ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seria: Technologie Informacyjne 2007 ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE KOMPUTEROWEJ
|
|
- Sylwia Sosnowska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seri: Technologie Informcyjne 007 Tomsz Dobrowolski Ktedr Algorytmów i Modelowni Systemów Politechnik Gdńsk ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE KOMPUTEROWEJ Streszczenie Prc opisuje metody pokrywni trójkątnymi płytkmi dowolnych powierzchni trójwymirowych reprezentownych przez sitki trójkątne. Omówione są znne metody konstruowni i ukłdni trójkątnych płytek orz ich optymlizcj lgorytmmi kolorowni grfów. Zproponown jest również ulepszon, hybrydow metod, umożliwijąc pokrycie dowolnej powierzchni wzorem, który wymg kierunkowego uporządkowni. Przykłdem zstosowń może być modelownie wzorów n futrze zwierząt (np. pski zebry, cętki lmprt) orz wzorów skłdjących się z łusek (występujących u ryb i gdów). Metod umożliwi optymlizcję ilości pmięci zjmownej przez teksturę orz utomtyczne pokrywnie wzorem geometrii generownej procedurlnie. Słow kluczowe: grfik komputerow, teksturownie dowolnych powierzchni, periodyczne kfelkownie. WSTĘP Prezentown w niniejszej prcy metod umożliwi pokrycie dowolnych powierzchni trójwymirowych, reprezentownych przez sitki trójkątne, qusi-powtrzlnym wzorem skłdjącym się z odpowiednio ułożonych trójkątnych płytek. Opisne są dwie podstwowe metody ukłdni trójkątnych płytek wykorzystujące kolorownie krwędzi i wierzchołków, orz ulepszon metod hybrydow, umożliwijąc pokrycie dowolnej powierzchni wzorem o kierunkowym chrkterze. Sitk trójkątn S = (V, T), to zbiór wierzchołków V i trójkątów T. Kżdy trójkąt to uporządkown trójk wierzchołków. Trójkąt oprty n wierzchołkch, b i c (kolejność m znczenie), oznczmy jko (,b,c). Dl kżdego trójkąt t = (,b,c) możemy określić zbiór skierownych krwędzi, zorientownych zgodnie z uporządkowniem wierzchołków t jko E(t) = ((,b),(b,c),(c,)). Zbiór wszystkich skierownych krwędzi oznczmy jko E(S). Poprwnie zorientown sitk trójkątn to tk sitk trójkątn, w której żdne dw trójkąty nie zwierją tkiej smej skierownej krwędzi (,b), orz może być co njwyżej
2 Tomsz Dobrowolski jedn pr trójkątów, zwierjących przeciwnie skierowne krwędzie oprte o te sme wierzchołki: (,b) orz (b,). W prcy używne jest określenie kolorowni wierzchołków bądź krwędzi sitek trójkątnych, przez które rozumine jest przypisywnie liczby nturlnej, zwnej kolorem, do elementów sitki (wierzchołków lub skierownych krwędzi).. TRÓJKĄTNE KAFELKOWANIE Kżdą poprwnie zorientowną sitkę trójkątną S możn pokryć wzorem z 4 trójkątnych płytek. Algorytm pokrywni wzorem rozpoczyn się od dowolnego, losowego pokolorowni wierzchołków sitki S dwom kolormi ze zbioru {,} lub odpowiedniego kolorowni skierownych krwędzi dwom kolormi ze zbioru {,}, w tki sposób, że jeśli krwędź (,b) zostnie pokolorown kolorem x to krwędź (b,) musi być pokolorown kolorem przeciwnym, tj. -x. Funkcję kolorującą wierzchołki oznczmy jko: C V (S): V {,}, funkcję kolorującą skierowne krwędzie: C E (S): E(S) {,}, gdzie C E ((,b)) = -C E ((b,)). Dzięki pokolorowniu wierzchołków lub skierownych krwędzi kżdemu trójkątowi w sitce przyporządkowujemy jedną z możliwych trójkątnych płytek. Dl kżdego trójkąt istnieją tylko 4 możliwe ukłdy niewrżliwe n obroty z nstępującymi kolormi wierzchołkch bądź skierownych krwędzich: {{,,}, {,,}, {,,}, {,,}}. A B C D Rysunek. Zbiór 4 płytek dl odpowiedniego kolorowni skierownych krwędzi, wystrczjący do pokryci dowolnej sitki trójkątnej przykłdowym wzorem. Krwędź pokolorown jest dopsown do przeciwnie skierownej krwędzi pokolorownej.
