wyzaczy długość przekątej AC: p 0 Zadaie 5 (0 5) IV Użycie i tworzeie strategii POZIOM PODSTAWOWY 85 Geometria a płaszczyźie kartezjańskiej Zdający wyzacza współrzęde środka odcika Przykładowe rozwiązaia I sposób Obliczmy współrzęde środka P odcika MN: P `, j ^, h y 7 6 D 5 N 4 C P S M A x B 4 z 8

14 Próby egzami maturaly z Nową Erą xc yc Ozaczmy współrzęde puktu C ^xc, ych Pukt S jest środkiem odcika AC, więc S a, k Pukt P jest środkiem odcika SC, więc x x C C oraz y y C C Stąd C (, 4) Pukt N jest środkiem odcika CD, więc x D 0 oraz y D 4 5 Stąd D (8, 6) Pukt M jest środkiem odcika CB, więc x B 8 oraz y B 4 Stąd B (4, -) Schemat puktowaia I sposobu rozwiązaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia pkt Zdający zapisze, że środek P odcika MN jest środkiem odcika SC, gdzie S jest środkiem symetrii rówoległoboku ABCD obliczy współrzęde środka P odcika MN: P (, ) Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp pkt Zdający zapisze, że środek P odcika MN jest środkiem odcika SC, gdzie S jest środkiem symetrii rówoległoboku ABCD, oraz obliczy współrzęde środka P odcika MN: P (, ) Pokoaie zasadiczych trudości zadaia Zdający obliczy współrzęde wierzchołka C: C (, 4) Rozwiązaie prawie pełe 4 pkt Zdający obliczy współrzęde wierzchołków B, C i D, popełiając w trakcie rozwiązaia błąd rachukowy dwa z trzech szukaych wierzchołków rówoległoboku Rozwiązaie pełe 5 pkt Zdający obliczy współrzęde wierzchołków B, C, D: B (4, -), C (, 4), D (8, 6) II sposób Współrzęde puktów B, C i D możemy wyzaczyć, rozwiązując układ rówań: Z xb xc 8 xc xd 0 ] xb xd xc [ yb yc yc yd 5 ] yb yd yc \ 4 z 8

15 Próby egzami maturaly z Nową Erą Rozwiązaiami tego układu są: x B 4 x C x D 8 y B - y C 4 y D 6 Schemat puktowaia II sposobu rozwiązaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia pkt Zdający zapisze rówaie x B x C 8 lub x C x D 0 lub y B y C lub y C y D 5, czyli wykorzysta fakt, że pukty M i N są środkami odcików BC i CD zapisze rówaie xb xd xc lub yb yd yc, czyli wykorzysta fakt, że AC AB BC AB AD Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp pkt Zdający zapisze rówaie x B x C 8 lub x C x D 0 lub y B y C lub y C y D 5, czyli wykorzysta fakt, że pukty M i N są środkami odcików BC i CD, oraz zapisze rówaie xb xd xc lub yb yd yc, czyli wykorzysta fakt, że AC AB BC AB AD Pokoaie zasadiczych trudości zadaia Zdający zapisze wszystkie rówaia potrzebe do wyzaczeia współrzędych Z xb xc 8 xc xd 0 ] xb xd xc puktów B, C i D, p [ yb yc yc yd 5 ] yb yd yc \ Rozwiązaie prawie pełe 4 pkt Zdający obliczy współrzęde wierzchołków B, C i D, popełiając w trakcie rozwiązaia błąd rachukowy Rozwiązaie pełe 5 pkt Zdający obliczy współrzęde wierzchołków B, C, D: B (4, -), C (, 4), D (8, 6) 5 z 8

16 Próby egzami maturaly z Nową Erą Zadaie 6 (0 6) IV Użycie i tworzeie strategii 74 Plaimetria Zdający rozpozaje figury podobe; wykorzystuje (także w kotekstach praktyczych) ich własości Stereometria Zdający określa, jaką figurą jest day przekrój graiastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzą Przykładowe rozwiązaie Poprowadźmy prostą XY do przecięcia z prostymi AD i CD odpowiedio w puktach K i L H G E F Z W K A D X B Y C L Pukt W jest puktem przecięcia prostej KH z krawędzią AE, a Z to pukt przecięcia prostej HL z krawędzią CG Obliczmy długości kolejych boków pięciokąta HWXYZ Z twierdzeia Pitagorasa dla trójkąta XBY otrzymujemy XY BX BY Trójkąty XBY i XAK są podobe (oba są prostokąte i mają rówe kąty przy wierzchołku X) Stąd wyika, że Zatem AK 4 BY AK Trójkąty prostokąte KAW i KDH są podobe, więc Stąd AW BX 8 AX 8 AW 6 4 Z twierdzeia Pitagorasa dla trójkąta AXW otrzymujemy WX 4 5, atomiast z twierdzeia Pitagorasa dla trójkąta WEH Obwód pięciokąta HWXYZ jest zatem rówy WH 5 LHWXYZ XY $ XW $ WH 8 $ 5 $ z 8

17 Schemat puktowaia Próby egzami maturaly z Nową Erą Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia pkt Zdający dorysuje prostą XY do puktu przecięcia z prostą AD lub prostą CD obliczy lub poda długość odcika XY 8 Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp pkt Zdający obliczy długość odcika AK lub CL oraz zapisze lub zazaczy a rysuku, że pukty K, W, H L, Z, H są współliiowe Pokoaie zasadiczych trudości zadaia Zdający obliczy długość odcika AW: AW Rozwiązaie prawie pełe 5 pkt Zdający obliczy długości odcików WH i WX: WH 5 oraz WX 5 Uwaga Jeżeli zdający obliczy długość tylko jedego z odcików, WH lub WX, to otrzymuje 4 pukty Rozwiązaie pełe 6 pkt Zdający obliczy obwód szukaego przekroju: LHWXYZ 8 40 Zadaie 7 (0 7) III Modelowaie matematycze 6 Rachuek różiczkowy Zdający stosuje pochode do rozwiązywaia zagadień optymalizacyjych Przykładowe rozwiązaie Niech x ozacza długość krótszej krawędzi podstawy prostopadłościau Wtedy długość drugiej z krawędzi podstawy jest rówa x Ozaczmy też literą h długość trzeciej z krawędzi prostopadłościau Z treści zadaia wyika, że 4x4(x)4h5 Stąd: xxh, h0-x Objętość V prostopadłościau możemy zapisać jako fukcję zmieej x, wzorem V(x)x(x)(0-x)-x 4x 0x Dziedzią fukcji V jest zbiór takich wartości x, że x 0 i 0 - x 0, a więc 0 x 5 Pochoda fukcji V jest rówa V' ^xh - 6x 8x 0, x! ^05, h Obliczmy miejsca zerowe i zbadajmy zak pochodej: V' ^xh 0 wtedy i tylko wtedy, gdy -6x 5 8x00, stąd x - lub x Uwzględiając dziedzię fukcji, mamy: V' ^xh > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x! ^0, h; 7 z 8

18 V' ^xh < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x! ^5, h Zatem fukcja V jest w przedziale ^ 0, rosąca, a w przedziale 5h, malejąca Wyika stąd, że dla x fukcja V ma maksimum lokale, które jest jedocześie jej ajwiększą wartością Gdy x, to wtedy x6 oraz h0-x4 Objętość prostopadłościau jest wtedy rówa Vmax () $ 6$ 4 7 Schemat puktowaia Rozwiązaie zadaia składa się z trzech etapów Próby egzami maturaly z Nową Erą Pierwszy etap składa się z trzech części: a) wprowadzeie ozaczeń, p x, x, h, oraz zapisaie rówaia wyikającego z waruków zadaia: xh0, b) zapisaie objętości prostopadłościau jako fukcji zmieej x: V(x)x(x)(0-x)-x 4x 0x, c) określeie dziedziy fukcji V: 0 x 5 Za każdą z części tego etapu zdający otrzymuje po pukcie, przy czym jeśli zdający od razu zapisze objętość prostopadłościau w zależości od zmieej x, to otrzymuje pukt za część a) i pukt za część b) Drugi etap składa się z trzech części: a) wyzaczeie pochodej fukcji V: V' ^xh - 6x 8x 0, b) obliczeie miejsca zerowego pochodej: x, c) wyzaczeie przedziałów mootoiczości fukcji V i uzasadieie, że dla x fukcja V osiąga ajwiększą wartość Za poprawe rozwiązaie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje pukt, o ile poprzedia część etapu została zrealizowaa bezbłędie Trzeci etap Obliczeie objętości prostopadłościau o ajwiększej objętości: Vmax 7 Za poprawe rozwiązaie tego etapu zdający otrzymuje pukt 8 z 8