ZBIORY ROZMYTE. METODY INTELIGENCJI OBLICZENIOWEJ wykład 6 I WNIOSKOWANIE PRZYBLIŻONE. sets

Transkrypt

1 METODY INTELIGENCJI OBLICZENIOWEJ wykłd 6 ZBIORY ROZMYTE I WNIOSKOWNIE PRZYBLIŻONE 965 Lotfi. Zdeh: : Fuzzy sets Metod reprezentcji wiedzy wyrżonej w języku nturlnym: Tempertur wynosi 9 o C informcj liczow - nturln dl systemów komputerowych. Jest dość ciepło informcj opisow - nturln dl człowiek. In lmost every cse you cn uild the sme product without fuzzy logic, ut fuzzy is fster nd cheper. Prof. Lotfi Zdeh, UC Berkeley, Inventor of Fuzzy Logic 3 Klsyczn teori ziorów: : dowolny element nleży lu nie nleży do dnego zioru. Teori ziorów rozmytych: element może częściowo nleżeć do pewnego zioru. 4 młody człowiek : μ.8 młody Zmist dwóch wrtości logicznych (prwd i fłsz) nieskończenie wiele wrtości [,]. młody Oszr rozwżń X (thethe universe of discourse) discourse - ziór nierozmyty (np. płc w UK i w Polsce). Ziór rozmyty w pewnej przestrzeni (niepustej) X - ziór pr: (, μ ( )); X { } 3 klsycznie [lt] 3 [lt] sposó rozmyty μ () funkcj przynleżności zioru rozmytego. Umożliwiją formlne określenie pojęć nieprecyzyjnych i wielozncznych: wielozncznych: - wysoki hłs, - duże zroki, - niskie zużycie pliw. 5 Funkcj przynleżności przypisuje kżdemu ele- mentowi X stopień jego przynleżności do zioru rozmytego. 6

2 μ ()) pełn przynleżność elementu do ZR ; μ ()) rk przynleżności do ZR ; < μ () < częściow przynleżność do ZR. Stopień przynleżności to nie jest prwdopodoieństwo: młody w 8% to nie 4 młodych n 5 Symoliczny zpis ZR o skończonej liczie elementów: μ ( ) μ ( ) μ ( ) μ ( ) n n i n i i sum mnogościow przyporządkownie 7 Np. Ciepł wod n senie : Oszr rozwżń: X [5,,..., 35] Ziór rozmyty (według osoy nr ): Według osoy nr : Jeśli X - przestrzeń o nieskończonej liczie elementów, to zpis symoliczny: to zpis symoliczny: μ ( ) 8 Np. Ziór licz liskich liczie 7 : lu μ ( ) + ( 7) - + ( -7) -7 jeżeli 4 μ( ) 3 w przeciwnym rzie μ ( ) μ ( ) STNDRDOWE FUNKCJE PRZYNLEŻNOŚCI GUSSOWSK F. PRZYNLEŻNOŚCI ' μ ( ; ', ) ep μ().5 ' środek; określ szerokość krzywej.5 F. PRZYNLEŻNOŚCI KLSY s dl - dl c- sc ( ;,, ) - c dl c c- dl c μ ( ).5 + c c

3 F. PRZYNLEŻNOŚCI KLSY π (zdef.. poprzez klsę s) s( c ; - c, - /, c) dl π ( c ;, ) - s( cc ;, + /, c+ ) dl c F. PRZYNLEŻNOŚCI KLSY γ (lterntyw dl s) dl γ ( ;, ) dl dl μ ( ) μ ( ) F. PRZYNLEŻNOŚCI KLSY L.5 c- c-/ c c+/ c+ 6 3 μ ( ) dl - L( ;, ) - dl dl 4 F. PRZYNLEŻNOŚCI KLSY t (lterntyw dl π) μ ( ).5 c- c-/ c c+/ c+ 6 μ ( ) dl dl tc ( ;,, ) c dl c c dl c F. PRZYNLEŻNOŚCI KLSY singleton ( ) ( - ') jeżeli ' μ δ jeżeli ' μ ( ).5 c 5 ' Singleton chrkteryzuje jednoelementowy ziór r rozmyty. Funkcj t jest wykorzystywn głównie g do opercji rozmywni w systemch wnioskujących. 6 prędkość smochodu: X: [, m ] Mł prędkość smochodu () typ L Średni prędkość smochodu (B) typ t Duż prędkość smochodu (C) typ γ.5 μ () μ B () μ C () μ ()).5, μ B ().75, μ C () m 7 μ() α Jądro α - przekrój Bz Nośnik (z) zioru rozmytego : ziór elementów ZR, dl których μ ()) > { X μ } supp ; ( ) > α -przekrój zioru rozmytego : ziór nierozmyty tki, że: { X } α : μ( ) α ( α [,] Jądro zioru rozmytego : z. elementów ZR, dl których μ() core( ) { X : μ ( ) } 8 3

4 α -przekroje: X{,..., } X {,..., },. {, 4, 5, 8, },.3 {4, 5, 8, },.6 {5, 8},.7 {5}. 9 Wysokość zioru rozmytego : Ziór normlny: Normlizcj zioru: h ( ) sup μ ( ) h ( ) - przed normlizcją: - po normlizcji: μ( ) μ ( ) N h ( ) X N Inkluzj (zwiernie sie ZR w ZR B): μ () μ () ZR wypukły: μ B () μ () ZR niewypukły: μ () OPERCJE N ZBIORCH ROZMYTYCH Równość dwu ZR i B: μ ( ) μ ( ) X B PRZECIĘCIE W literturze istnieje wiele definicji przecięci (iloczynu) ziorów rozmytych pod wspólną nzwą T-norm. μ ( ) T ( μ ( ), μ ( )) B B Njczęściej stosown definicj przecięci ziorów i B: { } μ ( ) min μ ( ), μ ( ) B B μ () μ () μ B () μ () μ B () SUM μ () μ () μ B () Definicje sumy ziorów rozmytych mją nzwę S-norm. { } μ ( ) m μ ( ), μ ( ) B B DOPEŁNIENIE zioru rozmytego: μ ˆ( ) μ ( ) μ () μ () μ () μ B () μ Â () lu (iloczyn lgericzny): μ B( ) μ ( ) μb( ) μ () μ () μ B () μ () μ B () 3 Dl ZR nie są spełnione prw dopełnieni: ˆ X ˆ 4 4

5 Przykłd: Przecięcie: Sum: X {,,3,4,5,6,7}.5.8 B B B Przykłd: Przecięcie: Sum: X {,3,4,5,6,7} ˆ ˆ ˆ X LICZBY ROZMYTE Liczy rozmyte to ZR zdefiniowne n osi licz rzeczywistych. Wymgni: np.: μ () ziór normlny: h(); ziór wypukły; funkcj przynleżności przedziłmi ciągł. 7 dodtnie ujemne; ni dodtnie ni ujemne. μ () 8 Dodwnie licz rozmytych: μ ( ) m { μ ( y), μ ( z) y z} B B + + μ μ (y) μ B (z) μ +B () Trójkątne liczy rozmyte: Opis: - f. przynleżności klsy t; - jko: (,, ) M μ () Mnożenie licz rozmytych: μb ( ) min { μ( y), μb( z) y z} μ μ (y) μ B (z) μ B () 9 Wyostrznie trójkątnej () liczy rozmytej: y M M + 4 y () M y y (3) (4) M M 3 5

6 Płskie liczy rozmyte: μ() PRZYBLIŻONE WNIOSKOWNIE 3 3 Logik trdycyjn (dwuwrtościow): O prwdziwości zdń wnioskuje się n podstwie prwdziwości innych zdń. : logiczną wrtością zdni jest prwd; : logiczną wrtością zdni jest fłsz. Funktory logiczne: Schemt notowni: Nd kreską zdni, n podstwie których się wnioskuje; Pod kreską otrzymny wniosek. Jeśli prwdziwe są wszystkie zdni powyżej kreski to prwdziwy jest też wniosek. Terz:, B zdni. 33 Opercj logiczn negcj koniunkcj lterntyw implikcj równowżność tożsmość kwntyfiktor ogólny kwntyfiktor szczególny Funktor ~ lu Czyt się: nie jest prwdą, że... i, orz lu jeżeli... to... wtedy i tylko wtedy, gdy... jest tożsme... dl kżdego... istnieje tkie Implikcj (wyniknie): Zdnie logiczne o strukturze jeśli p to q" " (p q)( p poprzednik implikcji; q nstępnik implikcji. Implikcj jest prwdziw: gdy q jest prwdziwe; gdy p i q są fłszywe. 35 REGUŁY WNIOSKOWNI MODUS PONENS Modus ponendo ponens sposó wnioskowni przez twierdzenie p do twierdzeni q. Przesłnk: Implikcj: B Z prwdziwości przesłnki i implikcji wynik prwdziwość wniosku. Jcek jest kierowcą B Jcek m prwo jzdy Jeśli to B B 36 6

7 MODUS TOLLENS Modus tollendo tollens sposó wnioskowni prowdzący przez przeczenie do przeczeni. Przesłnk: Implikcj: ~B B ~ Z prwdziwości przesłnki i implikcji również wynik prwdziwość wniosku. B (~B( ~B) Jcek nie m prw jzdy (~) Jcek nie jest kierowcą Jeśli B to 37 REGUŁY WNIOSKOWNI W LOGICE ROZMYTEJ Reguły, których przesłnki lu wnioski wyrżone są w języku ziorów rozmytych. Reguły pochodzące od ekspertów zwykle wyrżone są w języku nieprecyzyjnym. Ziory rozmyte pozwlją przełożyć ten język n konkretne wrtości liczowe. Prc systemu decyzyjnego oprtego n logice rozmy- tej zleży od definicji reguł rozmytych w zie reguł. 38 Reguły mją postć IF...ND...THEN. np.: IF is ND is B THEN c is C IF is ND is NOT B THEN c is C gdzie:,, c zmienne lingwistyczne,,,..., C ziory rozmyte. Różnice w porównniu z klsycznymi regułmi IF-THEN THEN: Wykorzystnie W zmiennych opisujących ziory rozmyte; Występownie mechnizmu określjącego stopień przynleżności elementu do zioru; Wykorzystnie opercji n ziorch rozmytych. Schemt wnioskowni, w którym przesłnk, implikcj i wniosek są nieprecyzyjne: Zmienne lingwistyczne: zmienne, które przyjmują jko wrtości słow lu zdni wypowiedzine w języku nturlnym. (również również wrtości liczowe). 39 Przesłnk nk: : Implikcj: Prędkość smochodu jest duż Jeśli prędko dkość smochodu jest rdzo duż poziom hłsu su jest wysoki Poziom hłsu jest wysoki 4 Przesłnk: Implikcj: Prędkość smochodu jest duż Jeśli prędko dkość smochodu jest rdzo duż poziom hłsu su jest wysoki Poziom hłsu jest wysoki Przesłnk: Implikcj: Prędkość smochodu jest duż Jeśli prędko dkość smochodu jest rdzo duż poziom hłsu su jest wysoki Poziom hłsu jest wysoki Rozmyt reguł wnioskowni modus ponens : Przesłnk: Implikcj: jest Jeśli jest y jest B y jest B 4 Zmienne lingwistyczne: prędkość smochodu y poziom hłsu Ziór wrtości zmiennych lingwistycznych: : : T{ mł mł, średni średni, duż duż, rdzo duż } y: : T{ mły mły, średni średni, wysoki wysoki, wysoki wysoki } 4 7

8 Do kżdego elementu ziorów T i T możn przyporządkowć ziór rozmyty o złożonej przez ns funkcji przynleżności. Tu: prędkość smochodu jest rdzo duż ; prędkość smochodu jest duż ; B poziom hłsu jest wysoki ; B poziom hłsu jest wysoki. Implikcj m tą smą postć ( B) w regule rozmytej jk i w nierozmytej. W regule rozmytej jej przesłnk nie dotyczy z. rozmytego lecz,, który może yć zliżony do,, le niekoniecznie Poniewż - wniosek jest inny niż yły w przypdku reguły nierozmytej. Ziór rozmyty B jest określony przez złożenie zioru rozmytego orz implikcji B: B' ' ( B) Rozmyt reguł wnioskowni modus tollens : Przesłnk: Implikcj: y jest B Jeśli jest y jest B jest Wyzncznie funkcji μ B (,y) gdy μ () orz μ B (y) są znne:. Reguł Mmdniego: 3. Reguł Łuksiewicz: μ B(, y) min,- μ( ) + μb( y) 4. Reguł Zdeh:... μ (, y) min[ μ ( ), μ ( y)] B B. Reguł Lrsen: μ B(, y) μ( ) μb( y) [ ] { [ ] } μ B(, y) m min μ( ), μb( y), μ( ) 45 STEROWNIKI ROZMYTE 46 Zstosowni prktyczne: sprzęt GD (prlki, lodówki, odkurzcze); kmery (utofokus( utofokus); ndzór wentylcji w tunelch; sterownie świtłmi n wjeździe n utostrdę; klimtyzcj; utomtyk przemysłow; sterownie rootów; Nie wymgją tworzeni modelu rozwżnego procesu (co często jest trudne); Nleży jedynie sformułowć zsdy postępowni w postci rozmytych reguł (IF( IF....THEN). Schemt ukłdu klimtyzcji:, y pomieszczenie KLIMTYZTOR czujnik tempertury STEROWNIK ROZMYTY zmierzone wrtości wejściowe; czujnik wilgotności sygnł sterujący (intensywność chłodzeni). 48 8

9 STEROWNIK ROZMYTY: Np. Sterownie ogrzewniem: BZ REGUŁ Cen ogrzewni mróz Tempertur zimno chłodno BLOK ROZMYWNI ' X BLOK WNIOSKOWNI B' BLOK WYOSTRZNI y tnio drogo mocno mocno mocno sło sło wcle Bz reguł (model lingwistyczny): ziór rozmytych reguł w postci: R ( k ) : IF ( is ND is ND is ) k k k n n k THEN ( y is B ND y is B ND y is B ) k k m m R () R : IF is ND is () ( Tempertur mróz Cen _ ogrz tnio) THEN ( Grzć is mocno) : IF ( Tempertur is chłodno ND Cen _ ogrz is drogo) THEN ( Grzć is wcle) 49 5 ROZMYWNIE (fuzzyfikcj) Przejście od pomirów (konkretn wrtość ) do funkcji przynleżności przez określenie stopni przyn- leżności zmiennych lingwistycznych do kżdego ze ziorów rozmytych. Tempertur: T 5 C Cen_ogrz: p 48zł/MBTU (3) R : IF ( Tempertur is chłodno ND Cen _ ogrz is tnio) THEN ( Grzć is ).5 5 C μ chłodno (T).5 T.3 μ tnio (p).3 48zł/MBtu Stopień spełnieni reguły dl wszystkich przesłnek: μ ( ) min{ μ ( T), μ ( p)} cłe chłodno tnio p μ chłodno (T) μ tnio (p) min{.5,.3} C T.3 48zł/MBtu p 5 poziom zpłonu reguły 5 WNIOSKOWNIE Olicznie stopni prwdziwości wniosku: Wnioskownie MIN: μ wniosku min{ μ, μ } μ (h) cłe GREGCJ μ wniosku Jeżeli więcej niż jedn reguł m niezerowy poziom zpłonu, wyniki (ziory rozmyte) sumuje się. THEN Grzć is sło THEN Grzćis THENGrzć is mocno μ cłe.3 μ wniosku (h) h sło mocno h

10 WYOSTRZNIE (defuzzyfikcj) Jeżeli n wyjściu wymgn jest wrtość liczow,, stosuje się jedną z metod wyostrzni: Metod pierwszego mksimum: Metod środk mksimum: Metod środk ciężkości (COG): 55 Tu: μ wniosku sło COG mocno 57 h i i h μ c i i i μ i powierzchni zioru i μ i stopień przynleżności do zioru i c i środek ciężkości zioru i. i i 56 STEROWNIKI ROZMYTE TKGI-SUGENO Bz reguł sterownik m chrkter rozmyty tylko w częś ęści IF. W częś ęści THEN występuj pują zleżno ności funkcyjne. Reguły Mmdniego: : wynikiem jest ziór r rozmyty B: IF ND n n THEN y B Reguły Tkgi-Sugeno Sugeno: : wynikiem jest funkcj f ( i ): IF ND n n THEN y f (,,.. n ) Zwykle sąs to funkcje liniowe : f ( i ) y + + n n 59 R () : IF prędkość is nisk THEN hmownie prędkość R () : IF prędkość is średni THEN hmownie 4 prędkość R (3) : IF prędkość is wysok THEN hmownie 8 prędkość μ.8.3. R () : w.3; r R () : w.8; r 4 R (3) : w 3.; r 3 8 nisk średni wysok Prędkość w ri Hmownie 7. w i i 6