3 Zstosowni trójkątnych płytek w grfice komputerowej Dl trójkąt (,b,c) ze zbiorem krwędzi skierownych: ((,b),(b,c),(c,)), istnieją nstępujące możliwe ukłdy implikujące wybór odpowiednich płytek: Płytk C V() lub C E((,b)) C V(b) lub C E((b,c)) C V(c) lub C E((c,)) A B B B C C C D Możn zuwżyć, że obrót płytek B i C jest jednozncznie określony, ntomist płytki A i D możn dowolnie obrcć, bez utrty dopsowni. A B C D Rysunek. Zbiór 4 płytek z pokolorownymi wierzchołkmi, wystrczjący do pokryci dowolnej sitki trójkątnej przykłdowym wzorem. Metod teksturowni wykorzystując trójkątne płytki kolorowne dwom kolormi krwędziowo i wierzchołkowo zostł opisn przez Neyret i Cni []. Niemniej jednk możn przyjrzeć się dokłdniej lgorytmowi kolorowni. Kżd sitk trójkątn z nieskierownymi krwędzimi jest grfem plnrnym, więc d się leglnie pokolorowć używjąc 4 kolorów (z twierdzeni o kolorowniu mp czterem brwmi, Appel i Hkken [6]). Stąd dl sitek plnrnych wystrczy użycie płytek B i C (w metodzie kolorowni wierzchołkowego), przez leglne pokolorownie wierzchołków njpierw 4 kolormi później przez odpowiednie zmniejszenie liczby
4 4 Tomsz Dobrowolski kolorów do dwóch: {,} orz {,4}. Poniewż kżdy trójkąt będzie pokolorowny różnymi kolormi, po zmniejszeniu do dwóch, kolor co njmniej jednego wierzchołk będzie się różnił, stąd możn ogrniczyć się jedynie do płytek B i C: {,,} orz {,,}. Niestety sitki reprezentujące powierzchnie o dodtnim genusie (w literturze polskiej genus jest zwny również rodzjem, dl torus genus g=, dl precelk z n dziurmi, g=n) nie zwsze są 4-kolorowlne. Widomo ntomist, że odpowiednio gęste (o odpowiednio długim nieściąglnym cyklu) sitki o dodtnim genusie są co njwyżej 5-kolorowlne (Thomssen [5], Hutchinson [4]), niestety znne są również szczególne przypdki stosunkowo niewielkich grfów (niekoniecznie sitek trójkątnych) opisujących tkie powierzchnie o liczbie chromtycznej większej niż 5 i tym większej, im wyższy jest genus powierzchni (Hewood []).. UPORZĄDKOWANE KOLOROWANIE TRÓJKĄTNEJ SIATKI W metodzie kolorowni wierzchołkowego kżd kombincj dwóch kolorów jest dozwolon, stąd duż dowolność w ukłdniu płytek n dnej trójkątnej sitce. W celu (!) strt Rysunek. Kolorownie sitki nprzemiennie kolormi. zmodelowni wzorów przejwijących pewną regulrność (np. pski zebry lub łuski ryby), możn kolorowć sitkę nprzemiennie. Zczynjąc od dowolnego wierzchołk (np. o njmniejszych współrzędnych) możemy sukcesywnie kolorowć przeciwnym kolorem sąsidujące z nim wierzchołki, nstępnie przeciwnym kolorem sąsidujące z nowo pokolorownymi, i powtrzć ż wszystkie wierzchołki zostną pokolorowne (rys. ). strt Rysunek 4. Kolorownie sitki nprzemiennie kolormi pozwl wyznczyć kierunek rozchodzeni się wzoru.
