O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH"

Transkrypt

1 DECYZJE nr 1 czerwiec O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Krzysztof Jjug Akdemi Ekonomiczn we Wrocłwiu Wprowdzenie modele teorii finnsów Teori finnsów, zwn również ekonomią finnsową, jest jednym z podstwowych dziłów nuk ekonomicznych. W osttnich kilkudziesięciu ltch możn yło oserwowć znczny rozwój tej teorii. W osttnim okresie rozwój ten stje się corz rdziej dynmiczny, między innymi z powodu wzrostu znczeni plikcyjnego metod wyprcownych n gruncie teorii. W tym rtykule przedstwimy uwgi dotyczące pewnych modeli wyprcownych w teorii finnsów. Modele te mogą yć trktowne jko modele decyzyjne, gdyż w ezpośredni sposó odnoszą się do decyzji finnsowych, przede wszystkim tych decyzji, które podejmowne są n rynku finnsowym. Włściwe rozwżni poprzedzimy pewnymi syntetycznymi uwgmi dotyczącymi teorii finnsów. Krzysztof Jjug, Wydził Zrządzni i Informtyki, Akdemi Ekonomiczn we Wrocłwiu, ul. Komndorsk 118/120, Wrocłw,

2 38 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Współczesn teori finnsów chrkteryzuje się nstępującymi cechmi: wysok precyzj i zwnsownie tworzonych metod; duż zleżność nrzędzi teoretycznych od rozwoju technologii komputerowych; łtw weryfikcj tworzonych metod n rynku finnsowym; stymulownie powstwini nowych rozwiązń przez wyzwni prktyki. Brdzo duż część osiągnięć teorii finnsów m u podstw mniej lu rdziej zwnsowne nrzędzi mtemtyczne. Nszym zdniem, nleży wyróżnić trzy podstwowe oszry teorii finnsów, w których kluczową rolę odgrywją nrzędzi mtemtyczne. Oszrmi tymi są: nliz finnsowych szeregów czsowych; wycen instrumentów finnsowych; nliz ryzyk finnsowego Pierwszy oszr jest często nzywny ekonometrią finnsową. Rozwżne są tutj jednowymirowe lu wielowymirowe finnsowe szeregi czsowe, tzn. szeregi zwierjące ceny kcji, wrtości indeksów giełdowych, stopy procentowe, kursy wlutowe. Częściej niż szeregi czsowe cen nlizuje się szeregi czsowe stóp zwrotu orz szeregi czsowe zmienności, przy czym zzwyczj zmienność mierzon jest poprzez odchylenie stndrdowe stóp zwrotu. Są dw główne cele relizowne przez modele ekonometrii finnsowej: weryfikcj hipotez ekonomii finnsowej n podstwie dnych empirycznych; nliz dnych empirycznych w celu identyfikcji pewnych prwidłowości, które mogłyy stnowić podstwę do podejmowni decyzji. Nleży stwierdzić, iż modele zliczne do tej grupy w zsdzie nie są stricte modelmi decyzyjnymi. Jednk możn je nzwć modelmi wspierjącymi podejmownie decyzji, gdyż: prognoz ceny wyznczon n podstwie modelu ceny lu modelu stopy zwrotu dostrcz dnych do podjęci decyzji o zkupie lu sprzedży instrumentu finnsowego; oszcownie miry zmienności n podstwie modelu umożliwi określenie poziomu ryzyk instrumentu finnsowego, co m istotne znczenie przy podejmowniu decyzji finnsowych dotyczących trnsferu ryzyk; oszcownie miry zmienności n podstwie modelu umożliwi wycenę instrumentu pochodnego (opcji) stosownego w celch zezpieczjących.

3 Krzysztof Jjug 39 Przegląd rdziej zwnsownych modeli nlizy finnsowych szeregów czsowych znjduje się n przykłd w prcch nstępujących utorów: Mills (1999), Tsy (2002), Chn (2002), Brooks (2002). Drugi oszr zwier modele wyceny instrumentów finnsowych. Modele te umożliwiją określenie ceny instrumentu finnsowego, po której to cenie powinny yć zwierne trnskcje przez posidjących informcje rcjonlnych inwestorów n rynku znjdującym się w równowdze. Wśród tych modeli wyróżni się dw podstwowe podejści: wycen dochodow (wywodząc się z koncepcji równowgi), w której wrtość instrumentu finnsowego jest określon jko dzisiejsz wrtość (Present Vlue) przyszłych przepływów pieniężnych związnych z posidniem instrumentu finnsowego; wycen dochodow njczęściej stosown jest poprzez metodę zdyskontownych przepływów pieniężnych służącą do wyceny instrumentów dłużnych lu kcji; wycen ritrżow (wywodząc się z koncepcji ritrżu), w której wrtość instrumentu finnsowego określon jest w tki sposó, iż nie jest możliwe dokonnie trnskcji djącej dochód ritrżowy (dodtni przychód ez ponoszeni ryzyk i nkłdu początkowego); wycen ritrżow stosown jest njczęściej w metodzie wyceny opcji (por. Blck, Scholes 1973, Merton 1973). Modele wyceny możn trktowć jko modele wspierjące decyzje zkupu lu sprzedży instrumentu finnsowego. Oprócz tego możn je trktowć jko modele równowgi uksztłtownej w wyniku podejmowni decyzji przez uczestników rynku. Jest tk, gdyż uczestnicy rynku, dokonujący wyceny poprzez dziłni wynikjące z podjętych decyzji, doprowdzją (według modeli wyceny) do równowgi n rynku dnego instrumentu finnsowego. Trzeci oszr zwier modele stosowne w nlizie ryzyk finnsowego. Modele te umożliwiją określenie ryzyk instrumentu finnsowego ądź ryzyk instytucji. Są to przede wszystkim metody nlizy dwóch rodzjów ryzyk. Są nimi: ryzyko rynkowe ryzyko wynikjące ze zmin cen n rynkch finnsowych (zmin cen kcji, zmin stóp procentowych, zmin kursów wlutowych); ryzyko kredytowe ryzyko wynikjące z możliwości niedotrzymni wrunków przez drugą stronę kontrktu finnsowego.

