SZTUCZNA INTELIGENCJA

Transkrypt

1 SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk

2 ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową (Boole'). Dl kżdego zbioru A zwrtego w pewnym zbiorze X istnieje funkcj f A : X {0, }, któr określ, czy dny element X nleży do A, czy też nie: f A ( ) = 0 jeśli A jeśli A W przypdku zbiorów rozmytych elementom przypisuje się stopień przynleżności do zbioru A. Funkcj przynleżności odwzorowuje elementy zbioru n przedził [0, ]: ( ) : X [0,] A Zerowy stopień przynleżności informuje, że element nie nleży do zbioru. Jedynk ozncz cłkowitą przynleżność. 0.5 Funkcj przynleżności do zbioru "wysoki człowiek" Wrtości pośrednie oznczją częściową przynleżność do A wzrost, cm 2

3 ZBIORY ROZMYTE Przykłdy: Funkcj przynleżności do zbioru "liczby dużo większe od " Funkcj przynleżności do zbioru "liczb kromek zjdnych n śnidnie" Funkcje przynleżności do zbiorów rozmytych i "ostrych" 3

4 ZBIORY ROZMYTE ZBIORY DEFINICJE ROZMYTE Z pomocą zbiorów rozmytych możemy formlnie określić pojęci nieprecyzyjne i wieloznczne, tkie jk "wysok tempertur", "młody człowiek", "średni wzrost" lub "duże misto". Są to pojęci opisowe (wielkości lingwistyczne), nieostre, rozmyte, nie związne ściśle z wrtościmi numerycznymi, zrozumiłe dl człowiek, le trudne do przedstwieni w postci numerycznej. Zbiór rozmyty zbiór uporządkownych pr A = {(, μ A ()) X} Centrum zbioru rozmytego A zbiór tkich punktów A, w których μ A () = Nośnik zbioru rozmytego A zbiór tkich punktów A, w których μ A () > 0 Wysokość zbioru rozmytego A supremum (kres górny) wrtości funkcji przynleżności zbioru A: sup μ A (), dl X 4

5 ZBIORY ROZMYTE DEFINICJE Przecięcie dwu zbiorów rozmytych A i B (iloczyn, część wspóln) A B, zbiór rozmyty o funkcji przynleżności ( ) = t( ( ), ( )) A B A B gdzie t jest tzw. t-normą. Njczęściej m on postć t( ( ), ( )) = min{ ( ), ( )} A B A B Sum dwu zbiorów rozmytych A i B A B, zbiór rozmyty o funkcji przynleżności ( ) = s( ( ), ( )) A B A B gdzie s jest tzw. s-normą. Njczęściej m on postć s( ( ), ( )) = m{ ( ), ( )} A B A B Dopełnienie zbioru rozmytego A ( A) zbiór rozmyty o funkcji przynleżności ( ) = ( ) A A 5

6 ZBIORY ROZMYTE DEFINICJE Zbiór rozmyty A zwier się w zbiorze rozmytym B, gdy Zbiór rozmyty A jest równy zbiorowi rozmytemu B, gdy Iloczyn (produkt) krtezjński dwu zbiorów rozmytych A i B zdefiniownych w przestrzenich X i Y zbiór rozmyty w przestrzeni X Y o funkcji przynleżności (, y) = min( ( ), ( y)) A B A B Sum (koprodukt) krtezjńsk dwu zbiorów rozmytych A i B zdefiniownych w przestrzenich X i Y zbiór rozmyty w przestrzeni X Y o funkcji przynleżności (, y) = m( ( ), ( y)) A B A B 6

7 ZBIORY FUNKCJE ROZMYTE PRZYNALEŻNOŚCI DEFINICJE 7

8 8 Funkcj Guss Asymetryczn funkcj Guss Funkcj typu s Funkcj typu π Funkcj trójkątn < < < = c dl c b dl b c c b dl b dl c b 0 0 ),,, ( Funkcj trpezow > < < < < = d dl d c dl c d d c b dl b dl b dl d c b 0 0 ),,,, ( FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI

9 FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI Funkcje przynleżności mogą być wielorgumentowe. Np. przynleżność do podzbioru rozmytego "wysoki n swój wiek" jest zleżn od dwóch rgumentów: wzrostu i wieku. Innym przykłdem może być funkcj przynleżności do zbioru "liczb dużo większ od liczby y". 9

10 ZAPIS SYMBOLICZNY ZBIORÓW ROZMYTYCH Jeżeli X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów X = {, 2,, n }, to zbiór rozmyty A X zpisuje się jko: n A( ) A( 2) A( n ) A( i A =... = ) 2 gdzie kresk ułmkow ozncz sprownie elementu z jego stopniem przynleżności, znk ozncz sumę mnogościową elementów. Przykłd. n i= i Zbiór rozmyty "liczby nturlne bliskie 7": A = 0,2 4 0,5 5 0, ,8 8 0,5 9 0,2 0 Zbiór rozmyty "smochody luksusowe": A = Mybch 62 Jgur XF 0,98 Toyot Crown Mjest 0, Fit Punto 0,4 Ki Veng 0,3 Citroen Xsr 0

11 LICZBY ROZMYTE Liczb rozmyt zbiór rozmyty A określony w zbiorze liczb rzeczywistych A R, którego funkcj przynleżności ( ) : R [0,] spełni wrunki: A normlności (mksymln wrtość μ A () = ) wypukłości ciągłości w przedziłch Liczbę rozmyt nzywmy dodtnią, jeżeli μ A () = 0 dl < 0 Liczbę rozmyt nzywmy ujemną, jeżeli μ A () = 0 dl > 0 Liczb rzeczywist 2,.5 Liczb rozmyt "około 2.5" Przedził rzeczywisty [2.2, 3.0] Przedził rozmyty [2.2, 3.0]

12 ZASADA ROZSZERZANIA I ARYTMETYKA ROZMYTA Zsd rozszerzni pozwl przenieść różne opercje mtemtyczne n grunt zbiorów rozmytych. Np. dodwnie, odejmownie, mnożenie i dzielenie dwóch liczb rozmytych A i B dje w wyniku liczbę rozmytą C o funkcji przynleżności: ( z) = sup min( ( ), C A B, y z= # y ( y)) gdzie # ozncz jedną z opercji:,, *, /, sup ozncz mksymlną wrtość w zbiorze Przykłd. Wyzncz sumę i iloczyn liczb rozmytych A B = A B = min(0,7;0,8) 5 min(0,7;0,8) 6 m{min(0,7;), min(;0,8)} 6 min(0,7;) ,7 0,6 A =, = , ,7 8 0,8 0,5 B = = 0,7 5 0,8 9 0, ,6 6 0,6 8 0,5 8 0,5 9 0,5 24 0,5 0 2

13 RELACJE ROZMYTE Relcje rozmyte pozwlją sformlizowć nieprecyzyjne sformułowni typu jest prwie równe y lub jest zncznie większe od y. Relcją rozmytą między zbiormi (nierozmytymi) X i Y nzywmy zbiór rozmyty określony n iloczynie krtezjńskim X Y: R = {((, y), (, y))}, X, y Y, gdzieμ : X Y [0,] R Przykłd. Zdefiniuj relcję rozmytą y jest mniej więcej równe dl X = {3,4,5} i Y = {4,5,6}. R = (4,4) (5,5) 0,8 (3,4) 0,8 (4,5) Funkcj przynleżności m postć: 0,8 (5,4) R 0,8 (5,6), 0,8, = 0,6 0,4 0,6 (3,5) 0,6 (4,6) jeżeli = y jeżeli y = jeżeli y = 2 jeżeli y = 3 0,4 (4,6) R Relcj R zpisn mcierzowo: y y 2 y 3 0,8 0,6 0,4 2 0,8 0,6 3 0,8 0,8 3

14 PODEJMOWANIE DECYZJI W OTOCZENIU ROZMYTYM Otoczenie rozmyte skłd się z: celów rozmytych ogrniczeń rozmytych decyzji rozmytej Rozwż się pewien zbiór opcji (wyborów/wrintów decyzji) X op = {}. Cel rozmyty to zbiór rozmyty G określony w zbiorze opcji i opisny funkcją przynleżności G ( ) : X op [0,]. ( G ) informuje n ile opcj spełni cel G. Ogrniczenie rozmyte to zbiór rozmyty C określony w zbiorze opcji i opisny funkcją przynleżności C ( ) : X op [0,]. ( C ) informuje w jkim stopniu opcj spełni ogrniczenie C. 4

15 PODEJMOWANIE DECYZJI W OTOCZENIU ROZMYTYM Decyzj rozmyt to zbiór rozmyty D powstły w wyniku przecięci (iloczyn) zbiorów G i C: D = G C przy czym ( ) = t( ( ), ( )) D G C gdzie t(.,.) to t-norm, któr njczęściej przybier postć min(.,.). W przypdku wielu celów i wielu ogrniczeń możemy przyjąć: D = G... G C... n C m D ( ) = t( G( ),..., Gn( ), C( ),..., Gm( )) Szukmy tkiej opcji * X op, dl której osiągmy mksimum D (): * = rgm ( ) X op D 5

16 PODEJMOWANIE DECYZJI W OTOCZENIU ROZMYTYM PRZYKŁAD Wybór uczelni Rozwżmy studi n jednej z czterech uczelni X op = {U, U2, U3, U4} Nsz cel: uczenie się w renomownej uczelni. Mirą renomy jest miejsce w rnkingu szkół wyższych. Przyjmijmy: G 0,75 0,25 0,5 = U U 2 U 3 U 4 Jednocześnie chcemy, by spełnione były pewne wrunki: niezbyt duż odległość od domu : bogty progrm wyminy międzynrodowej : dobre zplecze techniczne uczelni : duże możliwości znlezieni prcy : C 0,8 0,9 0,4 0,5 = U U 2 U 3 U 4 C 0,2 0,2 0,9 0,6 2 = U U 2 U 3 U 4 C 0,5 0,3 0,6 0,7 3 = U U 2 U 3 U 4 C 0,6 0,5 0,7 0,7 4 = U U 2 U 3 U 4 6

17 PODEJMOWANIE DECYZJI W OTOCZENIU ROZMYTYM PRZYKŁAD Wyznczjąc D () z pomocą min otrzymujemy nstępującą decyzję rozmytą: 0,2 0,2 0,25 0,5 D = G C C2 C3 C4 = U U 2 U 3 U 4 Terz przyjmijmy, że t-norm m postć iloczynową ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ): D 0,036 0,027 0,0378 0,0735 = U U 2 U 3 U 4 D ( G C C2 C3 C4 W obu przypdkch njwiększy stopień przynleżności wskzuje uczelnię U4. 7

18 PODEJMOWANIE DECYZJI W OTOCZENIU ROZMYTYM PRZYKŁAD 2 Ustlnie ceny nowego produktu Zdniem ekspertów jest ustlenie ceny nowego produktu. Opcją jest cen produktu X op = [20, 60]. Ustlono trzy cele: produkt powinien mieć niską cenę zbiór G produkt powinien mieć cenę blisk konkurencyjnej zbiór G 2 produkt powinien mieć cenę blisk podwójnej cenie wytworzeni zbiór G 3 Funkcje przynleżności przedstwiono n rysunku. Mksymln wrtość w zbiorze D wynosi * = 37,4 zł. G G 2 G 3 8