5 Zstosowni trójkątnych płytek w grfice komputerowej 5 Tkie pokolorownie nie gwrntuje uniknięci płytek o jednkowych kolorch n wierzchołkch, tj. płytek {,,} orz {,,}, jednk umożliwi znczne zredukownie ich liczby w końcowym ułożeniu, co okzuje się wystrczjące do zstosowń prktycznych. Korzystjąc z 4 płytek pokolorownych dwom kolormi n wierzchołkch nie możemy ntomist pokryć sitki fkturą rozchodzącą się wzdłuż określonego kierunku (np. jk łuski ryb i gdów), poniewż często sąsidowć będą ze sobą obrócone o 80 stopni jednkowo pokolorowne płytki. Rysunek 5. Zestw 0 płytek pozwljących opisć wzory o chrkterze kierunkowym. Aby zmodelowć wzory dopsowne do siebie kierunkowo możn użyć 0 płytek pokolorownych nieleglnie kolormi n wierzchołkch (rys. 5). Jeśli sitk jest 6- kolorowln w sposób leglny (wszystkie sitki plnrne możn kolorowć 6 kolormi w sposób zchłnny, również sitki reprezentujące powierzchnie o dodtnim genusie są 6- kolorowlne, jeśli spełniją wspomnine wyżej złożeni o długości nieściąglnego cyklu) możn ogrniczyć się do 7 płytek, kolorując sitkę 6 kolormi i zmniejszjąc liczbę kolorów do przez odpowiednie mpownie (nlogiczne jk dl dwóch kolorów): {,}, {,4}, {5,6}. Przy tkim pokolorowniu nie wystąpią płytki: {,,}, {,,} orz {,,}, poniewż kżdy trójkąt m pierwotnie uniktowo pokolorowne wierzchołki, stąd po zmniejszeniu liczby kolorów, kolory co njmniej dwóch wierzchołków + mod + mod Rysunek 6. Hybrydowy ukłd 7 trójkątnych płytek, częściowo kolorownych wierzchołkowo, częściowo krwędziowo. Symbol ozncz dowolny z kolorów. Opercj mod (modulo) dził w pierścieniu {,,}. Krwędzie z kolorem psują do przeciwnie skierownych krwędzi z kolorem.
6 6 Tomsz Dobrowolski będą się różnić. Optymlne kolorownie sitek ogrnicz jednk możliwość swobodnej kontroli nd kierunkiem rozchodzeni się wzoru, dltego w proponownej metodzie również wykorzystno kolorownie bez nrzuconych ogrniczeń. Kolorując nprzemiennie sąsiednie wierzchołki możemy pokryć sitkę wzorem rozchodzącym się po powierzchni sitki promieniście od strtowego wierzchołk (rys. 4). W przypdku zmkniętych powierzchni może okzć się konieczne użycie płytek {,,}, {,,}, {,,} lub {,,} w miejscch, gdzie wzoru nie d się odpowiednio zczesć (zgodnie z twierdziem o niemożliwości zczesni sfery, które dowodzi, że kżde ciągłe pole wektorów stycznych n sferze S musi przyjmowć wrtość zerową przynjmniej w jednym punkcie [9]). Biorąc pod uwgę liczne możliwe ukłdy płytek do pokrywni powierzchni ukierunkownych wzorów njlepszy wydje się ukłd hybrydowy skłdjący się z 7 płytek, cześciowo kolorownych wierzchołkowo, częściowo krwędziowo. W odróżnieniu od zestwu 0 płytek prezentownego n rys. 5 orz pierwotnego zestwu 4 płytek kolorownych dwom kolormi n wierzchołkch, nowy ukłd nie wymusz symetrycznego dopsowni wzoru n krwędzich pokolorownych jednym kolorem. Pokolorownie ukłdu hybrydowego wymg użyci specjlnego lgorytmu:. Kolorujemy wierzchołki trzem kolormi nprzemiennie (rys. 4): ) pierwszemu dowolnemu wierzchołkowi przydzielmy kolor i wstwimy go do kolejki, b) zdejmujemy pierwszy wierzchołek z kolejki, ozncz jego kolor, kolorujemy jego wszystkich niepokolorownych jeszcze sąsidów kolorem + mod i odstwimy n koniec kolejki, c) powtrzmy punkt b, ż wszystkie wierzchołki zostną pokolorowne.. Płytki pokolorowne dwom identycznymi i jednym różniącym się kolorem n wierzchołkch postci {,,b}, gdzie b wymuszją odpowiednie pokolorownie skierownej krwędzi (,) odpowiednim kolorem x ze zbioru {,} orz wspólnej skierownej krwędzi sąsidującego trójkąt kolorem -x. Kierunek ustl pierwsz płytk o niepokolorownej krwędzi (,).. Dokolorowujemy krwędzie płytek {,,} (o jednkowych kolorch n wierzchołkch), które nie zostły pokolorowne w poprzednim kroku, w sposób dowolny, nlogicznie jk w poprzednim punkcie. + mod + mod Rysunek 7. Kompletny zestw 7 trójkątnych płytek ze wzorem łusek, którymi możn pokryć dowolną powierzchnię reprezentowną przez sitkę trójkątną zchowując ciągłość