4 40 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Modele stosowne w nlizie ryzyk finnsowego są to głównie: modele pomiru ryzyk; nie są to stricte modele decyzyjne, le modele wspierjące decyzje dotyczące trnsferu ryzyk do innego podmiotu finnsowego opis njwżniejszych typów modeli pomiru ryzyk znjduje się w prcy: Crouhy, Gli, Mrk (2001); modele podejmowni decyzji w wrunkch ryzyk, są to typowe modele decyzyjne, w których zstosownie m konkretne kryterium podlegjące optymlizcji, o tego typu modelch trktuje część poniższych rozwżń. Wynik z tego, że podstwowe modele decyzyjne, występujące w teorii finnsów, są to modele podejmowni decyzji w wrunkch ryzyk. Jk przy tym widomo z teorii podejmowni decyzji, wyróżni się zsdniczo dwie grupy modeli podejmowni decyzji: modele normtywne, w których przedstwi się zsdy, którymi POWINIEN SIĘ KIEROWAĆ rcjonlny decydent, w tym wypdku podejmujący decyzje n rynku finnsowym; modele opisowe, w których przedstwi się zsdy, którymi w istocie KIERUJE SIĘ decydent, w tym wypdku podejmujący decyzje n rynku finnsowym. Modele normtywne są rdzo rozpowszechnione w teorii finnsów. W modelch tych zkłd się, że podmiot podejmujący decyzję kieruje się zsdmi rcjonlności. Podstwowym nrzędziem teoretycznym, wykorzystywnym w normtywnych modelch podejmowni decyzji, jest pojęcie rozkłdu zmiennej losowej. Przy tym istnieją różne możliwości określeni zmiennej losowej, której rozkłd jest nlizowny. W szczególności nlizowne mogą yć nstępujące zmienne losowe: wrtość końcow inwestycji; zmin wrtości inwestycji w stosunku do wrtości początkowej; odchylenie wrtości końcowej inwestycji od wymgnej wrtości końcowej inwestycji; stop zwrotu inwestycji; względne odchylenie wrtości końcowej inwestycji od wymgnej wrtości końcowej inwestycji. Wynik z tego, iż podejmownie decyzji w zkresie wyoru inwestycji poleg n porównniu rozkłdów spotyknych w inwestycjch, np. rozkłdów stóp zwrotu inwestycji. Jedną z njrdziej ogólnych, proponownych w teorii metod wyoru inwestycji, jest metod stochstycznej domincji. Metod t poleg n porównywniu dystryunt rozkłdów stóp zwrotu inwestycji. Często zmist porównywni cłych rozkłdów stóp zwrotu inwestycji porównuje się jedynie pr-

5 Krzysztof Jjug 41 metry rozkłdu. Njrdziej znne jest oczywiście podejście zproponowne przez Mrkowitz (por. Mrkowitz 1952), w którym nlizowne są: oczekiwn stop zwrotu inwestycji, trktown jko mir dochodu; odchylenie stndrdowe stopy zwrotu, trktowne jko mir ryzyk. Jk widomo, nliz decyzji finnsowych, podejmownych w prktyce, wskzuje, iż mogą yć one różne od decyzji wynikjących z modeli normtywnych. Prolemem tym zjmują się modele opisowe. Mimo to często przyjmuje się kryterium oczekiwnej użyteczności. W tym podejściu zmist rozkłdu stóp zwrotu inwestycji lu rozkłdu wrtości końcowej inwestycji nlizuje się rozkłd użyteczności i stwierdz się, że podmioty strją się mksymlizowć oczekiwną użyteczność, czyli wrtość oczekiwną rozkłdu użyteczności. W dlszej części rtykułu pokżemy, jk w ktegorich oczekiwnej użyteczności możn opisć podstwowe decyzje finnsowe. Podstwowe decyzje finnsowe Przedstwimy terz podstwowe rodzje decyzji finnsowych. Proponowny podził tych decyzji z jednej strony odzwierciedl rzeczywiste sytucje prktyczne, z drugiej strony pozwl n zstosownie jednolitej koncepcji teoretycznej w prostym modelu decyzyjnym. Nleży zuwżyć, iż wszystkie omwine rodzje decyzji finnsowych relizowne są z pomocą kontrktów finnsowych między dwiem stronmi, często przyjmujących postć instrumentów finnsowych. Przy omwiniu decyzji odręnie rozptrzymy rynek pierwotny orz (jeśli występuje) rynek wtórny. Rynek pierwotny to zwrcie kontrktu finnsowego, co ozncz pierwszą trnskcję kupn-sprzedży instrumentu finnsowego. Rynek wtórny to orót instrumentem finnsowym, czyli kolejne trnskcje kupnsprzedży instrumentu finnsowego. Nszym zdniem, ogół decyzji finnsowych możn podzielić n dwie grupy: decyzje w zkresie trnsferu kpitłu; decyzje w zkresie trnsferu ryzyk. Trnsfer kpitłu jest to klsyczn trnskcj finnsow, często dokonywn n rynku finnsowym poprzez opercję kupn lu sprzedży instrumentu finnsowego. W tej trnskcji występują dwie strony (stosujemy tu stndrdową terminologię finnsową): stron dług, udostępnijąc kpitł; stron krótk, pozyskując kpitł.

6 42 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH W tej trnskcji stron dług podejmuje decyzję inwestowni, zś stron krótk decyzję finnsowni. Nrzędziem trnsferu kpitłu jest instrument finnsowy, przy czym są dwie grupy instrumentów: dłużny instrument finnsowy (oligcj, instrument rynku pieniężnego); włścicielski instrument finnsowy (kcj, udził). Trnsfer ryzyk jest to trnskcj finnsow, dokonywn n rynku finnsowym poprzez opercję kupn-sprzedży opcji ( więc szczególnego instrumentu finnsowego), ądź n rynku uezpieczeniowym poprzez opercję kupn/ sprzedży polisy uezpieczeniowej. W trnskcji tej występują dwie strony: stron dług, przekzując ryzyko; stron krótk, przejmując ryzyko. W trnskcji trnsferu ryzyk stron dług podejmuje decyzję uezpieczjącą (w finnsch nzywną również zezpieczjącą), zś stron krótk decyzję uezpieczeniową. Nrzędziem trnsferu ryzyk mogą yć: opcj, podstwowy pochodny instrument finnsowy; polis uezpieczeniow. Nleży zwrócić uwgę n to, iż trnskcj polegjąc n trnsferze kpitłu zwier w istocie również trnsfer ryzyk, gdyż stron krótk (finnsując się) przekzuje ryzyko stronie długiej (inwestującej). W przypdku dłużnych instrumentów finnsowych jest to ryzyko niedotrzymni wrunków (ryzyko kredytowe), choć może do tego dojść również ryzyko stopy procentowej (ryzyko rynkowe). W przypdku włścicielskich instrumentów finnsowych jest to ryzyko cen kcji (ryzyko rynkowe). Wynik z tego, iż trnskcj trnsferu kpitłu oejmuje dwie części: trnsfer kpitłu wolnego od ryzyk; trnsfer ryzyk. W tkiej sytucji stop procentow, odzwierciedljąc cenę kpitłu, skłd się z dwóch części: stopy wolnej od ryzyk i premii z ryzyko. Oecnie przedstwimy chrkterystykę ou rodzjów decyzji podejmownych n rynku pierwotnym i rynku wtórnym. Trnsfer kpitłu rynek pierwotny Trnskcje trnsferu kpitłu n rynku pierwotnym polegją n zkupie przez stronę inwestującą instrumentów finnsowych (dłużnych lu włścicielskich) wyemitownych przez stronę finnsującą się. Ilustrcj trnskcji przedstwion jest n rysunku 1.

7 Krzysztof Jjug 43 Rysunek 1 Trnsfer kpitłu n rynku pierwotnym 1A. W momencie emisji instrumentu finnsowego kpitł A instrument finnsowy ryzyko B 1B. W momencie wykupu (dotyczy instrumentów dłużnych) A instrument finnsowy kpitł cen kpitłu wolnego od ryzyk premi z ryzyko B Jk widć, w momencie zwrci trnskcji stron A przekzuje kpitł stronie B kupując instrument finnsowy, zś dodtkowo stron B przekzuje stronie A ryzyko (rysunek 1A). Z kolei w momencie wykupu (rysunek 1B) nstępuje wykup instrumentu finnsowego, zś stron B płci cenę kpitłu wolnego od ryzyk orz premię z ryzyko. Nleży tu dodć dw istotne fkty: rysunek 1B dotyczy jedynie dłużnych instrumentów finnsowych; jeśli chodzi o włścicielskie instrumenty finnsowe, to nie istnieje moment wykupu, dl strony inwestującej zkończenie inwestycji może nstąpić jedynie n rynku wtórnym (o czym dlej); formlnie cen kpitłu wolnego od ryzyk i premi z ryzyko mogą yć płcone w postci wielu przepływów pieniężnych w różnych terminch przed terminem wykupu dotyczy to instrumentów dłużnych płcących odsetki. Trnsfer kpitłu rynek wtórny Trnskcje trnsferu kpitłu n rynku wtórnym polegją n kupnie-sprzedży instrumentów finnsowych, przy czym w przypdku instrumentów dłużnych trnskcje te mją miejsce tylko w okresie przed terminem wykupu. Dl strony sprzedjącej ozncz to zkończenie inwestycji, zś dl strony kupującej ozncz

8 44 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH to rozpoczęcie inwestycji. W ten sposó stron kupując stje się stroną długą n rynku pierwotnym dotyczy to jedynie dłużnych instrumentów finnsowych. Ilustrcj trnskcji przedstwion jest n rysunku 2. Rysunek 2 2A. W momencie trnskcji Trnsfer kpitłu n rynku wtórnym A instrument finnsowy kpitł cen kpitłu wolnego od ryzyk premi z ryzyko C 2B. W momencie wykupu (dotyczy instrumentów dłużnych) C instrument finnsowy kpitł cen kpitłu wolnego od ryzyk premi z ryzyko B Jk widć, w momencie zwrci trnskcji stron A przekzuje instrument finnsowy stronie C, zś stron C płci cenę kpitłu wolnego od ryzyk orz premię z ryzyko (rysunek 2A). Z kolei w momencie wykupu (rysunek 2B) nstępuje wykup instrumentu finnsowego, zś stron B płci cenę kpitłu wolnego od ryzyk orz premię z ryzyko stronie C (któr zstąpił w kontrkcie finnsowym stronę A). Przykłd Klsycznym przykłdem trnsferu kpitłu są trnskcje n rynku oligcji. N rynku pierwotnym stron krótk emituje oligcję, zś stron dług ją kupuje. W ten sposó stron krótk przekzuje ryzyko stronie długiej, zś stron dług przekzuje kpitł stronie krótkiej. W terminie wykupu oligcji nstępuje trns-

9 Krzysztof Jjug 45 kcj odwrotn. Z kolei n rynku wtórnym posidcz oligcji sprzedje ją innemu podmiotowi, który w ten sposó stje się stroną długą w stosunku do emitent oligcji. Trnsfer ryzyk rynek pierwotny Trnskcje trnsferu ryzyk n rynku pierwotnym polegją n sprzedży polisy uezpieczeniowej ądź n wystwieniu (co jest równowżne ze sprzedżą) opcji. Ilustrcj trnskcji przedstwion jest n rysunku 3. Rysunek 3 Trnsfer ryzyk n rynku pierwotnym A opcj lu polis ryzyko premi z ryzyko B Jk widć, w momencie zwrci kontrktu stron A, ędąc uezpieczycielem, sprzedje instrument finnsowy (opcję) ądź polisę uezpieczeniową stronie B, ędącej uezpieczjącym. W zmin z to przejmuje od strony B ryzyko i otrzymuje premię z ryzyko. W tkiej sytucji stron B otrzymuje prwo, zś stron A podejmuje zoowiąznie. Zuwżmy, że trnsferowne ryzyko może tu mieć rdzo różny chrkter, w przypdku opcji jest to z reguły ryzyko rynkowe. Trnsfer ryzyk rynek wtórny Trnskcje trnsferu ryzyk n rynku wtórnym dotyczą jedynie opcji, gdyż w przypdku polisy uezpieczeniowej rynek wtórny nie występuje. Trnskcje te, to po prostu kupno-sprzedż opcji. Ilustrcj trnskcji przedstwion jest n rysunku 4. Jk widć, stron B sprzedje instrument finnsowy stronie C, otrzymując w zmin premię z ryzyko. W ten sposó stron C stje się uezpieczjącym, otrzymując prwo. Oczywiście stroną, któr podjęł zoowiąznie, jest w dlszym ciągu stron A.

10 46 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Przykłd Klsycznym przykłdem trnsferu ryzyk są trnskcje n rynku opcji. N rynku pierwotnym stron krótk wystwi opcję, zś stron dług ją kupuje. W ten sposó stron krótk przejmuje ryzyko od strony długiej. Z kolei n rynku wtórnym posidcz opcji sprzedje ją innemu podmiotowi, który w ten sposó stje się stroną długą w stosunku do wystwijącego opcję. Rysunek 4 Trnsfer ryzyk n rynku wtórnym B opcj premi z ryzyko C A ryzyko C N zkończenie wrto wspomnieć, iż może również występowć dwustronny trnsfer ryzyk, czyli wymin ryzyk. Tego typu trnskcj poleg n tym, iż jedn stron przekzuje drugiej stronie jeden rodzj ryzyk, zś w zmin przejmuje od niej inny rodzj ryzyk. Mmy z tką trnskcją do czynieni w kontrktch terminowych (futures, forwrd) i kontrktch typu swp. N przykłd w wlutowym kontrkcie terminowym jedn stron przekzuje drugiej ryzyko wzrostu kursu wlutowego, przejmując od tej strony ryzyko spdku kursu wlutowego. W dlszym ciągu nie ędziemy się zjmowć tego typu trnskcjmi, gdyż możn je nlizowć jko komincję dwóch kontrktów trnsferu ryzyk. Jk wynik z powyższych rozwżń, w zsdzie prwie wszystkie trnskcje finnsowe są trnskcjmi zwierjącymi trnsfer ryzyk. Ozncz to, iż decyzje finnsowe są decyzjmi dotyczącymi ryzyk. Dotyczy to zrówno klsycznych decyzji w zkresie trnsferu ryzyk (decyzj uezpieczjąc lu decyzj uezpieczeniow), jk i decyzji w zkresie trnsferu kpitłu (decyzj inwestowni lu

11 Krzysztof Jjug 47 decyzj finnsowni). W nstępnym punkcie przedstwimy formlną koncepcję nlizy tych decyzji w ktegorich funkcji użyteczności. Decyzje finnsowe teori użyteczności Przedstwione powyżej podstwowe decyzje finnsowe mogą yć nlizowne w ktegorich funkcji użyteczności. Jk już wskzywliśmy, teori użyteczności jest często stosowną koncepcją teorii podejmowni decyzji. Przedstwimy terz sposó nlizowni omówionych decyzji finnsowych w kontekście oczekiwnej użyteczności. Rozptrywć ędziemy dw rodzje decyzji, które umownie nzywmy inwestycją i uezpieczeniem. W inwestycji występują dwie strony: kupujący inwestycję (inwestujący) i sprzedjący inwestycję (n rynku pierwotnym jest to stron finnsując się). W uezpieczeniu zś stronmi są: uezpieczjący (kupujący opcję lu polisę uezpieczeniową) i uezpieczyciel (wystwijący opcję lu sprzedjący polisę uezpieczeniową). W nszych rozwżnich ryzyko formlnie opisywne ędzie, tk jk to zwykle czyni się, z pomocą zmiennej losowej, której wrtość oczekiwn jest skończon (dodtni lu ujemn). Czsem tę zmienną losową przedstwi się z pomocą loterii, mówiąc, że kupno lu sprzedż ryzyk jest to kupno lu sprzedż loterii. Przedstwimy terz pewne podstwowe pojęci związne z trnsferem ryzyk. Przy tym w poniższych rozwżnich wprowdzone są nstępujące oznczeni: U funkcj użyteczności, przyporządkowując wrtości kpitłu wrtość użyteczności dnego podmiotu; w 0 wielkość kpitłu w wypdku niepodejmowni ryzyk; X zmienn losow, odzwierciedljąc podejmownie ryzyk, czyli loterię. Pierwszym pojęciem jest równowżnik pewności (certinty equivlent). Definiuje się go z pomocą nstępującej zleżności: U ( w ) = E( U ( w0 + X )) (1)

12 48 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Przy tym: w * równowżnik pewności. Ze wzoru (1) wynik, że równowżnik pewności jest to tk wrtość kpitłu osiągnięt ez ponoszeni ryzyk, której użyteczność jest tk sm, jk oczekiwn użyteczność wrtości kpitłu w sytucji ponoszeni ryzyk, tzn. posidni loterii. Równowżnik pewności możn wyrzić w sposó ezpośredni nstępującym wzorem: 1 w = U ( E( U ( w0 + X ))) (2) Nstępnym rozptrywnym pojęciem jest tzw. cen sprzedży loterii (sking price), dn nstępującym wzorem: U ( w + p ) = E( U ( w0 + 0 X )) (3) Lu w sposó ezpośredni: p = w w 0 (4) Gdzie: U funkcj użyteczności sprzedjącego loterię; w 0 wielkość kpitłu sprzedjącego loterię; p cen sprzedży loterii. Cen sprzedży loterii jest to minimln cen, po jkiej podmiot posidjący tę loterię jest ją skłonny sprzedć. Wrto rozptrzyć dwie szczegółowe interpretcje tego pojęci. Cen sprzedży loterii w inwestycji. Wrtość oczekiwn loterii jest tutj dodtni, ztem loteri przynosi dochód (oczekiwny). Cen sprzedży loterii jest to licz dodtni. Jest to minimln cen, po jkiej sprzedjący inwestycję

13 Krzysztof Jjug 49 (inczej: sprzedjący loterię) jest ją skłonny sprzedć kupującemu inwestycję (inczej: kupującemu loterię). Cen sprzedży loterii w uezpieczeniu. Wrtość oczekiwn loterii jest tutj ujemn, ztem loteri przynosi strtę (oczekiwną). Cen sprzedży loterii jest to licz ujemn. Formlnie jest to minimln cen, po jkiej sprzedjący loterię (uezpieczjący się) jest ją skłonny sprzedć kupującemu loterię (uezpieczycielowi). Z uwgi n to, że jest to licz ujemn, sensown jest nstępując interpretcj w odniesieniu do wrtości ezwzględnej tej liczy: jest to mksymln cen, jką uezpieczjący się (inczej: sprzedjący loterię) jest skłonny zpłcić uezpieczycielowi (inczej: kupującemu loterię) z pozycie się loterii. Jeśli złożymy, że funkcj użyteczności jest wklęsł (co odpowid wersji do ryzyk), wówczs zchodzi (z nierówności Jensen): E U ( U 0 + ( w0 + X )) U ( E( w0 + X )) = U ( w E( X )) Z tego wynik, że: ( 0 + w0 + p ) U ( w E( X )) Poniewż zzwyczj zkłd się, że funkcj użyteczności jest rosnąc, otrzymujemy: w Z czego wynik, że: E( 0 + p w0 + X ) p E(X ) (5) Przykłd Rozptrzymy logrytmiczną funkcję użyteczności, dną nstępującym wzorem: U ( w) = ln w

14 50 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Pod uwgę weźmiemy dwie loterie, odzwierciedljące inwestycję i uezpieczenie. Loteri w inwestycji Podmiot dysponuje kpitłem w wysokości 100. Ryzyko (loteri) odzwierciedlne jest przez zmienną losową, któr może przyjąć dwie wrtości, 20 i 80, oie z prwdopodoieństwem 0,5. Wynik z tego, że wrtość końcow kpitłu może przyjąć dwie wrtości: 80 i 180, oie z prwdopodoieństwem 0,5. Po podstwieniu do wzoru (1) otrzymujemy: ln w w = 0,5ln(80) + 0,5ln(180) = 4,787 = 120 Wrtość oczekiwn loterii wynosi 30. Równowżnik pewności wynosi 120. Po podstwieniu do wzoru (4) otrzymujemy: p = = 20 Wynik z tego, że minimln cen, po jkiej sprzedjący inwestycję jest skłonny sprzedć kupującemu inwestycję wynosi 20. Jest to mniej niż oczekiwn wrtość loterii wynosząc 30. Loteri w uezpieczeniu Podmiot dysponuje kpitłem w wysokości 100. Ryzyko (loteri) odzwierciedlne jest przez zmienną losową, któr może przyjąć dwie wrtości, 40 i 0, oie z prwdopodoieństwem 0,5. Wynik z tego, że wrtość końcow kpitłu może przyjąć dwie wrtości: 60 i 100, oie z prwdopodoieństwem 0,5. Po podstwieniu do wzoru (4) otrzymujemy: ln w w = 0,5ln(60) + 0,5ln(100) = 4,350 = 77,46 Wrtość oczekiwn loterii wynosi 20. Równowżnik pewności wynosi 77,46. Po podstwieniu do wzoru (4) otrzymujemy:

15 Krzysztof Jjug 51 p = 77, = 22,54 Wynik z tego, że mksymln cen, po jkiej uezpieczjący jest skłonny pozyć się ryzyk, wynosi 22,54. Widć, że 22,54 jest to mniej niż oczekiwn wrtość loterii wynosząc 20. Nstępnym rozptrywnym pojęciem jest tzw. cen kupn loterii (id price), dn nstępującym wzorem: U ( w ) = E( U ( w0 + X p 0 )) (6) Gdzie: U funkcj użyteczności kupującego loterię; w 0 wielkość kpitłu kupującego loterię; p cen kupn loterii. Cen kupn loterii jest to mksymln cen, po jkiej podmiot chcący posidć loterię jest ją skłonny kupić. Wrto tu rozptrzyć dwie szczegółowe interpretcje tego pojęci. Cen kupn loterii w inwestycji. Wrtość oczekiwn loterii jest tutj dodtni, ztem loteri przynosi dochód (oczekiwny). Cen kupn loterii jest to licz dodtni. Jest to mksymln cen, po jkiej kupujący inwestycję (inczej: kupujący loterię) jest ją skłonny kupić od sprzedjącego inwestycję (inczej: sprzedjącego loterię). Cen kupn loterii w uezpieczeniu. Wrtość oczekiwn loterii jest tutj ujemn, ztem loteri przynosi strtę (oczekiwną). Cen kupn loterii jest to licz ujemn. Formlnie jest to mksymln cen, po jkiej kupujący loterię (uezpieczyciel) jest ją skłonny kupić od sprzedjącego loterię (uezpieczjącego się). Z uwgi n to, że jest to licz ujemn, sensown jest nstępując interpretcj w odniesieniu do wrtości ezwzględnej tej liczy: jest to minimln cen, jką uezpieczyciel (inczej: kupujący loterię) jest skłonny zkceptowć od uezpieczjącego się (inczej: sprzedjącego loterię) z przyjęcie loterii.

16 52 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Jeśli złożymy, że funkcj użyteczności jest wklęsł (co odpowid wersji do ryzyk), wówczs zchodzi (z nierówności Jensen): E U ( U 0 + ( w0 + X p )) U ( E( w0 + X p )) = U ( w p E( X )) Z tego wynik, że: ( 0 + w0 ) U ( w p E( X )) Poniewż zzwyczj zkłd się, że funkcj użyteczności jest rosnąc, otrzymujemy: w0 w0 p + E( X ) Z czego wynik, że: p E(X ) (7) Przykłd Rozptrzymy (podonie jk w poprzednim przykłdzie) logrytmiczną funkcję użyteczności. Pod uwgę weźmiemy dwie loterie, te sme co w poprzednim przykłdzie, odzwierciedljące inwestycję i uezpieczenie. Loteri w inwestycji Podmiot dysponuje kpitłem w wysokości 100. Wrtość oczekiwn loterii wynosi 30. Po podstwieniu do wzoru (6) otrzymujemy: ln( 100) = 0,5ln(80 p ) + 0,5ln(180 p ) Rozwiązując powyższe równnie otrzymujemy: p = 18,19

17 Krzysztof Jjug 53 Wynik z tego, że mksymln cen, jką kupujący inwestycję jest skłonny zpłcić z inwestycję, wynosi 18,19. Jest to mniej niż oczekiwn wrtość loterii wynosząc 30. Loteri w uezpieczeniu Podmiot dysponuje kpitłem w wysokości 100. Wrtość oczekiwn loterii wynosi 20. Po podstwieniu do wzoru (6) otrzymujemy: ln( 100) = 0,5ln(100 p ) + 0,5ln(60 p ) Rozwiązując powyższe równnie otrzymujemy: p = 21,98 Wynik z tego, że minimln cen, po jkiej uezpieczyciel jest skłonny przejąć ryzyko, wynosi 21,98. Widć, że 21,98 jest to mniej niż oczekiwn wrtość loterii wynosząc 20. Nierówności dne wzormi (5) i (7) wskzują, że cen sprzedży loterii i cen kupn loterii są nie większe niż wrtość oczekiwn loterii. Wrto się jeszcze zstnowić, czy istnieje zleżność między ceną kupn loterii i ceną sprzedży loterii. Loteri w inwestycji Cen sprzedży loterii w inwestycji jest to minimln cen, po jkiej sprzedjący przedmiot inwestycji jest go skłonny sprzedć kupującemu inwestycję. Cen kupn loterii w inwestycji jest to mksymln cen, po jkiej kupujący przedmiot inwestycji jest go skłonny kupić od sprzedjącego inwestycję. Sensowne jest przyjęcie złożeni, że cen sprzedży loterii w inwestycji nie przekrcz ceny kupn loterii w inwestycji (w przeciwnym przypdku nie doszłoy do trnskcji). Loteri w uezpieczeniu Cen sprzedży loterii w uezpieczeniu jest to mksymln cen, jką uezpieczjący się jest skłonny zpłcić uezpieczycielowi z uezpieczenie. Cen kupn loterii w uezpieczeniu jest to minimln cen, jką uezpieczyciel jest skłonny zkceptowć od uezpieczjącego z przyjęcie ryzyk. Sensowne jest przyjęcie złożeni, że cen sprzedży loterii w uezpieczeniu nie przekrcz ceny kupn loterii w uezpieczeniu (w przeciwnym przypdku nie doszłoy do trnskcji).

18 54 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Biorąc pod uwgę te wnioski orz zleżności (5) i (7) otrzymujemy: p p E(X ) (8) Trze jednk zuwżyć, że w zleżności (8) cen kupn loterii i cen sprzedży loterii wyznczne są (zzwyczj) n podstwie różnych funkcji użyteczności. Biliogrfi Blck F., Scholes M The pricing of options nd corporte liilities, Journl of Politicl Economy, 81, Brooks C Introductory econometrics for finnce, Cmridge University Press, Cmridge. Chn N.H Time series. Applictions to finnce, Wiley, New York. Crouhy M., Gli D., Mrk R Risk mngement, McGrw Hill, New York. Mills T The econometric modeling of finncil time series, 2 nd ed., Cmridge University Press, Cmridge. Tsy R.S Anlysis of finncil time series, Wiley, New York. Mrkowitz H.M Portfolio selection, Journl of Finnce, 7, Merton R.C Theory of rtionl option pricing, Bell Journl of Economics nd Mngement Science, 4,

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Foli Univ. Agric. Stetin. 2007, Oeconomic 254 (47), 117 122 Jolnt KONDRATOWICZ-POZORSKA ROLA KLIENTA W ZRÓWNOWAŻONYM ROZWOJU FIRMY ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA WNIOSEK:. NUMER KONKURSU 2/POKL/8.1.1/2010 TYTUŁ PROJEKTU:... SUMA KONTROLNA

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

URZĄD KOMISJI NADZORU FINANSOWEGO WARSZAWA, 2011 DAR/A/J/2011/001

URZĄD KOMISJI NADZORU FINANSOWEGO WARSZAWA, 2011 DAR/A/J/2011/001 EKONOMETRYCZNA ANALIZA POPYTU NA KREDYT W POLSKIEJ GOSPODARCE URZĄD KOMISJI NADZORU FINANSOWEGO WARSZAWA, 2011 DAR/A/J/2011/001 Piotr Wdowiński 1 Deprtment Anliz Rynkowych SŁOWA KLUCZOWE: POPYT NA KREDYT,

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

Struktura kapitału, a wartość rynkowa przedsiębiorstwa na rynku kapitałowym

Struktura kapitału, a wartość rynkowa przedsiębiorstwa na rynku kapitałowym Kurs e-lerningowy Giełd Ppierów Wrtościowych i rynek kpitłowy V edycj Struktur kpitłu, wrtość rynkow przedsiębiorstw n rynku kpitłowym 2010 SPIS TREŚCI I. Wstęp 3 II. Podstwowy miernik rentowności kpitłu

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

DZIAŁANIE III.6 ROZWÓJ MIKRO- I MAŁYCH PRZEDSIĘBIORSTW

DZIAŁANIE III.6 ROZWÓJ MIKRO- I MAŁYCH PRZEDSIĘBIORSTW DZIAŁANIE III.6 ROZWÓJ MIKRO- I MAŁYCH PRZEDSIĘBIORSTW 1 Nzw progrmu opercyjnego Regionlny Progrm Opercyjny Województw Łódzkiego n lt 2007-2013. 2 Numer i nzw osi priorytetowej Oś priorytetow III: Gospodrk,

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Gry czasowe. Tadeusz Radzik (Wrocław) (artykuł wspomnieniowy o prof. Stanisławie Trybule)

Gry czasowe. Tadeusz Radzik (Wrocław) (artykuł wspomnieniowy o prof. Stanisławie Trybule) MATEMATYKA STOSOWANA TOM 11/52 2010 Tdeusz Rdzik (Wrocłw) Gry czsowe (rtykuł wspomnieniowy o prof. Stnisłwie Trybule) Streszczenie. Prc jest rtykułem wspomnieniowym o prof. Stnisłwie Trybule. Wprowdz on

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale Trójkąt Pscl od kuchni Kls 1 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnym i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle ul. Ks.St.Połetk 32 32-043 Skł Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

do Regulaminu przyznawania środków finansowych na rozwój przedsiębiorczości w projekcie Dojrzała przedsiębiorczość

do Regulaminu przyznawania środków finansowych na rozwój przedsiębiorczości w projekcie Dojrzała przedsiębiorczość Projekt współfinnsowny przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego Złącznik nr do Regulminu przyznwni środków finnsowych n rozwój przedsięiorczości w projekcie Dojrzł przedsięiorczość

Bardziej szczegółowo

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH

PROGNOZOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH SSof Polsk, el. (1) 4843, (61) 414151, info@ssof.pl, www.ssof.pl PROGNOZOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Andrzej Sokołowski Akdemi Ekonomiczn w Krkowie, Zkłd Sysyki W oprcowniu ym przedswiono pewną

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL Złącznik nr 5 Krt oceny merytorycznej Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu innowcyjnego testującego skłdnego w trybie konkursowym w rmch PO KL NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA

Bardziej szczegółowo

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych Edwrd Musił Oddził Gdński SEP Zokrąglnie i zpisywnie wyników obliczeń przybliżonych Inżynier wykonuje nieml wyłącznie obliczeni przybliżone i powinien mieć nieustnnie n względzie dokłdność, jką chce uzyskć

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe

Bardziej szczegółowo

Rekuperator to urządzenie

Rekuperator to urządzenie Rekupertor to urządzenie będące sercem cłego systemu wentylcji mechnicznej. Skłd się z zintegrownej obudowy, w której znjdują się dw wentyltory, w nszym przypdku energooszczędne. Jeden z nich służy do

Bardziej szczegółowo

Miary ryzyka a dualna teoria użyteczności Yaariego

Miary ryzyka a dualna teoria użyteczności Yaariego Uniwersytet Wrszwski Wydził Mtemtyki, Informtyki i Mechniki Jonn Dys Nr lbumu: 233996 Miry ryzyk duln teori użyteczności Yriego Prc mgistersk n kierunku MATEMATYKA Prc wykonn pod kierunkiem dr hb. Wojciech

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Utworzenie optymalnej bazy wzorców w dziedzinie pomiaru parametrów impedancji zespolonych

Utworzenie optymalnej bazy wzorców w dziedzinie pomiaru parametrów impedancji zespolonych Pomiry Automtyk Rootyk 1/27 Utworzenie optymlnej zy wzorców w dziedzinie pomiru prmetrów impedncji zespolonych Michł Surdu Aleksnder Lmeko Antoni Trłowski Roert Rzepkowski W prcy przedstwiono rozwiąznie

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Dodatkowe informacje i objaśnienia. Zakres zmian wartości grup rodzajowych środków trwałych, wnip oraz inwestycji długoterminowych Zwieksz Stan na.

Dodatkowe informacje i objaśnienia. Zakres zmian wartości grup rodzajowych środków trwałych, wnip oraz inwestycji długoterminowych Zwieksz Stan na. STOWARZYSZENIE RYNKÓW FINANSOWYCH ACI POLSKA Afiliowne przy ACI - The Finncil Mrkets Assocition Dodtkowe informcje i objśnieni Wrszw, 21 mrzec 2014 1.1 szczegółowy zkres zmin wrtości grup rodzjowych środków

Bardziej szczegółowo

Racjonalne oczekiwania w polityce podatkowej możliwości aplikacji

Racjonalne oczekiwania w polityce podatkowej możliwości aplikacji Jnusz Kudł Uniwersytet Wrszwski Rcjonlne oczekiwni w polityce podtkowej możliwości plikcji Wprowdzenie Jednym z njwżniejszych problemów polityki podtkowej jest ogrniczenie zjwisk nieleglnego unikni podtków.

Bardziej szczegółowo

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH Michł PAWŁOWSKI 1 1. WSTĘP Corz większy rozwój przemysłu energetycznego, w tym siłowni witrowych stwi corz większe wymgni woec producentów przekłdni zętych jeśli

Bardziej szczegółowo

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ ADANIE ZAEŻNOŚCI PRZENIKANOŚCI MAGNETYCZNEJ FERRIMAGNETYKÓW OD TEMPERATURY 1. Teori Włściwości mgnetyczne sstncji chrkteryzje współczynnik przeniklności mgnetycznej. Dl próżni ten współczynnik jest równy

Bardziej szczegółowo

ANKIETA. Proszę X zaznaczyć właściwą odpowiedź I. Część ogólna: 1.1. Wiek: lat/lata. 1.2. Płeć : a kobieta b mężczyzna

ANKIETA. Proszę X zaznaczyć właściwą odpowiedź I. Część ogólna: 1.1. Wiek: lat/lata. 1.2. Płeć : a kobieta b mężczyzna ANKIETA ZAŁĄCZNIK NR 1 Zwrcmy się z uprzejmą prośą o dokłdne przeczytnie i wypełnienie poniższej nkiety. Celem dni jest określenie czynników determinujących powrót do ktywności zwodowej osó w wieku powyżej

Bardziej szczegółowo

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH Ochron przeciwwybuchow Michł Świerżewski WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH 1. Widomości ogólne Zgodnie z postnowienimi rozporządzeni Ministr Sprw Wewnętrznych

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

Anna Malarska. statystyczna analiza danych. wspomagana programem SPSS

Anna Malarska. statystyczna analiza danych. wspomagana programem SPSS Ann Mlrsk sttystyczn nliz dnych wspomgn progrmem SPSS SPSS Polsk Krków 2005 Sttystyczn nliz dnych wspomgn progrmem SPSS 1.2 Grficzne formy prezentcji dnych 1.2.1 Wykres słupkowy, histogrm Częstości relizcji

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

Autor: Zbigniew Tuzimek Opracowanie wersji elektronicznej: Tomasz Wdowiak

Autor: Zbigniew Tuzimek Opracowanie wersji elektronicznej: Tomasz Wdowiak DNIE UKŁDÓW LOKD UTOMTYCZNYCH uor: Zigniew Tuzimek Oprcownie wersji elekronicznej: Tomsz Wdowik 1. Cel i zkres ćwiczeni Celem ćwiczeni jes zpoznnie sudenów z udową orz dziłniem zezpieczeń i lokd sosownych

Bardziej szczegółowo

Neuroprzekaźnictwo chemiczne i działanie leków w ośrodkowym układzie nerwowym

Neuroprzekaźnictwo chemiczne i działanie leków w ośrodkowym układzie nerwowym UKŁAD NERWOWY CZĘŚĆ 4 Neuroprzekźnictwo chemiczne i dziłnie leków w ośrodkowym ukłdzie nerwowym Neuroprzekźnictwo chemiczne i dziłnie leków w OUN WPROWADZENIE Dziłnie mózgu jest podstwowym i njwżniejszym

Bardziej szczegółowo

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub

Bardziej szczegółowo

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym Zior rozmte Teori i zstosowni we wniosowniu prosmcjnm PODSTWOWE POJĘCI Motwcje Potrze opisni zjwis i pojęć wielozncznch i niepreczjnch użwnch swoodnie w jęzu nturlnm np. wso tempertur młod człowie średni

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

CARGO ZARABIAJ NA WZROSTACH KOSZTÓW TRANSPORTU MORSKIEGO

CARGO ZARABIAJ NA WZROSTACH KOSZTÓW TRANSPORTU MORSKIEGO CARGO ZARABIAJ NA WZROSTACH KOSZTÓW TRANSPORTU MORSKIEGO ZASTRZEŻENIE Przedstwione w niniejszym dokumencie opisy produktowe nie stnowią oferty w rozumieniu rt. 66 Kodeksu cywilnego, mją one chrkter wyłącznie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik nr 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: POKL.05.02.01 00../..

Bardziej szczegółowo

Topologia i podzbiory,

Topologia i podzbiory, Jest to tekst związny z odczytem wygłoszonym n XLV Szkole Mtemtyki Poglądowej, Co mi się podo, Jchrnk, sierpień 2010, z który utor otrzymł Medl Filc. Topologi i podziory, czyli histori jednego twierdzeni

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne z przedmiotu : Napędy Hydrauliczne i Pneumatyczne

Ćwiczenia laboratoryjne z przedmiotu : Napędy Hydrauliczne i Pneumatyczne Lbortorium nr 11 Temt: Elementy elektropneumtycznych ukłdów sterowni 1. Cel ćwiczeni: Opnownie umiejętności identyfikcji elementów elektropneumtycznych n podstwie osprzętu FESTO Didctic. W dużej ilości

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie analizy widmowej sygnału ultradwikowego do okrelenia gruboci cienkich warstw

Zastosowanie analizy widmowej sygnału ultradwikowego do okrelenia gruboci cienkich warstw AMME 1 1th JUBILEE INTERNATIONAL SC IENTIFIC CONFERENCE Zstosownie nlizy widmowej sygnłu ultrdwikowego do okreleni gruboci cienkich wrstw A. Kruk Wydził Metlurgii i Inynierii Mteriłowej, Akdemi Górniczo-Hutnicz

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne Po nieco intuicyjnych początkch, zjmiemy się obiektmi, n których opier się progrmownie są to zmienne. Zmienne Progrmy operują n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni.

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne: W progrmie operuje się n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni. Interpretcj tej instrukcji jest nstępując: zmiennej znjdującej się z lewej strony instrukcji podstwieni

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

Metodologia szacowania wartości docelowych dla wskaźników wybranych do realizacji w zakresie EFS w Regionalnym Programie Operacyjnym Województwa

Metodologia szacowania wartości docelowych dla wskaźników wybranych do realizacji w zakresie EFS w Regionalnym Programie Operacyjnym Województwa Metodologi szcowni wrtości docelowych dl wskźników wybrnych do relizcji w zkresie EFS w Regionlnym Progrmie percyjnym Województw Kujwsko-Pomorskiego 2014-2020 Toruń, listopd 2014 1 Spis treści I. CZĘŚĆ

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

Ochrona przed przepięciami w sieciach ISDN

Ochrona przed przepięciami w sieciach ISDN OGANICZANIE PZEPIĘĆ W YEMACH PZEYŁ YGNAŁÓW Ochron przed przepięcimi w siecich IDN Andrzej ow Wstęp Wzrost zpotrzeowni n usługi odiegjące od klsycznego przekzu telefonicznego spowodowł gwłtowny rozwój sieci

Bardziej szczegółowo

system identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki

system identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki krt A03 część A znk mrki form podstwow Znk mrki Portu Lotniczego Olsztyn-Mzury stnowi połączenie znku grficznego (tzw. logo) z zpisem grficznym (tzw. logotypem). Służy do projektowni elementów symboliki

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

BADANIE MOBILNOŚCI KOMUNIKACYJNEJ LUDNOŚCI

BADANIE MOBILNOŚCI KOMUNIKACYJNEJ LUDNOŚCI BADANIE MOBILNOŚCI KOMUNIKACYJNEJ LUDNOŚCI Kwestionriusz gospodrstw domowego Numer ewidencyjny: Dził 0. REALIZACJA WYWIADU. Łączn liczb wizyt nkieter w wylosownym mieszkniu. Wylosowne mieszknie Proszę

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

WNIOSEK O PRZYZNANIE STYPENDIUM SZKOLNEGO

WNIOSEK O PRZYZNANIE STYPENDIUM SZKOLNEGO WNIOSEK O PRZYZNANIE STYPENDIUM SZKOLNEGO w roku szkolnym... I. Dne osoowe uczni / słuchcz Nzwisko..... Imion...... Imię ojc i mtki...... PESEL uczni / słuchcz Dt i miejsce urodzeni... II. Adres zmieszkni

Bardziej szczegółowo

Szkolnictwo zawodowe a rynek pracy sektora rolno-spożywczego w województwie łódzkim

Szkolnictwo zawodowe a rynek pracy sektora rolno-spożywczego w województwie łódzkim Szkolnictwo zwodowe dl sektor rolno-spożywczego w województwie łódzkim dignoz potrzeb edukcyjnych Szkolnictwo zwodowe rynek prcy sektor rolno-spożywczego w województwie łódzkim Prognozy oprcowne w rmch

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE INFORMACJE

PODSTAWOWE INFORMACJE W4MAZOWIECKA JEDNOSTKA WDRAŻANIA PROGRAMÓW UNIJNYCH PROGRAM OPERACYJNY KAPITAŁ LUDZKI 2007-2013 N skróty: PODSTAWOWE INFORMACJE Progrm Opercyjny Kpitł Ludzki jest jednym z progrmów relizownych w rmch Nrodowej

Bardziej szczegółowo

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie Konstrkcje Elementy Mteriły Prost metod sprwdzni fndmentów ze względ n przebicie Prof dr b inż Micł Knff, Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie, dr inż Piotr Knyzik, Politecnik Wrszwsk 1 Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dnia 7 lutego 2012 r. w sprawie ramowych planów nauczania w szkołach publicznych

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dnia 7 lutego 2012 r. w sprawie ramowych planów nauczania w szkołach publicznych Dz.U.2012.204 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dni 7 lutego 2012 r. w sprwie rmowych plnów nuczni w szkołch publicznych (Dz. U. z dni 22 lutego 2012 r.) N podstwie rt. 22 ust. 2 pkt 1 ustwy

Bardziej szczegółowo

XB Płytowy, lutowany wymiennik ciepła

XB Płytowy, lutowany wymiennik ciepła Opis / zstosownie XB jest płytowym, lutownym miedzią wymiennikiem ciepł przeznczonym do stosowni w ukłdch ciepłowniczych (tj. klimtyzcj, ogrzewnie, ciepł wod użytkow). Lutowne płytowe wymienniki ciepł

Bardziej szczegółowo

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa.

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa. 1. Pirmidiotologi. W obfitej literturze przedmiotu podje się, że pirmid Ceops, lub też z ngielsk Wielk Pirmid (te Gret Pyrmid), zwier w swej konstrukcji pełną i szczegółową istorię rodzju ludzkiego od

Bardziej szczegółowo

Materiały szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA. Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB

Materiały szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA. Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB Mteriły szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB 1. Wprowdzenie Drgnimi nzywne są procesy, w których chrkterystyczne dl nich wielkości fizyczne

Bardziej szczegółowo

WYJAŚNIENIA TREŚCI SIWZ

WYJAŚNIENIA TREŚCI SIWZ WYJAŚNIENIA TREŚCI SIWZ W postępowniu o udzielenie i obsługę długoterminowego u bnkowego w wysokości 172 zł 1 Zświdczenie o ndniu NIP Gminy Znjduje się pod ogłoszeniem o zmówieniu n udzielenie długoterminowego

Bardziej szczegółowo

ANALIZA PRACY SYSTEMU ENERGETYCZNO-NAPĘDOWEGO STATKU TYPU OFFSHORE Z WYKORZYSTANIEM METODY DRZEW USZKODZEŃ

ANALIZA PRACY SYSTEMU ENERGETYCZNO-NAPĘDOWEGO STATKU TYPU OFFSHORE Z WYKORZYSTANIEM METODY DRZEW USZKODZEŃ MGR INŻ. LSZK CHYBOWSKI Politchnik Szczcińsk Wydził Mchniczny Studium Doktorncki ANALIZA PRACY SYSTMU NRGTYCZNO-NAPĘDOWGO STATKU TYPU OFFSHOR Z WYKORZYSTANIM MTODY DRZW USZKODZŃ STRSZCZNI W mtril przdstwiono

Bardziej szczegółowo

WNIOSEK o przyznanie pomocy na zalesianie

WNIOSEK o przyznanie pomocy na zalesianie Agencj Restrukturyzcji i Modernizcji Rolnictw WNIOSEK o przyznnie pomocy n zlesinie 1) rok Potwierdzenie przyjęci wniosku przez Biuro Powitowe ARiMR /pieczęć/... Dt przyjęci i podpis... Znk sprwy - Schemt

Bardziej szczegółowo

Twoje zdrowie -isamopoczucie

Twoje zdrowie -isamopoczucie Twoje zdrowie -ismopoczucie Kidney Disese nd Qulity of Life (KDQOL-SF ) Poniższ nkiet zwier pytni dotyczące Pn/Pni opinii o włsnym zdrowiu. Informcje te pozwolą nm zorientowć się, jkie jest Pn/Pni smopoczucie

Bardziej szczegółowo

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny 5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie

Bardziej szczegółowo

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej,

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej, Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 49 6-4 Enegi potencjln Cłkowit pc wykonn nd punktem mteilnym jest ówn zminie jego enegii kinetycznej. Często jednk, jesteśmy zinteesowni znlezieniem pcy jką sił wykonł

Bardziej szczegółowo

Badanie regularności w słowach

Badanie regularności w słowach Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes,

Bardziej szczegółowo

Płukanie instalacji grzewczych w domach jednorodzinnych konieczność czy fanaberia?

Płukanie instalacji grzewczych w domach jednorodzinnych konieczność czy fanaberia? r t y k u ł t e c h n i c z n y pździernik 2012 (10) 50 Jrosłw Chudzicki*, Stefn Żuchowski Rport z jednego płukni Płuknie instlcji grzewczych w domch jednorodzinnych konieczność czy fneri? wod przeznczon

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo