WYKORZYSTANIE TEORII ZBIORÓW ROZMYTYCH DO PODEJMOWANIA DECYZJI

Transkrypt

1 ZESZYTY NUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 994 Seri: GÓRNICTWO z. 9 Nr kol. 34 Stnisłw KOWLIK Ktedr Orgnizcji i Ekonomiki Górnictw Politechniki Śląskiej WYKORZYSTNIE TEORII ZIORÓW ROZMYTYCH DO PODEJMOWNI DECYZJI Streszczenie. W prcy omówiono podstwowe pojęci teorii ziorów rozmytych. Te pojęci wykorzystno do podejmowni decyzji. Zdefiniowno decyzję rozmytą opierjąc się n celu rozmytym i ogrniczeniu rozmytym. Podno też określenie decyzji optymlnej. USGE OF FUZZY SETS THEORY IN DECISION MKING PROCESSES Summry. The sic ides of the fuzzy sets theory hve een presented in the pper. These ides re eing used in decision mking processes. definition of fuzzy decision, nd n ide of n optiml decision hve lso een presented.

2 0 Stnisłw Kowlik ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ РАЗМЫТЫХ МНОЖЕСТВ ДЛЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ Peзюме. В работе представлены oсновные понятия теории расплывчатых множеств. Эти понятия были использованы для принятия решений. Сформулировано размытое решение на oсновнии размытой цели и размытого ограничения. Дано также определение оптималоного решения.. WSTĘP Informcje dotyczące otczjącego ns świt często są nieprecyzyjne, niepełne lu niepewne. Powstł niedwno teori ziorów rozmytych stwrz możliwość opisu formlnego tej informcji nieprecyzyjnej [; 4; 0; 30; 48]. Te mtemtyczne metody teorii ziorów rozmytych pozwlją pełniej i w sposó rdziej nturlny opisć zjwisk świt rzeczywistego. Sytucje niepewne w podejmowniu decyzji owiją się tutj poprzez niejednoznczność i nieprecyzyjność opisu wrunków, w jkich m yć podjęt decyzj. Innymi słowy opis otczjącego ns świt jest niedokłdny, my musimy podejmowć pewne decyzje. Teori ziorów rozmytych, jk n rzie, nie jest jednoznczną strukturą mtemtyczną. "Jest to rczej rodzin teorii o różnym stopniu ogólności i różnych specyficznych możliwościch zstosowń" []. My ędziemy wzorowli się n klsycznej teorii ziorów rozmytych oprcownej przez L.. Zdeh [48]. Po rz pierwszy w 965 roku Zdeh w swojej prcy [48] określił pojęcie rozmytości (fuzziness) orz sformułowł podstwowe pojęci dotyczące ziorów rozmytych (fuzzy sets). N tych pojęcich opierją się reguły tzw. logiki rozmytej. W 970 roku wspólnie z ellmnem opulikowł prcę [] o podejmowniu decyzji w wrunkch rozmytych. W nstępnych ltch teori ziorów rozmytych szyko się rozudowł i zroił łyskwiczną krierę. W 973 roku Zdeh w swojej prcy [50] podje podstwowe pojęci i reguły logiki rozmytej. Wrto w tym miejscu wspomnieć, że n wiele lt przed wprowdzeniem pojęci zioru rozmytego, polski mtemtyk Jn Łuksiewicz stworzył podstwy logiki wielowrtościowej [34; 35]. W związku z rozwojem nowej teorii, prce Łuksiewicz udzą ponowne zinteresownie [; 33; 36; 44; 47]. Teori ziorów rozmytych wzoruje się n klsycznej teorii ziorów z uwzględnieniem tzw. funkcji przynleżności elementu do zioru. W związku z tym wprowdz się specjlny zpis ziorów rozmytych orz określ się dziłni n tych

3 Wykorzystnie teorii ziorów ziorch. Wprowdz się też pojęcie licz rozmytych orz odpowiednie opertory rytmetyczne. Podejmownie decyzji w rozmytych wrunkch otoczeni poleg n odpowiednim wnioskowniu z przesłnek o chrkterze rozmytym. Prezentown teori znlzł już szereg zstosowń w różnych dziedzinch. N przykłd prce [5; 6; 45] dotyczą topologii indukownej w ziorch rozmytych; prce [8; ; 3] omwiją mirę w ziorch rozmytych; prc [3] rozwż struktury lgericzne w tych ziorch. Z zkresu sterowni ukzły sie prce [6; 7; 8, 0; ; ; 3; 39; 40]. Zstosowni w mechnice przedstwione s w prcch [5; 43], w udowie modeli sieciowych w prcch [3; 4]. Zgdnienie stilności z wykorzystniem ziorów rozmytych przedstwiono w pulikcji [38]. Rozwż się też pojęcie entropii z wykorzystniem tych ziorów [5; 6; 7]. Teori t m też zstosownie w tkich dziedzinch, jk orgnizcj [7; 8]; wnioskownie [9; 3; 37]; podejmownie decyzji [0; 3; 4; 9; 46]; dignozownie medyczne [4; 4; 49].. ZIORY ROZMYTE W klsycznej teorii ziorów kżdy ziór m jednozncznie określone grnice oddzieljące elementy nleżące do niego od nie nleżących. Jeżeli mmy ziór i element x, to możemy stwierdzić, czy element x nleży do zioru, czy też nie nleży. Oznczmy przez X przestrzeń wszystkich rozptrywnych elementów x. W tej przestrzeni jest określon funkcj przynleżności elementu x do zioru [; 4; 0; 30]. T funkcj zdefiniown jest nstępująco dl x x X, ( x ) () 0 dl x. Funkcj przynleżności (x) odwzorowuje przestrzeń X w ziór {0,}. W wielu przypdkch, gdy operuje się pojęcimi chrkteryzownymi w sposó nieprecyzyjny, występują trudności w określeniu przynleżności elementu do dnego zioru. Funkcj przynleżności określon wzorem () jest wtedy niewygodn i mocno ogrniczjąc zstosownie jej do sytucji niedokłdnie określonych. Zdeh w swej prcy [48] wprowdził pojęcie zioru rozmytego. Ziór rozmyty m tką włsność, że jego funkcj przynleżności odwzorowuje przestrzeń X w odcinek [0,]. Jest to więc rozszerzenie przeciwdziedziny funkcji przynleżności określonej wzorem () n odcinek [0, ].

4 04 Stnisłw Kowlik Definicj [3] Ziorem rozmytym określonym n przestrzeni X jest ziór uporządkownych pr: gdzie (x) jest funkcją przynleżności zioru. = {(x, (x)) dl x X}, () Przykłd Niech X ozncz ziór cyfr {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, - ozncz cyfrę średnią, - ozncz cyfrę dużą. Funkcje przynleżności ziorów rozmytych i mogą yć nstępujące: (0) = 0, (0) = 0, () = 0, () = 0, () = 0,4, () = 0, (3) = 0,7, (3) = 0, (4) =, (4) = 0, (5) =, (5) = 0,3, (6) = 0,8, (6) = 0,6, (7) = 0,5, (7) = 0,8, (8) = 0, (8) =, (9) = 0, (9) =. Przykłd Niech X = R jest przestrzenią licz rzeczywistych, ziorem licz dużo wiekszych od 00. Funkcje przynleżności zioru możemy określić nstępująco (x) = 0 00 ( x 00 ) dl dl x x 00, 00. Definicj Nośnikiem zioru nzywmy ziór U elementów przestrzeni X, dl których (x) > 0. Oznczmy go przez supp (ng. support) Definicj 3 Wysokością zioru jest kres górny funkcji (x), tzn. supp = {x : (x) > 0}. (3)

5 Wykorzystnie teorii ziorów sup x U ( x ). (4) Definicj 4 Ziór rozmyty nzywmy znormlizownym, gdy jego wysokość jest równ. W celu uproszczeni zpisu zioru rozmytego L.. Zdech wprowdził specjlną notcję do teorii ziorów rozmytych [], [48]. Ziory rozmyte, których nośniki są nieprzeliczlne, zpisujemy w postci ( x ) / x. (5) U Jeżeli nośnik jest przeliczlny, to ziór rozmyty zpisujemy w postci ( x ) / x. (6) i i Jeśli elementy nośnik U nie są liczmi, to wzór (6) modyfikujemy do postci i ( x ) x. (7) i i Tk więc ziory i przedstwione w przykłdzie możn zpisć w postci i = 0,4/ + 0,7/3 + /4 + /5 + 0,8/6 + 0,5/7, = 0,3/5 + 0,6/6 + 0,8/7 + /8 + /9. Nleży zwrócić uwgę n to, że w tkim zpisie iorą udził jedynie elementy nleżące do nośnik rozptrywnego zioru. W teorii ziorów rozmytych wprowdz się też pojęci zwierni się i równości ziorów. Definicj 5 Ziór rozmyty zwier się w ziorze rozmytym ( ) wtedy i tylko wtedy, gdy x ) ( x ). (8) x X (

6 06 Stnisłw Kowlik Definicj 6 Ziór rozmyty jest równy ziorowi rozmytemu ( = ) wtedy i tylko wtedy, gdy x X ( x ) ( x ). (9) 3. OPERTORY ROZMYTE 3.. Sum Definicj 7 Sumą ziorów rozmytych i nzywmy ziór określony nstępująco mx( ( x ), ( x )) / x. (0) X Funkcj przynleżności tego wyrż się wzorem x X (x) = mx ( (x), (x)) = (x) (x). () 3.. Iloczyn (przecięcie) Definicj 8 Iloczynem ziorów rozmytych i nzywmy ziór określony nstępująco min x ( ( x ), ( x )) / x. () X

7 Wykorzystnie teorii ziorów Funkcj przynleżności tego zioru wyrż się wzorem x X (x) = min ( (x), (x)) = (x) (x). (3) 3.3. Dopełnienie (uzupełnienie) Definicj 9 Uzupełnieniem zioru rozmytego nzywmy ziór określony nstępująco Funkcj przynleżności tego zioru wyrż się wzorem ' ( ( x )) / x. (4) X x X (x) = - (x). (5) 3.4. Sum ogrniczon Definicj 0 Sumą ogrniczoną ziorów rozmytych i nzywmy ziór określony nstępująco min( ( x ) ( x ),) / x. (6) Funkcj przynleżności tego zioru wyrż się wzorem x X X (x) = min ( (x) + (x), ). (7)

8 08 Stnisłw Kowlik 3.5. Różnic ogrniczon Definicj Różnicą ogrniczoną ziorów rozmytych i nzywmy ziór określony nstępująco mx( ( x ) ( x ), 0 ) / x. (8) Funkcj przynleżności tego zioru wyrż się wzorem X x X (x) = mx ( (x) - (x), 0). (9) 3.6. Iloczyn ogrniczony Definicj Iloczynem ogrniczonym ziorów rozmytych i nzywmy określony nstępująco mx( 0, ( x ) ( x ) ) / x. (0) Funkcj przynleżności tego zioru wyrż się wzorem x X X (x) = mx (0, (x) + (x) - ). ()

9 Wykorzystnie teorii ziorów Sum lgericzn Definicj 3 Sumą lgericzną ziorów rozmytych i nzywmy ziór określony nstępująco ( ( x ) ( x ) ( x ) ( x )) / x. () Funkcj przynleżności tego zioru wyrż się wzorem x X X ( x ) ( x ) ( x ) ( x )) / x. (3) ( 3.8. Iloczyn lgericzny Definicj 4 Iloczynem lgericznym ziorów rozmytych i nzywmy ziór określony nstępująco ( ( x ) ( x )) / x. (4) X Funkcj przynleżności tego zioru wyrż się wzorem x X (x) = (x) (x). (5)

10 0 Stnisłw Kowlik 3.9. Sum drstyczn Definicj 5 Sumą drstyczną ziorów rozmytych i nzywmy ziór określony nstępująco ( ( x )) / x. (6) X Funkcj przynleżności tego zioru wyrż się wzorem x X dl ( x ) 0 i ( x ) 0, ( x ) dl ( x ) 0, ( x ) (7) ( x ) dl ( x ) Iloczyn drstyczny Definicj 6 Iloczynem drstycznym ziorów rozmytych i nzywmy ziór.ˆ określony nstępująco ˆ ( ( x )) / x. (8) X ˆ Funkcj przynleżności tego zioru wyrż się wzorem.ˆ x X ˆ 0 ( x ) ( x ) ( x ) dl dl dl ( x ) i ( x ), ( x ). ( x ), (9)

11 Wykorzystnie teorii ziorów Mnożenie przez liczę rzeczywistą W przypdku gdy licz rzeczywist dodtni przemnożon przez wysokość zioru nie jest większ od, możemy zdefiniowć mnożenie zioru przez liczę. Definicj 7 Iloczynem zioru rozmytego przez liczę rzeczywistą nzywmy ziór określony nstępująco Funkcj przynleżności tego zioru wyrż się wzorem ( x ) / x. (30) X x X (x) = (x). (3) 3.. Potęgownie lgericzne zioru rozmytego Dl liczy rzeczywistej >0 możemy określić potęgę zioru rozmytego w myśl nstępującej definicji Definicj 8 Potęgą zioru rozmytego nzywmy ziór określony nstępująco [ ( x )] / x. (3) X Funkcj przynleżności tego zioru wyrż się wzorem x ) [ ( x )] x X ( (33)

12 Stnisłw Kowlik 3.3. Iloczyn krtezjński Definicj 9 Iloczynem krtezjńskim zioru rozmytego z przestrzeni X i zioru rozmytego z przestrzeni Y nzywmy ziór określony nstępująco min( ( x ), ( y )) /( x, y ). (34) X Y Funkcj przynleżności tego zioru wyrż się wzorem x X y Y (x, y) = min ( (x), (y)). (35) 3.4. Ocięcie zioru rozmytego Definicj 0 -ocięciem zioru rozmytego nzywmy ziór określony nstępująco = {xx : (x)}, [0, ]. (36) Funkcj przynleżności tego zioru wyrż się wzorem ( x ) dl ( x ), ( x ) X 0 dl ( x ). x (37) Ntomist funkcj chrkterystyczn tego zioru wyrż się wzorem dl ( x ), ( x ) (38) 0 dl ( x ).

13 Wykorzystnie teorii ziorów Koncentrcj Jko szczególne przypdki potęgowni, które często występują w zstosownich, rozptruje się opercje koncentrcji i rozprszni. Definicj Koncentrcją zioru rozmytego nzywmy ziór CON() określony nstępująco Funkcj przynleżności tego zioru wyrż się wzorem CON()=. (39) COM() (x) = (x). (40) 3.6. Rozprsznie Definicj Rozproszeniem zioru rozmytego nzywmy ziór DIL() określony nstępująco Funkcj przynleżności tego zioru wyrż się wzorem DIL() = /. (4) DIL() (x) = (x). (4) /

14 4 Stnisłw Kowlik 3.7. Intensyfikcj kontrstu Definicj 3 Ziorem rozmytym o zintensyfikownym kontrście nzywmy ziór INT() określony nstępująco INT CON ( ) ( ) DIL ( ) dl dl ( x ) 0.5, ( x ) 0.5. (43) Funkcj przynleżności tego zioru wyrż się wzorem ( x ) dl ( x ) 0.5, ( x ) (44) INT ( ) / ( x ) dl ( x ) Zmniejszenie kontrstu Definicj 4 Ziorem rozmytym o zmniejszonym kontrście nzywmy ziór LR() określony nstępująco LR DIL ( ) ( ) CON ( ) dl dl ( x ) 0.5, ( x ) 0.5. (45) Funkcj przynleżności tego zioru wyrż się wzorem / ( x ) dl ( x ) 0.5, ( x ) (46) LR ( ) ( x ) dl ( x ) 0.5.

15 Wykorzystnie teorii ziorów Przykłdy zstosowni opertorów rozmytych dl ziorów przeliczlnych Zilustrujemy terz wprowdzone opercje n przykłdzie dwóch ziorów -cyfr średni orz zioru -cyfr duż. Ziory te yły określone w przykłdzie w rozdzile. = 0.4/ + 0.7/3 + /4 + / / /7 + /8 + /9, = 0.3/ / /7, = /0 + / + 0.6/ + 0.3/3 + 0./ /7 + /8 + /9, = /( ) + 0.7/ /6 + 0./7, = 0.4/ + 0.7/3 + /( ), = 0.4/ + 0.7/3 + / /5 + 0./6, = 0,3/ / /7, = 0.4/ + 0.7/3 + /(4+5) + 0.9/ /7 +/(8+9), = 0,3/ / /7, = 0.4/ + 0.7/3 + /( ),.ˆ = 0.3/5, 0. = 0.08/ + 0.4/3 + 0./4 + 0./ /6 + 0./7, 0.5 = 0.5/ / / / /9, 3 = 0.064/ /3 + /(4+5) + 0.5/ /7, 3 = 0.07/ / /7 + /(8+9), x = 0.3/[(,5) + (3,5) + (4,5) + (5.5) + (6.5) + (7.5)] + 0.4/[(,6) + (.7) + (.8) + (.9)} + 0.5/[(7,6) + (7.7) + (7.8) + (7.9)] + 0.6/[(3,6) +(4,6) + (5,6) + (6,6)] 0.7/[(3,7) + (3,8) + (3,9)] + 0.8/[(6,7) + (6,8) + (6,9) + (4,7) + (5,7)] + /[(4,8) + (4,9) + (5,8) + (5,9)], 0,6 = 0.7/3 + /4 + / /6, 0,6 = 0.6/ /7 + /8 + /9, CON() CON() DIL() DIL() INT() INT() LR() LR() = 0.6/ /3 + /(4+5) / /7, = 0.09/ / /7 + /(8+9), = 0.4 / 0.7 / 3 /( 5 6 ) 0.8 / / 7, = 0.3 / / / 7 /( 8 9 ), = 0.6 / 0.7 / 3 /( 5 6 ) 0.8 / / 7, = 0.09 / / / 7 /( 8 9 ), = 0.4 / 0.49 / 3 /( 4 5) 0.64 / / 7, = 0.3 / / / 7 /( 8 9 ).

16 6 Stnisłw Kowlik 3.0. Przykłdy zstosowni opertorów rozmytych dl ziorów o ciągłej funkcji przynleżności Zilustrujemy terz wprowdzone opercje n przykłdzie dwóch ziorów i przedstwionych n rysunkch i. Kolejne rysunki prezentują otrzymne ziory rozmyte w wyniku zstosowni różnych opertorów. Rys.. Ziór rozmyty o funkcji przynleżności (x) Fig.. Fuzzy set of memership function (x) Rys.. Ziór rozmyty o funkcji przynleżności (x) Fig.. Fuzzy set of memership function (x)

17 Wykorzystnie teorii ziorów... 7 Rys.3. Sum ziorów rozmytych o funkcji przynleżności (x) Fig.3. Sum of fuzzy sets of memership function (x) Rys.4. Iloczyn ziorów rozmytych o funkcji przynleżności (x) Fig.4. Product of fuzzy sets of memership function (x) Rys.5. Dopełnienie zioru rozmytego o funkcji przynleżności (x) Fig.5. Complement of fuzzy set of memership function (x)

18 8 Stnisłw Kowlik Rys.6. Dopełnienie zioru rozmytego o funkcji przynleżności (x) Fig.6. Complement of fuzzy set of memership function (x) Rys.7. Sum ogrniczon ziorów rozmytych o funkcji przynleżności (x) Fig.7. Limited sum of fuzzy sets of memership function (x) Rys.8. Różnic ogrniczon ziorów rozmytych o funkcji przynleżności (x) Fig.8. Limited difference of fuzzy sets of memership function (x)

19 Wykorzystnie teorii ziorów... 9 Rys. 9. Iloczyn ogrniczony ziorów rozmytych o funkcji przynleżności (x) Fig.9. Limited product of fuzzy sets of memership function (x) Rys.0. Sum lgericzn ziorów rozmytych o funkcji przynleżności (x) Fig.0 lgeric sum of fuzzy sets of memership function (x) Rys.. Iloczyn lgericzny ziorów rozmytych o funkcji przynleżności (x) Fig.. lgeric product of fuzzy sets of memership function (x)

20 0 Stnisłw Kowlik Rys.. Sum drstyczn ziorów rozmytych o funkcji przynleżności (x) Fig.. Drstic sum of fuzzy sets of memership function (x) Rys.3. Iloczyn drstyczny ziorów rozmytych o funkcji przynleżności Fig.3. Drstic product of fuzzy sets of memership function ˆ ˆ (x) (x) Rys.4. Mnożenie zioru rozmytego przez liczę =0,5 Fig.4. Multipliction of fuzzy set y numer =0,5

21 Wykorzystnie teorii ziorów... Rys.5. Mnożenie zioru rozmytego przez liczę =0,3 Fig.5. Multipliction of fuzzy set y numer =0,3 Rys.6. Potęgownie zioru rozmytego (=3) Fig.6. Involution of fuzzy set (=3) Rys.7. Potęgownie zioru rozmytego (=0,5) Fig.7. Involution of fuzzy set (=0,5)

22 Stnisłw Kowlik Rys.8. Ocięcie zioru rozmytego dl =0,5 Fig.8. Cut of fuzzy set for =0,5 Rys.9. Ocięcie zioru rozmytego dl =0,3 Fig.9. Cut of fuzzy set for =0,3 Rys.0. Koncentrcj zioru rozmytego Fig.0. Concentrtion of fuzzy set

23 Wykorzystnie teorii ziorów... 3 Rys.. Koncentrcj zioru rozmytego Fig.. Concentrtion of fuzzy set Rys.. Rozprsznie zioru rozmytego Fig.. Disperse of fuzzy set Rys.3. Rozprsznie zioru rozmytego Fig.3. Disperse of fuzzy

24 4 Stnisłw Kowlik Rys.4. Intensyfikcj kontrstu zioru rozmytego Fig.4. Intensifiction of contrst of fuzzy set Rys.5. Intensyfikcj kontrstu zioru rozmytego Fig.5. Ontensifiction of constrst of fuzzy set Rys.6. Zmniejszenie kontrstu zioru rozmytego Fig.6. Decrese of constrst of fuzzy set

25 Wykorzystnie teorii ziorów... 5 Rys.7. Zmniejszenie kontrstu zioru rozmytego Fig.7. Decrese of contrst of fuzzy set Rys.8. Iloczyn krtezjński ziorów rozmytych i Fig.8. Crtesin product of fuzzy sets nd

26 6 Stnisłw Kowlik 4. WYPUKŁE ZIORY ROZMYTE Wżną klsę ziorów rozmytych są wypukłe ziory rozmyte mjące zstosownie w prolemch optymlizcji i sterowni [3; 4]. Definicj 5 [; 3; 4] Ziór rozmyty jest wypukły, jeżeli dl dowolnych x, x X i [0,] zchodzi [x +(-)x ] min[ (x ), (x )]. (47) Wykorzystując pojęcie -ocięci zioru rozmytego = {xx : } (48) możn też zdefiniowć rozmyty ziór wypukły w nstępujący sposó: Definicj 6 [; 3; 4] Ziór rozmyty jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy ziory są wypukłe dl wszystkich [0,]. Podonie możn zdefiniowć ziór rozmyty wklęsły. Definicj 7 [3; 4] Ziór rozmyty jest wklęsły, jeżeli dl dowolnych x, x X i [0,] zchodzi [x +(-)x ] mx[ (x ), (x )]. (49) Dl wypukłych i wklęsłych możn udowodnić nstępujące twierdzeni: Twierdzenie Jeżeli i są ziormi rozmytymi wypukłymi, to jest ziorem rozmytym wypukłym. Twierdzenie Jeżeli i są ziormi rozmytymi wklęsłymi, to jest ziorem rozmytym wklęsłym. Dowody tych twierdzeń możn znleźć w prcch [3; 4].

27 Wykorzystnie teorii ziorów LICZY ROZMYTE 5.. Określenie liczy rozmytej Definicj 8 [] Liczą rozmytą L nzywmy wypukły i znormlizowny ziór rozmyty z przestrzeni R tki, że ) istnieje dokłdnie jedno x o R, dl którego L (x 0 )=, x 0 jest nzywne średni wrtością L, ) funkcj L (x) jest ciągł. Przykłdem liczy rozmytej jest L = około 0 X L x ) / x, ( gdzie ( x ). (50) L ( x 0 ) Poniewż zdefiniownie opertorów rytmetycznych i ich używnie w prktycznych zstosownich jest rdzo niewygodne dl tk zdefiniownych licz, zdecydowno się n wprowdzenie licz rozmytych o z góry określonych funkcjch przynleżności. Są nimi liczy L-R wprowdzone przez Duois i Prde cytowne w prcy [30] lu liczy - omwine w prcy []. My skoncentrujemy się n liczch -, jko wygodnych w użyciu i często stosownych. Licz - jest reprezentown przez czwórkę licz rzeczywistych (,,, ). Liczy i oznczją przedził, w którym funkcj przynleżności osiąg wrtość. Liczy i określją lewą i prwą szerokość rozkłdu. Funkcj przynleżności L (x) jest zdefiniown nstępująco 0 dl x, ( / )( x ) dl x [, ), L ( x ) dl x [, ], (5) ( / )( x ) dl x (, ], 0 dl x. Przykłdową funkcją przynleżności L (x) liczy rozmytej L przedstwiono n rysunku 9.

28 8 Stnisłw Kowlik Rys.9. Wykres przykłdowej funkcji przynleżności liczy rozmytej - Fig.9. Grph of exmple of memership function of fuzzy numer Licz rozmyt ze znkiem minus Liczę rozmytą ze znkiem minus określmy nstępująco -L = (-, -,, ). (5) 5.3. Odwrotność liczy rozmytej Liczę odwrotną określmy w nstępujący sposó /L = (/, /, / (+), /(-)). (53) 5.4. Sum licz rozmytych Niech L = (,,, ) i L = (,,, ). Sumę licz rozmytych określmy w nstępujący sposó L + L = ( +, +, +, + ) (54)

29 Wykorzystnie teorii ziorów Różnic licz rozmytych Różnicę licz rozmytych określmy w nstępujący sposó L - L = ( -, -, +, + ). (55) 5.6. Iloczyn licz rozmytych Iloczyn licz rozmytych określmy w nstępujący sposó 0. 0,L L dl ),,, ( 0, 0,L L dl ),,, ( 0, 0,L L dl ),,, ( 0, 0,L L dl ),,, ( L L (56) 5.7. Ilorz licz rozmytych Ilorz licz rozmytych określmy w nstępujący sposó 0. L 0, L dl ))) ( /( ) ( )), ( /( ),( /, / ( 0, L 0, L dl ))) ( /( ) ( )), ( /( ),( /, / ( 0, L 0, L dl ))) ( /( ) ( )), ( /( ),( /, / ( 0, L 0, L dl ))) ( /( ) ( )), ( /( ),( /, / ( L / L (57)

30 30 Stnisłw Kowlik 5.8. Mksimum z licz rozmytych Liczę większą z dwu licz rozmytych określ się w nstępujący sposó mx(l,l ) = (mx(, ), mx(, ), ), (58) gdzie, dl ), min(, dl ), min(, i, dl, dl, dl ), mx(, dl ), mx(. i, dl, dl 5.9. Minimum z licz rozmytych Liczę mniejszą z dwu licz rozmytych określ się w nstępujący sposó min(l,l ) = (min(, ), min(, ),, ), (59)

31 Wykorzystnie teorii ziorów... 3 gdzie, dl ), mx(, dl ), mx(, i, dl, dl, dl ), min(, dl ), min(. i, dl, dl 6. RELCJE ROZMYTE (WIELOWRTOŚCIOWE) 6.. Określenie relcji rozmytej W teorii mnogości jednym z podstwowych pojęć jest pojęcie relcji między dwom niepustymi ziormi X i Y, definiownej jko podziór iloczynu krtezjńskiego XxY. Podmy terz definicję relcji wielowrtościowej [; 4; 0; 30]. Definicj 8 Relcją rozmytą między dwom niepustymi ziormi X i Y nzywmy podziór rozmyty R iloczynu krtezjńskiego XY, co zpisujemy Y X R ). y / x /( y ) ( x, R (60)

32 3 Stnisłw Kowlik Funkcj przynleżności R (x,y) jest określon jko x X y Y R ( x, y ) X Y [0, ]. (6) Relcj rozmyt R jko podziór iloczynu krtezjńskiego XxY zpisywn jest też w postci RF(XY). (6) Wrtości funkcji przynleżności R (x,y) interpretujemy jko stopień powiązni miedzy elementmi xx i yy. Jeżeli ziory X i Y posidją skończoną liczę elementów, tj. X={x,...,x m }, Y={y,...,y n }, to funkcję przynleżności R (x,y) relcji R możemy zpisć w postci mcierzowej R ( x,y ),, R ( x,y n ) r,, rn R (x, y) = [ R (x i, y j )] =, R ( x m,y ),, R ( x m,y n ) rm,, r mn gdzie r ij [0,]; i =,..., m; j =,..., n. Pzykłd 3 Dne są ziory cyfr X=Y={0,,, 3, 4, 5}. Określmy relcję: X jest dużo większy niż Y. Relcję tą możemy zpisć z pomcą teli X\Y

33 Wykorzystnie teorii ziorów Skłdnie relcji rozmytych Njwżniejszym dziłniem n relcjch rozmytych jest skłdnie. Ogóln definicj złożeni relcji rozmytych jest nstępując [0]: Definicj 9 Niech RF(X,Y) i SF(Y,Z) ędą dwiem relcjmi rozmytymi. Złożeniem relcji R i S nzywmy relcję RoSF(X,Z) określoną wzorem (RoS)(x, z) = sup y Y (R(x, y) S(y, z)) dl xx, zz, (64) gdzie ozncz jedną z opercji min, mx,,,.ˆ,,,. Złożenie określone wzorem (64) nzywmy sup- złożeniem. W przypdku przeliczlnego zioru Y supremum (w oliczenich) zstępowne jest przez mksimum. Podonie określmy złożenie dulne relcji R i S. Definicj 30 Niech RF(X,Y) i SF(Y,Z) ędą dwiem relcjmi rozmytymi. Złożeniem dulnym relcji R i S nzywmy relcją RoSF(X,Z) określoną wzorem (Ro S)(x, z) = inf y Y (R(x, y)s(y, z)) dl xx, zz. (65) Złożenie określone wzorem (65) nzywmy inf- złożeniem. W przypdku przeliczlnego zioru Y infimum (w oliczenich) zstępowne jest przez minimum. Podstwowym i njwżniejszym rodzjem skłdni relcji rozmytych jest złożenie typu mksyminowego [; 4; 0; 30]. Funkcj przynleżności tkiego złożeni jest nstępując: RoS (x, z) = sup y Y [min ( R (x, y) + S (y, z))] dl xx, zz. (66) Dulnym do tego złożeni jest złożenie typu minimksowego określone równniem Ro S (x, z) = inf y Y [mx ( R (x, y) + S (y, z))] dl xx, zz. (67)

34 34 Stnisłw Kowlik Wyróżni się jeszcze nstępujące typy złożeń [0]: sup-, sup-, sup-.ˆ orz dulne do nich inf-, inf-, inf-. W przypdku relcji zpisnych w postci mcierzy, skłdnie odpowid iloczynowi mcierzy, w którym sumownie zstąpione jest przez sup (inf), mnożenie przez dziłnie. Przykłd 4 Dne są dwie relcje rozmyte R i S zpisne w postci mcierzowej R S Podmy terz, jką postć ędą miły różnego rodzju złożeni tych relcji ) złożenie typu mx-min orz dulne typu min-mx RoS Ro ' S ) złożenie typu mx- orz dulne typu min- RoS Ro ' S c) złożenie typu mx- orz dulne typu min-

35 Wykorzystnie teorii ziorów RoS Ro ' S d) złożenie typu mx-.ˆ orz dulne typu min- RoS Ro ' S PODEJMOWNIE DECYZJI W OTOCZENIU ROZ- MYTYM 7.. Określenie otoczeni rozmytego Podstwowym pojęciem tkiego podejści do podejmowni decyzji, zproponownego przez ellmn i Zdeh [], jest pojęcie otoczeni rozmytego. Definicj 3 [30] Otoczeniem rozmytym prolemu podejmowni decyzji nzywmy nstępującą czwórkę uporządkowną (X, G, C, D) (68) gdzie X={x} jest ziorem możliwych decyzji, G - celem rozmytym, C - ogrniczeniem rozmytym, D - decyzją rozmytą. Elementy zioru X mogą yć dowolne, np. rodzj mteriłu, wielkość inwestycji, rodzj zkupu, strtegie rozwoju ekonomicznego itp. - wszystko co podleg wyorowi.

36 36 Stnisłw Kowlik Mmy tu do czynieni z sytucją, gdzie n możliwe decyzje są nłożone pewne ogrniczeni. więc nie wszystkie decyzje są dopuszczlne. Szukć ędziemy njlepszej decyzji spośród dopuszczlnych. Podmy terz definicje celu rozmytego i ogrniczeni rozmytego. Nstępnie określimy decyzję rozmytą. Definicj 3 Cel rozmyty określ się jko ziór rozmyty GX o funkcji przynleżności G (x). Przykłdowo, niech X=R ędzie ziorem licz rzeczywistych. Celem rozmytym może yć osiągnięcie liczy dużo większej od 00. Ziór G możn określić z pomocą funkcji przynleżności G (x), np. 0 dl x 00, ( x ) (69) G dl x ( x 00 ) Definicj 33 Ogrniczenie rozmyte definiuje się jko ziór rozmyty CX o funkcji przynleżności C (x). I tk n przykłd, gdy X=R jest ziorem licz rzeczywistych, to ogrniczeniem może yć wrunek, że licz powinn yć około 00. Funkcj przynleżności zioru C może yć przedstwion wzorem 0 dl x 00 lu x 50, ( x ) 0.0 x 3 dl 50 x 00, (70) C 0.0 x 5 dl 00 x 50. Jk widć, definicje celu rozmytego i ogrniczeni rozmytego są włściwie identyczne. Występuje tu ścisł nlogi między tymi pojęcimi. W teorii ziorów rozmytych trktuje się je jednkowo. 7.. Decyzj rozmyt Decyzj m yć tk, y osiągnąć pożądny cel orz spełnić ogrniczeni. Decyzj rozmyt D jest więc pewną gregcją ziorów rozmytych G i C. T gregcj ziorów G i C może yć dokonn n różne sposoy. Podstwow i powszechnie stosowną decyzją rozmytą jest decyzj rozmyt minimum [9]. Opier się on n zsdzie, y osiągnąć cel G i jednocześnie spełnić ogrniczenie C. Odpowid to gregcji ziorów G i C w sensie iloczynu (przecięci) ziorów rozmytych.

37 Wykorzystnie teorii ziorów Definicj 34 [30] Decyzję rozmytą typu minimum określ się jko Funkcj przynleżności decyzji rozmytej D jest nstępując D = G C. (7) x ) min ( ( x ), ( x )). (7) ( D G C x W literturze tę definicję nzyw się "pesymistyczną", jko że zuje n mniejszych wrtościch funkcji G (x) i C (x) [3; 4; 30]. Dl celu G i ogrniczeni C przedstwionych wzormi (69) i (70) decyzj D ędzie jk n rysunku 30. Możliwe dopuszczlne decyzje są z przedziłu (50, 50). Rys.30. Wyzncznie decyzji rozmytej i optymlnej Fig.30. Clculting of fuzzy decision nd optiml decision Możn też tworzyć decyzje rozmyte wykonując inne dziłni n ziorch G i C, np.: ) decyzj rozmyt typu iloczyn lgericzny D = G C, (73) ) decyzj rozmyt typu komincj wypukł o funkcji przynleżności c) decyzj rozmyt typu mksimum x ) r ( x ) ( r ) ( x ), r[0,], (74) ( D G C D = G C. (75) Osttni wymienion decyzj nzywn jest "optymistyczną" [3], [4], [30].

38 38 Stnisłw Kowlik 7.3. Decyzj optymln Otrzymn decyzj rozmyt jko iloczyn celu i ogrniczeni dje pewną wskzówkę, jk decyzj nierozmyt jest njlepsz. ędziemy wyierć tką decyzje nierozmytą, której stopień przynleżności w decyzji rozmytej jest njwiększy. Definicj 35 Decyzją optymlną nzywmy tkie x opt, że D ( x ) sup opt D x X ( x ). (76) Nleży zwrócić uwgę, że decyzj x opt nie zwsze musi yć jednoznczn, nwet może nie istnieć w przypdku, gdy ziory G i C są rozłączne. N rysunku 30 decyzją optymlną jest x opt,47. Podmy terz przykłd związny z prcą i ezpieczeństwem górników. Przykłd 5 W koplni nleży wywiercić otwór w górotworze w odległości około 500 metrów od wyznczonego punktu. Poniewż włsności górotworu w tym rejonie nie są cłkowicie znne, nleży wziąć pod uwgę to, y ezpieczeństwo górników yło możliwie duże. Cel G "około 500 metrów" schrkteryzowno funkcję przynleżności 0.0 x 8 dl 400 x 450, dl 450 x 550, ( x ) G (77) 0.0 x dl 550 x 600, 0 dl x 400 lu x 600. ezpieczeństwo prcy górników n interesującym ns kierunku od wyznczonego punktu określono w sposó przyliżony z pomocą funkcji dl 0 x 400, 5 ( x ).5 0 ( x 600 ) 0.5 dl 400 x 600, (78) C 0.5 dl x 600.

39 Wykorzystnie teorii ziorów Licz ozncz tu ezpieczeństwo równe 00%. Funkcje G (x) i C (x) pokzne są n rysunku 3. Możliwymi decyzjmi do podjęci są x[400, 600]. Decyzj optymln x opt mksymlizuje funkcję przynleżności D (x) D ( x ) sup ( x ) sup min[ ( x ), ( x )]. opt D G C x [ 400, 600 ] x [ 400, 600 ] (80) Mksimum dl funkcji D (x) jest osiągnięte dl x opt Nleży więc wywiercić otwór w odległości metrów od wyznczonego punktu. Rys.3. Decyzj rozmyt i optymln dl wierceni otworu w górotworze (przykłd 5) Fig.3. Fuzzy decusion nd optiml decision for perfortion in rock mss (exmple 5) 7.4. Podejmownie decyzji przy wielu celch i wielu ogrniczenich N zkończenie rozszerzymy nsze rozwżni n rdziej ogólny przypdek z wielom celmi rozmytymi i wielom ogrniczenimi rozmytymi. Przyjmujemy, że mmy k celów rozmytych G,...,G k i l ogrniczeń rozmytych C,..,C. Decyzję rozmytą ędziemy określć jko iloczyn D = G... G k C... C. (8) Funkcj przynleżności D (x) jest określon wzorem ( x ) min[ ( x ),...,, ( x ),..., ( x )] (8) D G G k C C l

40 40 Stnisłw Kowlik Jko decyzję optymlną xopt ędziemy przyjmowli tkie x, dl którego funkcj D (x) przyjmuje njwiększą wrtość. Decyzj optymln jest określon wzorem (76) tym smym, co w przypdku jednego celu i jednego ogrniczeni. 8. UWGI KOŃCOWE Teori ziorów rozmytych zyskuje soie oecnie corz większe uznnie. Znjduje zstosownie w różnych dziedzinch, o których ył mow w rozdzile. Poniewż w górnictwie wiele wielkości czy cech górotworu nie jest dokłdnie znnych lu wiele związków nie d się dokłdnie opisć, wydje się, że teori ziorów rozmytych mogły też yć tu zstosown. Podmy terz dziedziny, w których to teori mogły usprwnić proces podejmowni decyzji w górnictwie: ) przy ustlniu rejonów szczególnie nieezpiecznych w koplni, gdy znjomość górotworu jest tylko przyliżon, ) przy prognozowniu wstrząsów i tąpń, gdy opis zjwisk powstwni wstrząsów jest niedokłdny, c) przy orgnizcji prcy z uwzględnieniem możliwie dużego ezpieczeństw prcy, d) przy wyorze miejsc wierceni otworów dwczych pod szy, w przypdku niedokłdnego oszcowni wrunków nturlnych złoż, e) przy wyorze sposou orgnizcji głęieni szyu ze względu n rozmyty opis wrunków hydrogeologicznych, f) przy plnowniu drążeni wyroisk korytrzowych w przypdku, gdy opis górotworu m chrkter rozmyty, g) przy wyorze miejsc otworów strzłowych, w przypdku przyliżonej tylko znjomości górotworu, h) przy orgnizcji roót w wyroiskch ścinowych, gdy prmetry ścin nie są dokłdnie znne, i) przy inwestycjch, gdy przewidywne efekty możn tylko w przyliżeniu ocenić, j) przy projektowniu koplń, gdy wskźnik oceny ekonomicznej efektywności inwestycji trudno jest ocenić. Trudno przewidzieć, ile ędzie on wynosił po zrelizowniu inwestycji. Przytoczyliśmy tutj, niektóre tylko zgdnieni z zkresu górnictw, w których możn y wykorzystć teorię ziorów rozmytych w celu polepszeni procesu podejmowni decyzji. Tych oszrów zstosowń może yć więcej, poniewż sytucji niejsnych i nieprecyzyjnie opisnych może yć dużo.

41 Wykorzystnie teorii ziorów... 4 LITERTUR [] ellmn R.E., Zdeh L..: Decision - mking in fuzzy enviroment. Mngement Science 7, 970, nr 4. [] olc L., orodziewicz W., Wójcik M.: Podstwy przetwrzni informcji niepewnej i niepełnej. PWN, Wrszw 99. [3] Chns S.: Model sieciowy z nieostro określonymi czsmi trwni czynności. Instytut Orgnizcji i Zrządzni Pol. Wrocłwskiej. Komunikt 03, Wrocłw 976. [4] Chns S.: Metody udowy i nlizy modelu sieciowego przedsięwzięci z nieostro określonymi czsmi trwni czynności. Insytut Orgnizcji i Zrządzni Pol. Wrocłwskiej. Komunikt 0, Wrocłw 977. [5] Cholew W.: Zstosownie ziorów rozmytych w projektowniu ukłdów dignozujących stn mszyn. Zesz. Nuk. Pol. Śl., ser. Mechnik, z. 79, Gliwice 983. [6] Czj-Pośpiech D., Czogł E., Pedrycz W.: Sterownie rozmyte jko mtemtyczn formlizcj heurystycznego sposou sterowni złożonymi procesmi. Podstwy sterowni, 978, nr 8. [7] Czj-Pośpiech D., Czogł E., Pedrycz W.: Metod sterowni oprt n regułch logiki rozmytej. Zesz. Nuk. Pol. Śl.., ser. utomtyk z. 4, Gliwice 978. [8] Czj-Pospiech D., Czogł E., Pedrycz W.: Regultory DDC regultory rozmyte w sterowniu procesmi przemysłowymi Zesz. Nuk. Pol. Śl., ser. utomtyk z. 47, Gliwice 979. [9] Czj-Pośpiech D., Czogł E., Pedrycz W.: Wielokrotne implikcje i złożeniowe reguły wnioskowni w logice wielowrtościowej (rozmytej). Zesz. Nuk. Pol. Śl., ser. Mt.-Fiz. z. 3, Gliwice 980. [0] Czogł E.: Proilistic sets in decision mking nd control. Verlg TÜV Rheinlnd. Köln 984. [] Czogł E., Pedrycz W.: Koncepcj sterowni rozmytego oprt o stny chrkterystyczne. Zesz. Nuk. Pol. Śl., ser. utomtyk z. 47, Gliwice 979. [] Czogł E., Pedrycz W.: Prolemy sterowni w systemch opisnych równnimi relcyjnymi. Prce VIII Krjowej Konferencji utomtyki, Szczecin 980. [3] Czogł E., Pedrycz W.: Elementy i metody teorii ziorów rozmytych. Skrypt Pol. Śl. nr 989, ser. utomtyk, Gliwice 980. [4] Czogł E., Pedrycz W.: Elementy i metody teorii ziorów rozmytych. PWN, Wrszw 985. [5] De Luc., Termini S.: Entropy of L-fuzzy sets Jnform. Control, 974, nr 4.

42 4 Stnisłw Kowlik [6] De Luc., Termini S.: On the corvergence of entropy mesures of fuzzy set. Kyernetes, 977, nr 6. [7] De Luc., Termini S.: Entropy nd energy mesures of fuzzy set. In: Gupt, Rgde, Yger [ ]. North-Hollnd msterdm 979. [8] Deng Z.: Fuzzy pseudo-metric spces. JM 6, 98, nr 80, U.Śl. [9] Drewnik J.: Fuzzy reltion clculus. Prce Nukowe U. Śl. nr 063, Ktowice 989. [0] Drewnik J.: Podstwy teorii ziorów rozmytych. Skrypt U. Śl. nr 347, Ktowice 987. [] Erceg M..: Metric spces in fuzzy set theory. JM 979, nr 69. [] Giles R.: Łuksiewicz logic nd fuzzy set theory. IJMMS, 976, nr 8. [3] Gorzłczny M.., Stchowicz M.S.: O pewnych koncepcjch udowy regultorów rozmytych. Zesz. Nuk. GH, ser, Elektryfikcj i Mechnizcj z. 3, Krków 98. [4] Gupt M.M., Rgde R.K., Yger R.R.: dvnces in fuzzy set theory nd pplictions. North-Hollnd. msterdm 979. [5] Hutton.: Products of fuzzy topologicl spces. Gen. Topology ppl. 980, nr. [6] Hutton., Reilly L.: Seprtion xioms in fuzzy topologicl spces. FSS 980, nr 3. [7] Kcprzyk J.: Pró zstosowni zmiennych lingwistycznych do opisu i optymlizcji struktur orgnizcyjnych. Prce VI Krjowej Konf. utom., Poznń 974. [8] Kcprzyk J.: Zstosownie ziorów rozmytych do optymlnego przydziłu stnowisk prcy. rchiwum utom. Telemech., 975, nr 0. [9] Kcprzyk J.: Wieloetpowe podejmownie decyzji w wrunkch rozmytości. PWN, Wrszw 983. [30] Kcprzyk J.: Ziory rozmyte w nlizie systemowej. PWN, Wrszw 983. [3] Koczy L.T., Hjnl M.: new ttempt to xiomtize fuzzy lger with n ppliction exmple. Prolems of Control nd Informtion Theory, 977, vol. 6. [3] Knopfmcher J.: On mesures of fuzziness. J. of Mth. nl. nd ppl 975, nr 49. [33] Lee R.C.T., Chng C.L.: Some properties of fuzzy logic. Inform. Control 97, nr 9. [34] Łuksiewicz J.: Interpretcj liczow teorii zdń. Ruch filozoficzny 7, Wrszw 9. [35] Łuksiewicz J.: Selected works, PWN, Wrszw 970. [36] Pedrycz W.: On the use of fuzzy Łuksiewicz logic for fuzzy control. rchiwum utomtyki i Telemechniki, 980, nr 3. [37] Pedrycz W.: O metodzie predykcji oprtej n logice wielowrtościowej. Zesz. Nuk. Pol. Śl., ser. utomtyk z. 47, Gliwice 979. [38] Pedrycz W.: Stilność w systemch opisnych relcjmi rozmytymi. Zesz. Nuk. Pol. Śl., ser. utomtyk z. 47, Gliwice 979.

43 Wykorzystnie teorii ziorów [39] Pedrycz W.: O wyznczniu sterowni w dilogowych systemch sterowni opisnych równnimi relcyjnymi. Zesz. Nuk. Pol. Śl., ser. utomtyk z. 50, Gliwice 980. [40] Pedrycz W.: Sterownie i systemy rozmyte. Zesz. Nuk. Pol. Śl., ser. utomtyk z. 70, Gliwice 983. [4] Snchez E.: Inverses of fuzzy reltions. ppliction to possiility distriutions nd medicl dignosis. Proc. IEEE Conf. Decision nd Control. New Orlens 977. [4] Snchez E.: Medicl dignosis nd composite fuzzy reltions. dvnces in fuzzy sets theory nd pplictions. North-Hollnd msterdm 979. [43] Srn M.: dekwtność modelowni mtemtycznego technicznych systemów mechnicznych w języku teorii i ziorów rozmytych. Zesz. Nuk. Pol. Łódź., Rozprwy Nukowe 48, Łódź 983. [44] Skl H.J.: On mny-vlued logics, fuzzy sets, fuzzy logics nd their pplictions. FSS 978, nr. [45] Wiess M.D.: Fiseedpoints seprtion nd induced topologies for fuzzy sets. J. of Mth. nl. nd ppl. 975, nr. [46] Wilk T.: lgorytmy podejmowni decyzji z zstosowniem ziorów rozmytych. Prce VII Krjowej Konf. utomtyki., Rzeszów 977. [47] Wygrlk M.: few words on the importnce of Jn Łuksiewicz works for fuzzy susets theory. Zeszyty Nuk. kd. Ekonom., Poznń (w druku). [48] Zdeh L..: Fuzzy sets. Informtion nd Control, vol. 8, 965. [49] Zdeh L..: iologicl ppliction of the theory of fuzzy sets nd systems. iocyernetics of the centrl ner vous system. oston, Little 969. [50] Zdeh L..: Outline of new pproch to the nlysis of complex systems nd decision processes. IEEE Trns. Systems Mn nd Cyernetics SMC, 3 Jnury 973. Wpłynęło do Redkcji w sierpniu 993 r. Recenzent: Prof. dr. h. Jdwig ORYLSK strct fuzzy set theory is new one of still growing populrity [], [4], [0], [30]. First pper (works) on this theory were pulished y Zdeh [48] in 965. ctully, the fuzzy set theory is eing pplied in mny spheres i.e. - topology [5], [6], [45]; - theory of mesurement nd lgeric structures [], [3], [3];

44 44 Stnisłw Kowlik - steering [6], [7], [8], [0], [], [], [3], [39], [40]; - mechnics [5], [43]; - network models designing [3], [4]; - stility [38]; - orgniztion [7], [8]; - deduction [9], [3], [37]; - decision mking process [0], [3], 4], [9], [46]; - medicl dignostics [4], [4], [49]. In this pper - t heory of fuzzy sets ws used in decision mking process. This prolem ws considered in ppers [0], [3], [4], [9], [46]. First chpters include sis elements of fuzzy sets theory. fuzzy set ws defined y memership function (x). Vlues of this function re numers of prtition [0,]. Different rules on fuzzy sets were defined in next chpters. Exmples of these rules for countly infinite nd uncontle fuzzy sets re lso included. In chpter 5 notion on fuzzy numer ws descried. This numer ws mrked in the sme wy s it ws presented in work []. This mrk is of [,,,] kind. Rules of ddition, sustrction, multipliction nd division were defined for fuzzy numers. converse numer ws lso defined. sic ide of fuzzy sets theory is the reltion etween fuzzy sets, nd sic rule of this reltion is its folding. n ide of fuzzy its sets folding is presented in chpter 6. mximized rule of reltion folding nd other types of folding were lso presented in chpter 6. decision mking process sed on the theory of fuzzy sets ws descried in chpter 7 where the notion of fuzzy environment suggested y ellmn nd Zdeh is used. n X set of possile decisions, G fuzzy set s trget, nd C fuzzy set s fuzzy limit for decision re given. Using G nd C sets-it is posile to define fuzzy decision D [3], [9], [30]. Owing to fuzzy decision D it is possile to determine n ptiml unfuzzy decision xopt. This decision is mximizing the memership function D (x).