7 Zstosowni trójkątnych płytek w grfice komputerowej 7 Wrto zuwżyć, że w tkim pokolorowniu mogą wystąpić trójkąty o kolorch n uporządkownych zgodnie z kierunkmi krwędzi wierzchołkch: (,,) i (,,), gdzie koniecznie jest zstosownie lustrznego odbici wzoru (,,). Specjlnego potrktowni wymgją tkże płytki o kolorch n wierzchołkch (,,+ mod ) z wymuszonym kolorem n krwędzi (,) (inczej niż n rys. 6) orz nlogicznie płytki (,,+ mod ) z wymuszonym kolorem n krwędzi (,). Tk sytucj może zjść, jeśli dwie identycznie pokolorowne płytki (,,b), gdzie b sąsidują ze sobą krwędzią (,). W tkim wypdku nleży zstosowć ten sm wzór, lecz symetrycznie odbity wzdłuż krwędzi (,). 4. PRZYKŁAD ZASTOSOWAŃ MODELOWANIE ŁUSEK Łuski występujące u ryb i gdów są przykłdem wzoru, w którym kierunek ułożeni poszczególnych jego elementów jest szczególnie istotny. Aby pokryć powierzchnię reprezentowną przez sitkę trójkątną modelującą frgment skóry ryby możn zstosowć opisną metodę hybrydową i przygotowć odpowiedni zestw trójkątnych płytek zwierjących wzór regulrnych łusek (rys. 7). Płytki typu (,,b), gdzie b określją bzowy wzór łusek, ntomist pięć pozostłych płytek zpewni ciągłe pokrycie wzorem n rogch, tzn. w miejscch, gdzie kierunek ukłdni się wzoru n sąsiednich płytkch nie jest zgodny. Frgmenty przykłdowych powierzchni pokrytych wzorem łusek przedstwi rys. 8. Rysunek 8. Przykłdowe odpowiednio pokolorowne sitki trójkątne i odpowidjące im pokrycie trójkątnymi płytkmi zwierjącymi wzór łusek. 5. ZAKOŃCZENIE Zprezentown metod umożliwi pokrycie ciągłym wzorem dowolnej powierzchni w sposób utomtyczny (opisnym lgorytmem kolorowni), co w przypdku zstosowń
8 8 Tomsz Dobrowolski do grfiki komputerowej zwlni z konieczności mpowni sitki trójkątnej n powierzchnię tekstury orz zmniejsz ilość pmięci zjmownej przez teksturę dzięki zstosowniu niewielkiego zestwu płytek. Optymlizcj pmięci pozwl n stosownie tekstur o większej rozdzielczości, brk konieczności ręcznego mpowni n powierzchnię tekstury umożliwi zstosownie metody do utomtycznego pokrywni wzorem modeli generownych w sposób procedurlny (Dobrowolski [7] i [8]). Pewną niedogodnością jest konieczność odpowiedniego przygotowni zestwu płytek psujących do siebie zgodnie z zdnymi wrunkmi brzegowymi. Prc Neyret i Cni [] opisuje utomtyczne metody generowni tkich płytek dl opisnej metody kolorowni krwędzi dwom kolormi. Trójkątne płytki możn zstosowć również do modelowni geometrycznych wzorów n powierzchni w podobny sposób jk w technice znnej jko shell mps (Porumbescu, Budge, Feng, Joy []). W przyszłości możn by rozwinąć metody utomtycznego generowni wzoru dl zprezentownej w tej prcy metody hybrydowej dl płytek reprezentownych zrówno przez obrzek tekstury jk i dowolną geometrię (np. modelując geometrię poszczególnych łusek). Szczególnie interesujące byłoby rozwinięcie metody do pokrywni wzorem dynmicznie zmienijącej się (rosnącej) geometrii skóry (Dobrowolski [8]). BIBLIOGRAFIA [] Neyret F., Cni M.P., Pttern-Bsed Texturing Revisited, Siggrph'99, Los Angeles, USA, August 999 [] Porumbescu S.D., Budge B., Feng L., Joy K.I., Shell mps, Siggrph'005, Los Angeles, USA, August 005 [] Hewood P.J., Mp-color theorem, Qurt. J. Pure Appl. Mth. 4 (890) -8 [4] Hutchinson J.P., Three-coloring grphs embedded on surfces with ll fces even-sided, J. Combin. Theory Ser. B 65 (995) 9-55 [5] Thomssen C., Five-colorings mps on surfces, J. Combin. Theory Ser. B 59 (99) [6] Appel K., Hkken W., Every plnr mp is four colorble, Bull. Amer. Mth. Soc. 8 (976) 7-7 [7] Dobrowolski T., Generownie procedurlnych jskiń w Voxlp Cve Demo, Zeszyt nukowy I Ogólnopolskiej Konferencji Twórców Gier Komputerowych, 004, str. 9-5 [8] Dobrowolski T., Procedurlne modelownie stworów w Subocenic, m ukzć się w zeszycie nukowym IV Ogólnopolskiej Konferencji Inżynierii Gier Komputerowych, -5 mrc 007r. [9] Brouwer,L.E.J., Über Abbildung von Mnnigfltigkeiten, Mthemtische Annlen vol. 7, 9 TRIANGULAR TEXTURE TILES: APPLICATIONS IN COMPUTER GRAPHICS Summry This pper describes methods of tiling rbitrry three-dimensionl surfces represented by tringulr networks with tringulr texture tiles. Despite two simple well known tiling methods, n interesting hybrid pproch is proposed for tiling directionl textures such s fish scles. An exmple of usge is modeling niml fur ptterns, such s zebr stripes or scle ptterns tht cn be found on fish nd reptiles. The min dvntge of proposed method over lterntive texture mpping techniques is texture memory optimiztion. The method lso provides n esy to implement solution for texturing procedurlly generted nimls (cretures). Keywords: computer grphics, tringulr textures, tiling, Wng tiles, periodic tiling
Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoO RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI
ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowosymbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia
Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoDZIAŁ 2. Figury geometryczne
1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko
Bardziej szczegółowoO pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych
Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć
Bardziej szczegółowoAlgorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych
Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoWykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera
Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie
Bardziej szczegółowowersja podstawowa (gradient)
księg znku wersj podstwow (grdient) Logo RAKU FILM w wersji podstwowej może występowć w dwóch wrintch, n jsnym (domyślnie - biłe tło) orz n ciemnym (domyślnie - czrne tło). Nleży unikć stosowni logo n
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Bardziej szczegółowoAlgebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna
lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty
Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów
Bardziej szczegółowoG i m n a z j a l i s t ó w
Ko³o Mtemtyzne G i m n z j l i s t ó w 1. Lizy,, spełniją wrunki: (1) ++ = 0, 1 () + + 1 + + 1 + = 1 4. Olizyć wrtość wyrżeni w = + + Rozwiąznie Stowrzyszenie n rzez Edukji Mtemtyznej Zestw 7 szkie rozwizń
Bardziej szczegółowoLista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty
Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt
Bardziej szczegółowoSTYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI
STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub
Bardziej szczegółowousuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoLaura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale
Trójkąt Pscl od kuchni Kls 1 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnym i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle ul. Ks.St.Połetk 32 32-043 Skł Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w
Bardziej szczegółowoPropozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Bardziej szczegółowoBadanie regularności w słowach
Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes,
Bardziej szczegółowosystem identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki
krt A03 część A znk mrki form podstwow Znk mrki Portu Lotniczego Olsztyn-Mzury stnowi połączenie znku grficznego (tzw. logo) z zpisem grficznym (tzw. logotypem). Służy do projektowni elementów symboliki
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Bardziej szczegółowoMetoda kropli wosku Renferta
Metod kropli wosku Renfert Metod Renfert zwn jest tkże techniką K+B. Jej podstwowym złożeniem jest dążenie do prwidłowego odtworzeni powierzchni żujących zęów ocznych podczs rtykulcji. Celem jest uzysknie
Bardziej szczegółowoAkademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej
Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?
INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj
Bardziej szczegółowoSpis treści. Wstęp... 4
pis treści Wstęp... 4 Zdni mturlne......................................................... 5 1. Funkcj kwdrtow... 5. Wielominy... 7. Trygonometri... 9 4. Wrtość bezwzględn... 11 5. Plnimetri... 15 6.
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO
I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Bardziej szczegółowoZastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych
Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni
Bardziej szczegółowoKsięga Identyfikacji Wizualnej. Polskie Sieci Elektroenergetyczne S.A.
Księg Identyfikcji Wizulnej Polskie Sieci Elektroenergetyczne S.A. 1. Elementy bzowe 1.1. KONSTRUKCJA OPIS ZNAKU PSE 3 1.2. WERSJA PODSTAWOWA ZNAKU 4 1.3. WERSJE UZUPEŁNIAJĄCE 5 1.4. OPIS KOLORYSTYKI ZNAKU
Bardziej szczegółowoWyrównanie sieci niwelacyjnej
1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?
Kombinownie o nieskończoności.. Jk zmierzyć? Projekt Mtemtyk dl ciekwych świt spisł: Michł Korch 9 kwietni 08 Trochę rzeczy z wykłdu Prezentcj multimediln do wykłdu. Nieskończone sumy Będzie nm się zdrzć
Bardziej szczegółowoMXZ INVERTER SERIA. Jedna jednostka zewnętrzna może obsługiwać do 8 pomieszczeń. Ograniczenie poboru prądu. Efektywność energetyczna: klasa A
INVERTER SERIA MXZ Typoszereg MXZ gwrntuje cicy, wysokowydjny i elstyczny system, spełnijący wszystkie wymgni w zkresie klimtyzcji powietrz. 6 MXZ-2C30VA MXZ-2C40VA MXZ-2C52VA MXZ-3C54VA MXZ-3C68VA MXZ-4C71VA
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy
Bardziej szczegółowoPodstawy Techniki Cyfrowej Układy komutacyjne
Podstwy Techniki Cyfrowej Ukłdy komutcyjne Ukłdy kombincyjne, umożliwijące przełącznie (komutcję) sygnłów cyfrowych, nzyw się ukłdmi ukłdmi komutcyjnymi. Do podstwowych ukłdów komutcyjnych zlicz się multipleksery
Bardziej szczegółowoGrażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH
Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.
Bardziej szczegółowof(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowo4.6. Gramatyki regularne
4.6. Grmtyki regulrne G = < N,T,P,Z > jest grmtyką prwostronnie liniową, jeśli jej produkcje mją postć: ( i) U xv x T * U,V N ( ii) U x G = < N,T,P,Z > jest grmtyką prwostronnie regulrną, jeśli jej produkcje
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK
I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba
Wybrne zgdnieni z geometrii płszczyzny Dnut Zremb Wstęp Publikcj t powstł z myślą o studentch, którzy chcą zdobyć uprwnieni do nuczni mtemtyki w szkole. Zwier on nieco podstwowych widomości z geometrii
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje
Bardziej szczegółowoSzczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy
Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I
Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 1. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowoTemat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Bardziej szczegółowoGRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana
GRAFY podstwowe definicje GRAFY i SIECI Grf: G = ( V, E ) - pr uporządkown V = {,,..., n } E { {i, j} : i j i i, j V } - zbiór wierzchołków grfu - zbiór krwędzi grfu Terminologi: grf = grf symetryczny,
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia
1 Algebr Liniow z Geometri - Wydził Fizyki Zestw nr 5 Powierzchnie -go stopni 1 N sferze 1 + + 3 = 4 znleźć punkt, którego odległość od punktu p = (, 6, 3) byłby njmniejsz Wyznczyć osie elipsy powstłej
Bardziej szczegółowoModelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich
Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne
Bardziej szczegółowoPodstawy układów logicznych
Podstwy ukłdów logicznych Prw logiki /9 Alger Boole Prw logiki WyrŜeni i funkcje logiczne Brmki logiczne Alger Boole /9 Alger Boole' Powszechnie stosowne ukłdy cyfrowe (logiczne) prcują w oprciu o tzw.
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoZałącznik nr 3 do PSO z matematyki
Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne
Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):
Bardziej szczegółowoBADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ
ADANIE ZAEŻNOŚCI PRZENIKANOŚCI MAGNETYCZNEJ FERRIMAGNETYKÓW OD TEMPERATURY 1. Teori Włściwości mgnetyczne sstncji chrkteryzje współczynnik przeniklności mgnetycznej. Dl próżni ten współczynnik jest równy
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne z przedmiotu : Napędy Hydrauliczne i Pneumatyczne
Lbortorium nr 11 Temt: Elementy elektropneumtycznych ukłdów sterowni 1. Cel ćwiczeni: Opnownie umiejętności identyfikcji elementów elektropneumtycznych n podstwie osprzętu FESTO Didctic. W dużej ilości
Bardziej szczegółowoPODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach
PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymgni edukcyjne z mtemtyki LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Kls II Poniżej przedstwiony zostł podził wymgń edukcyjnych n poszczególne oceny. Wiedz i umiejętności konieczne do opnowni (K) to zgdnieni, które są
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoLISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&
LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa
Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie
I. ZASADY OGÓLNE PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnzjum nr 2 im. ks. Stnisłw Konrskiego nr 2 w Łukowie 1. W Gimnzjum nr 2 w Łukowie nuczne są: język ngielski - etp educyjny III.1 język
Bardziej szczegółowoMocowanie na stołach roboczych obrabiarek
Mocownie n stołch roboczych obrbirek Szybkość, sił i pewność mocowni n przyrządch BESSEY oferuje tkże bogty wybór prktycznych docisków mszynowych, które sprwdzją się doskonle do mocowni podczs montżu,
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową
Bardziej szczegółowoPrzechadzka Bajtusia - omówienie zadania
Wprowdzenie Rozwiąznie Rozwiąznie wzorcowe Przechdzk Bjtusi - omówienie zdni Komisj Regulminow XVI Olimpidy Informtycznej 1 UMK Toruń 11 luty 2009 1 Niniejsz prezentcj zwier mteriły dostrczone przez Komitet
Bardziej szczegółowoUEK KSIĘGA IDENTYFIKACJI WIZUALNEJ LOGOTYP UCZELNI. Logtyp Uczelni
Logtyp Uczelni 5 Jednym z njwżniejszych elementów mjącym odróżnić Uniwersytet Ekonomiczny w Krkowie od innych uczelni jest logotyp, stnowiący element rozpoznwczy instytucji. N logotyp Uczelni skłdją się:
Bardziej szczegółowoMateriały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy
Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy
Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące
Bardziej szczegółowoAnna Malarska. statystyczna analiza danych. wspomagana programem SPSS
Ann Mlrsk sttystyczn nliz dnych wspomgn progrmem SPSS SPSS Polsk Krków 2005 Sttystyczn nliz dnych wspomgn progrmem SPSS 1.2 Grficzne formy prezentcji dnych 1.2.1 Wykres słupkowy, histogrm Częstości relizcji
Bardziej szczegółowoUszczelnienie przepływowe w maszyn przepływowych oraz sposób diagnozowania uszczelnienia przepływowego zwłaszcza w maszyn przepływowych
Uszczelnienie przepływowe w mszyn przepływowych orz sposób dignozowni uszczelnieni przepływowego zwłszcz w mszyn przepływowych Przedmiotem wynlzku jest uszczelnienie przepływowe mszyn przepływowych orz
Bardziej szczegółowoKotary grodzące, siatki ochronne Kotary wewnętrzne
60 Kotry grodzące, sitki ocronne Kotry wewnętrzne Wózek prowdzący Szyn jezdn Profil 55 x mm Ukłd jezdny kotry grodzącej z przesuwem ręcznym Wózki pośrednie Łącznik szyny do dźwigr Szyn jezdn System mocowni
Bardziej szczegółowoZadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna.
dnie 5. Krtownic sttycznie wyznczln. Wyznczyć wrtości sił w prętch krtownicy sttycznie wyznczlnej przedstwionej n Rys.1: ). metodą nlitycznego równowżeni węzłów, ). metodą gricznego równowżeni węzłów;
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych i schemt ocenini zdń otwrtych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 D D D Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x + x+ 0
Bardziej szczegółowoKSZTAŁTOWANIE ŁUKOWO-KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW W UZĘBIENIU CZOŁOWYM NA FREZARCE CNC
KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 8 nr Archiwum Technologii Mszyn i Automtyzcji 008 PIOTR FRĄCKOWIAK KSZTAŁTOWANIE ŁUKOWO-KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW W UZĘBIENIU CZOŁOWYM NA FREZARCE CNC W rtykule
Bardziej szczegółowoWszystkim życzę Wesołych Świąt :-)
Poniższe zdni pochodzą ze zbiorów: ) J. Rutkowski, Algebr bstrkcyjn w zdnich b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zdń z lgebry Do kolokwium proszę też przejrzeć zdni z ćwiczeń. Wszystkim życzę Wesołych
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012
mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU
Bardziej szczegółowoSystem identyfikacji Doradców Podatkowych
System identyfikcji Dordców Podtkowych Spis treści Spis treści Stron 2. Podstwow wersj logo Krjowej Izby Dordców Podtkowych Stron 3. Kolory podstwowe Stron 4. Wersje negtywowe Stron 5. Wymirownie i pole
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowo